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第二章《一元二次方程》知识点分类训练
知识点1 一元二次方程的定义及解
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2+x+y＝0 C． D．
2．若关于x的一元二次方程为3x2﹣5x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
3．已知x＝﹣1是一元二次方程2x2+ax+3＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
知识点2 解一元二次方程
4．用指定方法解下列方程：
（1）4x2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2﹣4x﹣3＝0（配方法）；
（3）x2﹣2x﹣4＝0（用公式法）；
（4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）．
5．已知（a2+b2）（a2+b2+2）﹣15＝0，求a2+b2的值．
知识点3 一元二次方程根的判别式
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．有无实数根，无法判断
7．关于x的一元二次方程x2﹣m＝4x没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＞4 D．m＜4
8．已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值．
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
9．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
10．以关于x的方程x2﹣px+q＝0（p2＞4q）的两根的相反数为根的一元二次方程为（ ）
A．x2+px+q＝0 B．x2﹣px+q＝0 C．x2+px﹣q＝0 D．x2﹣px﹣q＝0
11．若实数a，b满足（a+99）（a+100）＝1，（b+100）（b+101）＝1，且a﹣b≠1，则a+b的值为 ．
知识点5 一元二次方程的应用
12．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
13．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求x的值．
14．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
（1）求小美每分钟跑多少米？
（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章《一元二次方程》知识点分类训练
知识点1 一元二次方程的定义及解
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2+x+y＝0 C． D．
【思路点拨】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
【解答】解：A．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项A符合题意；
B．∵方程x2+x+y＝0含有两个未知数，
∴方程x2+x+y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．∵方程x1＝0不是整式方向，
∴方程x1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程x20不是整式方向，
∴方程x20不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．若关于x的一元二次方程为3x2﹣5x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
【思路点拨】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c，据此求解即可．
【解答】解：根据题意得：关于x的一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数为3，一次项系数为﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，牢记“一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c”是解题的关键．
3．已知x＝﹣1是一元二次方程2x2+ax+3＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【思路点拨】将x＝﹣1代入原方程，求出解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入2x2+ax+3＝0，
得2×（﹣1）2﹣a+3＝0，
解得a＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
知识点2 解一元二次方程
4．用指定方法解下列方程：
（1）4x2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2﹣4x﹣3＝0（配方法）；
（3）x2﹣2x﹣4＝0（用公式法）；
（4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）．
【思路点拨】（1）开平方得到2x﹣1＝±3，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成（x﹣2）2＝7，再利用开平方法解方程即可；
（3）写出a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，求出Δ＝（﹣2）2+16＝20，代入即可得到方程的解；
（4）移项后因式分解得到（5x+2）（7x﹣6）＝0，则5x+2＝0或7x﹣6＝0，即可得到方程的解．
【解答】解：（1）4x2﹣144＝0，
4x2＝144，
x2＝36，
x＝±6，
解得x1＝6，x2＝﹣6；
（2）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3．
x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
，
∴，；
（3）x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣2）2+16＝20＞0，
∴，
∴，；
（4）7x（5x+2）＝6（5x+2），
7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（5x+2）（7x﹣6）＝0，
∴5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得，．
【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
5．已知（a2+b2）（a2+b2+2）﹣15＝0，求a2+b2的值．
【思路点拨】先用换元法令a2+b2＝x（x≥0），再解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：令a2+b2＝x（x≥0），则原等式可化为：
x（x+2）﹣15＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣5，
∵x≥0，
∴x＝3，即a2+b2＝3．
a2+b2的值为3．
【点评】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．
知识点3 一元二次方程根的判别式
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．有无实数根，无法判断
【思路点拨】利用根的判别式，可得出Δ＝4+4k2，由k2≥0，可得出4+k2＞0，即Δ＞0，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2）＝4+4k2，
∵k2≥0，
∴4+k2＞0，
即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．关于x的一元二次方程x2﹣m＝4x没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4 C．m＞4 D．m＜4
【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac小于0，方程没有实数根，列不等式计算即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣m＝4x化为一般式为x2﹣4x﹣m＝0，
根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
即16+4m＜0，
解得：m＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．
8．已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解；
（2）根据题意先求出m，进而得到a2﹣4a＝﹣2，再代入代数式中进行计算求解．
【解答】（1）解：∵关于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣m≠0，
解得m1≠0，m2≠1，
Δ＝（﹣4m）2﹣4（m2﹣m）×4＝16m＞0．
∴m＞0，
∴m＞0且m≠1．
（2）解：由题意得：0＜m＜3，
∵m为m≠1的整数，
∴m＝2．
将x＝a，m＝2代入（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0，
得：a2﹣4a＝﹣2，
∴
，
将a2﹣4a＝﹣2代入中，得原式（﹣2）1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键．
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
9．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【思路点拨】把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
【解答】解：
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式．
10．以关于x的方程x2﹣px+q＝0（p2＞4q）的两根的相反数为根的一元二次方程为（ ）
A．x2+px+q＝0 B．x2﹣px+q＝0 C．x2+px﹣q＝0 D．x2﹣px﹣q＝0
【思路点拨】由p2＞4q，可得出Δ＝p2﹣4×1×q＞0，进而可得出关于x的方程x2﹣px+q＝0有两个不相等的实数根，设关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝p，x1x2＝q，进而可得出（﹣x1）+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣p，（﹣x1）（﹣x2）＝x1x2＝q，再结合根与系数的关系，可得出以原方程的两根的相反数为根的一元二次方程为x2+px+q＝0．
【解答】解：∵p2＞4q，
∴Δ＝p2﹣4×1×q＞0，
∴关于x的方程x2﹣px+q＝0有两个不相等的实数根．
设关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝p，x1x2＝q，
∴（﹣x1）+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣p，（﹣x1）（﹣x2）＝x1x2＝q，
∴以关于x的方程x2﹣px+q＝0（p2＞4q）的两根的相反数为根的一元二次方程为x2+px+q＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
11．若实数a，b满足（a+99）（a+100）＝1，（b+100）（b+101）＝1，且a﹣b≠1，则a+b的值为 ﹣200 ．
【思路点拨】根据式子特点，利用换元法，设a+99＝m，b+100＝n，则a＝m﹣99，b＝n﹣100，由此得出a+b＝m﹣99+n﹣100＝m+n﹣199．由题意可知，m（m+1）＝1，n（n+1）＝1，由此m，n可看作是方程x（x+1）＝1的两个实数根，整理方程x（x+1）＝1得x2+x﹣1＝0，根据根与系数的关系得出m+n＝﹣1，进而得出答案．
【解答】解：设a+99＝m，b+100＝n，
则a＝m﹣99，b＝n﹣100，
∴a+b＝m﹣99+n﹣100＝m+n﹣199，
由题意可知，m（m+1）＝1，n（n+1）＝1，
∴m，n为方程x（x+1）＝1的两个实数根．
由x（x+1）＝1，整理，得x2+x﹣1＝0，
∴m+n，
∴m+n﹣199＝﹣1﹣199＝﹣200，
∴a+b的值为﹣200．
故答案为：﹣200．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，换元法解一元二次方程是解题的关键．
知识点5 一元二次方程的应用
12．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
【思路点拨】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：（21﹣3x）米，宽度为：（8﹣2x）米，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，
由题意得（21﹣3x）（8﹣2x）＝60，
解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
13．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求x的值．
【思路点拨】小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解．
【解答】解：由题意得1+x+x2＝43，
整理得，x2+x﹣42＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），
答：x的值为6．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键．
14．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
（1）求小美每分钟跑多少米？
（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【思路点拨】（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑1.2x米，根据“两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美比小丽早5分钟到达B地”，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑1.2x米，
由题意得：5，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×300＝360，
答：小美每分钟跑360米；
（2）解：设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
由题意得：15×20+（y﹣20）（15+y﹣20）＝1650，
整理得：y2﹣25y﹣1250＝0，
解得：y1＝50，y2＝﹣25（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
