中小学教育资源及组卷应用平台
专题三 根的判别式和根与系数的关系的综合应用
类型一 求方程中字母的值
方法技巧：先计算出x1＋x2和x1x2的值，再将所给的代数式变形为用x1＋x2和x1x2表示的式子，然后将x1＋x2和x1x2的值代入变形后的式子求出字母的值或取值范围.
【母题练方法】1．若关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是 3或﹣1 ．
【思路点拨】利用根与系数的关系得到x1+x2＝m+1，x1x2＝m，结合x1﹣x2＝2，即可得出2+2x2＝m+1，（2+x2） x2＝m，进一步得出（1）2＝m+1，解得m＝3或m＝﹣1．
【解答】解：∵方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝（m﹣1）2＞0，
解得：m≠1，
设一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m．
∵x1﹣x2＝2，
∴x1＝2+x2，
∴2+2x2＝m+1，（2+x2） x2＝m．
∴x2，（x2+1）2＝m+1，
∴（1）2＝m+1，
解得m＝3或m＝﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．
【子题练变式】2．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，则k的范围为 k＜9 ．
（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且，则k＝ ﹣11 ．
【思路点拨】（1）根据题意及根的判别式可进行求解参数的范围；
（2）由题意易得x1+x2＝6，x1x2＝k，然后可得62+k＝25，进而问题可求解．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4k＞0，
∴k＜9，
故答案为：k＜9；
（2）∵方程x2﹣6x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4k≥0，
∴k≤9，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵，
∴，即62+k＝25，
解得：k＝﹣11；
故答案为：﹣11．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
3．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根．
【思路点拨】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+16＞0，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先把x＝1代入一元二次方程得到1+k﹣4＝0，解一次方程得到k＝3，所以原方程为x2+3x﹣4＝0，然后用因式分解法解方程即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4×4＝k2+16，
∵k2≥0，
∴Δ＝k2+16＞0，
∴方程总有两个不相等实数根；
（2）解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，
解得k＝3，
原方程为x2+3x﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣4
所以方程的另一个根是﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2ax+a＝0的两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围：
（2）若（x1+1）（x2+1）是正整数，求实数a的整数值．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的情况可得Δ＝4a2﹣4（a﹣2）a＞0，且a﹣2≠0，进一步即可确定a的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，从而可得（x1+1）（x2+1），根据（x1+1）（x2+1）是正整数，可得a﹣2＝﹣1或a﹣2＝﹣2，即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2ax+a＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝4a2﹣4（a﹣2）a＞0，且a﹣2≠0，
解得a＞0且a≠2；
（2）∵x1+x2，x1x2，
∴（x1+1）（x2+1）1，
∵（x1+1）（x2+1）是正整数，
∴a﹣2＝﹣1或a﹣2＝﹣2，
解得a＝1或a＝0（舍去），
∴a＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
类型二 解决存在性问题
方法技巧：
根据方程根的情况确定参数的取值范围：由方程根的情况确定根的判别式与0的大小关系，列出关于参数的不等式求解；
根据根与系数的关系解决参数的存在性问题:根据根与系数的关系得到关于x1＋x2，x1x2的等式，再根据题意求解即可.求出字母的取值范围后，要注意二次项系数不能为0且该一元二次方程有实数根.
【母题练方法】5．已知关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0，
（1）若方程有实数根，求a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝3，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据方程有实数根，分为两种情况：a＝5和a≠5，利用△≥0，即可得到答案；
（2）根据题意分别得到x1+x2和x1x2的值，进而代入x1+x2+x1x2＝3中建立关于a的方程，求得a的值并检验即可得到答案．
【解答】解：（1）当a＝5时，方程为﹣4x﹣1＝0，方程有实数根；
当a≠5时，方程为一元二次方程，
Δ＝16+4（a﹣5）＝4a﹣4≥0，
解得：a≥1．
所以a的取值范围是：a≥1．
（2）根据题意得：
x1+x2，x1x2，
因为x1+x2+x1x2＝3，
所以3，
解这个方程得：a＝6．
经检验：a＝6是方程的解，
又因为a≥1，
所以存在实数a，使方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝3，此时a＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
【子题练变式】6．关于x的方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根，由此可得判别式是正数，这样即可得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）设方程kx2+（k+2）x0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系式得：x1+x2，x1 x2，又因为，然后把前面的等式代入其中即可求得k，然后利用（1）即可判断结果．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（k+2）2﹣4k 0且k≠0，
∴k2+4k+4﹣k2＞0，且k≠0，
∴k＞﹣1且k≠0，
即k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
（2）不存在．理由如下：
∵关于x的方程kx2+（k+2）x0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2，x1 x2，
假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且0，
∴0，
∴k+2＝0，
∴k＝﹣2，
而k＝﹣2与方程有两个不相等实数根的条件k＞﹣1且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．
【点评】本题考查了一元二次方程的根及其一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
类型三 解决几何问题
方法技巧：利用根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2，再利用方程根的判别式结合几何图形的性质解决相关问题.
【母题练方法】7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【思路点拨】（1）利用根与系数的关系可得代入整理，得出关于m的一元二次方程，解方程可得结果；
（2）利用分类讨论思想可得①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个相等的实数根，根据判别式＝0求解，利用三角形的三边关系可得结果；
②当7为腰时，代入数据方程，得出方程的根，利用等腰三角形的性质和三边关系可得周长．
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
∴m＝﹣4或m＝6，
当m＝﹣4时，原方程无解，故舍去，
∴m＝6；
（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，
∴m＝2，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴x1＝x2＝3，
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形．
②当7为腰时，设x1＝7，
代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
解得：m＝10或4，
当m＝10时，方程变为x2﹣22x+105＝0，
∴x＝7或15，
∵7+7＜15，
∴不能组成三角形．
当m＝4时，方程变为x2﹣10x+21＝0，
∴x＝3或7，
此时三角形的周长为7+7+3＝17．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【子题练变式】8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．
（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；
（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k；
（2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．
【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，
4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，
4k﹣8＝0，
k＝2，
（2）不存在，理由如下：
∵该方程的两解是菱形的两对角线长，
∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，
设菱形的两对角线长a，b．
∵菱形的两对角线互相垂直平分，
∴由勾股定理得，4，
4，
b2+a2＝16，
∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，
（a+b）2﹣2ab＝16，
[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，
解得k，
∵Δ＝4k﹣8，
∴4k﹣8≥0．
∴k≥2，
∵k2，
∴不存在满足条件的常数k．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点．中小学教育资源及组卷应用平台
专题三 根的判别式和根与系数的关系的综合应用
类型一 求方程中字母的值
方法技巧：先计算出x1＋x2和x1x2的值，再将所给的代数式变形为用x1＋x2和x1x2表示的式子，然后将x1＋x2和x1x2的值代入变形后的式子求出字母的值或取值范围.
【母题练方法】1．若关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是 ．
【子题练变式】2．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，则k的范围为 ．
（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且，则k＝ ．
3．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2ax+a＝0的两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围：
（2）若（x1+1）（x2+1）是正整数，求实数a的整数值．
类型二 解决存在性问题
方法技巧：
根据方程根的情况确定参数的取值范围：由方程根的情况确定根的判别式与0的大小关系，列出关于参数的不等式求解；
根据根与系数的关系解决参数的存在性问题:根据根与系数的关系得到关于x1＋x2，x1x2的等式，再根据题意求解即可.求出字母的取值范围后，要注意二次项系数不能为0且该一元二次方程有实数根.
【母题练方法】5．已知关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0，
（1）若方程有实数根，求a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝3，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【子题练变式】6．关于x的方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
类型三 解决几何问题
方法技巧：利用根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2，再利用方程根的判别式结合几何图形的性质解决相关问题.
【母题练方法】7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【子题练变式】8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．
（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；
（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
