上海市徐汇区上海中学2024-2025学年高一数学分班考试试卷（含解析）

上海市徐汇区上海中学2024-2025学年高一数学分班考试试卷
一、填空题
1.不等式 的解集为 .
2. 已知x∈R, 则“(x-2)(x-3)≤0成立"是"|x-2|+|x-3|=1成立"的 条件.
3.已知p：-3≤x≤1，q：x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
4. 已知集合A ={x|x-2<0}, B={x|x≥a},且A∪B=R, 则实数a的取值范围是 .
5.如图是对数函数 的图像，已知a取 则相应于 的a 值依次为 .
6.函数 的单调递减区间是 .
7.如图为三个幂函数 在其定义域上的局部图像，则实数a ，a ，a 从小到大的排列顺序为 .(请用“<”连接)
8.已知 则 (用含a，b的式子表示)
9.已知 则f(2025)= .
10. 对任意 x,y∈[0, +∞), 且x≠y, 不等式| |恒成立，则实数c的取值范围为 .
11. 已知1≤a≤b≤2,记 的最大值为M，最小值为m，则
12.已知函数 的值域为(-∞，3 ]，则实数a的取值范围是 .
二、单选题
13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是 ()
A. y=|x|与 B. y =x与y= 2log xC. y=-x与y=(3-x) D. y=x与
14.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系： 现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为()年. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
15. 数集A={x|x=2k-1, k∈Z}, B={x|x=2k, k∈Z}, C={x|x=4k-1, k∈Z}, 若a∈A, b∈B,
则a+b∈( ) A. A B. B C. C D. A, B, C都有可能成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 10 页
16. 已知a>0, b>0, 且a+b=1, 有下列不等式:①a +b ≥ , ②2 > , ③log a+log b≥-2, 其中成立的不等式的个数有() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、解答题
17.(1) 已知 用a、b 表示log 52; (2) 已知 求 的值.
18.设集合|存在正实数β, 使得定义域内任意x都有 f(x+β)>f(x)}.
(1) 若 证明: f(x) M ; (2)若 且 求实数a的取值范围；
(3)若 且h(x)∈M , 求函数y=h(x)的最小值.
19. 若
(1) 当 时，求A∩B；(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围.
20.已知幂函数 的图像关于点(0，0)对称.
(1) 求该幂函数f(x)的解析式; (2) 设函数 g(x)= |f(x)|, 在如图的坐标系中作出函数g(x)的图象；(提示：列表、描点、连线作图)成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 2 页 共 10 页
21.在自由声场(开阔空间)条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为r(单位：m)处，声音强度的衰减量 (单位：dB)；若在位置M的声源的强度为P(单位：dB)，与声源距离为r(单位：m)的位置N 的声音强度为P'(单位:dB),则
(1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪A和B，它们的读数相差多少分贝 (结果精确到1dB)
(2)已知某单一声源O、两个声音探测仪C与D，依次在同一条直线上，C与D间的距离为400m.假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪C的距离(结果精确到1m)以及声源处的声音强度(结果精确到1dB).参考数据：
22.已知定义在 R 上的函数
(1) 当m = 1时, 求f(x)的值域; (2)若函数f(x)在( 上单调递增，求实数m的取值范围；
(3)若函数y = g(x)的定义域内存在 使得 成立，则称g(x)为局部对称函数，其中(a，b)为函数g(x)的局部对称点.若(1，0)是f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 3 页 共 10 页
23.设A 是集合 的一个 元子集 (即由k个元素组成的集合)，且A的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合P的包含集合A的任意k + 1元子集 B，则存在B的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.(1)当n = 6时，试写出一个三元子集A；(2)当n = 1 6时，证明：
24.设在二维平面上有两个点 它们之间的距离有一个新的定义为 这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.在初中时我们学过的两点之间的距离公式是 这样的距离称为欧几里得距离(简称欧氏距离)或直线距离.
(1)已知A，B两个点的坐标为A(2x，1)，B(3，2)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x的取值范围是多少 (2)已知A，B两个点的坐标为A(x，a)，B(3，x)，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少
(3) 若点 A(x, y)在函数 图象上且 点 B 的坐标为(9,1),求D(A,B)的最小值并说明理由.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 4 页 共 10 页
上海新高一数学分班考解析
1. [-3, 2)【详解】∵ 即 则(x+3)(x-2)≤0且x-2≠0, 解得-3≤x<2,∴不等式的解集为[-3, 2).故答案为: [-3, 2).
2. 充要【详解】充分性: 若(x-2)(x-3)≤0, 则2≤x≤3,∴|x-2|+|x-3|=x-2+3-x=1,必要性: 若|x-2|+|x-3|=1, 又∵|(x-2)-(x-3)|=1,∴|x-2|+|x-3|=|(x-2)-(x-3)|,由绝对值的性质: 若ab≤0, 则|a|+|b|=|a-b|, ∴(x-2)(x-3)≤0,
所以“(x-2)(x-3)≤0成立”是“|x-2|+|x-3|= 1 成立”的充要条件.故答案为: 充要.
3.[1，+∞)【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.
【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，所以[-3，1]是(-∞，a]的一个真子集，则a≥1, 即实数a的取值范围是[1, +∞).故答案为: [1,+∞).
4. (-∞, 2]【详解】A={x|x-2<0}={x|x<2}, 又A∪B=R, 所以a≤2, 故答案为: (-∞, 2].
分析】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答.
【详解】C ，C 的底数都大于1，当x>1时底数大的图低(第一象限内)，所以C ，C 对应的a值分别为 C ，C 的底数都大于0小于1，当x>1时底数大的图低(第四象限内)，所以C ，C 对应的a值分别为 综合以上分析，可得C ，C ，C ，C 对应的a值依次为 .故答案为：
分析】根据复合函数单调性求得正确答案.【详解】】令 解得-3分析】利用幂函数的性质判断a ，a ，a 的大小即可得解.【详解】对于 由其图象可知 例如 对于y=x ,由其图象可知 例如 对于 由其图象可知知 例如 所以 故答案为：
分析】根据指数与对数的关系得到 ，再由换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】因为 所以 又 所以 故答案为：
9. e 【详解】f(2025)=f(2021)=f(2017)=…=f(1)=e + =e . i故答案为：e .
分析】借助换元法，令 则原不等式可化为[ 化简可得m+n>1，又m表示点( 到(0, 0)的距离, n表示点( 到(0, 0)的距离, 即直线 上任意两不同点到原点的距离之和大于1，结合x≠y，m≠n，数形结合即可得解.【详解】 恒成立， 恒成立，令 n≥0且1 且c≥0恒成立， 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 5 页 共 10 页
∴|m-n|<|(m-n)(m+n)|,∴|m+n|>1,∴m+n>1, 又m表示点( )到(0, 0)的距离,
n表示点( , √c)到(0, 0)的距离, 即直线 上任意两不同点到原点的距离之和大于1, 当m+n最小时, 即m=n且 此时 又x≠y, m≠n, ∴c可取 故实数c的取值范围为 .故答案为：
11.13【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解.
【详解】由.a≤b,故 当且仅当 时，等号成立，即 由1≤a≤b≤2,故 则 故 故答案为：13.
12.[1，2)【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，跟值域对比求实数a的取值范围.【详解】因为 , f(x)值域为(-∞, 3 ],所以对于 时的函数值范围应包含(-∞，0]，若函数值含有正数则正数部分不超过3 ，根据图像可知a∈[1，2)，故答案为：[1，2).
13. C【详解】A选项, y=|x|的定义域为R, 的定义域为[0, +∞),所以不是相同函数；B选项，y=x的定义域为R， 的定义域为( 所以不是相同函数；
C选项， 两个函数定义域、值域、对应关系相同，是相同函数；D选项，y=x的定义域为R， 的定义域为{x|x≠0}，所以不是相同函数.故选：C.
14. A【分析】表示出平均利润 ，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.【详解】平均利润为为 当且仅当 即t=7 时取最大值.故选:A.
15. A【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.
【详解】由题意可知：集合A 为奇数集，集合B为偶数集，即a为奇数，b为偶数，则a+b为奇数，所以BD错误，A正确; 例如a=1,b=0, 令a+b=4k-1, 即1=4k-1, 解得 Z,所以a+b C, 故C错误; 故选: A.16. C【分析】对于①, 根据a 结合a+b=1即可判断; 对于②,根据a>0, b>0,且a+b=1,可得a-b>-1，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求( 的最值, 从而得出结果.【详解】①因为a>0, b>0, 且a+b=1, 所以 当且仅当 时等号成立，所以 即 ①正确；
②因为a>0,b>0,a+b=1, 所以a-b=a-(1-a)=2a-1>-1,所以 ②正确；
当且仅当 时等号成立，所以③错误；
,所以 当且仅当 时等号成立，成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 6 页 共 10 页
④正确；所以有3个不等式成立.故选：C.
(2)23.【分析】(1)由指数与对数的互化可得出 再利用换底公式以及对数的运算性质可得出log 52 关于a、b的表达式；(2)将等式 两边平方，可得出 的值.
【详解】(1) 因为 则 b =log 4, 又因为log 7=a,则
(2) 因为 则 所以，
18.(1) 证明见解析;( 【分析】(1)利用集合 定义证明即可; (2)f(x+a)-f(x)>0, 化简, 通过判别式小于0, 求出a的范围即可. (3)由f(x+a)-f(x)>0, 推出 得到 对任意x∈[1,+∞)都成立,然后分离变量，通过当-1【详解】(1)设集合|存在正实数1,使得定义域内任意x都有f(x+1)>f(x)},!则
则 所以2x+1>0, 解得: 不满足对定义域内任意 x都有f(x+1)>f(x)},
∴f(x) M ; (2) 由
故a>1; (3) 由
即} 对任意x∈[1,+∞)都成立,
当-1h(t)=log t在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， )在[1,+∞)上单调递增,
当0在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在[1, +∞)单调递增,
当1在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知， 在[1, ,√k)上单调递减,
在 上单调递增，所以 综上：
19.(1) (1, ); (2)a≤1或a≥4.
【分析】(1)解不等式化简集合A，B，把 代入，再利用补集、交集的定义求解作答.
(2)由给定条件，可得A B，再利用集合包含关系列出不等式求解作答.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 7 页 共 10 页
【详解】(1)由 得 即有0<-x+a<2,解得a-22, 则| 当 时， 所以 (2) 由(1)知. 由x∈A是x∈B的充分条件, 得A B,则a≤1或a-2≥2, 解得a≤1或a≥4,所以实数a的取值范围是a≤1或a≥4.
20. (1) f(x)= (2)图象见解析.【分析】(1)根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解；
(2) 由 (1) 可得: 列表、描点、连线作图.
【详解】 (1) 因为f(x)为幂函数, 则 解得m=1或m=4, 若m= 1, 则 图象关于原点对称，符合题意；若m =4，则： 图象不关于原点对称，不符合题意；综上所述：
(2) 由(1)可得: 则g(x)的定义域为( 可得
x -3 -2 -1 1-2 1 2 3
y 1-3 1-2 1 2 3 1
则g(x)的图象为：
21.(1)8dB；(2)声源与探测仪C的距离为100m，声源处的声音强度为100dB.【分析】(1)根据所给公式即可代入求解；(2)根据 结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度.
【详解】(1)设 对应的声音强度分别为ΔL ，ΔL ，声音强度分别为P '，P ，所以] 贝 (2)设声源与探测仪C的距离为r，声源强度为 声音强度衰减量为ΔLc，则声源与探测仪D的距离为r+400，声源强度为 声音强度衰减量为ΔLD，所以] 所以 故 解得r≈100,所以I 故声源处的声音强度为 100dB.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 8 页 共 10 页
22. (1) [-1, +∞); (2) [ , +∞); (3)(0, 1].【分析】(1) 利用二次函数的性质求得f(x)的值域;
(2)利用换元法，对m进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m的取值范围；
(3)由f(1+x)+f(1-x)=0分离参数m，利用换元法，结合二次函数的性质求得m的取值范围.
【详解】(1)当m=1时, 由于2 >0,所以 当2 =1,x =0时等号成立, 所以f(x)的值域为[-1, +∞);
(2) 依题意, 函数f(x)在(1, +∞)上单调递增, f,当x>1时, 令t=2 >2,则 当m=0时, y=-2t+1, 在(2,+∞)上单调递减,即f(x)在(1，+∞)上单调递减，不符合题意；当m>0时，①的对称轴
要使f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则 在(2，+∞)上单调递增，所以 解得 当m<0时，①的对称轴 函数 的开口向下，在区间 上单调递减，不符合题意；综上所述，m的取值范围是
(3)根据局部对称函数的定义可知，f(1+x)+f(1-x)=0,
即 m·4 +4m·4 -2m-4·2 -4·2 +2=0, 令： 当且仅当2·2 =2·2 ,x =0时等号成立,
则s =4·4 +4·4 +1+2(4-2·2 -2·2 )=4·4 +4·4 +9-4·2 -4·2
=4 所以 则 函数 在区间[3，+∞)上单调递增，所以 所以 所以m的取值范围是(0，1].
23. (1) A={1, 2, 4}; (2) 证明见解析.
【分析】(1)根据新定义求解即可；(2)根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【详解】(1)当n=6时, P={1, 2, 3, 4, 5, 6}, 取A={1,2, 4}, 则B={1,2,3, 4}, {1, 2, 4,5},{1, 2, 4, 6}满足题意;
(2)当n=16时, P={1, 2,3, …, 16}, 假设若k≥7, 则A的非空子集有2 -1个, 而其中每个子集元素和不超过17k，但 必有两个子集的和相等，矛盾.假设若k=6，考虑A的一、二、三、四元子集，共有6+15+20+15=56个不同的子集, 其元素和都在区间[1, 57]内,
(因为任意一个这样的和≤16+15+14+13=58, 且由13+16=14+15知: 13, 14, 15,16不同时属于A).若1∈A, 则由1+15=16知, 15, 16不同时属于A, 由1+13 =14知, 13,14不同时属于A,由1+11=12知, 11, 12不同时属于A, 所以此时最大的和不大于16+14+12+10=52,而56>52, 则必有两个子集的和相等, 矛盾; 若2∈A.则由2+14=16知. 14, 16不同时属于A,成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 9 页 共 10 页
由2+13=15知, 13, 15不同时属于A, 由2+10=12知, 10, 12不同时属于A,
所以此时最大的和不大于16+15+12+9=52，而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若1和2 都不属于A，则最小的和不小于3.于是，其和都属于区间[3，57]，最多有55个不同的和.
而56>55，则必有两个子集的和相等，矛盾.综上所述，k≤5.
或a>5};(3)1,理由见解析.【分析】(1)根据曼哈顿距离的定义可得|2x-3|≤2，解绝对值不等式可得答案；(2)根据曼哈顿距离的定义可得|x-3|+|a-x|>2恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值|a-3|，解不等式即可求得答案；(3)根据曼哈顿距离的定义可得D(A，B)的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案.【详解】(1)因为A(2x，1)，B(3，2)，
故D(A, B)=|2x-3|+|1-2|=|2x-3|+1,由曼哈顿距离不大于3可得|2x-3|+1≤3, 即|2x-3|≤2,
则-2≤2x-3≤2, 解得 故x的取值范围是 (2) 因为A(x, a), B(3, x),
故D(A, B)=|x-3|+|a-x|, 由题意可得:|x-3|+|a-x|>2恒成立,
当且仅当(x-3)(a-x)≥0时等号成立,即|x-3|+|a-x|的最小值为|a-3|,∴|a-3|>2,则a-3<-2或a-3>2,
解得a<1或a>5, 故a的取值范围是{a|a<1或a>5};
(4) 点 A(x,y)在函数 图象上且x∈Z, 点 B 的坐标为(9, 1), 故
当x>9时, 函数
在(9，+∞)上单调递增，故 当3【总结】解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值.
成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 10 页 共 10 页