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北师大版2025—2026学年度九上期中综合检测卷数学试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2＝1 B．x1 C．x3﹣1＝0 D．x2﹣y﹣2＝0
2．（3分）小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD（如图1所示）．若AC的长度为a，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．a2 B． C．a D．4a
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
4．（3分）若m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣8 D．8
5．（3分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张 B．12张 C．6张 D．10张
6．（3分）如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大 B．变小
C．不变 D．先变大后变小
7．（3分）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人（未参与活动），邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．x2＝111 B．1+x2＝111
C．1+x+x2＝111 D．（1+x）2＝111
8．（3分）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽x m，若x满足方程x2﹣17x+16＝0，则修建的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0．且，则称这个方程为“限根方程”，如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，且，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”，关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0，嘉嘉说：当m时，该方程是“限根方程”；淇淇说：若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解，对于这两个说法正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对，淇淇说得不对
B．嘉嘉说得不对，淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇说得都对
D．嘉嘉和琪淇说得都不对
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为 ．
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥AB，交对角线BD于点E，若，则点E到BC的距离是 ．
13．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0无实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，先从中抽取一张放回后，再抽取一张，则两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为 ．
15．（4分）2018年10月24日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸．五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发4分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到6.5分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和y（千米）与小辉家出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸．
16．（4分）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形“．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，“筝形“EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且EF＝5，则对角线EG的长 ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得2x2+4x＝1①
二次项系数化为1，得②
配方，得，即③
由此可得④
所以，⑤
（1）整个解答过程是从 步开始出现错误的，错误的原因是 ；
（2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
18．（10分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
（1）若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是 ；
（2）若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果）
19．（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积．
20．（12分）嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26
班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息 青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克．
每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克．
解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？
问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？
21．（12分）若m，n为正实数，设k，若t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根．
（1）求证：（t+m）2＝m2+n2．
（2）若k，求的值．
（3）用含k的代数式表示．
22．（14分）操作发现：在正方形ABCD中，P是对角线AC和BD的交点，∠EPF＝90°，∠EPF的两边分别交直线AB，BC于点E，F．
（1）当点E，F分别在边AB，BC上时，如图1，求证：（AE+CF）＝AC
（2）当点EF分别在边BA，CB的延长线上时，如图2；当点E，F分别在边AB，BC的延长线上时，如图3，线段AE，CF，AC之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025—2026学年度九上期中综合检测卷数学试题
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C B C C D C A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2＝1 B．x1 C．x3﹣1＝0 D．x2﹣y﹣2＝0
【思路点拔】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、2x2＝1中未知数的次数是2，是一元二次方程，符合题意；
B、x1中含有分式，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x3﹣1＝0是一元三次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、x2﹣y﹣2＝0含有两个未知数，是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（3分）小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD（如图1所示）．若AC的长度为a，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．a2 B． C．a D．4a
【思路点拔】根据菱形的性质得出AB＝BC，进而利用等边三角形的判定和性质得出AB＝AC，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，
∴菱形ABCD是周长＝4AB＝4a，
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四条边相等解答．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
【思路点拔】根据矩形、菱形、正方形的判定定理和相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意；
B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
C、两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
4．（3分）若m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣8 D．8
【思路点拔】利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣2，mn＝﹣5，再将其代入2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴m+n2，mn5，
∴2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）＝2×（﹣5）﹣（﹣2）＝﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
5．（3分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．18张 B．12张 C．6张 D．10张
【思路点拔】根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得：
0.6，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（3分）如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大 B．变小
C．不变 D．先变大后变小
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，AB＝3，
∴OM是Rt△AOB的中线，
∴，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．（3分）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人（未参与活动），邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．x2＝111 B．1+x2＝111
C．1+x+x2＝111 D．（1+x）2＝111
【思路点拔】根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【解答】解：设参与该活动后规定“@”x人，则第一轮“@”x人，第一轮“@”x2人，
由题意得：1+x+x2＝111，
故选：C．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
8．（3分）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽x m，若x满足方程x2﹣17x+16＝0，则修建的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】利用因式分解法解一元二次方程可求出x的值，结合矩形场地的长与宽可得出x＝1，再分别求出各选项中种植草坪部分的总面积，将其与112m2比较后即可得出结论．
【解答】解：∵x2﹣17x+16＝0，即（x﹣1）（x﹣16）＝0，
∴x1＝1，x2＝16．
又∵矩形场地ABCD的长为16m，宽为9m，
∴x＝1．
A．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1）×（9﹣1×2）＝105（m2），
∵105≠112，
∴选项A不符合题意；
B．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×3）×（9﹣1）＝104（m2），
∵104≠112，
∴选项B不符合题意；
C．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×2）×（9﹣1）＝112（m2），
∵112＝112，
∴选项C符合题意；
D．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×2）×（9﹣1×2）＝98（m2），
∵98≠112，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，分别求出各选项中种植草坪部分的总面积是解题的关键．
10．（3分）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0．且，则称这个方程为“限根方程”，如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，且，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”，关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0，嘉嘉说：当m时，该方程是“限根方程”；淇淇说：若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解，对于这两个说法正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对，淇淇说得不对
B．嘉嘉说得不对，淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇说得都对
D．嘉嘉和琪淇说得都不对
【思路点拔】把m代入所给方程，求得相应的解，即可判断这个方程是否为“限根方程”，可得到嘉嘉的说法是否正确；进而解关于x的方程，根据新定义得到m的取值范围，看是否存在合适的m的整数解即可判断淇淇的说法是否正确．
【解答】解：①当m时，原方程为：x2x0，
（x+1）（x）＝0，
∵x1＜x2＜0，
∴x1＝﹣1，x2，
∴，
∵34，
∴当m时，该方程是“限根方程”，嘉嘉说得对；
②x2+（1﹣m）x﹣m＝0，
（x+1）（x﹣m）＝0，
∴x＝﹣1或x＝m，
Ⅰ、﹣1＜m＜0，
∴34，
解得：m，
∴m无整数解；
Ⅱ、m＜﹣1＜0，
∴34，
解得：﹣4＜m＜﹣3，
∴m无整数解；
∴淇淇说得不对．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程中新定义的应用．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为 （2，4） ．
【思路点拔】先根据题意得到OA＝4，OC＝2，再由矩形的性质可得AB＝OC＝2，∠ABC＝90°，由旋转的性质可得OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，∠OA′B′＝90°，据此可得答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，∠OA′B′＝90°，
∴A′B′⊥y轴，
∴点B′的坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥AB，交对角线BD于点E，若，则点E到BC的距离是 2 ．
【思路点拔】由四边形ABCD是菱形，得到BD平分∠ABC，因此E到AB，BC的距离相等，又E到AB的距离是2，得到E到BC的距离是2．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴E到AB，BC的距离相等，
∵AE⊥AB，AE＝2，
∴E到AB的距离是2，
∴E到BC的距离是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查菱形的性质，角平分线的性质，关键是由菱形的性质得到BD平分∠ABC，由角平分线的性质即可解决问题．
13．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0无实数根，则m的取值范围是 m＞2 ．
【思路点拔】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＜0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＜0，
解得m＞2．
故答案为m＞2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（4分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，先从中抽取一张放回后，再抽取一张，则两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为 ．
【思路点拔】画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：将这4张卡片分别记为A，B，C，D，
则正面图案是轴对称图形的卡片有：C，D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的结果有4种，
∴两次抽取的卡片中正面图案两张都是轴对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）2018年10月24日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸．五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发4分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到6.5分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和y（千米）与小辉家出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 42 分钟到达澳门口岸．
【思路点拔】先根据已知图中路程中32千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为32千米，即香港口岸距西人工岛的路程16千米，AC＝16千米，设穿梭巴士的速度为m千米/分，跨境出租车的速度为n千米/分，BC＝s千米，分别根据时间相等列方程可解决问题．
【解答】解：如图1，
由题意得：2AC＝32，
AC＝16，
设穿梭巴士的速度为m千米/分，跨境出租车的速度为n千米/分，
当y＝0时，两家同时到达西人工岛，则，解得：，
设BC＝s千米，则s+s﹣6.5m＝45.5，
s，
∴，即，
解得：，
∴，
m2﹣m＝0，
m（m﹣1）＝0，
m1＝0（舍），m2＝1，
∴s26，
∴穿梭巴士的时间42，
答：穿梭巴士出发42分钟到达澳门口岸．
故答案为：42．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本小题的y轴表示两车距人工岛的路程和，容易被忽略，本小题较难．
16．（4分）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形“．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，“筝形“EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且EF＝5，则对角线EG的长 7或 ．
【思路点拔】分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可．
【解答】解：如图1，EF＝EH，GH＝GF，
∵E是AB的中点，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝7，
在Rt△AEH和Rt△BEF中，
，
∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），
∴AH＝BF，
∴AD﹣AH＝BC﹣BF，
即DH＝CF，
在Rt△DGH和Rt△CGF中，
，
∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），
∴DG＝CG，
∴G是CD的中点，
∴四边形AEGD是矩形，
∴EG＝AD＝7；
如图2，FE＝FG，HE＝HG，
过点G作GM⊥AB于点M，
∴∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BMGC是矩形，
∴BM＝CG，
∵点E是AB的中点，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，GM＝BC＝7，
在Rt△BEF中，BE＝3，EF＝5，
由勾股定理得BF4，
∴CF＝BC﹣BF＝7﹣4＝3，
在Rt△CFG中，CF＝3，GF＝EF＝5，
由勾股定理得CG4，
∴BM＝CG＝4，
∴ME＝BM﹣BE＝4﹣3＝1，
在Rt△GME中，GM＝7，ME＝1，
由勾股定理得EG5，
综上所述：EG的长为7或，
故答案为：7或．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，“筝形”的定义，读懂题意，理解“筝形”的定义是解题的关键，注意分类思想的运用．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得2x2+4x＝1①
二次项系数化为1，得②
配方，得，即③
由此可得④
所以，⑤
（1）整个解答过程是从 ③ 步开始出现错误的，错误的原因是 等号右边没有加上1 ；
（2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
【思路点拔】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解；
【解答】解：（1）移项，得2x2+4x＝1，
二次项系数化为1，得，
配方，得，即，
由此可得：，
所以，，
由上可知，整个解答过程是从③步开始出现错误的，错误的原因是等号右边没有加上1，
故答案为：③，等号右边没有加上1；
（2）∴2x2﹣4x＝3，则，
∴，即，
∴，
∴，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18．（10分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
（1）若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是 ；
（2）若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果）
【思路点拔】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到《西游记》的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及其中有一本是《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到《西游记》的结果有1种，
∴抽到《西游记》的概率为．
故答案为：．
（2）把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有：（A，D），（B，D），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C），共6种，
∴其中有一本是《西游记》的概率是．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝2，∠ABC＝120°，求菱形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）先证明四边形DOCE为平行四边形，再根据菱形的性质得到∠DOC＝90°，然后根据矩形的判定可证得结论；
（2）根据矩形的对角线相等求得CD＝2，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线AC，BD的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【解答】（1）证明：∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∵EF＝OF，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：∵四边形DOCE是矩形，OE＝2，
∴CD＝OE＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，
∴，
∴∠BCO＝90°﹣∠CBO＝30°，
∴，，
∴，BD＝2OB＝2，
∴四边形ABCD的面积为．
【点评】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．
20．（12分）嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26
班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息 青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克．
每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克．
解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？
问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？
【思路点拔】问题1：设售价为x元/千克，，计算得x＝3.5即可得；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，，计算得x1＝3，x2＝4，即可得．
【解答】解：问题1：设售价为x元/千克，
，
，
，
5x﹣12.5＝2，
5x＝14.5，
x＝2.9，
则获利：（2.9﹣2）×105＝94.5（元），
答：某天超市正好销售105千克的青菜，则获利94.5元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，
，
（x﹣2）（250﹣50x）＝100，
50x2﹣350x+600＝100，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x1＝3，x2＝4，
∵帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠，
∴青菜的售价为3元/千克，
答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
21．（12分）若m，n为正实数，设k，若t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根．
（1）求证：（t+m）2＝m2+n2．
（2）若k，求的值．
（3）用含k的代数式表示．
【思路点拔】（1）解关于x的方程x2+2mx＝n2：得到（x+m）2＝m2+n2，由t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，得到（t+m）2＝m2+n2；
（2）根据已知条件得到mn，解方程t2+nt﹣n2＝0，即可得到结论；
（3）由k，得到m＝kn，解方程t2+2knt﹣n2＝0，解得t＝﹣kn+n（负值舍去），即可得到结论．
【解答】（1）证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：
得x2+2mx+m2＝m2+n2，
∴（x+m）2＝m2+n2，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，
∴（t+m）2＝m2+n2；
（2）解：∵k，
∴mn，
∴x2+nx﹣n2＝0，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根，
∴t2+nt﹣n2＝0，
解得tn（负值舍去），
∴的值为；
（3）解：∵k，
∴m＝kn，
∴x2+2knx﹣n2＝0，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根，
∴t2+2knt﹣n2＝0，
解得t＝﹣kn+n（负值舍去），
∴k．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，正确地理解一元二次方程的解是解题的关键．
22．（14分）操作发现：在正方形ABCD中，P是对角线AC和BD的交点，∠EPF＝90°，∠EPF的两边分别交直线AB，BC于点E，F．
（1）当点E，F分别在边AB，BC上时，如图1，求证：（AE+CF）＝AC
（2）当点EF分别在边BA，CB的延长线上时，如图2；当点E，F分别在边AB，BC的延长线上时，如图3，线段AE，CF，AC之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【思路点拔】（1）根据正方形的性质可以得到AP＝BP，∠PAE＝∠PBF，∠APB＝90°，再根据同角的余角相等得到∠APE＝∠BPF，即有△APE≌△BPF，则得 AE＝BF，再由正方形的性质可知得到结论；
（2）由（1）可知 AE＝BF，，根据图形位置可以得到结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AP＝BP，∠PAE＝∠PBF，∠APB＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠APB＝∠EPF，
∴∠APE＝∠BPF，
∴△APE≌△BPF（ASA），
∴AE＝BF，
在正方形ABCD中，，
∴，即，
（2）解：图②猜想：；图③猜想：，
理由为：在正方形ABCD中，AP＝BP，∠PAE＝∠PBF，∠APB＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠APB＝∠EPF，
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠E＝∠F，
∴△APE≌△BPF（AAS），
∴AE＝BF，
在正方形ABCD中，，
∴图②猜想：；图③猜想：．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
