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第四章《图形的相似》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面几对图形中，相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．1cm，2cm，3cm，2cm D．3cm，2cm，6cm，3cm
3．（3分）若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．1
4．（3分）如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝5m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝8m，DE＝4m，则AB＝（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
5．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A． B． C． D．
6．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4）
8．（3分）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，AE、BD交于点O．若S△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（ ）
A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：2
10．（3分）如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s
C．4.5s D．4.5s或4.8s
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知线段a＝4，b＝9，若线段c是a、b的比例中项，则c＝ ．
12．（4分）为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为 cm．
13．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝4：5，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为 ．
14．（4分）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6m，则教学楼AB的高度为 ．
15．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．已知AB＝a，BC＝b，AE＝c，则AF的长为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ．（填写序号）
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
18．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A（2，6），B（6，2）．
（1）在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1；
（2）画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后的△A1B2C2．
19．（10分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，连接DE，已知∠1+∠B＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若的面积为15，求△ADE的面积．
20．（12分）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度PO这一任务．如图，赵玲在点B处竖立一根高3m的标杆AB，张羽测出地面上的点D、标杆上的点C和点P在一条直线上，利用皮尺测出BC＝2m，BD＝2.5m．张羽向后退，又测出地面上的点E、标杆顶点A和点P在一条直线上，利用皮尺测出EB＝3.9m．已知AB⊥OE，PO⊥OE，点E、D、B、O在同一水平线上，点C在AB上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度PO．
21．（12分）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE．
（1）求证：△CAE∽△BAD；
（2）若AC：BC＝1：2，求的值．
22．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G．
（1）问题探究：求证：DF2＝FG BF；
（2）迁移运用：当AE⊥DC时，求证：BD DF＝2AD DE．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《图形的相似》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C B B A B A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面几对图形中，相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据形状完全相同的两个图形叫做相似图形可得答案．
【解答】解：四个选项中只有C选项中的两个图形相似，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似图形，熟知形状完全相同的两个图形叫做相似图形是解题的关键．
2．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．1cm，2cm，3cm，2cm D．3cm，2cm，6cm，3cm
【思路点拔】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．由于2：3≠4：5，则2cm，3cm，4cm，5cm不成比例，所以A选项不符合题意；
B．由于2：3＝4：6，则2cm，3cm，4cm，6cm成比例，所以B选项符合题意；
C．由于1：2≠2：3，则1cm，2cm，3cm，2cm不成比例，所以C选项不符合题意；
D．由于2：3≠3：6，则3cm，2cm，6cm，3cm不成比例，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．（3分）若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【思路点拔】首先根据题意得到，然后代数求解即可．
【解答】解：∵，
∴3a＝5b，即，
∴
．
故选：A．
【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
4．（3分）如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝5m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝8m，DE＝4m，则AB＝（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【思路点拔】根据BE∥AD，得出△BCE∽△ADC，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可．
【解答】解：∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ADC，
∴，
∴，即，
解得AB＝5．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A． B． C． D．
【思路点拔】根据黄金分割的定义得到ABAC，把AC＝16代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），
∴ABAC，
∵AC＝16，
∴AB16＝88，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．
6．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拔】由相似三角形的判定，即可判断．
【解答】解：∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C，而∠DAE＝∠BAC，由两角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ACB，故①②符合题意；
③，两三角形两边对应成比例，但夹角∠AED和∠B不一定相等，△ADE与△ACB不一定相似，故③不符合题意；
④，而∠DAE＝∠CAB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ACB，过④符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
7．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4）
【思路点拔】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，若点M的坐标为（1，2），
∴点N的坐标为（1×2，2×2），即（2，4），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．（3分）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，再根据矩形的性质可得BG＝EF，∠BEF＝90°，从而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后证明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵BE＝2.5，BH＝0.5，
∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，
∵四边形BEFG是矩形，
∴BG＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠ABH＝∠FEH＝90°，
∵∠AHB＝∠EHF，
∴△ABH∽△FEH，
∴，
∴，
∴EF＝4，
∴BG＝EF＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，AE、BD交于点O．若S△DOE：S△BOA＝4：9，则CE：AD等于（ ）
A．4：9 B．1：3 C．2：3 D．3：2
【思路点拔】先根据菱形的性质及相似三角形的判定定理得出△DOE∽△BOA，再根据S△DOE：S△BOA＝4：9即可得出相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：BA的值，由AB＝AD＝CD＝BC即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠EAB＝∠DEA，∠AOB＝∠EOD，∠EDB＝∠ABD，
∴△DOE∽△BOA，
∵S△DOE：S△BOA＝4：9，
∴DE：BA＝2：3，
∴CE：AD＝1：3，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（3分）如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s
C．4.5s D．4.5s或4.8s
【思路点拔】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A．
【点评】本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知线段a＝4，b＝9，若线段c是a、b的比例中项，则c＝ 6 ．
【思路点拔】根据线段比例中项平方等于两线段的积．
【解答】解：∵a＝4，b＝9，线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝4×9，
解得：c＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查线段的比例线段，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（4分）为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm长的箭头AB在暗盒中所成像CD的长为 cm．
【思路点拔】正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABO∽△CDO，结合相似三角形的性质，利用AB的值求出DC．
【解答】解：由题意可得：AB∥DC，
则△ABO∽△CDO，
故，
解得：DC（cm）．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．
13．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝4：5，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为 81 ．
【思路点拔】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝4：5，
∴OA：OD＝4：9，
∴S△ABC：S△DEF＝16：81，
∵S△ABC＝16，
∴S△DEF＝81，
故答案为：81．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
14．（4分）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21m，当他与镜子的距离CE＝2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6m，则教学楼AB的高度为 13.44m ．
【思路点拔】先根据题意得出△BAE∽△DCE，再由相似三角形的对应边成比例计算即可．
【解答】解：依据题意，得∠DEF＝∠BEF，
∵∠DEF+∠DEC＝90°，∠BEF+∠BEA＝90°，
∴∠DEC＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE，
∴，
即，
∴AB＝13.44m，
∴教学楼AB的高度为13.44m．
故答案为：13.44m．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据题意得出△BAE∽△DCE，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．
15．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．已知AB＝a，BC＝b，AE＝c，则AF的长为 ．
【思路点拔】作OH∥AB交AD于点H，由平行四边形的性质得，AD＝BC＝b，OD＝OB，则1，所以DH＝AHb，则HOABa，可证明△HOF∽△AEF，得，则AFAH，于是得到问题的答案．
【解答】解：作OH∥AB交AD于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝a，BC＝b，AE＝c，
∴AD＝BC＝b，OD＝OB，
∴1，
∴DH＝AHADb，
∴HOABa，
∵HO∥AE，
∴△HOF∽△AEF，
∴，
∴AFAHb，
故答案为：．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【思路点拔】设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，由正方形的性质得∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，则DE＝EC＝2m，可证明2，则△ADE∽△ECF，可判断①正确；所以2，∠DAE＝∠CEF，则，∠D＝∠AEF＝90°，所以△DAE∽△EAF，则∠DAE＝∠EAF，可判断②正确；由，得AE2＝AD AF，可判断③正确；再求得AE＝2m，EFm，则S△AEFAE EF＝5m2，而S△ECFCF EC＝m2，所以S△AEF＝5S△ECF，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝ECCD＝2m，
∵2，2，
∴，
∴△ADE∽△ECF，
故①正确；
∴2，∠DAE＝∠CEF，
∴，∠AED+∠CEF＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AED+∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△DAE∽△EAF，
∴∠DAE＝∠EAF，，
故②正确；
∴AE2＝AD AF，
故③正确；
∵AE2m，EFm，
∴S△AEFAE EF2mm＝5m2，
∵S△ECFCF ECm×2m＝m2，
∴S△AEF＝5S△ECF，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明△ADE∽△ECF是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【思路点拔】由平行四边形的性质得出∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．证出∠AFD＝∠C，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
18．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A（2，6），B（6，2）．
（1）在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1；
（2）画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后的△A1B2C2．
【思路点拔】（1）根据位似图形的性质，画出△A1B1C1即可；
（2）根据旋转的性质，画出△A1B2C2即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A1B2C2即为所求；
．
【点评】本题考查坐标与图形变换﹣位似和旋转，解答本题的关键是熟练掌握画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
19．（10分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，连接DE，已知∠1+∠B＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若的面积为15，求△ADE的面积．
【思路点拔】（1）由CD⊥AB于点D，可得出∠1+∠ADE＝90°，结合∠1+∠B＝90°，利用等角的余角相等，可得出∠ADE＝∠B，则利用相似三角形的判定定理可得出△ADE∽△ABC；
（2）利用相似三角形的得到和平行线的判定与性质得到，再利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求出△ADE的面积．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠1+∠ADE＝90°．
∵∠1+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B．
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：由（1）知：△ADE∽△ABC，
∴，
∵△CDE的面积为15，
∴S△CDE15＝10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
20．（12分）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度PO这一任务．如图，赵玲在点B处竖立一根高3m的标杆AB，张羽测出地面上的点D、标杆上的点C和点P在一条直线上，利用皮尺测出BC＝2m，BD＝2.5m．张羽向后退，又测出地面上的点E、标杆顶点A和点P在一条直线上，利用皮尺测出EB＝3.9m．已知AB⊥OE，PO⊥OE，点E、D、B、O在同一水平线上，点C在AB上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度PO．
【思路点拔】由题意可得∠ABE＝∠POE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：由题意可得∠ABE＝∠POE＝90°，
∵∠CDB＝∠PDO，∠E＝∠E，
∴△CBD∽△POD，△ABE∽△POE，
∴，，
∴，，
解得PO＝28．
答：凤凰雕塑顶端到地面的高度PO为28米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（12分）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE．
（1）求证：△CAE∽△BAD；
（2）若AC：BC＝1：2，求的值．
【思路点拔】（1）首先证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质证明，∠BAC＝∠DAE，进而可得∠CAE＝∠BAD，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明△CAE∽△BAD即可；
（2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵，
∴，
∴△CAE∽△BAD；
（2）解：∵AC：BC＝1：2，
∴BC＝2AC，
∵∠ACB＝90°，
∴，
由（1）可知，△CAE∽△BAD，
∴．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点D、C重合），AE交对角线BD于F，过点E作EG∥BC交BD于点G．
（1）问题探究：求证：DF2＝FG BF；
（2）迁移运用：当AE⊥DC时，求证：BD DF＝2AD DE．
【思路点拔】（1）利用菱形的性质，可得出ED∥AB，AD∥BC，进而可得出△EFD∽△AFB，利用相似三角形的性质，可得出，由EG∥BC，AD∥BC，可得出EG∥AD，进而可得出△EFG∽△AFD，利用相似三角形的性质，可得出，结合，可得出，变形后可得出DF2＝FG BF；
（2）连接AC交BD于点H，利用菱形的性质，可得出AC⊥BD，BD＝2DH，由AE⊥DC，可得出∠DEF＝∠DHC＝90°，结合∠FDE＝∠CDH，可证出△FDE∽△CDH，利用相似三角形的性质，可得出，变形后可得出DH DF＝DC DE，两边同时×2，可得出2DH DF＝2DC DE，再结合BD＝2DH且AD＝DC，即可证出BD DF＝2AD DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ED∥AB，AD∥BC，
∴△EFD∽△AFB，
∴．
∵EG∥BC，AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴△EFG∽△AFD，
∴，
∴，
∴DF2＝FG BF；
（2）连接AC交BD于点H，则AC⊥BD，DH＝BH，如图所示，
∴BD＝2DH，
∵AE⊥DC，
∴∠DEF＝∠DHC＝90°，
∵∠FDE＝∠CDH，
∴△FDE∽△CDH，
∴，
∴DH DF＝DC DE，
∴2DH DF＝2DC DE，
∵BD＝2DH，且AD＝DC，
∴BD DF＝2AD DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，找出及；（2）利用相似三角形的性质，找出．
