人教版2025年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 含解析

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人教版2025年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷
满分100分 时间80分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，5 B．2， C．，5 D．，
3．方程的解为（　　）
A． B． C． D．
4．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
5．把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ）
A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2
6．解方程的最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．分解因式法
7．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人
A．9 B．10 C．45 D．46
9．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（　　）
A． B．
C． D．
10．不论、为何实数，代数式的值（ ）
A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数
二、填空题（共15分）
11．关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
12．已知是一元二次方程的一个根，则此方程的另一根为 ．
13．解方程时，的值为 ．
14．规定：，如：，若，则＝ .
15．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）﹣12＝0，则x2+y2的值是 ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）解方程：
(1) (2)
17．（7分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若、是方程的两根，且，求的值．
18．（8分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
19．（8分）江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件．
(1)降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件；
(2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？
20．（8分）材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，．如材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．∵，∴．故或．因此原方程的解是，．
根据材料回答以下问题．
(1)二阶行列式＝ ；
(2)求解中的值．
21．（8分）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）
（2）．
22．（10分）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
(1)当 时，平分四边形的面积.
(2)当与四边形的某一边平行时，求的值.
(3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B D A B C A
1．D
【详解】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．故A.是二元一次方程；
B.是一元一次方程；
C.是一元一次方程；
D.x2=0符合要求．
故选D.
2．B
【分析】将化为一般形式进行判断即可．
【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式，
∴一次项系数、常数项分别是2，，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形．
3．D
【分析】首先将原方程移项，再提取公因式x，得到两个一次式的积为0，进而得到两个一次方程；然后再解这两个一次方程，即可求出一元二次方程的解．
【详解】解：，
，
. ，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴可以为：，
∴满足要求的方程为：，
故选：A．
5．B
【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，∴m=﹣1，n=．故选B．
6．D
【分析】根据解一元二次方程的方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：∵方程的两边都有因式3x-1，
∴把方程右边的2(3x-2)移到方程的左边，可以提公因式进行因式分解，
∴解方程的最适当的方法是分解因式法，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
7．A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
8．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可．
【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程：
，
整理得：
解得（舍去）
故选B．
9．C
【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为尺，宽为尺，
可列方程，，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．A
【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键．
对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围．
【详解】解：原式可分解为：
对部分配方：；
对部分配方：；
代入原式得：，
由于且，故，
因此原式的最小值为，
综上，代数式的值总不小于2．
故选：A．
11．
【分析】由一元二次方程的定义回答即可 ．
【详解】解：方程是一元二次方程，
且．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
12．/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即是一元二次方程的两个根，那么，先得出，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】设是一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．17
【分析】先把方程化为一般式，即可求解.
【详解】把方程化为,
故a=2,b=9,c=8,
=92-4×2×8=17，
故填：17.
【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知各项系数的求解.
14．1或-3
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
【详解】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：1或-3．
【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
15．
【分析】运用换元法设，则原式为，解方程即可．
【详解】解：设，
则原式为：，
整理为：，
解得：，，
∵x2+y2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法，运用换元法将原式整理为一元二次方程是解本题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：（x+2）（x+2 3）=0，
（x+2）（x 1）=0，
∴x+2=0或x 1=0，
∴，；
（2），
∵a=1，b= 3，c= 1，
∴△=，
∴x=，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解本题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得，
解得：；
（2）根据题意，得：，
∵，即
∴
解得：或
∵
∴舍去
当时，
∴的值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解．
18．羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
19．(1)70；80
(2)当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．
（1）根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可；
（2）设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：降价10元后，每件童装盈利是：（元），
每周销售量是：（件），
故答案为：70，80．
（2）解：设每件童装应降价元，
根据题意得：，（）
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每件童装应降价20元．
20．(1)11
(2)，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程、有理数的混合运算及整式的混合运算，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键．
（1）根据所给材料进行计算即可；
（2）根据所给材料建立关于的方程，并进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得：．
故答案为：．
（2）解：由得：，
整理，得：，
解得：，．
21．（1），；（2）， ，
【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解；
（2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解；
【详解】解：（1）设，则原方程可化为，
整理得，解得， ．
当时，即，
当时，无解．
原方程的解为，．
（2）设，则原方程可化为，
整理得，解得，．
当时，即，解得，
当时，即，解得．
综上所述，原方程的解为， ，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．
22．(1)
(2)或.
(3)存在为等腰三角形，值为或或.
【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案；
（2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
（2）当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或.
（3）如图，连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或.
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键.
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