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特殊平行四边形 单元知识巩固卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线相等的四边形是矩形
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
4．如图，为△的中位线，点在上，且；若，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
5．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
6．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24.
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
7．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）
A．60 B．48 C．24 D．96
9．如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE将 折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是（ ）.
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为 ．
13．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③S△APD+S△APB＝+；④S正方形ABCD＝4+．
其中正确结论的序号是 ．
14．王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图，图，图，
第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；
第二步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上．已知，，则的长是 ．
15．如图，有一个矩形纸片沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则的长为 ．
16．如图，四边形是边长为的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则的面积为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知线段和线段.
（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方.
（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积.
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．
求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是线段CD上的动点.
（1）如图1，若CF= CD，求证：ΔAEF是直角三角形；
（2）如图2，若点F与点D重合，点G在ED上，且AG=AD，求证： .
21．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE.
（1）求证：AE=CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论.
22．如图，矩形ABCO中，点C在 上，点A在 轴上，点B的坐标是（-6，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、 轴分别交于点D、F.
（1）求点F的坐标；
（2）若点N是平面内任意一点，在 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
23．如图，过线段AB的端点B作射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证： ≌ ；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）试探究AE+EF+AF与2AB是否相等，并说明理由．
24．如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图象（如图2所示）．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
25．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
（3）如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
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特殊平行四边形 单元知识巩固卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】C
【解析】【解答】解：点D、E、F分别是三边的中点∠BAC＝90°
∴DE为△ABC的中位线，AF为斜边BC的中线，
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可，从而得解.
4．如图，为△的中位线，点在上，且；若，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
5．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】D
6．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24.
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】【分析】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b，y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，
①∵阴影E的周长为8，
∴2(c+a+b-c)=8，
∴a+b=4，
即x=4，故①正确；
②∵阴影D的周长为6，
∴2(a+b-a)=6，
∴b=3，
∵a+b=4，
∴a=1，
∴正方形A的面积为1，故②正确；
③∵大长方形的面积为24，
∴xy=24，
∵x=4，
∴y=6，
∴b+c=6，
假设三个正方形周长的和为24，
则4a+4b+4c=24，
∴a+b+c=6，
∴a=0，不合题意，故③错误；
故答案为：B.
【点评】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b，y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，根据阴影E的周长为8可得a+b=4，据此判断①；根据阴影D的周长为6可得b=3，结合a+b=4可得a的值，据此判断②；由大长方形的面积为24以及x的值可得y的值，据此可得b+c，假设三个正方形周长的和为24，则a+b+c=6，据此判断③.
7．如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形.
故答案为：A.
【分析】菱形的判定定理： 四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）
A．60 B．48 C．24 D．96
【答案】D
9．如图，已知ABCD是长方形纸片， ，在CD上存在一点E，沿直线AE将 折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且 ，则 的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴ ，
∴BF=4，
∴AF= ，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据面积求出BF，根据勾股定理算出AF，根据折叠的性质得出AD，根据矩形的性质及线段的和差算出CF，设DE为x，在Rt△EFC中，利用勾股定理列方程求出即可.
10．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作于，于，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】如图，过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质可证得，得到，根据补角的定义可得，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理加以计算即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是 ．
【答案】3
12．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为 ．
【答案】72
13．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③S△APD+S△APB＝+；④S正方形ABCD＝4+．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
14．王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图，图，图，
第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；
第二步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上；第三步：将和分别沿，翻折，，重合于折痕上．已知，，则的长是 ．
【答案】
15．如图，有一个矩形纸片沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则的长为 ．
【答案】6
16．如图，四边形是边长为的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵是绕着点A顺时针旋转得到的，
∴，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，
∴，
，
∴的面积为，
故答案为：
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据正方形的性质得到，从而结合题意运用三角形的面积即可求解。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知线段和线段.
（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方.
（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积.
【答案】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求.
（2）解：如图所示，
∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
【解析】【分析】（1）①分别以点A、C为圆心，大于AC长度一半的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点O，该直线就是线段AC的垂直平分线；②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点O为圆心，OA的长度为半径画弧，两弧在AC的上方相交于点B，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点O为圆心，OA的长度为半径画弧，两弧在AC的下方相交于点D，连接AB、BC、AD、CD，四边形ABCD就是所求的矩形；
（2）根据矩形的性质得∠B=90°，根据勾股定理算出BC的长，进而根据矩形的面积等于长×宽计算即可.
18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明即可。
19．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．
求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ AE＝BF，
∴AB-AE=AB-BF，
即AF=BE，
在△BCE和△ADF中，，
∴△BCE≌△ADF（SSS），
（2）解：由（1）知△BCE≌△ADF
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形；
【解析】【分析】（1）运用平行四边形的性质结合全等三角形的判定和性质即可求出△BCE≌△ADF（SSS）
（2）由（1）可得∠A=∠B=90°，根据矩形的判定即可求解；
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是线段CD上的动点.
（1）如图1，若CF= CD，求证：ΔAEF是直角三角形；
（2）如图2，若点F与点D重合，点G在ED上，且AG=AD，求证： .
【答案】（1）解：设正方形ABCD的边长为a，则
∵
∴
∴△AEF是以E为直角顶点的直角三角形
（2）解：如图，过点A作AH⊥GD，垂足为H，
∵AG=AD
∴GH=HD
在Rt△AEH中：
在Rt△ADH中：
∴
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可；（2）过点A作AH⊥GD，垂足为H，因为AG=AD，所以GH=HD，根据勾股定理表示出AE2、AH2，代入即可得出结论.
21．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE.
（1）求证：AE=CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；
理由如下：
由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，
∵∠BAD=90°，E是BD的中点，
∴AE= BD=BE=DE，
∵AE=CE，
∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AFBE是正方形.
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出 AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，从而利用 SAS证明△ABE≌△CBE即可得到AE=CE；
（2）由折叠得出∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，若使四边形AFBE是正方形，则∠F=∠AEB=90°，即AE⊥BD，因此E为BD中点；由题中条件先得出四边形AFBE是菱形，再由AE⊥BD，即可得出结论.
22．如图，矩形ABCO中，点C在 上，点A在 轴上，点B的坐标是（-6，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、 轴分别交于点D、F.
（1）求点F的坐标；
（2）若点N是平面内任意一点，在 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ∵点B的坐标是（-6，8），
∴OC=AB=6，CB=8，
∴OB=，
由折叠的性质得∠ABD=∠EBD，
∵AB∥OC，
∴∠ABD=∠DFO，
∴∠EBD=∠DFO，
∴OF=OB=10，
∴点F的坐标为（10，0）；
（2）M（4，0）或（-4，0）或（-，0）.
【解析】【分析】（1）根据题意得OC=AB=6，CB=8，根据勾股定理求出OB的长，由折叠的性质及平行线的性质得出∠EBD=∠DFO，从而得出OF=OB=10，即可求出点F的坐标；
（2）由折叠的性质得出BE=AB=6，从而求出DE=4，分两种情况讨论：当OE为菱形的边时，OM=OE=4，即可求出点M的坐标为（4，0）或（-4，0）；当OE为菱形的对角线时，利用相似三角形的性质，求出 OM的长，即可求出点M的坐标.
23．如图，过线段AB的端点B作射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证： ≌ ；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）试探究AE+EF+AF与2AB是否相等，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∵PE＝PE，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）解：CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
令CF与线段AP交于点M，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
（3）解：过点C作CN⊥PB．
∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB，
即AE+EF+AF＝2AB．
【解析】【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，则∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．
24．如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图象（如图2所示）．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为
∴将，代入得，
∴解得
∴，
当时，即
解得
∵点E不与点A重合，
∴定义域为；
（2）解：当时，点E与点C重合，
∴
∴的面积为24；
由（1）可得，当，解得
∴
∵，四边形是矩形
∴，即
∴解得
∴．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 ， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 的面积为24，再求出BC=FC=6，最后利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
25．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长；
（2）点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
（3）如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
【答案】（1）解：过作于点，过点作于点，如图，
，，
．
，，，
四边形为矩形，
，，
．
．
（2）由题意得： ， ，
，．
①当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
②当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
综上，当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或．
答：当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或
（3）
【解析】【解答】
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
，，
，，
，
同理可求．
由题意得：，，
设 ，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
．
，
，
．
长度为．
故答案为：．
【分析】
（1）过作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得AH=BHAB，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形AHMD是矩形，在直角三角形CDM中，用勾股定理即可求解；
（2）利用的代数式表示出相等，，，的长度，由题意，可分两种情况，①当PQ∥AB时，②当PQ∥CD时，根据平行四边形的对边相等的性质可列关于的方程，解方程即可求解；
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，设，利用等腰直角三角形的性质和折叠的性质表示出线段，，的长度，再用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求解．
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