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一元二次方程 单元综合提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”，该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份全县接待游客42万人次，7月份接待游客人数达到133.91万人次．设这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4
3． 已知x=1是一元二次方程 的一个根，则m 的值为( )
A．- 1或2 B．- 1 C．2 D．0
4．从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． ，且
C． ，且 D．
6． 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 a 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
7． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
8．某品牌服装平均每天可以售出20件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价4元，平均每天就可以多售出8件，如果需要盈利1200元，那么每件降价多少元？设每件降价x元，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣x）（20+×8）＝1200 B．（40﹣x）（20+8x）＝1200
C．（40﹣x）（×8）＝1200 D．40×（20+×8）＝1200
9．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步行（宽比长少了一十二步）问阔（宽）及长各几步？设问阔（宽）为x步，则所列方程为 .
12．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
13．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为 .
14．已知关于x的一元二次方程 若方程的两个实数根为x1、x2，且( 则m的值为 .
15．九年级(3)班全体同学在圣诞节将自己的贺卡向本班其他同学各赠送一张，全班共互赠了1980张，若全班共有x名学生，则根据题意列出的方程是 。
16．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列出方程为： .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．新年平安，多“盔”有你． 在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶． 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． 设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是： ；
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
18．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
19．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6件，如果每天盈利1150元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
20．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
21．为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
22．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．
23．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，请根据排列规律完成下列问题：
（1）填写下表：
图形序号 菱形个数 个
3
7
（2）根据表中规律猜想，图n中菱形的个数 用含n的式子表示，不用说理 ；
（3）是否存在一个图形恰好由91个菱形组成？若存在，求出图形的序号；若不存在，说明理由.
24．已知抛物线．
（1）求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值．
25．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： ，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，
∴x1= ，x2= ，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
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一元二次方程 单元综合提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”，该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份全县接待游客42万人次，7月份接待游客人数达到133.91万人次．设这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：将x=2代入一元二次方程 x2+bx﹣b＝0 ，
可得：4+2b-b=0，
解得b=-4.
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念，x=2是一元二次方程 x2+bx﹣b＝0的解，所以x=2满足等式成立，可以将x=2代入到一元二次方程中，这时可得只含有b的一元一次方程，通过求解含b的一元一次方程，可以得出b=-4.
3． 已知x=1是一元二次方程 的一个根，则m 的值为( )
A．- 1或2 B．- 1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得m-2+4-m2=0，即，解得m=-1或m=2，
当m-2=2-2=0，m=2舍去，故m=-1.
故答案为：B.
【分析】将方程的根代入方程可得关于m的一元二次方程，求解方程并舍去不符合的结果即可.
4．从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． ，且
C． ，且 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，
解得k＜7且k≠3．
故答案为：B．
【分析】先求出k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，再计算求解即可。
6． 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 a 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出方程解此方程即可求解.
7． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
8．某品牌服装平均每天可以售出20件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价4元，平均每天就可以多售出8件，如果需要盈利1200元，那么每件降价多少元？设每件降价x元，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣x）（20+×8）＝1200 B．（40﹣x）（20+8x）＝1200
C．（40﹣x）（×8）＝1200 D．40×（20+×8）＝1200
【答案】A
【解析】【解答】由题意，平均每天可售出（20+×8）件，销售一件的利润为（40－x）元
则可得方程：（40﹣x）（20+×8）＝1200
故答案为：A
【分析】先求出平均每天可售出（20+×8）件，再求出销售一件的利润为（40－x）元，最后计算求解即可。
9．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．已知实数满是，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
即.
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式求出ab得取值范围，进而理由已知等式可得t，最后根据不等式的性质即可得解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步行（宽比长少了一十二步）问阔（宽）及长各几步？设问阔（宽）为x步，则所列方程为 .
【答案】x（x+12）=864
【解析】【解答】解：设宽为x步
∴x（x+12）=864
【分析】根据长乘宽=864，即可得到答案。
12．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为：
【分析】根据“当月参观人数=前一个月参观人数×（1+增长率）”列出方程即可。
13．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1·x2=k2-k，
∵，
∴(2k)2-2(k2-k)= 4，
2k2+2k-4=0，
k2+k-2=0，
k=-2或1，
∵Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1·x2=k2-k= 0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1·x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.
14．已知关于x的一元二次方程 若方程的两个实数根为x1、x2，且( 则m的值为 .
【答案】-2
【解析】【解答】解： 变形为
∵ x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=4，x1x2=m
∴就变形为m-4m+m2=10，整理得（m+2）（m-5）=0
解得m=-2或5.
当m=-2时，原一元二次方程为，有两个实数根；
当m=5时，原一元二次方程为，没有实数根；
∴m的值为-2.
【分析】本题先将变形，然后利用根与系数的关系进行替换，最后求出m有两个值。此时要将m的两个值分别代入一元二次方程中进行验证，最后即可得出m的值是-2.
15．九年级(3)班全体同学在圣诞节将自己的贺卡向本班其他同学各赠送一张，全班共互赠了1980张，若全班共有x名学生，则根据题意列出的方程是 。
【答案】x(x-1)=1980
【解析】【解答】解：∵全班共有x名同学
∴每名同学要送出贺卡（x-1）张
∵同学之间互赠贺卡
∴总共赠出的张数为x（x-1）=1980
【分析】全班共有x名同学，根据全班赠出的卡片的总数为1980，列出方程即可。
16．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列出方程为： .
【答案】 或
【解析】【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得
，
故答案为： 或 .
【分析】设有x家公司参加，根据“ 所有公司共签订了45份合同 ”列方程即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．新年平安，多“盔”有你． 在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶． 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． 设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是： ；
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
【答案】（1）
（2）20元
18．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
【答案】（1）解：每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120-x）（100+2x），
当x＝10时，（120-x）（100+2x）＝110×120＝13200元；
（2）解：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，
（120-x）（100+2x）＝14400，
整理得x2-70x+1200＝0，
解得x1＝30，x2＝40；
∵尽可能地清理库存，
∴x＝40
答：每箱应降价40元，可使每天销售饮料获利14400元．
【解析】【分析】（1）设每箱应降价x元，则每箱的利润为(120-x)元，销售量为(100+2x)，根据销售量×每箱的利润=总利润表示出总利润，然后将x=10代入进行计算；
（2）令（1）中表示出来的总利润=14400，求出x的值，据此解答.
19．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6件，如果每天盈利1150元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
【答案】（1）平均下降率为
（2）单价应降低15元
20．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）
（2）50元
21．为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
【答案】（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．
【解析】【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为，根据“ 某县年投入资金万元，年投入资金万元 ”列出方程，再求解即可；
（2）利用“2024年的资金=2023年的资金×（1+增长率)”列出算式求解即可.
22．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．
【答案】（1）550；8250
（2）（600-10x）
（3）解：设每个水杯售价上涨x元，根据题意，得
整理得，
即
解得，
∵要尽可能使顾客得到优惠
，
，
答：每个水杯的售价为元．
【解析】【解答】解：（1）依题意，（个）；（元）；
故答案为：，；
（2）依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）根据题意直接列出代数式即可；
（3）根据题意列出方程，再求解即可。
23．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，请根据排列规律完成下列问题：
（1）填写下表：
图形序号 菱形个数 个
3
7
（2）根据表中规律猜想，图n中菱形的个数 用含n的式子表示，不用说理 ；
（3）是否存在一个图形恰好由91个菱形组成？若存在，求出图形的序号；若不存在，说明理由.
【答案】（1）13；21
（2）解：设图n中菱形的个数为 为正整数 ，
观察图形，可知： ， ， ， ， ，
为正整数 ；
（3）解：依题意，得： ，
解得： 舍去 ， ，
存在一个图形恰好由91个菱形组成，该图形的序号为 .
【解析】【解答】（1）解：观察图形，数出图③、图④中的菱形个数分别为13和21.
故答案为：13；21
【分析】（1）观察图形，数出图 ③ 、图 ④ 中菱形的个数；（2）设图n中菱形的个数为 为正整数 ) ，观察图形，找出部分图形中菱形的个数，根据菱形个数的变化 ( 分成上下两部分，根据两部分的变化 ) 可找出变化规律“ (n为正整数 ) ”；（3）由（2）的结论结合菱形的个数为91，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值 ( 正整数值 ) 即可得出结论.
24．已知抛物线．
（1）求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值．
【答案】（1）证明： ，
由 ，
，
无论 为何值时此抛物线与 轴总有两个不同的交点；
（2）解：根据题意得 ， ，
，
，
，
整理得 ，
解得： ， ．
【解析】【分析】（1）将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ， 再结合可得，即，再求出m的值即可。
25．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： ，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，
∵△=49﹣48＞0，
∴x1= ，x2= ，
∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
【答案】（1）2；
（2）解：不存在，理由如下：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 ，
消去y化简，得2x2-3x+2=0.
∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B
（3）解：（m+n）2-8mn≥0，理由如下
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 ，
消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.
△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在
【解析】【解答】解：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，
∴x1=2，x2= .
【分析】（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．
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