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第10章 数的开方 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．估算的大小是（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．不能确定
2．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间
C． 和 之间 D． 和 之间
4．计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．a-b＞a-c C．ac＞bc D．ab＞ac
6．在下列实数中： ， ， ，0，最大的数是（ ）
A． B． C． D．0
7．与无理数最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a－c＜0；④ ，则其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
9．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A．a＋b>0 B．ab >0 C． D．
10．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．比较大小：-4 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
12．如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
13．若某个正数的平方根是 和 ，则这个正数是 ．
14．在实数、0、-2、中，最小的数是 .
15．若关于 、 的二元一次方程组 ，则 的算术平方根为 .
16．操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，
（1）操作一：
折叠纸面，使表示的点1与 1表示的点重合，则 2表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：
折叠纸面，使 1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与 表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是 、 ；
（3）操作三：
已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求这个正数m；
（2）求关于的方程的解．
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，c是 的整数部分.
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a-b+c的平方根.
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的平方根．
20．如图(1)，在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1.
（1）求图(1)中正方形ABCD的面积为 ；边长为
（2）如图(2)，若点A在数轴上表示的数是-1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为 .
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，交轴于点，且，．
（1）求的面积；
（2）求点的坐标．
22．计算：
（1）＝ .
（2）4+＝ .
（3）的立方根为 .
（4）如果的平方根是±3，则＝ .
23．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求﹣6的值．
24．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形 放到数轴上，如图②，使得点 与 重合，那么点 在数轴上表示的数为 .
25．在数轴上点A表示整数a，且 ，点B表示a的相反数.
（1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B；
（2）点P， Q 在线段AB上，且点P在点Q的左侧，若P， Q两点沿数轴相向匀速运动，出发后经4秒两点相遇. 已知在相遇时点Q比点P多行驶了3个单位，相遇后经1秒点Q到达点P的起始位置. 问点P、Q运动的速度分别是每秒多少个单位；.
（3）在(2)的条件下，若点P从整数点出发，当运动时间为t秒时(t是整数)，将数轴折叠，使A点与B点重合，经过折叠P点与Q点也恰好重合，求P点的起始位置表示的数.
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第10章 数的开方 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．估算的大小是（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．不能确定
【答案】B
2．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可得：-1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a＜0，b＜2， ，
A、B、D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据点在数轴上的位置分别判断即可.
3．估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间
C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵25 <29<36
∴
∴5< <6．
故答案为：B．
【分析】由题可知：25 <29<36，再利用平方根计算即可估算出的大小。
4．计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据立方根，平方根的概念化简计算，逐个判断即可．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．b+c＞0 B．a-b＞a-c C．ac＞bc D．ab＞ac
【答案】A
【解析】【解答】由数轴的定义得： ，
A、 ，符合题意；
B、 ，
，
，不符题意；
C、 ，
，不符题意；
D、 ，
，不符题意；
故答案为：A．
【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值间的大小关系，从而判断每个选项。
6．在下列实数中： ， ， ，0，最大的数是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】【解答】解： <0< < ．
故答案为：B．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可
7．与无理数最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】∵＜＜，∴最接近的整数是，=6，故选：C．
【分析】根据无理数的意义和二次根式的性质得出＜＜，即可求出答案．
8．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a－c＜0；④ ，则其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①不符合题意；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②符合题意；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a-c＜0，
∴③符合题意；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴ ，
∴④符合题意．
∴正确的有②③④．
故答案为：C．
【分析】结合数轴，利用特殊值法逐项判断即可。
9．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A．a＋b>0 B．ab >0 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以|b|＞|a|，所以a+b＜0，故选项A错误；
B、因为b＜0＜a，所以ab＜0，故选项B错误；
C、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以，故选项C正确；
D、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上所表示的数的特点得b＜-1＜0＜a＜1，然后根据有理数的加、加、乘、除法法则对四个选项逐一分析.
10．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：121
∴对121只需进行3次操作后变为1.
故选C．
【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．比较大小：-4 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】【解答】∵17＞16，∴，即，∴.
故第1空答案为：＞。
【分析】把-4转化成，两个负数比较大小，先比较绝对值的大小，绝对值大的反而小。
12．如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
【答案】1﹣π
【解析】【解答】解：由题意可得：圆的周长为π，
∵直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
∴A点表示的数是：1-π.
故答案为：1-π.
【分析】根据圆的周长的计算方法可知：直径为1的圆的周长为π，故圆从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，所留下的运动痕迹是π，从而得出点A离开原点的距离是1-π，又点A在原点的左边，从而根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出答案.
13．若某个正数的平方根是 和 ，则这个正数是 ．
【答案】16
【解析】【解答】 一个正数的平方根是 和 ，
则 ，
解得： ，
则 ，
所以这个正数是16．
故答案为：16．
【分析】利用一个非负数的平方根互为相反数即可得到关于 的方程，解方程即可解决问题．
14．在实数、0、-2、中，最小的数是 .
【答案】﹣2
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴最小的数是.
故答案为：-2.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
15．若关于 、 的二元一次方程组 ，则 的算术平方根为 .
【答案】2
【解析】【解答】
①+②，得
代入①，得
∴
∴其算术平方根为2，
故答案为2.
【分析】首先利用消元法解二元一次方程组，然后即可得出 的算术平方根.
16．操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，
（1）操作一：
折叠纸面，使表示的点1与 1表示的点重合，则 2表示的点与 表示的点重合；
（2）操作二：
折叠纸面，使 1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与 表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是 、 ；
（3）操作三：
已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是 ．
【答案】（1）2
（2）-3；-3.5；5.5
（3）±2
【解析】【解答】解：（1）∵折叠纸面，点1和点-1表示的点重合
∴折痕点为0
∴-2表示的点与2表示的点重合；（2）∵-1表示的点与3表示的点重合
∴折痕点为1
∴5表示的点与-3表示的点重合
∵AB之间的距离为9
∴AB两点与中心点的距离为9÷2=4.5
∴点A表示的点为-3.5，点B表示的点为5.5；（3）①若点A往左移动4个单位长度
则可得：a-4+a=0
解得：a=2
②若点A往右移动4个单位长度
则可得：a+4+a=0
解得：a=-2
综上所述a=±2
【分析】（1）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可得出答案；（2）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可答案；先求出点A和点B到折痕点的距离，再根据距离公式计算即可得出答案；（3）分两种情况进行讨论：①往左移动，②往右移动，再利用相反数的性质计算即可得出答案.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求这个正数m；
（2）求关于的方程的解．
【答案】（1）解：由题意得，，
解得，；
当时，，
∴；
（2）解：把代入方程得，
，
即，
故
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得，求出a的值，再求出m的值即可；
（2）将a的值代入可得，再求出x的值即可。
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，c是 的整数部分.
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a-b+c的平方根.
【答案】（1）解：∵5a+2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a＋b－1=16
∴a=5，b=2
∵c是 的整数部分
∴c=3
（2）解：∴3a-b+c=16
3a-b+c的平方根是±4
【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义及无理数的估算方法，求出a、b、C值即可.
（2）将a、b、c的值代入，求出3a-b+c的值，然后求出平方根即可.
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，是的小数部分．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，
解得，
，，
，
，
，；
（2）解：当，，时，
，
∵16的平方根为，
∴的平方根为.
【解析】【分析】（1）如果一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根；如果一个正数x的平方等于a，则这个数x就是a的算术平方根，据此列出关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值；进而根据二次根式的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大可得，据此可得c、d的值；
（2）将a、b、c的值代入3a-b+c算出结果，进而根据平方根的概念求解即可.
20．如图(1)，在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1.
（1）求图(1)中正方形ABCD的面积为 ；边长为
（2）如图(2)，若点A在数轴上表示的数是-1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为 .
【答案】（1）10；
（2） -1
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的面积=4×4-4××1×3=16-6=10；
正方形ABCD的边长为；
故答案为：10，
（2）由（1）可知AB=，
∵以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，
∴AE=AB=，
∵点A表示的数为-1，
∴点E表示的数为-1.
故答案为：-1
【分析】（1）观察图形可知正方形ABCD的面积=边长为4的正方形的面积减去4个直角三角形的面积，列式计算可求出正方形ABCD的面积；根据正方形的面积等于边长2，然后可求出正方形ABCD的边长.
（2）由（1）可知AB的长，观察数轴可知点A表示的数，利用作图可知AB=AE，由此可得到点E表示的数.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，交轴于点，且，．
（1）求的面积；
（2）求点的坐标．
【答案】（1）解：∵，，∴，，∵A（a，0），B（b，0），∴A（5，0），B（5，0）∴OA=OB=5．∵，∴的面积为：；
（2）解：如图1，连接OC，
设OD=x，∵∵S△AOC=S△AOD+S△COD，∴，∴x=5，∴点D的坐标为（0，5）．
【解析】【分析】（1）根据立方根及算术平方根先求出a、b的值，即得A、B坐标，再根据三角形的面积公式计算即可；
（2）连接OC，设OD=x， 根据S△AOC=S△AOD+S△COD建立关于x方程并解之即得结论.
22．计算：
（1）＝ .
（2）4+＝ .
（3）的立方根为 .
（4）如果的平方根是±3，则＝ .
【答案】（1）4
（2）8
（3）2
（4）4
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴的立方根即为8的立方根，8的立方根为2，
∴的立方根为2；
（4）∵的平方根是±3，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；8；2；4.
【分析】利用立方根的定义和平方根的定义，可求出（1）（3）（4）的结果；利用算术平方根的性质，先算乘方运算，再算加法运算，可求出（2）的结果.
23．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求﹣6的值．
【答案】（1）解：，
而且，，有，
结论成立；
即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）解：由（1）验证的结果知，若与互为相反数，
则和也互为相反数，
即：，
，
．
【解析】【分析】（1）取a=2，b=-2，则a+b=0，a3+b3=0，结论成立；
（2）根据（1）的结论结合题意可得2x-8-x-28=0，求出x的值，然后代入-6中进行计算.
24．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形 放到数轴上，如图②，使得点 与 重合，那么点 在数轴上表示的数为 .
【答案】（1）解：设魔方的棱长为 ，则 ，解得： ；
（2）解：∵魔方的棱长为2，∴每个小立方体的棱长都是1，
∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4；
∴ ；
∵正方形 的面积为2 ∴边长为
（3）
【解析】【解答】（3）∵正方形 的边长为 ，点 与 重合，
∴点 在数轴上表示的数为： ，
故答案为 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
25．在数轴上点A表示整数a，且 ，点B表示a的相反数.
（1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B；
（2）点P， Q 在线段AB上，且点P在点Q的左侧，若P， Q两点沿数轴相向匀速运动，出发后经4秒两点相遇. 已知在相遇时点Q比点P多行驶了3个单位，相遇后经1秒点Q到达点P的起始位置. 问点P、Q运动的速度分别是每秒多少个单位；.
（3）在(2)的条件下，若点P从整数点出发，当运动时间为t秒时(t是整数)，将数轴折叠，使A点与B点重合，经过折叠P点与Q点也恰好重合，求P点的起始位置表示的数.
【答案】（1）解： ，找55到65之间的完全平方数
，所以 ，b=-8
（2）解：
∵出发4秒后在相遇时点Q比点P多行驶了3个单位
∴可得关系式
∵P从初始点到相遇点经过的时间为4s
Q从相遇点到P的初始点经过的时间为1s
∴可得Q的速度是P的速度的4倍
∴设P的速度为x单位/秒，则Q的速度为4x单位/秒
∴ ，
代入关系式得
解得
则Q的速度为 单位/秒
答：P的速度为 单位/秒，Q的速度为1单位/秒
（3）解：
由(2)可知：P的速度为 单位/秒，Q的速度为1单位/秒
PQ=
由题意，折叠后A，B重合，因此折点为AB中点，即
又∵P，Q运动t秒后，折叠重合，且折点为原点
∴P，Q表示的数互为相反数
设P从y点出发，则Q从(y+5)出发
则P： Q：
∵P，Q互为相反数
∵y，t均为整数
且
∴解得 或
综上所述：P从-1或2出发满足条件
【解析】【分析】(1) ，找55到65之间的完全平方数可求得 ，b=-8，在数轴上表示即可；
(2)出发4秒后在相遇时点Q比点P多行驶了3个单位，可得关系式 ，分析可得Q的速度是P的速度的4倍，设P的速度为x单位/秒，则Q的速度为4x单位/秒，可得 ，于是可解；
(3)由(2)可知： P的速度为 单位/秒，Q的速度为1单位/秒 ，于是可求PQ的长；折点为AB中点即原点，P，Q表示的数互为相反数，据此可解.
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