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第11章 整式的乘除 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．计算 ， 结果用幂的形式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
5．若3×9m×27m=321，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下列运算：①；②；③；④；⑤，其中错误的是 ．（填写序号）
12．已知，则的值是 ．
13．计算； ．
14．已知2x+5y﹣4＝0，则4x×32y＝ .
15．计算： .
16．已知整数满足且，则的值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．有两个正方形A，B，边长分别为，b（a＞b）．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）用，b表示图甲阴影部分面积： ；用，b表示图乙阴影部分面积： ．
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ．
（3）在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
18．当时，求下列代数式的值
（1）
（2）
（3）观察上述两个代数式的值有什么关系？
（4）请用简便的方法计算出的值
19．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式.例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2.
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： ＝ ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
20．某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分进行绿化，尺寸如图所示．
（1）求整个公园的面积．
（2）求绿化的面积．
21．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m，n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=7，两正方形的面积和S1+S2=23，求图中阴影部分面积．
22．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）.方案一如图甲所示，绿化带面积为 ；方案二如图乙所示，绿化带面积为 .
（1）请用含a，b的代数式表示 和 .
（2）设 ，求k的取值范围.
23．
（1）解不等式 ，并在数轴上表示它的解集．
（2）解不等式组
（3）因式分解
（4）分解因式
24．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法的形式）
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 .（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）.
25．按要求完成下列各小题
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值．
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第11章 整式的乘除 单元模拟测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．计算 ， 结果用幂的形式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：D
【分析】根据积的乘方，幂的乘方即可求出答案.
2．已知，且，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
【答案】C
5．若3×9m×27m=321，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=321，
所以1+2m+3m=21，
解得：m=4.
故答案为：B
【分析】将等式的左边利用幂的运算性质转化为31+2m+3m，再建立关于m的方程，求解即可。
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A． 和 不能合并，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、幂的乘方及平方差公式逐项判断即可。
7．一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法及科学记数法的定义及书写要求求解即可。
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵不是同类项，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方及平方差的计算方法逐项分析判断即可.
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）利用平方差公式计算；
（3）利用同底数幂的除法法则计算；
（4）利用积的乘方法则计算．
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下列运算：①；②；③；④；⑤，其中错误的是 ．（填写序号）
【答案】①②③⑤
12．已知，则的值是 ．
【答案】14
【解析】【解答】解：，且由题意可得，
，
，
原式，
故答案为：14.
【分析】将所给方程的两边同时除以同一个不为0的整式x，可得，再利用完全平方公式将待求式子变形为，最后整体代入即可算出答案.
13．计算； ．
【答案】10
【解析】【解答】解：(4-)(4+)=42-()2=16-6=10.
故答案为：10.
【分析】直接利用平方差公式进行计算.
14．已知2x+5y﹣4＝0，则4x×32y＝ .
【答案】16
【解析】【解答】解：∵2x+5y﹣4＝0，
∴2x+5y＝4，
∴4x×32y＝22x×25y＝22x+5y＝24＝16.
故答案为：16.
【分析】求出2x+5y的值，然后根据幂的乘方的性质和同底数幂相乘的性质将代数式转化为以2为底数的幂进行计算即可得解.
15．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：
=.
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则可得原式，据此计算.
16．已知整数满足且，则的值为 ．
【答案】2
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．有两个正方形A，B，边长分别为，b（a＞b）．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）用，b表示图甲阴影部分面积： ；用，b表示图乙阴影部分面积： ．
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ．
（3）在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）13
（3）解：，，
，
，
，
，
，
图丙的阴影部分面积
．
【解析】【解答】解：（1）图甲阴影部分面积为，
图乙阴影部分面积为，
故答案为：；；
（2）由题意得，
解得，
∴正方形A，B的面积之和为9+4=13，
故答案为：13
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）先根据题意结合（1）即可求出a和b，进而即可求解；
（3）先计算出大正方形的面积，进而减去三个A正方形的面积和两个B正方形的面积即可求解。
18．当时，求下列代数式的值
（1）
（2）
（3）观察上述两个代数式的值有什么关系？
（4）请用简便的方法计算出的值
【答案】（1）解：当时
=-9
（2）当时
.
（3）上述两个代数式的值相等
（4）=4041
【解析】【分析】（1）直接将a、b的值代入a2-b2中计算即可；
（2）直接将a、b的值代入(a+b)(a-b)中计算即可；
（3）根据（1）（2）的结果进行判断；
（4）原式可变形为(2021+2020)×(2021-2020)，据此计算.
19．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式.例如：计算左图的面积可以得到等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2.
请解答下列问题：
（1）观察如图，写出所表示的等式： ＝ ；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值
【答案】（1）（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，
∴2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）
＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2﹣37
＝12﹣37
＝1﹣37
＝﹣36.
∴ab+bc+ac＝﹣18.
【解析】解：（1）由图形可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
【分析】（1）从图形的面积可分析出式子；（2）根据2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），代入可得结果.
20．某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分进行绿化，尺寸如图所示．
（1）求整个公园的面积．
（2）求绿化的面积．
【答案】（1）平方米
（2）平方米
21．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m，n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=7，两正方形的面积和S1+S2=23，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）(a+ b)2=(a-b)2 +4ab
（2）解：由(1)得，(m+n)2=(m-n)2+ 4mn，
即(m+n)2=42+4×(-3)，
∴m+n=2或m+n=-2
（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1=a2 ，S2=b2，
由于AB=7，两正方形的面积和 a2+b2=23 ，
因此a+b=7，a2+b1=23，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2 ，即49=23+ 2ab，
∴ab=13，
∴阴影部分的面积为ab=
【解析】【解答】解： （1）阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个小矩形的面积=（a+b）2-4ab，
阴影正方形的面积=正方形边长2=（a-b）2，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=（a-b）2+4ab，；
【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个小矩形的面积得出（a+b）2-4ab，阴影正方形的面积=正方形边长2=（a-b）2，即可得出（a+b）2=（a-b）2+4ab，；
（2）根据（1）的结论，把mn=-3，m-n=4代入得出（m+n）2=4，即可得出m+n=2或m+n=-2；
（3） 设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，根据题意得出S1=a2 ，S2=b2， a+b=7，a2+b2=23，利用（1）的结论得出ab=13，即可得出图中阴影部分面积=ab=.
22．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带（即图中阴影部分）.方案一如图甲所示，绿化带面积为 ；方案二如图乙所示，绿化带面积为 .
（1）请用含a，b的代数式表示 和 .
（2）设 ，求k的取值范围.
【答案】（1）解：由题意， ；
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
即 .
【解析】【分析】（1）甲的面积为长为a、宽为b的长方形的面积的2倍与边长为b的正方形的面积之差，据此可得S甲；乙的面积为大正方形的面积与两个小正方形的面积之差，据此可得S乙；
（2）由k=可得k=1-，根据a>b>0可得0<<，据此不难得到k的范围.
23．
（1）解不等式 ，并在数轴上表示它的解集．
（2）解不等式组
（3）因式分解
（4）分解因式
【答案】（1）解：去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
将x系数化为1得：
在数轴上表示如图所示：
（2）解：解不等式组
解不等式①得：
解不等式②得：
所以不等式组的解集是
（3）解：因式分解
（4）解：分解因式
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤求出
，再将解集在数轴上表示即可；
（2）利用解不等式组的方法求解集即可；
（3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。
24．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法的形式）
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 .（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）.
【答案】（1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（4）解：①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2+2np﹣p2.
【解析】【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
【分析】（1）根据正方形的面积公式以及面积间的和差关系进行解答；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，由矩形的面积公式可得面积为(a+b)(a-b)，据此解答；
（3）根据阴影部分面积相等可得乘法公式；
（4）①由于两个因数都接近整数10，故可以将式子变形为(10+0.3)×(10-0.3)，然后根据平方差公式进行计算；
②观察两个因式，每一个因式中都含有“2m”，剩下的项只有符号不同，利用分组及添括号的法则原式可变形为[2m+(n-p)] [2m-(n-p)] ，然后利用平方差公式进行计算.
25．按要求完成下列各小题
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）解：
∵，
∴
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
将①+②得．
【解析】【分析】（1）先化简整式，再将 代入计算求解即可；
（2）利用幂的乘方，同底数幂的乘除法则计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， ，再求出 ， 最后计算求解即可。
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