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二次根式 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：x＝ +1，y＝ ﹣1，求x2﹣y2的值（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C．24 D．
5．已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
6．二次根式 中，字母 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 ．
12．把 化为最简二次根式，结果是 .
13．在函数中，自变量的取值范围是 .
14．已知直角三角形两直角边长为和，则面积为 ．
15．若与最简二次根式可以合并，则
16．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式.
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P(m，)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知： ， （n为正整数）.
（1）求 的值（结果用含n的代数式表示）；
（2）若（1）中代数式的值是整数，求正整数n的最小值.
20．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
21．一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工人，第二年年末增加员工人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数．
22．观察下列一组等式，解答后面的问题：
（1）化简： ， （n为正整数）
（2）比较大小： （填“”，“”或“”）
（3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
23．阅读下面问题：
；
；
.
求：
（1）当 为正整数时 = ；
（2）计算： .
（3） = ；
24．求代数式
的值，其中a＝﹣2020
如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=
小芳：解：原式=
（1） 的解法是不正确的；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式
的值，其中a＝﹣2019．
25．观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
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二次根式 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：．和不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行判断即可求出答案.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：与不能合并，故A错误，不符合题意；
3与不能合并，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
通过二次根式的加法、乘法等运算规则，逐项进行判断各选项是否正确。
3．已知：x＝ +1，y＝ ﹣1，求x2﹣y2的值（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为：D．
【分析】先根据x、y的值计算 、 的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．
4．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：a+b=6，
ab=()()=4，
=
=，
=
=．
故答案为：A.
【分析】根据a、b的值结合二次根式的加法法则可得a+b=6，根据平方差公式可得ab=4，待求式可变形为，据此进行计算.
5．已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：
结合题意可得：为正整数，
的最小值为2，
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
6．二次根式 中，字母 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】为确保二次根式有意义，二次根式根号下的数字大于等于0，
，故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数a+3≥0，解不等式即可．
7．下列化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：① ，
，
故①不符合题意；
②因为二次根式 中 的取值范围是 ，故②符合题意；
③ ，9的平方根是 ，故③不符合题意；
④ ，故④不符合题意；
⑤∵ ， ，
∴ ，即 ，故⑤不符合题意；
综上所述：正确的有②，共1个，
故答案为： ．
【分析】根据估算出 的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答．
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
10．已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 ．
【答案】2
12．把 化为最简二次根式，结果是 .
【答案】
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】把被开方数的分子与分母同时乘以3，利用二次根式的性质化为最简二次根式即可.
13．在函数中，自变量的取值范围是 .
【答案】且
【解析】【解答】解：由题意可知x+1≥0且x-2≠0，
解之：x≥-1且x≠2.
故答案为：x≥-1且x≠2.
【分析】观察含自变量的式子，含有二次根式和零次幂，可得到被开方数大于等于0，零次幂的底数不等于0，可得到关于x的不等式组，然后求出x的取值范围.
14．已知直角三角形两直角边长为和，则面积为 ．
【答案】5
15．若与最简二次根式可以合并，则
【答案】5
【解析】【解答】解：因为与 最简二次根式可以合并，
所以，解得m=5.
故答案为：5.
【分析】先化简，再根据题意得到关于m的方程求解.
16．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
= ；
（3）原式=
=
=
= ；
（4）原式=
= ．
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方差公式展开，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（4）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
18．如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式.
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P(m，)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵a，b满足关系式，
∴b2 9=0，b+3≠0，
∴b=3，a=2；
（2）解：四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，
∴m<0，SAPOB=S△AOB+S△APO=×2×3+×( m)×2=3 m，
故四边形ABOP的面积为3 m；
（3）解：由题意可得出：点A(0，2)，B(3，0)，C(3，4)，
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S=BC AH=×4×3=6；
当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3 m=6，得m= 3，
此时P点坐标为：( 3， )，
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为0列出不等式组，求解可得b的值，从而代入即可求出a的值；
（2）由S四边形APOB=S△AOB+S△APO并结合三角形的面积计算公式计算即可；
（3） 过A点作BC边上的高，交BC于点H， 先根据三角形的面积计算公式算出△ABC的面积，进而根据“ 四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等 ”建立方程，求解即可.
19．已知： ， （n为正整数）.
（1）求 的值（结果用含n的代数式表示）；
（2）若（1）中代数式的值是整数，求正整数n的最小值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ；
（2）解：∵ 为整数，即 为整数，
∴ 应为完全平方数，
∵ 为正整数，
∴当 时， 为满足题意的最小值.
【解析】【分析】（1）由题意易得 ， ，然后根据平方差公式将代数式分解因式后整体代入可进行求解；
（2）由 a2-b2 为整数，即 为整数，可得 应为完全平方数，进而问题可求解.
20．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）（0，4）；（2，0）
（2）解：存在，理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，即CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S△DOP= OP yD=（2-t）×2=2-t，S△DOQ= OQ xD=×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1．
（3）解：结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°，又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴=2．
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）．
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，即可得到点A、C的坐标；
（2）先求出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再结合S△ODP=S△ODQ，可得2-t=t，再求出t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH//OG，再求出∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，再将其代入计算即可。
21．一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工人，第二年年末增加员工人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数．
【答案】公司现在的人数为人．
22．观察下列一组等式，解答后面的问题：
（1）化简： ， （n为正整数）
（2）比较大小： （填“”，“”或“”）
（3）根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】【解答】解：(1)；
，
故答案是：，；
(2)∵，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案是：＜；
(3)
．
【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
23．阅读下面问题：
；
；
.
求：
（1）当 为正整数时 = ；
（2）计算： .
（3） = ；
【答案】（1）
（2）解：
＝（ ）＋（ ）＋（ ）＋＋（ ）
＝
＝
＝9
（3）
【解析】【解答】（3） ；
（2） ；
【分析】（1）给分子、分母同时乘以，据此计算；
（2）原式可变形为(-1)+( )+( )+……( )，据此计算；
（3）给分子、分母同时乘以，据此计算.
24．求代数式
的值，其中a＝﹣2020
如图是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式=
小芳：解：原式=
（1） 的解法是不正确的；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式
的值，其中a＝﹣2019．
【答案】（1）小芳
（2）
（3）解：
，
，
，
原式 ，
即代数式 的值是2025．
【解析】【解答】解：（1）
，
，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）不正确的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
，
故答案为：
；
【分析】（1）根据
的性质，可以判断哪位同学做错了；
（2）根据
的性质，为正确运用被开方数具有非负性；
（3）根据
的性质，对代数式进行化简，然后代值进行计算。
25．观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：
例2： ， ，
（1） ； ；
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3）利用上面的结论，求下面式子的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：
，
.
【解析】【分析】（1）将 ； 分母有理化，有理化因式分别为 ， ；（2）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（3）由（1）（2）得，原式 ，合并可得结果.
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