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第二十一章 一元二次方程 单元综合培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程（m+1）x2-2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜0
3．三角形两边长分别为3和6，并且第三边是一元二次方程 的根，那么这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．11或13
4．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．已知关于x的一元二次方程2x2 (m＋n)x＋mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根。则x12x2+x1x22值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．3
8．若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．16
9．若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，修建如图所示的两条道路（空白部分）剩下部分建成花园（阴影部分），使花园面积为荒地面积的一半，设道路的宽是xm，则列方程为
12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
13．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，则m＝ .
14．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根 ．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
16．方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1） ．
（2）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，连接CD．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝1，AC＝a．
①直接写出线段AD的长为 （用含字母a的式子表示）；
②判断线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根吗？为什么 ？
19．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根.
（1）求m+n的值;
（2）若n=2,求m的值及方程的另一个根.
20．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪．
（1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：）
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米．
21．“十一”黄金周期间，我市享有“江南八达岭”美誉的江南长城旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
（1）若某单位组织23名员工去江南长城旅游区旅游，购买门票共需费用多少元？
（2）若某单位共支付江南长城旅游区门票费用共计1232元，试求该单位这次共有多少名员工去江南长城旅游区旅游？
22．如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？
23．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根.
24．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值.
25．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： = － .
（2）计算： ＋…＋ ；
（3）若a＝ ，求4a2－8a＋1的值.
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第二十一章 一元二次方程 单元综合培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．若关于x的方程（m+1）x2-2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜0
【答案】C
【解析】【解答】解：①：当原方程为一元一次方程，即时，
原方程：
解得：符合题意；
②当原方程为一元二次方程，即时，
原方程：
∴
要使原方程有实数根，则
∴
解得：符合题意；
综上所述，m的取值范围为：
故答案为：.
【分析】由题意知需分情况讨论①：当原方程为一元一次方程，即时，②当原方程为一元二次方程，即时，根据一元二次方程根的判别式即可求解.
3．三角形两边长分别为3和6，并且第三边是一元二次方程 的根，那么这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．11或13
【答案】B
【解析】【解答】解：由方程 ，得x＝2或4，
当第三边是2时，2，3，6不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，该三角形的周长为3＋4＋6＝13.
故答案为：B.
【分析】先求出方程的根为x＝2或4，分两种情况①当第三边是2时，②当第三边是4时，然后利用三角形的三边关系分别进行判断即可.
4．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
A：把道路平移如图情形，则种植部分为长方形，长为（40-2x）米，宽为（34-x）米，
列方程为： ，A正确；
B：方程左边少减去了一个34x，B错误；
C：平移后，弄错了种植部分的长和宽，C错误；
D：横纵小道交叉部分重复计算了，D错误。
故答案为：A
【分析】种植面积等于长方形面积减去3条小道的面积，不能有遗漏，特别要注意横纵小道交叉部分不能重复计算，也可用平移法把小道部分拼合在一起，种植部分则有一个长方形，运用长方形面积公式可列方程。
5．一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：a=-1，b=2，c=-1，
则，
∴方程有两个相等的实数根；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判定即可；
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程无实数根.
6．已知关于x的一元二次方程2x2 (m＋n)x＋mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】由数轴看出m>0，n<0，
∵2是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n) -8mn，
∵m>0，n<0，
∴-8mn>0
∴Δ=(m+n) -8mn>0，
∴原方程有两个不相等的实数根
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
7．若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根。则x12x2+x1x22值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：由韦达定理，得x1+x2=-2，x1x2=-1，
∴ x12x2+x1x22 =x1x2(x1+x2)=-1×(-2)=2。
故答案为：B
【分析】先利用韦达定理可知两根之和、之积，再对所求式子变形，整体代入计算即可。
8．若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【解析】【解答】∵a为方程x +x 5=0的解，
∴a +a 5=0，∴a +a=5
则a +a+1=5+1=6.
故答案为：B.
【分析】将x=a代入方程x +x 5=0，可得a +a=5，然后整体代入求值即可.
9．若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为．若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，修建如图所示的两条道路（空白部分）剩下部分建成花园（阴影部分），使花园面积为荒地面积的一半，设道路的宽是xm，则列方程为
【答案】（16﹣x）（12﹣x）= ×16×12
【解析】【解答】设道路的宽是xm，则四块花园可合成长为（16-x）m，宽为（12-x）m的长方形，
根据题意得：（16-x）（12-x）= ×16×12.
故答案为：（16-x）（12-x）= ×16×12.
【分析】设道路的宽是xm，则四块花园可合成长为（16-x）m，宽为（12-x）m的长方形，根据花园面积为荒地面积的一半，列出方程即可.
12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
13．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，则m＝ .
【答案】±2
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣4)2﹣4×1×m2＝0，
解得：m＝±2.
故答案为：±2。
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根得出其根的判别式的值应该等于0，从而列出方程求解即可。
14．关于x的方程的一个根是，则它的另一个根 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的两根之积为：，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：-1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出即可。
15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴，
解得。
故答案为：.
【分析】一元二次方程有实数根，所以，然后将变形计算即可。
16．方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ .
【答案】1
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣2）xm(m-3)+4+3mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m（m-3）+4=2，且m-2≠0.
∴即（m-1）（m-2）=0且m-2≠0，
解得，m=1.
故答案是：1.
【分析】对于方程“ax2+bx+c=0 ”如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可列出混合组，求解即可得出m的值.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1） ．
（2）
【答案】（1）解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得：
（2）解： ，
移项整理得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法进行解方程；
（2）先对等号右边的式子提取公因式3，再进行移项，然后提取公因式进行因式分解，进而求解.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，连接CD．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝1，AC＝a．
①直接写出线段AD的长为 （用含字母a的式子表示）；
②判断线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根吗？为什么 ？
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝59°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；
（2） ﹣1；解方程x2+2x﹣a2＝0得， x＝ ＝ ﹣1， ∴线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根．
【解析】【解答】（2）①理由如下：AB＝ ＝ ，BD＝BC， ∴AD＝ ﹣1， 故答案为： ﹣1；
【分析】（1）先求出 ∠B＝62°， 再求出 ∠BCD＝∠BDC＝59°， 最后计算求解即可；
（2）①根据 BC＝1，AC＝a 计算求解即可；
②先求出 x＝ ＝ ﹣1， 再求解即可。
19．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根.
（1）求m+n的值;
（2）若n=2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】（1）解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,
∴1+m+n=0，
解得：m+n=-1.
（2）解：将n=2，x=1代入方程x2+mx+n=0得：1+m+2=0，
解得m=-3，
∴方程为x2-3x+2=0，即(x-2)(x-1)=0，
解得：x1=1，x2=2，
故方程的另一个根为x=2.
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程即可得答案；（2）把x=1，n=2代入方程即可求出m的值，可得一元二次方程，解方程求出另一个根即可.
20．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪．
（1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：）
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米．
【答案】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度为；
（2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
【解析】【分析】（1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度为；
（2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
21．“十一”黄金周期间，我市享有“江南八达岭”美誉的江南长城旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
（1）若某单位组织23名员工去江南长城旅游区旅游，购买门票共需费用多少元？
（2）若某单位共支付江南长城旅游区门票费用共计1232元，试求该单位这次共有多少名员工去江南长城旅游区旅游？
【答案】（1）解：60﹣2×（23﹣20）＝54（元/人），
54×23＝1452（元）．
答：购买门票共需费用1242元
（2）解：设该单位这次共有x名员工去江南长城旅游区旅游，
∵1232÷60＝20 （人），1232÷50＝24 ，
∴20＜x≤24．
依题意，得：x[60﹣2（x﹣20）]＝1232，
整理，得：x2﹣50x+616＝0，
解得：x1＝22，x2＝28（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有22名员工去江南长城旅游区旅游．
【解析】【分析】（1）根据单价=原价-2×超出20的人数，可算出23人去旅游时的门票价格，再利用总价等于单价乘以数量即可算出答案；
（2） 设该单位这次共有x名员工去江南长城旅游区旅游， 根据数量等于总价除以单价算出x的取值范围，由总价等于单价乘以数量列出方程求解并检验即可得出答案.
22．如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？
【答案】这个车棚的长是15米，宽是6米
23．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根.
【答案】（1）解：△＝1+4（m＋1）
＝5+4m＞0
∴ .
（2）解：∵ 为符合条件的最小整数，
∴m=﹣1.
∴原方程变为
∴x1＝0，x2＝1.
【解析】【分析】解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式.（1）求出△＝5+4m＞0即可求出m的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可.
24．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1.
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得x1+x2=5=-b，x1x2=6=a，据此可得a、b的值，然后代入方程中，利用因式分解法就可求出方程②的根；
（2）将x=r代入方程②中可得 +1＝0，进而可得方程的另一根；
（3）由已知条件可知b＝0，根据根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，然后表示出a、m、s，据此求解.
25．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： = － .
（2）计算： ＋…＋ ；
（3）若a＝ ，求4a2－8a＋1的值.
【答案】（1）；1
（2）解：原式
=9
（3）解： ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【解析】【解答】解：(1)计算： ；
故答案为：，1；
【分析】（1） 进行分母有理化即可得出答案；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先利用分母有理化化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
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