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第二十二章 二次函数 单元核心素养测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，
C．顶点坐标为(1，2) D．是方程的一个根
3．已知二次函数 的函数值 与自变量 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
… -1 0 3 …
… -5 1 -5 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
C．在 时， 随 增大而减小
D．抛物线与 轴只有一个交点
4．如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)的图象经过(－3－ ，y1)、(－1+ ，y2)、(1，y3)、(2，y4)，若y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
8．将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
10．已知抛物线 ，且 ．判断下列结论：① ；② ；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当 时， ；⑤该抛物线与直线 有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点.抛物线l的解析式为 （n为整数）.若l经过这九个格点中的三个，则满足这样条件的抛物线条数为 条
12．二次函数的图象如图所示，方程有唯一的实数根，则的值为 .
13．已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m n．（填“”、“ ”或“”）．
14． 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．
15．若点在抛物线上，则、、的大小关系为 .（答案用“>”连接）
16．时，函数的最小值为，则实数的值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？
18．如图，已知二次函数 的图象过点A（-1，0），顶点坐标为（1，m）.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）结合图象，解答下列问题：（直接写出答案）当x取 值时，该函数的图象在x轴下方
19．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 40 50 60
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
20．已知二次函数 .
（1）将二次函数的解析式化为 的形式.
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
22．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证：；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当AEP为等腰三角形时，求m的值．
23．“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”形成的一种生机勃勃的销售方式．农村电商小李在某电商平台上直播销售一种农产品，每件农产品的成本为40元，每销售一件农产品，需向电商平台缴纳推广费2元．物价部门规定，该农产品的销售单价不高于成本价的2倍，经市场调研发现，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当农产品的销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？
24．综合与探究
如图，抛物线 ，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作 轴于点E，交直线BC于点F，当 时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线的顶点为M．
（1）当时，以下结论正确的有 ．（填序号）
①对称轴是直线；
②顶点坐标是；
③当时，y随x的增大而减小．
（2）求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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第二十二章 二次函数 单元核心素养测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误；
B、时有最小值3，故本选项正确；
C、时有最大值3，故本选项错误；
D、函数有最大值3，故本选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数最值和开口方向逐项判断解题．
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，
C．顶点坐标为(1，2) D．是方程的一个根
【答案】B
3．已知二次函数 的函数值 与自变量 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
… -1 0 3 …
… -5 1 -5 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
C．在 时， 随 增大而减小
D．抛物线与 轴只有一个交点
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x=-1和x=3时，函数值y都是-5，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与y轴的交点为（0，1），
∴抛物线的开口向下，
∴抛物线与x轴有两个交点，当在x＞1时，y随x增大而减小。
故答案为：C。
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用抛物线与y轴的交点为（0，1）可判断抛物线的开口向下，然后根据二次函数的性质即可对各选项进行判断。
4．如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
5．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
A：从图象可知，抛物线 m＜0，n＞0与直线 矛盾，选项错误，不合题意；
B：从图象可知，抛物线 m＞0，n＜0与直线 矛盾，选项错误，不合题意；
C：从图象可知，抛物线 m＜0，n＞0与直线 矛盾，选项错误，不合题意；
D：从图象可知，抛物线 m＞0，n＜0与直线 不矛盾，选项正确，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象性质。二次函数的开口方向由a决定，结合a的正负和对称轴与y轴的位置，根据“左同右异”可得b的正负，一次函数y=kx+b（k≠0）k＞0，b＞0，函数过第一、二、三象限；k＞0，b＜0，函数过第一、三、四象限；k＜0，b＞0，函数过第一、二、四象限；k＜0，b＜0，函数过第二、三、四象限。
6．若二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)的图象经过(－3－ ，y1)、(－1+ ，y2)、(1，y3)、(2，y4)，若y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)，
∴二次函数的对称轴
，
∵ ，
；
∴点(－3－
，y1)与点(－1+
，y2)是对称点，
∴ ；
①当
时，开口向上，在
时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ；
若
，则
；
不符合题意；
②当
时，开口向下，在
时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ；
∵四个数中有且只有一个小于零，
∴ ，
，
分别把
，
分别代入解析式，则
，
，
解得：
，
∴ 的值可以是
；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为x=-2，推出y1=y2，然后分a>0、a<0，判断出函数的增减性，结合y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零可得y4<0，y3≥0，分别把x=1、x=2代入函数解析式中就可得到a的范围.
7．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
8．将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移4个单位，可得：
再把 向下平移1个单位得到的抛物线为：
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质以及平移的性质，得到抛物线的解析式即可。
9．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
【答案】A
10．已知抛物线 ，且 ．判断下列结论：① ；② ；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当 时， ；⑤该抛物线与直线 有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴两式相减得 ，两式相加得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，故②符合题意；
∵当x=1时，则 ，当x=-1时，则有 ，
∴当 时，则方程 的两个根一个小于-1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③符合题意；
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，有最小值，即为 ，故④符合题意；
联立抛物线 及直线 可得： ，整理得： ，
∴ ，
∴该抛物线与直线 有两个交点，故⑤符合题意；
∴正确的个数有5个；
故答案为：D．
【分析】根据两等式可求出， ，由a＞0可得c＜0，可得2a+2b+c=a，据此判断①②；当x=1时，则 ，当x=-1时，则有 ，据此判断③；由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，可得当 时，y随x的增大而增大，可得当x=2时，y有最小值，据此判断④；联立抛物线 及直线 ，可得，求出，据此判断⑤.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点.抛物线l的解析式为 （n为整数）.若l经过这九个格点中的三个，则满足这样条件的抛物线条数为 条
【答案】8
【解析】【解答】解：当n为奇数时，抛物线开口向下，如图1，将点E、H、C的坐标代入抛物线解析式、判断抛物线经过这三点，经过平移，还可以得到另外3条，所以共有4种可能；
当n为偶数时，抛物线开口向上，如图2，将点E、H、C的坐标代入抛物线解析式、判断抛物线经过这三点，经过平移，还可以得到另外3条，所以共有有4种可能；
所有满足条件的抛物线共有8条.
故答案为：8
【分析】分当n为奇数时与当n为偶数时两种情况，把两个点代入解析式即可得到关于b、c的方程组，从而求得b和c的值，然后把格点坐标代入解析式即可判断．
12．二次函数的图象如图所示，方程有唯一的实数根，则的值为 .
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵方程ax2+bx+c=m有唯一实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m只有一个交点，
而抛物线的顶点为（4，-2），
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】由题意可知：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m只有一个交点，结合图象可得m=-2.
13．已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m n．（填“”、“ ”或“”）．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
函数对称轴为x=-1
∵a<0
∴当x>-1时，y随x的增大而减小
∵1<2
∴m>n
故答案为：>
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
14． 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．
【答案】9
【解析】【解答】二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，
解得c=9.
【分析】根据 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，利用根的判别式等于0即可得出结论.
15．若点在抛物线上，则、、的大小关系为 .（答案用“>”连接）
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，是抛物线y＝ （x＋1）2＋3上的三点，
∴y1＝-1，y2＝2，y3＝ 6，
∵2＞-1＞ 6，
∴.
故答案为：.
【分析】分别将x=-3、x=0、x=2代入抛物线解析式中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较.
16．时，函数的最小值为，则实数的值为 ．
【答案】或
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？
【答案】每件定价65元才能使所获利润最大．
18．如图，已知二次函数 的图象过点A（-1，0），顶点坐标为（1，m）.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）结合图象，解答下列问题：（直接写出答案）当x取 值时，该函数的图象在x轴下方
【答案】（1）解：由题意可知，设二次函数的顶点式为： ，
代入点A(-1，0)和点(0，3)，
，解得 ，
故二次函数的解析式为： ，
（2）x＞3或x＜－1
【解析】【解答】解：(2)令 中y=0，
∴ ，解得 或 ，
又该函数的图象在x轴的下方，结合图象可知，
∴x＞3或x＜－1，
故答案为：x＞3或x＜－1.
【分析】(1)设二次函数的解析式为： ，然后将点(0，3)和点(-1，0)代入求解即可；
(2)求出二次函数与x轴的交点坐标，然后结合图象即可求解.
19．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 40 50 60
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
【答案】（1）解：设函数关系式为，
，解得，
函数关系式为.
（2）解：设利润为，则，
，
，
，
，
，
，
当时，，
答： 这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元 .
（3）解：，
，
，
当时， 随的增大而增大 ，
当时， 随的增大而减小 ，
，且为正整数，利润仍随售价的增大而增大 ，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)先设出函数表达式，再代入表格所给数据，利用待定系数法求函数关系式.
(2)本题考查的是二次函数的实际应用，先根据题意得到利润的表达式，再通过销售单价不低于成本价，且不高于150元/件以及该商品的销售量不少于6000件得到自变量取值范围，然后联利用二次函数的性质计算最大利润和售价.
(3)由每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元这一条件可知每件商品的利润为(x-30-m)元，根据新的条件列出利润的表达式，再利用函数的增减性求出m的取值范围.
20．已知二次函数 .
（1）将二次函数的解析式化为 的形式.
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）解：
；
∴顶点式为： .
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，则开口向上；
对称轴为：直线 ；
顶点坐标： ；
【解析】【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.
21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
【答案】解：设所获利润为元，每件降价元
则降价后的每件利润为元，每星期销量为件
由利润公式得：
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故当时，y取得最大值，最大值为6125元
即定价为：元时，所获利润最大，最大利润为6125元.
【解析】【分析】设所获利润为元，每件降价元，则降价后的每件利润为元，每星期销量为件，根据总利润=单件利润×总销售量，结合二次函数的性质即可求出答案.
22．正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证：；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当AEP为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）(4，4)，(2，2)，；
解：（2）∵双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，
∴设M（m，4），N（4，n），
∴4m＝4n，
∴m＝n，
∴MC＝NC，
由正方形可知，∠BCD＝90°，
∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MN∥BD；
（3）∵正方形边长为4，
由（1）知E（2，2），
∴AE＝，
①当AP＝AE＝2时，
∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴2m＝2（m+2），
∴m＝2+2；
②当EP＝AE时，点P与点B重合，
∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴4m＝2（m+2），
∴m＝2；
③
当EP＝AP时，
即
当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C（4，4），E（2，2），
将E点坐标代入双曲线y＝，
得2＝，
解得k1＝4，
∴双曲线的解析式为y＝，
故答案为：（4，4），（2，2），；
【分析】（1）根据正方形性质可得C（4，4），E（2，2），再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据正方形性质设M（m，4），N（4，n），再代入反比例函数解析式可得m＝n，则MC＝NC，再根据角之间的关系可得∠CMN＝∠CBD，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得AE，分情况讨论：①当AP＝AE＝2时，②当EP＝AE时，点P与点B重合，③当EP＝AP时，，求出点P，E坐标，代入反比例函数解析式，建立方程，解方程即可求出答案.
23．“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”形成的一种生机勃勃的销售方式．农村电商小李在某电商平台上直播销售一种农产品，每件农产品的成本为40元，每销售一件农产品，需向电商平台缴纳推广费2元．物价部门规定，该农产品的销售单价不高于成本价的2倍，经市场调研发现，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当农产品的销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为，把（45，450），（55，350）代入上式，得，解得，∴y与x的函数关系式为：，
（2）解：设每月的销售利润为根据题意得：，， ∵，∴W有最大值，当时，W最大=5760元．答：当农产品的销售单价定为66元时，每月的销售利润最大.最大利润是5760元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ， 再求解即可。
24．综合与探究
如图，抛物线 ，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作 轴于点E，交直线BC于点F，当 时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由 ，得 ．
解方程，得 ， ．
∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)．
由 ，得 ，∴点C的坐标为(0，－2)
（2）解：设直线BC的函数表达式为 ，经过点B(4，0)，C(0，-2)，∴ 解得 ，∴直线BC的函数表达式为 ．
设点D的坐标为 ，则点F的坐标为 ，点E的坐标为(m，0)．
∵点D在第一象限，∴ ．
又∵ ，∴ ．
解得 ， (舍去)，∴点E的坐标为(5，0)，点D的坐标为 ，点F的坐标为 ，∴ ．
（3）解：设点N的坐标为(1，n)，
①当NB为对角线时，如答图1所示，
点M的坐标为 ．
代入 ，得 ，解得 ．
此时点M的坐标为(0，－2)；
②当ND为对角线时，如答图2所示，
点M的坐标为 ，
代入 ，得 ．
解得 ．
此时点M的坐标为(2，－2)；
③当BD为对角线时，如答图3所示，
点M的坐标为 ，
代入 ，得 ．
解得 ．
此时点M的坐标为(8，10)．
综上所述：存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．
【解析】【分析】（1）先求出 ， ，再求出点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)，最后求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线BC的函数表达式为 ，再求出点E的坐标为(5，0)，点D的坐标为 ，点F的坐标为 ，最后求面积即可；
（3）分类讨论，结合图象，计算求解即可。
25．已知抛物线的顶点为M．
（1）当时，以下结论正确的有 ．（填序号）
①对称轴是直线；
②顶点坐标是；
③当时，y随x的增大而减小．
（2）求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①②
（2）证明：，
，
∴抛物线与x轴有两个交点．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点M总在x轴的下方．
（3）解：∵，
∴顶点M的坐标为．
∴抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点．
由，可得，
∴顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为．
若顶点在x轴上，则，解得，，
∴存在顶点在x轴上，此时k的值为1或2．
【解析】【解答】（1）解：当时，
，
∴对称轴是直线，故①符合题意；
顶点坐标是，故②符合题意；
∵1＞0，
∴当时，y随x的增大而增大，故③不符合题意；
故答案为：∶ ①②．
【分析】（1）当时，，据此逐一判断即可；
（2）先求出△=7＞0，可得抛物线与x轴有两个交点，结合抛物线开口向上，即可判断；
（3）求出原抛物线顶点M，再求出新的抛物线的顶点，根据k=-x得出结论，根据点M'在x轴上，可得，解方程即可．
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