2026届高考数学一轮模拟测试卷一（全国甲卷）（含答案）

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2026届高考数学一轮模拟测试卷一（全国甲卷）
一、选择题
1．（2025·建湖模拟）已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·安化模拟）已知向量，，若，则（　　）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
3．（2025·广东模拟）已知函数，则函数的最大值和周期分别是（　　）
A．， B．， C．2， D．2，
4．（2025·广东模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模拟）已知，，则（　　）
A．0 B． C．1 D．
6．（2025·浙江模拟）设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模拟）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·北京市模拟）在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（　　）（参考数据：）
A．63dB B．66dB C．72dB D．76dB
二、多项选择题
9．（2025·临沂模拟）已知，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·浙江模拟）已知函数，则下列正确的是（　　）
A．是的一个周期
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
11．（2025·顺德模拟）如图，已知棱长为2的正方体中心为，将四棱锥绕直线顺时针旋转之后，得到新的四棱锥，则（　　）
A．
B．当时，四棱锥顶点运动的轨迹长度为
C．当时，平面平面
D．存在旋转的角度，使得四点共面
三、填空题
12．（2025·浙江模拟）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为　 　.
13．（2025·安化模拟）设实数，，使成立，则实数α的取值范围　 　．
14．（2025·顺德模拟）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为　 　．
四、解答题
15．（2025·北京市模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
16．（2025·顺德模拟）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
（2）若存在两个极值点，求的取值范围．
17．（2025·顺德模拟）如图，在直三棱柱中，，．侧棱．分别为上的动点，当运动到的中点时，异面直线与所成角的余弦值为．
（1）证明：是正三棱柱；
（2）若运动时，总满足．当面积最小时，求二面角的大小．
18．（2025·顺德模拟）如图，四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成语，第1次由接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3枚硬币，如果3枚硬币都是反面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有1枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有2枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币都是正面朝上，则第2次由接龙．记第2次接龙的人（为或或或），再次掷3枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有枚硬币正面朝上，则按顺时针方向数，下一次由后面的第个人接龙（若，则下一次由接龙）．此后每次接龙以此类推．
（1）分别求出第2次由接龙的概率；
（2）记前3次中由接龙的次数为，求的分布列及期望；
（3）记第次由接龙的概率为，证明．
19．（2025·顺德模拟）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】8
15．【答案】解：（1）因为
由正弦定理，
得，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）方案一：选条件①和条件②，
由正弦定理，
得，
由余弦定理，
得，
解得，
所以的面积为：.
方案二：选条件①和条件③，
由余弦定理，
得，
则，
所以，
所以，
所以的面积.
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
且，，
则曲线在点处的切线为，
因为切线经过坐标原点，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，令，
因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点，
令，
令，求得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
数形结合可得，方程有2个变号零点的条件是，
即存在2个极值点的条件是.
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为是直三棱柱，所以，
设，由于，
即为异面直线与所成角的大小，
根据勾股定理，
根据余弦定理，
即①，
在中，根据余弦定理得②，
联立①②，解得，
故是正三角形，三棱柱是正三棱柱；
（2）解：设高于，设，
则，由于，
因此，即，化简得，
因此，
当且仅当时等号成立．因此
设中点为中点为，连接，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设平面的法向量是，则，
即，解得，
，
设平面的法向量，
则，即，得，
设二面角为，则，故二面角的大小为.
18．【答案】（1）解：记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
．
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率，
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率；
（2）解：由题意可知：随机变量的取值可能为1，2，3，
前3次中接龙的次数为3，即第2，3次均由进行接龙，
其概率为
前3次中接龙的次数为1，即第2，3次均没有接龙，
分三种情况：第2次接龙且第3次没有接龙；第2次接龙且第3次没有接龙；
第2次接龙且第3次没有接龙，
其概率为，
前3次中A接龙的次数为2的概率为，
的分布列为如下：
1 2 3
；
（3）证明：记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，
第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，则
①，
②，
③，
④，
①＋③得，
因为
所以，所以，
下证若，则，
①＋②得⑤，
①＋④得，代入，得⑥，
⑤－⑥得，所以
因此，若，则，
⑤＋⑥得，所以，
若，则，因此若，则，
因为，
所以.
19．【答案】（1）解：的面积为，则，解得，
则椭圆的左右焦点坐标为，
点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：
，解得，
又因为，所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：设直线的方程为，设，
联立，消去得，
由韦达定理可得：③，
因为，所以，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得，
因此的面积
.
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