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一元二次方程 单元专项培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类.已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
5．如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的分支，若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出（ ）根小分支
A．5根 B．6根 C．7根 D．8根
7．如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（ ）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
8．对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程(x-1)(x+2)=0的解是 ．
12．若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
13．从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ．
14．已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是一4，则它的另一个根是 .
15．一元二次方程的解是 ．
16．如图，中，，点D是上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交于点F，若，则= ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．
18．公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
19．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
20．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
21．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
22．胡师傅今年开了一家煮品店， 5月份盈利3600元，7月份盈利5184元，且从5月到7月份，每月盈利的平均增长率相同.
（1）求每月盈利的平均增长率.
（2）按照这个平均增长率，预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到多少元？
23．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
24．大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A、B两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A款农业无人机为2万元，每架B款农业无人机比A款少2000元．
（1）求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A、B两款大疆农业无人机各多少架？
（2）大疆农业无人机始终保持技术的选代升级.2024年、款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S省计划购买的A、B两款农业无人机，2024年H省购买款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高，购买数量多m个；H省购买款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元，购买数量少.2024年H省购买款、款农业无人机共花费55.8万元，求m的值．
25．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．
（1）求步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
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一元二次方程 单元专项培优卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
2．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
3．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类.已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285.
故答案为：D.
【分析】根据第二季度的社区+第二季度的社区+第四季度的社区=285，进行列方程即可.
4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】【解答】根据题意得 且 ，
解得 且 ．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
5．如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【答案】B
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的分支，若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出（ ）根小分支
A．5根 B．6根 C．7根 D．8根
【答案】C
【解析】【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x根，
根据题意列方程得：x2＋x＋1＝57，
解：x＝7或x＝ 8（不合题意，应舍去）；
∴x＝7；
答：每个支干长出7根小分支.
故答案为：C.
【分析】设每个支干长出的小分支的数目是x根，则主干为1，支杆为x，小分支为x2，进而根据“ 主干、支干和小分支的总数是57 ”列出方程求解即可.
7．如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍，其面积为21．在鸡舍的边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则长为（ ）
A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m
【答案】D
8．对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式 的值的符号即可：
∵a=1，b= ，c= ，
∴ 。
∴此方程有两个不相等的实数根。
故答案为：C。
【分析】根据题意，利用二元一次方程根的判别式进行计算即可得到答案。
9．按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为，
该企业5月份的利润是万元，6月份的利润是万元．
依题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
10．将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，
∴2BC=2CD，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；
由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，最小值为4×2=8；
当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，
设边长为x，由勾股定理可得：22+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴菱形ABCD的周长最大值为×4=17，
∴ 四边形的周长的最大值与最小值的差为17-8=9；故结论Ⅱ正确；
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，易证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，可得BC=CD，即证四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，求出此时最小值，当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，求出此时最大值，再求出周长的最大值与最小值的差即可判断结论Ⅱ.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程(x-1)(x+2)=0的解是 ．
【答案】x1=1、x2=-2
【解析】【解答】
(x-1)(x+2)=0，
x-1=0或x-2=0，
x=1或x=2。
故答案为：
x1=1、x2=-2 。
【分析】根据两个代数式积为0，可得至少其中一个代数式为0，即可求出方程的解。
12．若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴，
∴，
∴ .
故答案为：2.
【分析】根据m是方程 的一个根，求出，再把原式变形整体代值，即可解答.
13．从，，，，这五个数中随机选择一个数，能成为方程的解的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：x2-2x-8=0，
解得：x1=-2，x2=4，
∴从-4，-2，2，3，4这五个数中随机选择一个数，能成为方程x2-2x-8=0的解的概率为
故答案为：.
【分析】首先解方程x2-2x-8=0，找到它的解，然后判断这些解是否在给定的数列中，最后计算符合条件的数的概率.
14．已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是一4，则它的另一个根是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为n，根据题意得
-4n=-20，
解之：n=5.
故答案为：5.
【分析】设方程的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
15．一元二次方程的解是 ．
【答案】4或-4
【解析】【解答】解：，
开方得：.
故答案为：4或-4.
【分析】利用直接开平方法进行计算即可.
16．如图，中，，点D是上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交于点F，若，则= ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．
【答案】（1）解：设有支队参加比赛，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：有8支队参加比赛.
（2）解：每个正方形的面积是平方米，
则每个正方形的边长为米．
【解析】【分析】（1）设有支队参加比赛，根据“ 共安排了28场比赛 ”列出方程，再求出x的值即可；
（2）先求出每个正方形的面积，再利用正方形的面积公式求出边长即可.
18．公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份销量×（1+增长率）2=6月份的月销售量，据此列出关于x的一元二次方程，并解之即可；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之并检验即可.
19．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）解：设每件服装降价元，则销售量为件，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：，，
又因为需要让利于顾客，所以，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）解：设每件服装降价元，
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可。
20．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
【答案】（1）50%；（2）27．
21．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根均大于2，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4m＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∴（x﹣m+1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m．
则由题意，得，
解得m＞3．
即m的取值范围是m＞3．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据题意列出不等式组 求解即可。
22．胡师傅今年开了一家煮品店， 5月份盈利3600元，7月份盈利5184元，且从5月到7月份，每月盈利的平均增长率相同.
（1）求每月盈利的平均增长率.
（2）按照这个平均增长率，预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到多少元？
【答案】（1）设每月盈利的平均增长率为 ，则有：
解这个方程，得：
（舍去）
答：每月盈利的平均增长率为20%.
（2） （元）
答：预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到6220.8元.
【解析】【分析】（1）设该煮品店盈利的月平均增长率为x，根据等量关系：5月份盈利额×（1+增长率）2=7月份的盈利额列出方程求解即可；
（2）由8月份盈利=7月份盈利×增长计算即可.
23．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得，200(1﹣x)2＝162，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）解：200(1﹣5%)(1﹣15%)＝161.5＜162
∴售货员的方案对顾客更优惠．
【解析】【分析】（1）设平均每次降价的百分率是x，根据该商品的原价经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小的值即可得出结论；
（2）根据题意直接计算可得出答案。
24．大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A、B两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A款农业无人机为2万元，每架B款农业无人机比A款少2000元．
（1）求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A、B两款大疆农业无人机各多少架？
（2）大疆农业无人机始终保持技术的选代升级.2024年、款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S省计划购买的A、B两款农业无人机，2024年H省购买款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高，购买数量多m个；H省购买款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元，购买数量少.2024年H省购买款、款农业无人机共花费55.8万元，求m的值．
【答案】（1）2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A款大疆农业无人机10架，B款大疆农业无人机15架；
（2）的值为1．
25．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．
（1）求步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
【答案】（1）解：由题意，得100a+80a-a2=(7a)2，
化简，得a2=3.6a，
∵a>0，
∴a=3.6．
答：步道的宽为3.6 m．
（2）解：如图，
由题意，得AB-DE=100-80+1=21(m)，
∴BC=EF= =21(m)．
∴塑胶跑道的总面积为1×(100+80+21-2)=199(m2)．
【解析】【分析】（1）∵步道宽度为a， 则正方形休闲广场的边长为7a， 根据两条步道总面积等于休闲广场面积列方程求解即可。其中注意两条步道总面积要减去重叠部分的小正方形面积。
（2）根据空地的长度和宽度，道路和塑胶的宽度以及丙的边长，计算出甲、乙区域长之差，因两区域的宽度相等，根据面积之差等于长度之差乘以宽度，求得宽度，即正方形丙的边长，塑胶跑道的总面积等于总长度乘以塑胶宽度，总长度等于空地长宽之和加丙的一边长，再减去有2两次重复相加的塑胶宽度。
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