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对称图形——圆 单元综合测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，，则∠ABC的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的切线，点C在圆上， ，线段交于点D，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20°
7．正三角形外接圆面积是 ，其内切圆面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，若∠C=20°，∠B=35°，则∠A等于( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ）
A．
B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为
D．若，的最大值为
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的两条切线，切点分别为点，若，则的度数为 ．
12．如图，在中，，过A，C，D三点的圆与斜边交于点E，，连接，则的长为 ．
13．如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
14．如图，以正方形ABCD顶点为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）。
15．如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，则 的长为 .
16．如图，边长为5的菱形的面积为20，E、F分别为边、上的动点，且，垂直直线于点G，连接，则的最小值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．
18．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点O在 上，以点O为圆心， 为半径的圆恰好经过点D，分别交 、 于点E、F.
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积(结果保留 ).
19．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
20．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
21．如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
（1）若，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径.
23．如图，在 中， ，以O为圆心，以 的长为半径作 ，交 于点D，交 于点E，过点B和点O分别作 、 的平行线，交于点C，连结 .
（1）若 ， ，求阴影部分的面积；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
24．如图，是的直径，D是延长线上的一点，点C在上，交的延长线于点E，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
25．AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由。
（2）若∠D=30°，BD=10cm，求⊙O的半径。
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对称图形——圆 单元综合测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，，则∠ABC的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．如图，是的切线，点C在圆上， ，线段交于点D，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴；
∴；
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理可得∠BAD=∠BOD=80°，根据圆内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°，据此计算.
7．正三角形外接圆面积是 ，其内切圆面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的外心，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OD= OB，
∴△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1.
∵正三角形外接圆面积是 ，
∴其内切圆面积是
故答案为：D.
【分析】如图⊙O为△ABC的内切圆，连OB，可得点O为△ABC的外心，AD⊥BC，可得OD= OB，从而得出△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1，据此求出结论.
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，
则圆锥的侧面积为，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，
故选：C．
【分析】
根据圆锥的侧面积公式求解即可得．
9．如图，在⊙O中，若∠C=20°，∠B=35°，则∠A等于( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】解：设AC交OB于点F，如图所示：
∵，
∴∠AOB=2∠C=2×20=40°，
∵∠AOF+∠A+∠AFO=∠C+∠B+∠BFC=180°，∠AFO=∠BFC，
∴∠AOF+∠A=∠C+∠B，
∴∠A=∠C+∠B-∠AOF=20°+35°-40°=15°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆周角的性质（在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于圆心角的一半）分析求出∠AOB=2∠C=2×20=40°，再利用“8字型”求出∠A=∠C+∠B-∠AOF=20°+35°-40°=15°即可.
10．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ）
A．
B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为
D．若，的最大值为
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，AB//CD，AD//BC，
∵，，
∴，
∵点E在矩形内部，
∴0过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，如图所示：
∴AB//QN//CD，AD//MP//BC，
∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
设，，，，
∴，，，，
∴，，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点E在以为直径的上，连接交于，如图所示：
则当E与重合时，线段的长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为8．故选项C正确，不符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至F，使，连接AF，如图：
∴△AEF是等腰三角形，
∴.
以为边长向矩形内作等边，则点F在以O为圆心，为半径的优弧上运动，AE+BE=BF.
∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．
故选项D错误，不符合题意．
【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；
过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理分别表示出AE，BE，DE，CE，计算可判定B选项；
根据题意得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据勾股定理求得OC长，OC－OE即可判定C选项；
延长至F，使，连接AF，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，可判断点F在优弧上运动，于是当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的两条切线，切点分别为点，若，则的度数为 ．
【答案】
12．如图，在中，，过A，C，D三点的圆与斜边交于点E，，连接，则的长为 ．
【答案】
13．如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
【答案】4
14．如图，以正方形ABCD顶点为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）。
【答案】4π-8
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
，
故答案为：4π-8
【分析】先根据正方形的性质结合题意得到，再根据扇形的面积和三角形的面积即可求解。
15．如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵OC=OA，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠COB=∠A+∠C=30°+30°=60°，
∴ 的长为.
故答案为：.
【分析】利用等腰三角形的性质可求出∠C的度数，利用三角形的外角的性质求出∠COB的度数；然后利用弧长公式可求出弧AC的长。
16．如图，边长为5的菱形的面积为20，E、F分别为边、上的动点，且，垂直直线于点G，连接，则的最小值为 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．
【答案】（1）解：∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形OABC是菱形．
【解析】【分析】（1）根据内接四边形的对角互补可得 ∠ABC+∠ADC=180° ，再求出 ∠ADC=60° ，即可求解；
（2）根据点B是弧AC的中点，∠AOC=l20° ，可得 ∠AOB=∠BOC=60° ，再根据半径相等即可求解。
18．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点O在 上，以点O为圆心， 为半径的圆恰好经过点D，分别交 、 于点E、F.
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积(结果保留 ).
【答案】（1）解： 与 相切.理由如下：
如图，连接 .
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
又∵ 为 的半径，
∴ 与 相切.
（2）解：设 的半径为 ，则 ， ，
由（1）知 ，在 中， ，
即 ，解得 .
∵ ，
∴ .
∴ ，
，
.
【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出 ，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可.
19．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
20．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中 ∵OD=OB，OC=OC， ∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO=90°， ∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2， ∴32+R2=（R+1）2， 解得R=4， ∴⊙O的半径为4．
【解析】【分析】(1)、连接DO，根据平行线的性质得出∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，结合OA=OD得出∠COD=∠COB，从而得出△COD和△COB全等，从而得出切线；
(2)、设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，根据Rt△ODE的勾股定理求出R的值得出答案．
21．如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
（1）若，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
【答案】（1）解：如图，当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，
∵，
∴，
即点C与点O之间距离的最小值为；
（2）解：如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【解析】【分析】（1）由题可知：当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小， 求出OC即可；
（2） 连接， 根据等要三角形的性质和切线的性质可得，利用弧长公式求解即可。
22．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径.
【答案】（1）解：如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作⊙O，⊙O即为所求；
（2）解：设点E为切点，OE＝OC＝r，
在Rt△ACB中，AB 17，
∵S△AOB AB OE OB AC，
∴17r＝8（15﹣r），
∴r .
【解析】【分析】（1）如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作⊙O即可；（2）设点E为切点，OE＝OC＝r，根据S△AOB AB OE OB AC，构建方程即可；
23．如图，在 中， ，以O为圆心，以 的长为半径作 ，交 于点D，交 于点E，过点B和点O分别作 、 的平行线，交于点C，连结 .
（1）若 ， ，求阴影部分的面积；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：在 中，连接 ，
因为 ， ， ，
所以∠ABO=30°， ，AB=4，
∴ .
因为 =AD ，
所以， ， ，
∴ ，
所以，阴影部分面积为 .
（2）解：CD与 ⊙O相切，理由如下：
因为 ， ，
所以四边形 是平行四边形，且 ，
∴ .
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 （SAS），
所以 ，
又因为 是 的半径，
所以 与 相切.
【解析】【分析】（1）连接OD，由已知条件求得OB＝2，进而求出S△OAB＝2，根据等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理证得DB＝DO＝DA，可得S△ODB＝S△OAB＝，由扇形的面积公式求得S扇形ODE＝，根据阴影部分面积为S△ODB S扇形ODE即可求得结论；
（2）由已知得到四边形OABC是平行四边形，且∠COB＝∠ABO，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，根据三角形的外角定理和角的和差得到∠A＝∠COD，根据全等三角形的判定证得△ABO≌△OCD，根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠AOB＝90°，由圆的切线的判定定理即可证得结论．
24．如图，是的直径，D是延长线上的一点，点C在上，交的延长线于点E，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
又平分∠BAE，
∴∠1＝∠EAC，
，
，（内错角相等）
，
，
是的切线．
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠3＝∠4．
∵AB是的直径，
，
由（1）知OC⊥CD
∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，
，
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB，
而，
而，
，
设，则OD＝2x，
由勾股定理得，
解得，
所以
【解析】【分析】（1）连接，由AC平分∠BAE，得出∠1＝∠EAC，，推出，根据平行线的性质得出，即可得出结论；
（2）求出， 设，则OD＝2x，由勾股定理得出x的值，即可得出答案。
25．AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由。
（2）若∠D=30°，BD=10cm，求⊙O的半径。
【答案】（1）解： CD与圆O相切
证明：∵AB为圆O的直径，C为O上一点
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA，∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
∴CD为圆O的切线
（2）解： 在直角三角形OCD中
∵∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20
∴r=10
【解析】【分析】（1）根据已知，证明得到∠OCD的度数为90°，即可得到CD为圆的切线；
（2）根据已知推出∠A=∠BCD=30°，根据BC=BD=10，即可得到AB=20，求出半径的长度即可。
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