【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 21.2.1.2 配方法 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
人教新版 九上 数学
同步课件
2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
主题情境·柜子刷漆
1.理解并掌握配方法的一般步骤.
2.能根据方程的结构特点熟练、灵活地运用配方法解一元二次方程.
某小区计划设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40m. 这块绿地的长、宽各为多少？
解：设矩形绿地的宽为x m，则长为(x + 40)m，
根据长方形面积公式，可得
x ( x + 40 )=1 200
不能直接通过降次解方程
能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢？
观察 等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2 + ax的式子，如何配成完全平方式？
(1) x2 + 2 x+___= ( )2； (2) x2 + 8 x + ___ = ( x + ____ )2.
1 2
4 2
4
x+1
一半
一半
通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式.
x2 + ax + ( )2 = ( x + )2
对于形如 x2 + ax的式子，不妨猜测： .
x2 + 6x = - 4
x2+6x+9=-4+9
( x+3)2=5
降次(直接开平方法)
解：
x2+6x+4=0
移项
两边加9
二次项系数是1
即 使左边配成
x2+2bx+b2的形式
左边写成完全平方形式
配一次项系数一半的平方
x+3=
x+3= ，或 x+3=
解一次方程
可以验证，-3± 是方程x2+6x+4 =0的两个根.
探究 尝试用你发现的规律解方程x2+6x+4 =0.
归纳总结
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
基本思路：将一般式 ax +bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解．
核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.
问题解决 某小区计划设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40 m. 这块绿底的长、宽各为多少？
解：设矩形绿地的宽为x m，则长为(x + 40)m，
根据长方形面积公式，可得， x ( x + 40 )=1 200 .
化简，得 x2 + 40x = 1 200 .
配方，得 x2 + 40x + (20)2 = 1 200 + (20)2， (x + 20)2 = 1 600 .
由此可得 x + 20 = ±40 ，x1 = 20，x2 = - 60 .
根据问题的实际意义，矩形绿地的宽为20 m，则这块绿地的长为(20+40)=60 m.
(1)x2-8x+1=0
解：移项，得
x2－8x=－1，
由此可得
配方，得
x2－8x+( 4 )2=－1+42，
( x－4)2=15
即
分析：方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
例 解下列方程：
(2)2x2+1=3x
分析：先把方程化为2x2 - 3x + 1= 0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程两边都除以2.
解：移项，得
2x2－3x=－1，
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
例 解下列方程：
(3)3x2-6x+4=0
例 解下列方程：
分析：与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
变式 应用配方法求最值：
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 6x -7的最大值.
解：原式 = 2(x2 - 2x) +5
= 2(x2 - 2x + 1 ) -2 + 5
= 2(x - 1)2 +3
当x =1时，有最小值3.
解：原式= - 3 (x2 - 2x) - 7
= -3(x2 - 2x + 1 )+3 - 7
= -3(x - 1)2 - 4
当x =1时，有最大值-4.
思考 将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n) =p (Ⅱ)
的形式，那么就有：
(1)当 p ＞ 0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根：
(2)当 p = 0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根：
(3)当 p ＜ 0时，因为对任意实数x，都有( x + n )2 ≥ 0 ，所以方程(Ⅱ)无实数根.
配方法解一元二次方程的步骤：
一移，化成一般式，把常数项移到等号右边；
二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)；
三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
四写，方程写成(x+n)2=p的形式；
五开，将等式两边直接开平方；
六解，解一元一次方程；
七定，写出原方程的根.
注意：移项要改变符号
注意：p≥0，才有根.
归纳总结
类别 解题策略
求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成 a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为 0，再根据非负数的和为 0，各项均为 0，从而求解.
如：a2＋b2 - 4b＋4=0，则 a2＋(b－2)2=0，即 a=0，b=2.
归纳总结
配方法的应用
1. (2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8 = 0配方后得到的方程是( )
A. (x + 6)2 = 28
B. (x - 6)2 = 28
C. (x + 3)2 = 1
D. (x - 3)2 = 1
D
(1) x2 - 4x + 3 = - 1
2. 用配方法解下列方程：
(2)x2 - x + 1 = 25
解：
解：x2 - 4x + 4 = 0
(x - 2)2 = 0
x1 = x2 = 2
(3) 2x2 - 3x - 1 = 1
2. 用配方法解下列方程：
解：
(4) x(x-4) = - 8x + 12
解：x2 + 4x = 12
x2 + 4x + 4 = 16
(x + 2)2 = 16
x1 = 2 ，x2 = - 6
3. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－2k＋4 的值必定大于零.
解：k2－2k＋4=k2－2k＋1＋3
=(k－1)2＋3
因为(k－1)2 ≥ 0，所以(k－1)2＋3 ≥ 3.
所以k2－2k＋4的值必定大于零.
4.(解题方法型阅读理解)【阅读材料】若x +y ＋8x-6y＋25=0，求x，y的值．解：(x2+8x+16)＋(y2-6y+9)=0，(x+4)2+(y-3)2=0，
∴x+4=0，y-3=0. ∴x= - 4，y=3.
【解决问题】(1)已知m ＋n2-12n＋10m＋61=0，求(m＋n)2023的值；
解: (1)∵m +n -12n+10m+61=0，将61拆分为25和36，
可得：(m ＋10m＋25)＋(n2-12n＋36)=0，
根据完全平方公式得(m＋5)2＋(n-6)2=0，
∴m＋5=0， n-6=0，∴m=-5，n=6，
∴(m＋n)2023=(-5＋6)2023=1.
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20， a是△ABC中最长的边，求a的取值范围.
(2) ∵b2 + c2 = 8b + 4c - 20，∴b2 + c2 - 8b - 4c + 20 = 0，
将20拆分为16和4，可得(b2-8b+16)+(c2-4c+4) =0，
根据完全平方公式得(b-4)2+ (c-2)2=0,
∴b - 4 = 0， c - 2 = 0，∴b = 4， c = 2 .
在△ABC中，b - c< a < b + c，即2 < a < 6 .
又∵a是△ABC中最长的边，
∴4 ≤ a<6，即a的取值范围为4 ≤ a <6.
一移，化成一般式，把常数项移到等号右边；
二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)；
三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
四写，方程写成(x+n)2=p的形式；
五开，将等式两边直接开平方；
六解，解一元一次方程；
七定，写出原方程的根.
配方法
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
定义
Thanks!
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