2025人教A版高一数学上学期期末学情评估测试卷（含解析）

2025人教A版高一数学上学期期末学情评估测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
5．折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．的最小值是2 D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．存在，使得对任意的都成立
11．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，且其图象过定点，角的始边与轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点，则 .
13．已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，若，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）计算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化简：．
16．已知函数．
（1）当时，求的定义域；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．
17．中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完）
(1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
(2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
18．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为等边三角形．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象
(1)求函数的解析式及函数的对称中心．
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数（k为常数，），且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用集合的运算即可求出结果.
【详解】由题知，又，所以，
又，所以，
故选：D.
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确.
故选：C.
3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】的对称轴为，
要想函数在区间上是减函数，则，
解得，
故选：D
4．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.
故选：B．
5．折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等腰三角形求得扇形半径，然后得出小扇形半径 ，再由扇形面积公式计算．
【详解】记，如图，在中，因为，，，
所以，即，，
又，即，所以，
所以扇面字画部分的面积为，
故选：A．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果.
【详解】函数的最小正周期，
所以，即．
当时，，
依题意知，，
解得，又
∴当时成立，．
故选：A．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；
【详解】解：，因为在定义域上单调递增，所以，所以，又，所以
故选：C
8．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先变形得到，令，得到在上单调递增，结合，得到，再结合函数的奇偶性和单调性得到，从而求出答案.
【详解】因为，所以，所以.
设函数，则函数在上单调递增，且.
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，当时，不等式无解.
因为是定义在上的奇函数，所以，
的定义域为，
又，
故为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
因为，故，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：A.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．的最小值是2 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，利用不等式性质即得；对于B，利用平方差公式分解因式，再逆用二倍角的余弦公式计算即得；对于C，利用基本不等式时，因等号取不到，故函数取不到最小值2；对于D，依次运用切化弦通分，辅助角公式化简分子，再运用诱导公式和二倍角公式即可求得.
【详解】对于A项，因，利用不等式的性质可得：.故A项正确；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，因，由，当且仅当时等号成立，
但由可得：，显然此方程无实数解，即取不到最小值2，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：ABD.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．存在，使得对任意的都成立
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质、三角恒等变换、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，且，A正确；
B选项：
，
因为，所以的图象关于点对称，B正确；
C选项：当时，，
，
在区间上单调递增，C正确；
D选项：若存在，使得对任意的都成立，
取得，即，
取得，即，所以，
由，得，所以，由B选项知，
得，不符合题意，所以不存在，
使得对任意的都成立，D错误．
故选：ABC
11．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果.
【详解】当时，
函数的大致图像如图所示：
因为当时，，
所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解，
需要满足且，解得，
故选：A、B.
【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，且其图象过定点，角的始边与轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点，则 .
【答案】
【分析】先计算函数的定点，然后根据角终边过定点，计算，代入计算即可.
【详解】函数的定点为，由题意，角终边过定点，所以，，所以.
故答案为：.
13．已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，
又因为关于对称，所以，即，
可得函数的周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
14．已知函数，若，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】定义法证明为偶函数，结合对勾函数的性质可得在上单调递增，不等式等价于，即，求解即可.
【详解】因为的定义域为R，又，所以为偶函数．
设，当时，，则，
由对勾函数性质知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则等价于，
所以，解得，
故实数a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）计算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化简：．
【答案】（1） ；（2）① ；②；（3） ．
【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质化简计算即得；
（2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；
（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得.
【详解】（1）
．
（2）由题意可得：①
，
即是第三象限角，．
②是第三象限角，，
（3）由
，
原式．
16．已知函数．
（1）当时，求的定义域；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）减函数；证明见解析；（3）.
【分析】（1）由于只要，所以要函数有意义，只要，即，从而可求出函数的定义域；
（2）利用单调性的定义进行判断即可；
（3）要在区间上恒取正值，只要的最小值大于零即可，而由（2）可知在上单调递减，所以只要，从而可求出的取值范围
【详解】（1）当时，，
，即，
，即，
∴函数的定义域为；
（2）函数在区间上是减函数.
证明：任取，且，
，
令，
，
，
，
，即，
，
，
∴，
∴在上是减函数；
（3）由（2）可知，在上是减函数，
∴在上是单调递减函数，
∴在上的最小值为，
∵在上恒取正值，即在上恒成立，
，
，即，
，
，
，
故的取值范围为.
【点睛】此题考查求对数型函数的定义域，判断函数的单调性，考查恒成立问题，考查计算能力，属于中档题.
17．中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完）
(1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
(2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元
【分析】（1）根据利润与销售额、成本的关系列出解析式，代入分段函数，即得利润的函数关系式；
（2）就（1）中得到的利润的分段函数式，分段求出每段函数的最大值，进行比较后即得.
【详解】（1）当时，
；
当时．，
所以
（2）当时．，
则（万元）；
当时．单调递增，
所以（万元），
因为，
所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元．
18．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为等边三角形．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象
(1)求函数的解析式及函数的对称中心．
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再结合图象求得，进而利用三角函数的平移伸缩变换求得，再利用整体代入法即可得解；
（2）利用参变分离法将问题转化为恒成立，再利用换元法与函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为
，
结合图象，可知点的纵坐标为，为等边三角形，所以三角形边长为2，
所以，解得，，
所以，
令，得，
所以的对称中心为.
（2）因为，
所以不等式可化为，
因为，则，故，
则，令，，则，
则在上是增函数，
故当时，，.
19．已知函数（k为常数，），且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由偶函数的性质即可求出；
（2）令，题目等价于只有一解，讨论，两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为，是偶函数，
因为，
即，
∴；
（2）若方程只有一个解，
即只有一个解，
整理得：，
令得，
令，
因为，所以与同号，
①当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为图像是开口向上的，
且，，，
所以当时方程在区间上只有一个解；
②当时，，则，
方程在区间上只有一个解，
因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，
且，，
则解得，
所以当时，方程在区间上只有一个解；
综上：当或时，方程只有一个实根.