2.2 基本不等式 同步练习（含解析）

2.2 基本不等式 同步练习
一、选择题
给出下列条件：① ；② ；③ ，；④ ，．其中能使 成立的条件个数为
A． B． C． D．
设 ，则下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
已知 ，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知 ，那么 的最小值是
A． B． C． D．
已知实数 ， 满足 ，那么 的最大值为
A． B． C． D．
已知 ，，则 的最小值为
A． B． C． D．
已知 ，，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
已知 ，，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题
设 ，，且 ，那么
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
已知 ，，，则 的值可能是
A． B． C． D．
三、填空题
若 ，则 的最小值是 ．
已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．
设 ，则 的最小值是 ．
已知 ，，则 的最小值为 ．
四、解答题
请回答下列问题：
(1) 已知 ，，，求 的最小值；
(2) 已知 ，，，求 的最小值．
已知正实数 ， 满足 ．
(1) 求 的最小值；
(2) 证明：．
答案
一、选择题（共8题）
1. 【答案】C
【解析】当 ， 均为正数时，，
故只需 ， 同号即可，
所以①③④均满足要求．
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】当 时，有 ；
当 时，有 成立，
综上，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4. 【答案】D
5. 【答案】C
6. 【答案】B
【解析】因为 ，，
所以
当且仅当 且 ，即 且 时取等号，
故 的最小值为 ．
7. 【答案】C
【解析】因为 ，，
所以 ，，
则 ，
当且仅当 ， 时取等号．
8. 【答案】D
【解析】由 ，，．
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
二、多选题（共2题）
9. 【答案】A；D
【解析】因为 ，，所以 ，当 时取等号，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 有最小值 ；
因为 ，当 时取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 有最小值 ．
10. 【答案】C；D
【解析】由 ，，，得 ，则 且 ．
当 时，
当且仅当 即 时取等号．
当 时，
当且仅当 即 时取等号．
综上，．
三、填空题（共4题）
11. 【答案】
【解析】 时，，，
当且仅当 时，“”成立，取得最小值 ．
12. 【答案】
13. 【答案】
【解析】 （当且仅当 时等号成立）．即 的最小值是 ．
14. 【答案】
四、解答题（共2题）
15. 【答案】
(1) 因为 ，且 ，，
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，
即 的最小值为 ．
(2) 因为 ，，，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
即 的最小值为 ．
16. 【答案】
(1) 因为正实数 ， 满足 ，
所以
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
(2) 因为 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
所以
（当且仅当 时取等号）．