2025-2026学年全国高三上学期数学秋季开学摸底考试卷02（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年全国高三上学期数学秋季开学摸底考试卷02（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1002.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-02 09:55:20 | ||
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文档简介
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在之间的应抽取20人
10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递增
D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数
11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为4
C．若，则
D．的最小值为4
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．已知向量，，若，则 ．
13．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 .
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为 ，的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
16．（15分）
某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度．
（若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附．
17．（15分）
已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．（17分）
已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知，设过点的一条直线与交于，两点，且与线段交于点．
（ⅰ）证明：到直线和的距离相等；
（ⅱ）若的面积等于的面积，求的坐标．
19．（17分）
已知函数
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若讨论函数在上零点的个数；
(3)当时，设，当时，，求的取值范围.
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A A B D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．
13．31
14．2，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意先求首项，进而得；
（2）由（1）先求，进而得，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有，
又因为，，成等比数列，
所以，(3分)
即，（5分）
化简整理得，解得，（7分）
所以.(8分)
（2）由（1）有，
所以，（10分）
所以
.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)，线性相关程度较高；(2)
【分析】（1）根据相关系数公式，求出相关系数，再根据系数大小判断相关程度高不高.
（2）根据独立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.
【详解】（1）由题可知，
，
，
则相关系数，（5分）
因为，所以与的线性相关程度较高．（7分）
（2）设操作成功的次数为，则的所有可能取值为0，1，2．（8分）
，
，
，
所以．（15分）
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）要证明线面平行，需在平面内找到一条线段与平行即可.
（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，然后求出平面的法向量和直线的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值.
（3）根据（2）中求得的平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果.
【详解】（1）取的中点，连接.
则.
而底面为矩形，是的中点，
所以.
所以，所以四边形为平行四边形，（3分）
所以，又平面，而不在平面内，
所以平面.（5分）
（2）因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，.
所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，则.
所以平面的一个法向量为，（9分）
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
（3）因为，平面的一个法向量为.
所以点到平面的距离为：
.（15分）
18．（17分）
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）或．
【分析】（1）根题意由向量的运算得，即满足椭圆的定义，即可求出，进而得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设的方程为，与椭圆方程联立消元得，由韦达定理得，若到直线和的距离相等，则直线平分，即直线与的斜率之和为0，代入韦达定理验证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，由的面积等于的面积，得，进而得，即，得在线段的垂直平分线上，由的垂直平分线为，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）根据题意有，，即
，则，则的轨迹是椭圆，
，，所以，．所以的方程为．（4分）
（2）（ⅰ）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，
所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）
设的方程为，
所以，
其中．
所以，（7分）
设，．
则，，（8分）
若到直线和的距离相等，则直线平分，且易知轴，
所以只需满足直线与的斜率之和为0．
设，斜率分别为，，则：
，（10分）
代入，．
有，故命题得证．（12分）
（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，
因为的面积等于的面积，
故，即，故．
故，，
在线段的垂直平分线上．（15分）
易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，
故的坐标为或．（17分）
19．（17分）
【答案】(1)；(2)2；(3).
【分析】（1）由偶函数的性质得到，结合已知即可得；
（2）由题设，讨论的范围，结合导数、零点存在性定理研究的零点分布情况，即可得；
（3）讨论当、及、，结合，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.
【详解】（1）由，则，
所以恒成立，又，则.(3分)
（2）由题设，则，（4分）
当时在上单调递增，，无零点；（5分）
令，则，
当时，，
所以在上单调递增，，
所以，所以存在，满足，（7分）
时，时，为函数极小值点，
，所以在时存在唯一零点.（8分）
当时，，则，当时，，
综上，时，恒成立，
所以函数有2个零点.（10分）
（3）当时，，故，
所以在上单调递增，则，
当时，，若，则成立；
若，令，
则在上单调递增，(12分)
又，
存在，使，可得，
若，则在上单调递减；
若，则在上单调递增.（14分）
所以，解得.
此时，所以，从而.
所以的取值范围为.（17分）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在之间的应抽取20人
10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递增
D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数
11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为4
C．若，则
D．的最小值为4
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．已知向量，，若，则 ．
13．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为 .
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为 ，的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和．
16．（15分）
某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度．
（若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附．
17．（15分）
已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．（17分）
已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知，设过点的一条直线与交于，两点，且与线段交于点．
（ⅰ）证明：到直线和的距离相等；
（ⅱ）若的面积等于的面积，求的坐标．
19．（17分）
已知函数
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若讨论函数在上零点的个数；
(3)当时，设，当时，，求的取值范围.
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A A B D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．
13．31
14．2，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意先求首项，进而得；
（2）由（1）先求，进而得，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有，
又因为，，成等比数列，
所以，(3分)
即，（5分）
化简整理得，解得，（7分）
所以.(8分)
（2）由（1）有，
所以，（10分）
所以
.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)，线性相关程度较高；(2)
【分析】（1）根据相关系数公式，求出相关系数，再根据系数大小判断相关程度高不高.
（2）根据独立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.
【详解】（1）由题可知，
，
，
则相关系数，（5分）
因为，所以与的线性相关程度较高．（7分）
（2）设操作成功的次数为，则的所有可能取值为0，1，2．（8分）
，
，
，
所以．（15分）
17．（15分）
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）要证明线面平行，需在平面内找到一条线段与平行即可.
（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，然后求出平面的法向量和直线的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值.
（3）根据（2）中求得的平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果.
【详解】（1）取的中点，连接.
则.
而底面为矩形，是的中点，
所以.
所以，所以四边形为平行四边形，（3分）
所以，又平面，而不在平面内，
所以平面.（5分）
（2）因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，.
所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，则.
所以平面的一个法向量为，（9分）
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
（3）因为，平面的一个法向量为.
所以点到平面的距离为：
.（15分）
18．（17分）
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）或．
【分析】（1）根题意由向量的运算得，即满足椭圆的定义，即可求出，进而得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设的方程为，与椭圆方程联立消元得，由韦达定理得，若到直线和的距离相等，则直线平分，即直线与的斜率之和为0，代入韦达定理验证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，由的面积等于的面积，得，进而得，即，得在线段的垂直平分线上，由的垂直平分线为，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）根据题意有，，即
，则，则的轨迹是椭圆，
，，所以，．所以的方程为．（4分）
（2）（ⅰ）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，
所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）
设的方程为，
所以，
其中．
所以，（7分）
设，．
则，，（8分）
若到直线和的距离相等，则直线平分，且易知轴，
所以只需满足直线与的斜率之和为0．
设，斜率分别为，，则：
，（10分）
代入，．
有，故命题得证．（12分）
（ⅱ）由（ⅰ）知直线平分，即，
因为的面积等于的面积，
故，即，故．
故，，
在线段的垂直平分线上．（15分）
易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，
故的坐标为或．（17分）
19．（17分）
【答案】(1)；(2)2；(3).
【分析】（1）由偶函数的性质得到，结合已知即可得；
（2）由题设，讨论的范围，结合导数、零点存在性定理研究的零点分布情况，即可得；
（3）讨论当、及、，结合，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.
【详解】（1）由，则，
所以恒成立，又，则.(3分)
（2）由题设，则，（4分）
当时在上单调递增，，无零点；（5分）
令，则，
当时，，
所以在上单调递增，，
所以，所以存在，满足，（7分）
时，时，为函数极小值点，
，所以在时存在唯一零点.（8分）
当时，，则，当时，，
综上，时，恒成立，
所以函数有2个零点.（10分）
（3）当时，，故，
所以在上单调递增，则，
当时，，若，则成立；
若，令，
则在上单调递增，(12分)
又，
存在，使，可得，
若，则在上单调递减；
若，则在上单调递增.（14分）
所以，解得.
此时，所以，从而.
所以的取值范围为.（17分）
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