2025-2026学年全国高三上学期数学秋季开学摸底考试卷03（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则或与相交
6．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在方向上的投影向量的坐标为
10．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92
C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为
11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则____________．
13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．
14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则____________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
不超过35周岁 30 20 50
超过35周岁 15 35 50
合计 45 55 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？
(2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值；
(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
17．（15分）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)设，记数列的前n项和为，证明：．
18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
19．（17分）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若．
求证：．
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B D D C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．___2_____；13．__________；14．______/____
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，
根据表中数据，计算得，…………3分
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联. …………4分
（2），…………6分
.…………8分
（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人，
可得的所有可能取值为1，2，3，
此时，，，…………11分
则的分布列为：
1 2 3
所以.…………13分
16．（15分）
【答案】（1）由题意，则，
因为，所以，…………1分
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，…………3分
因为平面，所以，
且平面，所以平面，…………5分
又平面，所以平面平面；…………6分
（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，…………7分
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，…………10分
设平面的法向量，
则，令，得，…………13分
设平面与平面的夹角为，则，…………14分
所以平面与平面夹角的正弦值为．…………15分
17．（15分）
【答案（1）因为，
所以，解得，…………1分
又，
所以，即，
所以，即，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分
所以，即．…………4分
（2）因为，
所以，①
，②…………5分
－②得，…………8分
所以．…………9分
（3）因为，…………11分
所以，…………13分
易知是增函数，所以，…………14分
所以．…………15分
18．（17分）
【答案】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，…………2分
所以，C的方程为.…………4分
（2）设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，…………6分
则或.，…………8分
面积…………9分
令，则，，
当且，即时，面积的最大值为.…………11分
（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，
所以点在线段的垂直平分线上，所以.…………12分
于是，
，.
所以，…………14分
于是，
因为，
所以.
所以的值1. …………17分
19．（17分）
【答案】（1）由，得，…………1分
设，
当时，，，
令，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值是；…………5分
（2）①由（1）知：，
因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，…………7分
又，，
所以，…………9分
所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点；…………10分
②由①知，有且仅有一个极值点，且，
当时，，，
由①知，，
要证明，
只需证明，
而，那么，，…………11分
所以，
令，则，
令，则，…………12分
当时，
因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，
所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，又，
所以，
所以在上单调递增，所以，…………14分
当时，，
，…………16分
综上所述，当时，.…………17分