2025-2026学年北京市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：选择性必修第二、三册+高考一轮复习（集合与逻辑、复数、函数与不等式）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
3．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）

A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率
C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率
4．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
5．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．4
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
9．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
10．从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的导数为 ．
12．已知，则 ； ．
13．已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
15．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
①．
②．函数的对称中心为
③．过引曲线的切线，有且仅有1条
④．若成等差数列，则
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（满分13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)3名女生不相邻．
(2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾．
(3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变．
17．（满分13分）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数在处的切线方程；
18．（满分14分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．（满分15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
20．（满分15分）当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．已知语料库实时处理数据时，数据量（万条）与系统延迟（秒）的关系为．
(1)讨论系统延迟最小的临界数据量；
(2)当时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）．
参考数据：3.0910．
21．（满分15分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数学·答案及评分参考
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C C D C A A D B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 12. 13. 0
14. 48 384 15.①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
（满分13分）
【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种；........................................4分
（2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况，
其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种；........................................9分
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种．........................................13分
17．（满分13分）
【详解】（1）依题意，在及处取得极值，
而的两根为，，
所以，，
，，
此时，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以及是极值点，符合题意.
所以......................................8分
（2）由（1）得，，
，，则切线方程为，
化简得，函数在处的切线方程为.........................................13分
（满分14分）
【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，，
由，得，又等差数列的公差是-2，则，
所以和的通项公式分别为，.........................................8分
（2）记和的前项和分别为，，则．
而，，
所以..........................................14分
（满分15分）
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率..........................................5分
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故..........................................11分
（3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故..........................................15分
20．（满分15分）
【详解】（1）由题意得，，
令，解得，
①若，当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值；
②若，当时，，
所以在上单调递增，没有最小值.
综上，若，则系统延迟最小的临界数据量为；
若，则不存在系统延迟最小的临界数据量..........................................9分
（2）当时，，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
又19.，20.，
故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条..........................................15分
21．（满分15分）
【详解】（1）设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为..........................................4分
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；.......................................9分
（3）解法一：由题意，直线，直线，
所以，，.........................................10分
当时，，在上单调递增，
所以
所以
，.........................................13分
由（1）可得当时，，
所以，.........................................14分
所以..........................................15分
解法二：由可设，又，所以，即，
因为直线的方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以.......................................15分