2025-2026学年广东省高三上学期数学秋季开学摸底考试卷（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积随的运动而变化
B．平面
C．
D．平面平面
10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的周长可以为14
D．当时，
11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为3
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ．
13．已知数列满足，，则其通项公式为 .
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率 ，第次传球后球在丙手里的概率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
樱花迷 非樱花迷
男 5m 5
女 40 2m
(1)求的值；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．
(1)若平面与直线交于点，求的值；
(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形的面积的最大值．
19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”．
(1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．
(2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围．
(3)设，且，证明：．
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A A B D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD AC AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．2 13． 14．/
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）由题意可得，解得； 1分
（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到：， 3分
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即“樱花迷”与性别无关联； 5分
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故的可能取值为0，1，2，
则， 7分
所以的分布列为
0 1 2
11分
故. 13分
16．【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即， 3分
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以， 6分
（2）由（1）有，
所以， 8分
上式相加有，
所以，
所以； 10分
（3）由（2）有，
所以， 12分
所以
，
所以. 15分
17．【详解】（1）在平面内作，
因为平面，平面，平面，
所以， 2分
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，，
又，分别为，的中点，
，，设，
，
，，共面，存在实数，，使得， 4分
即，
所以，解得，所以； 7分
（2）设平面的法向量为，
，解得，令得，
， 9分
又，，
设平面的法向量为，
，解得，令得，
， 11分
设平面和平面所成的角为，
，
整理得，，， 13分
，，
故点到平面的距离为． 15分
18．【详解】（1）由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为． 3分
（2）
如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，
利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半． 5分
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：，
代入E：，整理得，显然， 7分
设，，则， 9分
于是，
， 11分
点到直线l：的距离为，
则四边形的面积为， 14分
令，则，且，代入得，，
当时，等号成立，此时． 17分
19．【详解】（1）对于，
定义域，找一个值代入看函数值正负.
取，.因为在取合适值时能使，所以不是定义域上“非负函数”. 2分
对于，
定义域，先求导.令，即，解得.
当，，递减；当，，递增.
所以在取最小值，故是上“非负函数”. 5分
（2）要使在上为“非负函数”，则在恒成立.
求，令，，再令，.
当，，所以在递减，且.
当，，递增；当，，递减. 8分
，，，所以在递减.
，解得. 11分
（3）由，移项得，得.
把代入，有. 13分
因为，两边乘再加，得.
当，；，；；，. 15分
把这些不等式相加：
左边是，右边.
综上，证得. 17分