2025-2026学年上海市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已如集合，则______
2．不等式的解集是______
3．已知点，则的单位向量为（用坐标表示）________
4．已知，若实数满足，则________
5．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，
半圆与、分別相切于点交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为______.
6．已知 ，且，则 的最大值为_______.
7．将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）
8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.
9．已知定义在上的函数满足，当时，，
则方程有_________个根.
在平面直角坐标系中，已知，是上的两个不同的动点，
满足，且恒成立，则实数最小值是________
11．已知等比数列严格增，且．记为在区间（为正整数）中的项的个数，则数列的前2023项的和为 ．
陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为
一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，
且各个顶点在同一球面上；则此球的半径 ．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个
正确选项)
13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
14．已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象
不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知定义在上的函数． 对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意（）都成立，则称为在上的一个“M点”．
有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个M点；
②若对任意，都是在区间上的一个M点，则在上严格增．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图所示三棱锥，底面为等边，O为AC边中点，且底面ABC，
求三棱锥体积；（2）若M为中点，求与面所成角大小.
18．已知函数其中，，（1）若求的值；
（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；
并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数.
19．某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．
当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式
来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元.
请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其
定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
20．已知抛物线的焦点为F，准线为l；
（1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；
（3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
已知函数.（1），
求实数的值；（2）若，且不等式对任意恒成立，求的取值
范围；（3）设，试利用结论，证明：若，其中，
则 .
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）
数学·答案及评分参考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1． 2． 3． 4．##-0.2 5． 6．1
7．96 8． 9．10 10．49 11．11052 12.
选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个
正确选项)
13 14 15 16
B D D D
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
注：解答题给出步骤分值
17．(1)1 (2)【分析】（1）先求出三棱锥的高，代三棱锥体积公式计算得解;
（2）取中点，连接，证明平面，根据直线与平面的所成角的
公式计算可得.【详解】（1）因为底面， ，又因为O为AC边中点，
，所以为正三角形，，………2分，又因为底面为等边，
，………2分，所以；………2分
（2）连接，因为底面为等边，所以，因为底面，………2分
所以 ，，所以平面，………2分，如图，取中点，连接，则，所以平面，所以，所以与面所成角即为，………2分
因为，所以，直角三角形中，
所以，所以与面所成角大小为.………2分
18．(1) ;(2) .
【详解】（1）由得，………2分
即，………2分又；………2分
（2）由（1）得，，依题意，，………2分又故
，函数的图象向左平移个单位后所对应的函数，
………2分是偶函数，当且仅当即，
从而，最小正实数.………2分
19．(1)，定义域为，(2)8
【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的
表达式即可；（2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可．
【详解】（1）由题意可知，，因为每平方米的平均环保费用为元，………2分
因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，………2分
所以每平方米的综合费用，其中函数的定义域为.………2分
（2）由（1）可知，则，
………2分，令得，，当时，，在上单调递减，………2分
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得极小值即为最小值，………2分
所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．………2分
20．(1)，(2)，(3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解.
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为，………2分
双曲线的方程为双曲线，即，则，
由题意可知：，则，………2分
故双曲线C的离心率.………2分
（2）由（1）可知：，过点P作直线的垂线，垂足为M，则，
∵，且，∴，………2分
故直线EP的倾斜角，斜率，………2分
∴直线EP的方程为，即.………2分
（3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下：
设直线，联立方程，消去y可得：，
则可得：，………2分∵直线，当时，，
∴，同理可得：，∵
，………2分
，………2分则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，
故圆C的方程为，整理得，
令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点.
………2分【点睛】过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程
(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
动曲线C过定点问题；解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，
令其系数等于零，得出定点．
21．(1)，(2)，(3)证明见解析.【分析】（1）求得，根据题意得到方程组，
即可求解；（2）把转化为即对任意恒成立，设，
设，利用导数求得函数在单调性，结合，即可求解；
（3）解法1：由不等式，推得，进而利用累加法，即可得证；
解法2：由，得到，结合累加法，即可得证.
【详解】（1）由函数，可得，所以，.………2分
又由，所以，解得. ………2分
（2）若，可得，………2分
则，则不等式可化为，
即对任意恒成立，令，则，设函数，可得，
因为，所以恒成立，所以函数在上严格递增，………2分
所以，故，即实数的取值范围为.………2分
（3）解法1：由，
因为，可得，当且仅当时，等号成立；
………2分，所以，当且仅当时，等号成立，
故，
当且仅当时等号成立.………2分
因此有，，
，………2分
以上个式子相加得：
.
………2分
解法2：由，可得，
………2分
当且仅当时等号同时成立.故，………2分
，，，
……2分，以上个式子相加得：
.
………2分【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．