2025-2026学年天津市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
3．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ）
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；
③若事件，满足，则事件与事件相互独立；
④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为．
A．只有一个正确 B．只有两个正确
C．只有一个错误 D．四个题是错误的
6．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（ ）
A． B． C． D．
9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ．
11．的展开式中的常数项为 ．
12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 .
13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 .
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．
19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列．
(1)求，的值．
(2)（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，．
20．已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学（天津卷）·参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B B C B C D C C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．1 11． 12． 13． 0.7 0.22
14． 15．
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题14分）
【详解】（1）由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，.-------------------------------4分
（2）由（1）结合余弦定理可得，.-----------------------------6分
又，
所以为锐角，-------------------------------8分
所以，.-------------------------------10分
（3）由（2）知，，，-------------------------------11分
所以，-------------------------------12分
-------------------------------13分
所以，-------------------------14分
17．（本小题15分）
【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以，
在矩形中，因为和分别为和的中点，可得，--------------------------2分
因为平面，且平面，可得，所以，----------------------3分
又因为，且平面，所以平面.-----------------------------5分
（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，可得，---------------------6分
设平面的法向量为，则-----------------------------7分
取，可得，所以；-----------------------------8分
因为平面，且平面，可得，-----------------------------9分
又因为，且，平面，
所以平面，即平面，-----------------------------10分
所以为平面的一个法向量，-----------------------------11分
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.-----------------------------12分
（3）解：因为为的中点，可得，所以，-----------------------------13分
由（2）知，平面的法向量为，-----------------------------14分
设点到平面的距离为，则.-----------------------------15分
18．（本小题15分）
详解】（1）由题意得，，解得，------------------------------2分
故，
故椭圆的标准方程为，------------------------------3分
离心率为；------------------------------4分
（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，------------------------------6分
故设直线方程为，------------------------------7分
联立得，，------------------------------9分
设，
，解得或，------------------------------10分
则，------------------------------11分
所以
，------------------------------12分
设到直线的距离为，则，------------------------------13分
所以，------------------------------14分
解得，
所以直线的方程为或------------------------------15分
19．（本小题15分）
【详解】（1）令，显然，-----------------------------2分
由，
.--------------------------------4分
（2）（i）由按上述规则产生共个正整数，
而产生共个正整数则个正整数包含①，--------------------------------6分
②，
故，--------------------------------7分
，--------------------------------8分
当时，
又，.--------------------------------9分
(ii)由，
当时，，--------------------------------10分
由，
当时，--------------------------------11
令，--------------------------------12分
，
，--------------------------------13分
，--------------------------------14分
.--------------------------------15分
20．（本小题16分）
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．--------------------------------3分
（2）由题意，在内恒成立．
，，．--------------------------------4分
令，则，--------------------------------5分
在区间上单调递增，--------------------------------6分
，即.
所以实数a的取值范围是．--------------------------------7分
（3）设，--------------------------------8分
又，则，所以在区间上单调递增．-------------------------9分
，，即，--------------------------------10分
，使，当时，，单调递减；----------------------------11分
当时，，单调递增，--------------------------------12分
又，
，此时且，--------------------------------13分
∴，--------------------------------14分
又，，则，
综上，-----------------------------16分