2025-2026学年浙江省高三上学期数学秋季开学摸底考试卷（含答案）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知全集（是自然数集），集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是定义域为的偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则
A． B．
C． D．
8．若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正方体，则（ ）
A．直线与面平行 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面垂直
10．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
11．记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
13．若曲线在点处的切线方程为，则 ．
14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.
购买华为 购买其他 总计
年轻用户 28
非年轻用户 24 60
总计
附：.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率.
16．（15分）记数列的前项和为.
(1)设，若，求的通项公式；
(2)记，设，求.
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长．
18．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，求的最小值；
(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.
19．（17分）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D A B A A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】; 13．【答案】; 14．【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】解：（1）易得：
购买华为 购买其他 总计
年轻用户 12 28 40
非年轻用户 24 36 60
总计 36 64 100
表格填对：···········4分
由列表可得············3分
故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系. ···········1分
（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用，表示两个年轻用户，用，，，表示非年轻用户，
现从中任选两人，则共有，，，，，，，，，，，，，，，15种可能，
其中满足要求的有6种，由古典概型可知.···········5分
16．（15分）【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由，的关系即可求解，
（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；
【详解】（1）当时， ，整理得，当时，有.
数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以．···········4分
（2）当时，
，所以，···········3分
所以，···········2分
令，其前项和为，
∴①
∴②···········3分
得：.···········2分
∴.令，其前项和易知为：，···········1分
所以
17．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）证明与垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；
（3）设，这样求得平面和平面的法向量，用向量法求二面角，从而求得，可得的长．
【详解】（1）证明：∵，，为的中点，∴四边形为平行四边形，∴
∵，∴，即
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴平面平面···········5分
（2）∵，为的中点，∴
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵是的中点，∴，，
设异面直线与所成角为，，
∴异面直线与所成角的余弦值为．···········5分
（3）解：由（2）知平面的法向量为，
设，且，从而有，
又，设平面法向量为，
由及，，可取．···········3分
∵二面角为，∴，∴，∴．···········2分
18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，
【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.
（2）利用圆的性质得到，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值即可.
（3）联立方程组结合韦达定理得到，进而表示出，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，所以，
由椭圆的定义，解得，
得到，故的方程为.···········3分
（2）因为的右焦点，
圆的圆心，半径，
显然椭圆与圆没有交点，因为点在圆上，所以，
于是，
当且仅当分别是线段与椭圆，圆的交点时取等号，故的最小值为.·······5分
（3）如图，设，
因为直线，所以点，联立消去得.
所以，因为，···········4分
且直线斜率的倒数成等差数列，所以，
所以，即，
将代入上述等式可得，
若，则点在直线上，与已知矛盾；
故，
整理可得，
可得，即，
即对任意的恒成立，
得到，解得或，由于的斜率不为0，得到，故，
故点在定直线上. ···········5分
19．（17分）【答案】(1)；(2)；证明见解析.
【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围；
（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；
（ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
当时，恒成立，
当时，，所以此时不恒成立，
当时，求导得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
即不等式恒成立，等价于，
综上，的取值范围为.···········5分
（2）（i）当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；所以，·····4分
（ii）由，则要证明，只需要证明，···········3分
构造，则，
所以在上单调递增，即，所以有，
即成立．···········5分