绝密★考试结束前
高二数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.下列求导正确的
A. B.
C. D.
2.直线的倾斜角的度数为
A. B. C. D.
3.已知函数在处有极大值,则的值为
A. B. C. D.或
4.已知是空间的一个基底,则下列向量中与向量,能构成空间基底的是
A. B. C. D.
5.已知正项数列的前项积为,满足,则时的的最小值为
A.2026 B.2025 C.2024 D.2023
6.已知双曲线:的左右焦点分别为,过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点,的内切圆圆心分别为,则的周长是
A. B. C. D.
7.在如图所示的试验装置中,正方形框的边长为2,长方形框的长,且它们所在平面形成的二面角的大小为,活动弹子分别在对角线和上移动,且始终保持,则的长度最小时的取值为
A. B.
C. D.
8.已知,方程有实数根,则的最小值为
2
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,则下列选项中正确的是
A.函数在区间上单调递增
B.函数在的值域为
C.函数在点处的切线方程为
D.关于的方程有2个不同的根当且仅当
10.已知椭圆:()的左、右焦点分别为,,下列命题正确的是
A.若椭圆上存在一点使,则椭圆离心率的取值范围是
B.若椭圆上存在四个点使得,则的离心率的取值范围是
C.若椭圆上恰有6个不同的点, 使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范
围是
D.若任意以椭圆的上顶点为圆心的圆与椭圆至多3个公共点,则椭圆的离心率的取值范围是
11.已知定义域为上的函数满足,且,记
,则下列选项中正确的有
A. B.当时,
C.当时, D.
第Ⅱ卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知和分别是等差数列与等比数列的前项和,且,,,则 ▲ .
13.已知底面重合的两个正四面体和,为的重心,记,
则向量用向量表示为 ▲
14.已知函数,对任意,恒成立,则实数的取值范围是
▲ .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在平面直角坐标系中,圆心为的圆C与y轴相切,动直线过点.
(1)当时,直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程;
(2)圆C上存在点满足,求实数的取值范围.
16.(15分)已知数列的前项和满足,令.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
17.(15分)如图五面体中,四边形是菱形,是以角为顶角的等腰直角三角形,点为棱的中点,点为棱的中点
(1)求证:平面
(2)若点在平面的射影恰好是棱的中点,点是线段上的一点且满足,求平面与平面所成角的余弦值.
18.(17分)已知是抛物线的焦点,过焦点的最短弦长为4.
(1)求抛物线的方程;
(2)过动点作抛物线的两条切线,切点为,,直线与抛物线交于(在第一象限).
①求证:点在定直线上;
②记的面积分别为,当时,求点的坐标.
19.(17分)对定义在数集上的可导函数,若数列满足,其中为的导函数,则称为在上的“牛顿列”.
(1)若为的“牛顿列”,,求的通项公式;
(2)若为的“牛顿列”,其中,,求证:,
;
(3)若为的“牛顿列”,求证:且,,其中
为的唯一零点.
高二数学参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D A C C B C A B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
题号 9 10 11
选项 BC ACD ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.9或18 13. 14.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解:
(1)当时,圆心为,圆的方程,
则圆心到直线的距离为 ……2分
若直线的斜率不存在时,则,此时直线与圆相切,不符合题意
若直线的斜率存在,可设直线的方程为,即
则,得,解得,
所以直线的方程为或. ……6分
(2)记圆的半径为,,则,
设,由得,
化简得:,即, ……8分
所以的轨迹为圆,记圆心为,半径为,
圆上存在点满足,即圆和圆有公共点,
……10分
,解得,因为,
所以实数的取值范围为 ……13分
16.(15分)解:
(1)当好.
……4分
当时,
是等比数列 ……7分
(2)由(1)有是等比数列,且公比为2,首项为
……9分
则,
记,
两式相减得,
数列的前项和为 ……15分
(注:其他解法求解的,如裂项相消法,酌情给分)
17.(15分)解:
(1)证明:取的中点,连接,如图所示,
,
,
,
,,
,
,,
……6分
(2)因为点在平面的射影恰好是棱的中点,所以,则,因为是以角为顶角的等腰直角三角形,所以.故以点为坐标原点,,
根据,所以,可设,
,所以
,
,
设平面与平面所成角,则
则,
所以平面与平面所成角的余弦值为. ……15分
18.(17分)解:
(1)由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径,即,
故抛物线的标准方程为 ……4分
(2)①设
,即,同理,
.
,,所以点在定直线上. ……8分
②,由①有直线,直线
联立
,
因为在第一象限,所以 ……12分
,可得,
,,
,
, 即 ……17分
19.(17分)解:
(1),则,则为等差数列,公差为,所以. ……4分
(2),则,则,同号.又,
所以,. ……6分
又,则.又假设存在,,则,这与矛盾!所以,,. ……8分
这样,.所以,
. ……10分
(3),则,且在上单调递增.又,,则在上有唯一零点,故.……12分
这样,
.