浙江省衢州市2024-2025学年高一数学下学期期中考试数学试卷（含答案）

浙江省衢州市2024-2025学年高一下学期期中联考
数学试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围（ ）
A．或 B． C． D．
4．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）

A． B． C． D．
5．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．周期为 B．在上不单调
C．是它的一条对称轴 D．有一个对称中心
6．若，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的偶函数满足：当时，，且当时，，则的零点个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
二、多选题
9．下列各组函数的图象，能够通过左右平移实现重合的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．在中，内角所对的边分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆的面积是
B．若，则是等腰三角形
C．若，则可能等于10
D．若，则的面积为或
11．在中，是中点，与BD交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知复数是方程的一个根，则复数的模的值为 .
13．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九 都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为 .
14．在正四面体ABCD中，分别为的中点，，截面EFG将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 .
四、解答题
15．已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形.
(1)求该圆锥的体积与表面积；
(2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，求的值.
16．已知函数.
(1)如果，求函数的最小正周期与增区间；
(2)如果，当时，函数取得最大值，求的值.
17．已知三角形内角对边分别为，向量，且.
(1)求角；
(2)若，三角形边上有一点，求的长；
(3)角的平分线交于点，且，求面积最小值.
18．如图矩形中，，直线与相互垂直，垂足为点.
(1)求的值；
(2)若.设，求关于的表达式，并求的最大值.
19．以下是数学中对“曼哈顿距离”的定义：在平面直角坐标系中，设点，则叫作两点的曼哈顿距离，又称为折线距离或出租车距离等.某同学在上课听了老师对曼哈顿距离的介绍后，课后对它进行了研究.首先，把点P取在特殊直线上，取已知定点，即转化为函数（为常数）的问题；第二步，把两点取在一般直线上，转化为函数为常数的问题；第三步，把两点分别取在直线与曲线上，设两点坐标，再求两点曼哈顿距离最值；……
请按该同学研究思路，完成以下问题：
(1)求函数的值域；
(2)已知关于的函数的最小值为2时，求实数的值；
(3)已知点在直线上，点坐标满足条件，求两点间曼哈顿距离的最小值.
2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D B C C AD ACD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15．（1）由轴截面为4的等边三角形，可得底面半径，高为，母线长，
于是，
.
（2）如图1，易知，可得在中，，解得，
如图2，易知，可得在中，，解得，故
16．（1）当时，
故最小正周期
由，
得，
故增区间为
（2）当时，
，
其中
当时，取得最大值.
所以，
所以
17．（1）由得，，
由正弦定理得，，
，所以，所以，
故，又，所以
（2）因为点在上，，
故，
所以
，
所以；
（3），由，
即，得，
于是，解得，当且仅当时取等号，
故.
18．（1）在矩形中，由直线与垂直，得，
即，
而，则，所以.
（2）由，得，
即，
同理，由，得，
又不共线，则，解得；
，
由，得，
所以
，
设，由，得，则，
当，即时，，当时，
所以当，即时取得最大值.
19．（1）由已知得，，

由图可得，函数值域为；
（2）根据绝对值性质，为常数，
显然，函数图象可分三段，当或时函数取最小值，
考虑此时函数单调性与大小的关系，
若，当时，函数取最小值，
若，当时，函数取最小值.
由函数最小值为2，
得或，
所以或，
所以或0.
（3）令，结合（2）中函数性质，
得，当时取等号，
所以(其中)，
即两点间曼哈顿距离的最小值为.