5.4.1 二项式定理的推导（教学课件）__高二数学北师大（2019)选择性必修第一册（共27页PPT）

(共27张PPT)
5.4.1 二项式定理的推导
学习目标
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，体现逻辑推理能力（重点）
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式，体现逻辑推理能力（重点）
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，体现数学运算能力（难点）
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已知，
思考一下：观察以上展开式，分析其运算过程，(a+b)n=
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思考一下：根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3
=a2+3a2b+3ab2+b3 ，如果称等式的右边为左边的展开式， 那么如何求出(a+b)n的展开式
我们知道(a+b)n=(a+b)(a+b) (a+b)，n个(a+b)相乘，下面2步来求展开式中的项：
1.展开式每一项的特征.
根据多项式的乘法法则， 在每个因式(a+b)中任选其中一项作为因子， 只有a和b两种选择， 即不选a，就选b.
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1.展开式每一项的特征.
先从第1个因式(a+b)中选一项作为因子， 再从第2个因式(a+b)中选一项作为因子，
依此类推，最后从第n个因式(a+b)中选一项作为因子.这n个因子的乘积构成一个单项式.
由此可知：展开式的每一项由若干个"a "与若干个"b"的乘积构成， 并且a和b的总个数为n，若b的个数为k，则a的个数为n-k， 即an-kbk(k=0,1,
2, ,n)
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思考一下：根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3
=a2+3a2b+3ab2+b3 ，如果称等式的右边为左边的展开式， 那么如何求出(a+b)n的展开式
2.an-kbk同类项的个数.
从n个因式(a+b)中，若选出k个(a+b)，在这k个(a+b)中只取"b"不取"a"， 在余下的(n-k)个(a+b)中只取"a"不取"b"，这样得到的乘积都是an-kbk.
因此，an-kbk的同类项个数为 ，即an-kbk的同类项个数就是从n个(a+b)中选出k个(a+b)的组合数.
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求二项展开式中指定项的解题步骤：
1.确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么；
2.写通项公式Tk+1，通过指数运算进行整理；
3.若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于t（常数项的指数为0），计算出 k ；
4.将k代入通项公式Tk+1，即为所求．
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二项式定理的概念
(a+b)n的展开式中共有(n+1)种不同的同类项：an-kbk(k=0,1,2,
,n)，相应的个数为 (k=0,1,2, ,n). 因此，根据分类加法计数原理，其展开式为
①
上式可简写成
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二项式定理的概念
公式①称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，
(a+b)n的二项展开式共有(n+1)项，其中各项系数 (k=0,1,2, ,n)称为二项式系数，
式中的 用Tk+1表示，称为二项展开式中第(k+1)项，又称为二项式通项，记作Tk+1= .
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二项式定理注意问题：
1.展开式共有n+1项，比二项式的指数大1；
2.各项的次数都等于二项式的次数n；
字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列,次数由0递增到n．
3.二项式系数一定为正值，而项的系数既可以是正值又可以为负值.
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例1：求(1+x)n的展开式.
(1+x)n
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例2：求(x+2)5的展开式.
(x+2)5
=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32.
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例3：求 的展开式.
根据二项式定理，
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例4：求(x-2y)7展开式中x4y3的系数.
因为x4y3中" x "的指数为4，所以由二项式通项，得
因此，x4y3的系数是-280 .
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C
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C
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A
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A
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B
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课堂总结
1.二项式定理的概念
2.二项式定理的注意事项
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