6.5 正态分布（教学课件）__高二数学北师大（2019)选择性必修第一册（共31页PPT）

(共31张PPT)
6.5 正态分布
学习目标
1.通过实例了解正态分布密度曲线及其特点，体现逻辑推理能力（重点）
2.理解正态分布的意义，并且会用图象和函数的观点分析随机变量的分布情况，体会正态分布在实际应用中的广泛性，体现数学计算能力（重难点）
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思考下面的问题：
前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的．但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值．例如：
1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间(0,+∞)内的所有值．
2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0,+∞)内的所有值．
怎样描述这样的随机变量的分布情况呢
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分析上面的问题：
我们先看一个例子
设X表示某产品的寿命(单位： h).假设人们对该产品有如下了解：寿命小于500h的概率为0.71，寿命在500h~800h的概率为0.22，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布
可以用直方图表示概率分布，如下图．
这个直方图的缺点是比较粗糙，没有告诉我们寿命在200h~400h的概率是多少.
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思考一下：假设人们对该产品有进一步的了解：寿命在0~200h的概率为0.2，寿命在200h~400h的概率为0.32，寿命在400h~600h的概率为0.25，寿命在600h~800h的概率为0.16，寿命在800h~1000h的概率为0.07，如何用直观的方式呈现其概率分布？
可以用直方图表示概率分布，如下图．
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思考一下：那么，什么曲线可以更好表示概率分布呢？
为了完全了解产品寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x)．
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思考一下：如果知道了随机变量X的分布密度曲线，如何求X取值于区间(a,b]的概率呢
X取值于区间(a,b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如下图中的阴影部分)的面积．
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思考一下：根据上图中的分布密度的图象，思考一下分布密度有什么性质？
1.误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差分析具有对称性
2.连续随机变量X的分布密度函数曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线
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正态分布的概念
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图, 对应的分布密度函数解析式为
其中实数μ,σ(σ>0)为参数, 这一类随机变量X的分布密度 (函数) 称为正态分布密度 (函数), 简称正态分布, 对应的图象为正态分布密度曲线, 简称为正态曲线.
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思考一下：正态分布有什么特点？
1.如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何一个实数a,b(a2.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记作X~N(μ,σ2),其中EX=μ,DX=σ2.
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思考一下：根据数形结合，可以发现正态曲线有哪些特点和性质？
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；(非负性)
(2)曲线是单峰的，关于直线x=μ对称；(对称性)
(3)曲线的最高点位于x=μ处；(集中性)
(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．(单调性)
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思考一下：观察当μ或者σ一定时，正态曲线的变化情况
2.当μ一定时，曲线的形状σ由确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
1.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
参数μ的含义：参数μ反映了随机变量取值的平均水平．
正态分布随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分面积.
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3σ原则的概念
特别地，
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ因此，随机变量X在区间(μ-σ,μ+σ]，(μ-2σ,μ+2σ]，(μ-3σ,μ+3σ]上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%.
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3σ原则的概念
而随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值概率只有约0.3%，通常认为这种情况在一次试验中不可能发生.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布X~N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值，并称之为3σ原则.
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例1:根据正态曲线的函数解析式，找出其均值μ和标准差σ．
将函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得：
(1)μ=0,σ =1;
(2)μ=1,σ = .
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例2:某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：μ=500g，σ=lg．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理
检查员是有道理的，理由如下:
当该设备正常运行，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500 g，σ=1 g，所以根据正态分布的性质可知产品的质量在区间(μ-3σ,μ+3σ]，即(497,503]之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件．
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但是，检查员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的．
例2:某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为：μ=500g，σ=lg．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理
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思考一下：上面的例子反映了质量控制的基本思想，那么什么是质量控制呢？
在产品生产过程中，假设生产过程是稳定的，则产品质量指标X~N(μ,σ2)．
当生产正常时，产品质量指标观测值应在区间(μ-3σ,μ+3σ]内，而一旦观测值取值于区间(μ-3σ,μ+3σ]外，则属于小概率事件，由小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的原理，我们有理由拒绝“生产过程稳定”的假设，即认为生产过程的稳定性遭到破坏，须采取措施，以确保生产正常进行，此即为质量控制的基本思想，其实质是一个假设检验问题．
在产品质量处于稳定的条件下，可利用质量控制及时发现问题，在生产实践中，通常使用既直观又简单的控制图去实施质量控制．
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B
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B
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C
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B
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0.75
课堂总结
1.正态分布的概念
2.3σ原则
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