1.3.1 空间直角坐标系
1.点P（3，0，2）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A.y轴上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（ ）
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量－的坐标相同
3.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）
A.（0，，0） B.（0，，）
C.（1，0，） D.（1，，0）
4.（2024·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（2024·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为（ ）
A.（，0，） B.（－，0，）
C.（，，） D.（－，，）
6.（多选）下列各命题正确的是（ ）
A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3）
B.点关于y轴的对称点为
C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1
D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4）
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是 .
8.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为 .
9.（2024·泉州月考）如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是 .
10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，求出，，的坐标.
11.（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－1，4），坐标原点为O，且与＝（x，y，z）方向相反，则（ ）
A.x＋y＋z＝0 B.x＝3y
C.x＋z＝0 D.4y＋z＝0
12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，1，－1），则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为 ；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 .
13.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为 ，的坐标为 .
14.如图所示，AF，DE分别是☉O，☉O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是☉O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标.
15.（多选）（2024·青岛月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A.点B1的坐标为（4，5，3）
B.点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3）
C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3）
D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0）
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图所示.
（1）写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的坐标.
1.3.1 空间直角坐标系
1.C 因为P点的y轴坐标为0，其他坐标不为0，故点P（3，0，2）在Ozx面上.
2.D 因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为＝－，所以D正确，故选D.
3.B 由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，即Q（0，，）.
4.C 记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋，B1E＝A1B1，所以＝－＝0i－j＋k＝（0，－，1）.
5.B 由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为.
6.ABD A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则的对称点为（－，1，3），正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确；故选A、B、D.
7.（3，2，5） 解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是（3，2，5）.
8.（－1，－2，－1） 解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1），所以点M关于y轴的对称点的坐标为（－1，－2，－1）.
9.（，，） 解析：由题意知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）.由重心坐标公式得点G的坐标为（，，）.
10.解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，DA，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，
因为AD＝，DC＝，所以＝＝2k，＝－－＋＝－i－j＋2k，＝－＋＝i－j＋2k，
所以＝（0，0，2），＝（－，－，2），＝（，－，2）.
11.ABD 由题意，得＝（x，y，z），且＝λ＝（－3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确；x＝3y，即选项B正确；x＋z＝λ＜0，即选项C错误；4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、B、D.
12.（1，1，1）
解析：由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为（1，1，1）.设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
13.（0，0，－） （0，－，－）
解析：由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝－k＝（0，0，－），＝－＝－j－k＝（0，－，－）.
14.解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，
OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直.
又因为AB＝AC＝6，BC是☉O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6.
以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A（0，－3，0），B（3，0，0），C（－3，0，0），D（0，－3，8），E（0，0，8），F（0，3，0）.
15.ACD 由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D.
16.解：（1）由题易知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）.
（2）易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝（－2，2，0）.
3 / 31.3.1 空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置 数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 直观想象、数学运算
飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度.
【问题】 （1）只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？
（2）要确定飞机的位置，还需要知道什么？
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及相关概念
（1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 ；
（2）相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
提醒 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分.
知识点二 空间向量的坐标
1.空间点的坐标
在单位正交基底{i，j，k}下，＝xi＋yj＋zk，其对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标，z叫做点A的 坐标.
2.空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝ .
【想一想】
空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面.（ ）
（2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（ ）
（3）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（ ）
（4）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于Oyz平面的对称点为（－1，，2）.（ ）
2.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是 .
3.在空间坐标系中，点A（2，－1，2）在坐标平面Oxy内的投影坐标为 .
题型一 空间中点的坐标表示
【例1】 画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度.
（1）求各顶点的坐标；
（2）求棱CC1的中点M的坐标；
（3）求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标.
通性通法
求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影求解；（2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标.
【跟踪训练】
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标.
题型二 空间点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）.
（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；
（2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
（3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标.
通性通法
空间点的对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解；
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
【跟踪训练】
（2024·徐州月考）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
题型三 空间向量的坐标表示
【例3】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标.
通性通法
用坐标表示空间向量的步骤
【跟踪训练】
（2024·信阳月考）如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，则向量，，的坐标分别为 ， ， .
1.在空间直角坐标系Oxyz中，对于点（0，m2＋2，m），一定有下列结论（ ）
A.在Oxy坐标平面上 B.在Ozx坐标平面上
C.在Oyz坐标平面上 D.以上都不正确
2.（2024·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（ ）
A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10）
C.（－2，11，10） D.（2，11，－10）
3.点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，在如图建立的空间直角坐标系中，求点B1与向量的坐标.
1.3.1 空间直角坐标系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz （2）O 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx 2.x轴 y轴 z轴
知识点二
1.（x，y，z） x y 竖
2.（x，y，z） （x，y，z）
想一想
提示：点A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标为（x，y，z），那么向量的坐标也为（x，y，z）.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.（3，2，－1），（－2，4，2）
3.（2，－1，0）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由题意可知，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1）.
（2）由（1）可知棱CC1的中点M的坐标为（1，1，）.
（3）由（1）可知四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标为（，0，）.
跟踪训练
解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4，正四棱锥的高为2.
所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）.
【例2】 解：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）.
（2）由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）.
（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，
y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，
所以P3的坐标为（6，－3，－12）.
跟踪训练
（2，－3，1） 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）.
【例3】 解：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示.
记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝2k，
则＝＋＝－＋＝i－j＋k＝（1，－1，1）.
＝＋＝－＋＝i－j＋2k＝（1，－1，2）.
＝＋＝－－＝－i＋j－2k＝（－1，1，－2）.
跟踪训练
（0，1，0） （－1，0，0） （0，，）
解析：因为PA＝AB＝AD＝1.PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示.所以＝＝0i＋1j＋0k＝（0，1，0），＝－＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0），＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋（＋）＝－＋＋（＋＋）＝＋＝0i＋j＋k＝（0，，）.
随堂检测
1.C 若m＝0，点（0，2，0）在y轴上； 若m≠0，点（0，m2＋2，m）的横坐标为0，纵坐标大于0，竖坐标不为0，点（0，m2＋2，m）在Oyz坐标平面上.综上所述，点（0，m2＋2，m）一定在Oyz坐标平面上.
2.A a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
3.（1，1，－1） （－1，－1，1）
解析：点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，1，－1），点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）.
4.解：记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，
则＝3i，＝5j，＝4k，
＝＋＋＝3i＋5j＋4k，
所以点B1的坐标为（3，5，4）.
＝＋＋＝－＋＝5j－3i＋4k＝－3i＋5j＋4k＝（－3，5，4）.
3 / 4(共60张PPT)
1.3.1 空间直角坐标系
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标
系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直
角坐标系刻画点的位置 数学抽象、
直观想象
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而
全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂
不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽
车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划
定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航
线距离地面的高度.
【问题】 （1）只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位
置吗？
（2）要确定飞机的位置，还需要知道什么？
知识点一 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系及相关概念
（1）空间直角坐标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底
{ i ， j ， k }，以点 O 为原点，分别以 i ， j ， k 的方向为正方
向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：
，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个
；
x 轴、 y 轴、 z
轴
空间直
角坐标系 Oxyz
（2）相关概念： 叫做原点， i ， j ， k 都叫做坐标向量，通
过 的平面叫做坐标平面，分别称
为 平面， 平面， 平面，它们把空间
分成八个部分.
O
每两条坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
2. 右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指
向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个
坐标系为右手直角坐标系.
提醒 画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠ xOy ＝135°（或
45°），∠ yOz ＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分.
x 轴
y 轴
z 轴
知识点二 空间向量的坐标
1. 空间点的坐标
在单位正交基底{ i ， j ， k }下， ＝ xi ＋ yj ＋ zk ，其对应的有序
实数组 ，叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，
记作 A （ x ， y ， z ），其中 叫做点 A 的横坐标， 叫做点
A 的纵坐标， z 叫做点 A 的 坐标.
（ x ， y ， z ）
x
y
竖
2. 空间向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a ，作 ＝ a .由空间向量基
本定理，存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使 a ＝ xi ＋ yj ＋ zk .
有序实数组 叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐
标，上式可简记作 a ＝ .
（ x ， y ， z ）
（ x ， y ， z ）
【想一想】
空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
提示：点 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标为（ x ， y ， z ），那么向
量 的坐标也为（ x ， y ， z ）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在空间中，过 x 轴， y 轴的平面叫做 Oxy 平面. （ √ ）
（2）空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是（0， b ， c ）
的形式. （ × ）
（3）空间直角坐标系中，在 Ozx 平面内的点的坐标一定是（ a ，
0， c ）的形式. （ √ ）
（4）空间直角坐标系中，点（1， ，2）关于 Oyz 平面的对称点
为（－1， ，2）. （ √ ）
√
×
√
√
2. 设{ i ， j ， k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量 a ＝3 i ＋2 j
－ k ， b ＝－2 i ＋4 j ＋2 k 的坐标分别是
.
3. 在空间坐标系中，点 A （2，－1，2）在坐标平面 Oxy 内的投影坐标
为 .
（3，2，－1），（－2，
4，2）
（2，－1，0）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间中点的坐标表示
【例1】 画一个正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1，以 A 为坐标原点，棱
AB ， AD ， AA1所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度.
（1）求各顶点的坐标；
解： 由题意可知， A （0，0，0）， B （1，0，0）， C （1，
1，0）， D （0，1，0）， A1（0，0，1）， B1（1，0，1）， C1
（1，1，1）， D1（0，1，1）.
（2）求棱 CC1的中点 M 的坐标；
解：由（1）可知棱 CC1的中点 M 的坐标为（1，1， ）.
（3）求四边形 AA1 B1 B 的对角线的交点 N 的坐标.
解：由（1）可知四边形 AA1 B1 B 的对角线的交点 N 的坐标为
（ ，0， ）.
通性通法
求空间一点 P 的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投
影求解；（2）利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点 P
的坐标.
【跟踪训练】
已知正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶
点的坐标.
解：因为正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为4，侧棱
长为10，所以底面正方形的对角线长为4 ，正四棱锥的高为2 .
所以正四棱锥各顶点的坐标分别为 A （2 ，0，0）， B （0，2 ，
0）， C （－2 ，0，0）， D （0，－2 ，0）， P （0，0，2
）.
题型二 空间点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点 P （－2，1，4）.
（1）求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；
解：由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴， z
轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1（－2，－
1，－4）.
（2）求点 P 关于 Oxy 平面对称的点的坐标；
解：由点 P 关于 Oxy 平面对称后，它在 x 轴， y 轴的分量不变，
在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2（－2，
1，－4）.
（3）求点 P 关于点 M （2，－1，－4）对称的点的坐标.
解：设对称点为 P3（ x ， y ， z ），则点 M 为线段 PP3的中点，
由中点坐标公式，可得 x ＝2×2－（－2）＝6，
y ＝2×（－1）－1＝－3， z ＝2×（－4）－4＝－12，
所以 P3的坐标为（6，－3，－12）.
通性通法
空间点的对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要
掌握对称点的变化规律，才能准确求解；
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标
相反”这个结论.
【跟踪训练】
（2024·徐州月考）已知点 P （2，3，－1）关于坐标平面 Oxy 的对称
点为 P1，点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的对称
点为 P3，则点 P3的坐标为 .
解析：点 P （2，3，－1）关于坐标平面 Oxy 的对称点 P1的坐标为
（2，3，1），点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点 P2的坐标为（－2，
3，1），点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标是（2，－3，1）.
（2，－3，1）
题型三 空间向量的坐标表示
【例3】 如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的底面△ ABC 中， CA ＝ CB
＝1，∠ BCA ＝90°，棱 AA1＝2， N 为 A1 A 的中点，试建立恰当的坐标
系求向量 ， ， 的坐标.
解：由题意知 CC1⊥ AC ， CC1⊥ BC ， AC ⊥ BC ，建
立空间直角坐标系 Cxyz ，如图所示.
记 x ， y ， z 轴正方向上的单位向量分别为 i ， j ， k ，
则 ＝ i ， ＝ j ， ＝2 k ，
则 ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ i － j ＋ k ＝（1，－1，1）.
＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ i － j ＋2 k ＝（1，－1，2）.
＝ ＋ ＝ － － ＝－ i ＋ j －2 k ＝（－1，1，－2）.
通性通法
用坐标表示空间向量的步骤
【跟踪训练】
（2024·信阳月考）如图， PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面. M ，
N 分别是 AB ， PC 的中点，并且 PA ＝ AB ＝1，试建立适当的空间直角
坐标系，则向量 ， ， 的坐标分别为
， ， .
（0，1，
0）
（－1，0，0）
（0， ， ）
解析：因为 PA ＝ AB ＝ AD ＝1. PA ⊥平面 ABCD ，
AB ⊥ AD ，以{ }为单位正交基底，建
立空间直角坐标系如图所示.所以 ＝ ＝0 i ＋1 j
＋0 k ＝（0，1，0）， ＝－ ＝－ i ＋0 j ＋0 k
＝（－1，0，0）， ＝ ＋ ＋ ＝－
＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＋ ）＝－
＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝
0 i ＋ j ＋ k ＝（0， ）.
1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，对于点（0， m2＋2， m ），一定有下
列结论（ ）
A. 在 Oxy 坐标平面上 B. 在 Ozx 坐标平面上
C. 在 Oyz 坐标平面上 D. 以上都不正确
解析： 若 m ＝0，点（0，2，0）在 y 轴上； 若 m ≠0，点（0，
m2＋2， m ）的横坐标为0，纵坐标大于0，竖坐标不为0，点（0，
m2＋2， m ）在 Oyz 坐标平面上.综上所述，点（0， m2＋2， m ）一
定在 Oyz 坐标平面上.
2. （2024·南京月考）设{ i ， j ， k }是空间向量的一个单位正交基底，
a ＝4 i －8 j ＋3 k ， b ＝－2 i －3 j ＋7 k ，则 a ＋ b 的坐标为（ ）
A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10）
C. （－2，11，10） D. （2，11，－10）
解析： a ＋ b ＝2 i －11 j ＋10 k ，由于{ i ， j ， k }是空间向量的一
个单位正交基底，所以 a ＋ b ＝（2，－11，10）.
3. 点 P （1，1，1）关于 Oxy 平面的对称点 P1的坐标为
；点 P 关于 z 轴的对称点 P2的坐标为 .
解析：点 P （1，1，1）关于 Oxy 平面的对称点 P1的坐标为（1，1，
－1），点 P 关于 z 轴的对称点 P2的坐标为（－1，－1，1）.
（1，1，－
1）
（－1，－1，1）
4. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝3， DC ＝5， DD1＝4，在如图建立的空间直角坐标系中，求点 B1与向量 的坐标.
解：记 x ， y ， z 轴正方向上的单位向量分别为
i ， j ， k ，则 ＝3 i ， ＝5 j ， ＝4 k ，
＝ ＋ ＋ ＝3 i ＋5 j ＋4 k ，
所以点 B1的坐标为（3，5，4）.
＝ ＋ ＋ ＝ － ＋ ＝5 j －3 i ＋4 k ＝－3 i ＋5 j
＋4 k ＝（－3，5，4）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点 P （3，0，2）在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A. y 轴上 B. Oxy 面上
C. Ozx 面上 D. Oyz 面上
解析： 因为 P 点的 y 轴坐标为0，其他坐标不为0，故点 P （3，
0，2）在 Ozx 面上.
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2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，下列说法正确的是（ ）
解析： 因为 A 点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、
C都不正确；因为 ＝ － ，所以D正确，故选D.
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3. 在空间直角坐标系中，已知点 P （1， ， ），过点 P 作平面
Oyz 的垂线 PQ ，则垂足 Q 的坐标为（ ）
解析： 由于垂足在平面 Oyz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横
坐标为0，即 Q （0， ）.
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4. （2024·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD - A1
B1 C1 D1的棱长为1， B1 E ＝ A1 B1，则 ＝（ ）
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解析： 记 x ， y ， z 轴正方向上的单位向量分别为 i ， j ， k ，则
＝ i ， ＝ j ， ＝ k ，又 ＝ ＋ ， B1 E ＝ A1 B1，
所以 ＝ － ＝0 i － j ＋ k ＝（0，－ ，1）.
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5. （2024·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为2， PA ＝4，则 PD 的中点 M 的坐标为（ ）
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解析： 由题意知 PO ＝ ＝ ＝
，点 M 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的射影分别为 M1， O ， M2，它们
在坐标轴上的坐标分别为－ ，0， ，所以点 M 的坐标为
.
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6. （多选）下列各命题正确的是（ ）
A. 点（1，－2，3）关于平面 Oxz 的对称点为（1，2，3）
C. 点（2，－1，3）到平面 Oyz 的距离为1
D. 设{ i ， j ， k }是空间向量单位正交基底，若 m ＝3 i －2 j ＋4 k ，则 m ＝（3，－2，4）
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解析： A项，关于平面 Oxz 的对称点， x ， z 不变， y 变为相
反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关
于 y 轴的对称点， y 不变， x ， z 变为相反数，则 ，正确；C项，空间点到平面 Oyz 的距离
为该点 x 坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面 Oyz 的距离为2，
错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知 m ＝3
i －2 j ＋4 k 表示 m ＝（3，－2，4），正确；故选A、B、D.
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7. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，若 ＝3 i ， ＝2 j ， ＝5 k ，
则向量 在基底{ i ， j ， k }下的坐标是 .
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3 i ＋2 j ＋5 k ，
∴向量 在基底{ i ， j ， k }下的坐标是（3，2，5）.
（3，2，5）
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8. 如图，正方体 ABCD -A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点 M 关于 y 轴的
对称点的坐标为 .
（－1，－2，－1）
解析：易得 D （2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的
中点 M 的坐标为（1，－2，1），所以点 M 关于 y 轴的对称点的坐
标为（－1，－2，－1）.
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（ ， ， ）
解析：由题意知 A （ a ，0，0）， B （0， b ，0）， C （0，0， c ）.
由重心坐标公式得点 G 的坐标为（ ）.
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10. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，已知△ ABC 的边长为1，三棱柱的高
为2，建立适当的空间直角坐标系，求出 ， ， 的坐标.
解：分别取 BC ， B1 C1的中点 D ， D1，连接
DD1， DA ，所以 DC ， DA ， DD1两两垂直，
以 D 为坐标原点，分别以 的方
向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐
标系，如图所示.
设 i ， j ， k 分别是 x ， y ， z 轴正方向上的单位
向量，
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因为 AD ＝ ， DC ＝ ＝ ＝2
k ， ＝－ － ＋ ＝－ i － j ＋2
k ， ＝ － ＋ ＝ i － j ＋2 k ，
所以 ＝（0，0，2）， ＝（－ ，－
，2）， ＝（ ，－ ，2）.
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11. （多选）已知空间直角坐标系中，点 A 的坐标为（－3，－1，
4），坐标原点为 O ，且 与 ＝（ x ， y ， z ）方向相反，则
（ ）
A. x ＋ y ＋ z ＝0 B. x ＝3 y
C. x ＋ z ＝0 D. 4 y ＋ z ＝0
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解析： 由题意，得 ＝（ x ， y ， z ），且 ＝λ ＝
（－3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则 x ＝－3λ， y ＝－λ， z ＝4λ，则
x ＋ y ＋ z ＝0，即选项A正确； x ＝3 y ，即选项B正确； x ＋ z ＝λ＜
0，即选项C错误；4 y ＋ z ＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、
B、D.
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（1，1，1）
解析：由题意知 p ＝2 a ＋ b － c ，则向量 p 在基底{2 a ， b ，－ c }
下的坐标为（1，1，1）.设向量 p 在基底{ a ＋ b ， a － b ， c }下的
坐标为（ x ， y ， z ），则 p ＝ x （ a ＋ b ）＋ y （ a － b ）＋ zc ＝
（ x ＋ y ） a ＋（ x － y ） b ＋ zc ，又∵ p ＝2 a ＋ b － c ，
∴解得 x ＝ ， y ＝ ， z ＝－1，∴ p 在基底{ a ＋ b ，
a － b ， c }下的坐标为 .
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13. 如图所示，正四面体 ABCD 的棱长为1， G 是△ BCD 的中心，建立
如图所示的空间直角坐标系，则 的坐标为
） ， 的坐标为 （0，－ ，－ ） .
（0，0，－
）
（0，－ ，－ ）
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解析：由题意可知， BG ＝ BE ＝ × ＝ ，所以 AG ＝
＝ ＝－ k ＝（0，0，－ ）， ＝
－ ＝－ j － k ＝（0，－ ，－ ）.
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14. 如图所示， AF ， DE 分别是☉ O ，☉ O1的直径， AD 与两圆所在的
平面均垂直， AD ＝8. BC 是☉ O 的直径， AB ＝ AC ＝6， OE ∥
AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点 A ， B ， C ， D ，
E ， F 的坐标.
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解：因为 AD 与两圆所在的平面均垂直， OE ∥
AD ，所以 OE 与两圆所在的平面也都垂直.
又因为 AB ＝ AC ＝6， BC 是☉ O 的直径，所
以△ BAC 为等腰直角三角形，且 AF ⊥ BC ，
BC ＝6 .
以 O 为原点， OB ， OF ， OE 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ， B ， C ， D ， E ， F 各个点的坐标分别为 A （0，－3 ，0）， B （3 ，0，0）， C （－3 ，0，0）， D （0，－3 ，8）， E （0，0，8）， F （0，3 ，0）.
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15. （多选）（2024·青岛月考）如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1
中， AB ＝5， AD ＝4， AA1＝3，以直线 DA ， DC ， DD1分别为 x
轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点 B1的坐标为（4，5，3）
B. 点 C1关于点 B 对称的点的坐标为（5，8，－3）
C. 点 A 关于直线 BD1对称的点的坐标为（0，5，3）
D. 点 C 关于平面 ABB1 A1对称的点的坐标为（8，5，0）
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解析： 由题意可知，点 B1的坐标为（4，5，3），点 C1（0，5，3）关于点 B 对称的点的坐标为（8，5，－3），点 A 关于直线 BD1对称的点为 C1（0，5，3），点 C （0，5，0）关于平面 ABB1 A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D.
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16. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，
如图所示.
（1）写出正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1各顶点的坐标；
解： 由题易知 A （2，0，0）， B
（2，2，0）， C （0，2，0）， D
（0，0，0）， A1（2，0，2）， B1
（2，2，2）， C1（0，2，2）， D1
（0，0，2）.
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（2）求向量 在向量 上的投影向量的坐标.
解： 易知向量 ，在单位正交基底
{ i ， j ， k }下， ＝ ＋ ＝－
＋ ＝－2 i ＋2 j ，故 ＝（－2，2，
0）.
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谢 谢 观 看！
