1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知空间向量a＝（2，－2，1），b＝（3，0，4），则向量b在向量a上的投影向量是（ ）
A.（3，0，4） B.（3，0，4）
C.（2，－2，1） D.（2，－2，1）
4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.（多选）（2024·日照月考）已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的有（ ）
A.（2a＋b）∥a
B.5｜a｜＝｜b｜
C.a⊥（5a＋6b）
D.a与b夹角的余弦值为
6.（多选）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（ ）
A.若｜a｜＝2，则m＝±
B.若a⊥b，则m＝－1
C.不存在实数λ，使得a＝λb
D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2）
7.（2024·开封月考）已知点A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝ ，μ＝ .
8.若△ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（－，，），C（－1，0，），则角A的大小为 .
9.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是 .
10.设x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥b，b∥c.
（1）求｜a＋b｜；
（2）求向量a＋b与2a＋b－c夹角的大小.
11.（2024·珠海月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A.（－∞，－6） B.（－∞，－6）∪（－6，）
C.（，＋∞） D.（－∞，）
12.
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝ .
13.
如图，将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为，的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为 .
14.
在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点， ，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
15.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为 ，若D1E⊥EC，则AE＝ .
16.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z].
（1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若＝，求向量的斜60°坐标；
②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.B ∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B.
2.C a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.
3.C ∵a＝（2，－2，1），b＝（3，0，4），∴｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＝a·b＝2×3＋（－2）×0＋1×4＝10，｜a｜＝＝3，∴向量b在向量a上的投影向量是｜b｜cos＜a，b＞·＝·a＝（2，－2，1）.故选C.
4.C ∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定是直角三角形.
5.BC 因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以cos＜a，b＞＝＝－，故D不正确.
6.AC 由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误.
7.0 0 解析：因为＝（λ－1，1，λ－2μ－3），＝（2，－2，6），由A，B，C三点共线，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.
8.30° 解析：＝（－，，0），＝（－1，0，0），则cos A＝cos＜，＞＝＝，因为0°＜A＜180°.故角A的大小为30°.
9. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为.
10.解：（1）由x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥b，b∥c，可得x＋y＋1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝－2，则a＝（1，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（2，－1，2），故｜a＋b｜＝＝3.
（2）因为2a＋b－c＝（1，4，1），所以（a＋b）·（2a＋b－c）＝2×1＋（－1）×4＋2×1＝0，故向量a＋b与2a＋b－c的夹角为.
11.B 因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜.当a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6，）.故选B.
12.1∶7 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝1，则AD＝2，设AP＝a，所以A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），E（，2，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则＝（，2，－a），＝（－1，y，0）.因为BF⊥PE，所以·＝0，所以－＋2y＝0，解得y＝，所以F（0，，0）.所以AF＝，则FD＝2－＝，所以AF∶FD＝∶＝1∶7.
13. 解析：以O为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A（0，1，0），A1（0，1，1），B1（，，1），C（，－，0）.所以＝（0，0，1），＝（0，－1，－1），则·＝02＋0×（－1）＋1×（－1）＝－1，所以cos＜，＞＝＝＝－.因此，异面直线B1C与AA1所成的角为.
14.解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b.
选择①：因为（＋）⊥（－），
所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b，
若·＝0得4－2（a＋b）＝0，
则a＝b＝1，
故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足·＝0，·＝8－2b＝6.
选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝，
若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝.
故存在点E，F，满足·＝0，·＝8－2b＝5.
选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，
则·＝4－2（a＋b）≠0，
故不存在点E，F满足EF⊥A1C.
15.90° 1
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0≤m≤2，则＝（1，m，－1），＝（－1，0，－1），∴·＝－1＋0＋1＝0，∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.∵＝（－1，2－m，0），D1E⊥EC，∴·＝－1＋m（2－m）＋0＝0，解得m＝1，∴AE＝1.
16.解：（1）由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k，
所以a＋b＝[0，3，5].
（2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量，
则＝2i，＝2j，＝3k，
①＝－
＝（＋）－（＋）
＝－＋＋
＝－2i＋2j＋k＝［－2，2，］.
②由题得＝＋＋＝2i＋2j＋3k，
因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj，
由⊥知·＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0 4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0 4＋2t＋（4＋2t）·＋3＋＝0 t＝－2.
则｜｜＝｜2i－2j｜＝
＝
＝＝2.
1 / 31.3.2 空间向量运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题 数学运算
2.掌握空间向量运算的坐标表示，会判断两个向量是否共线或垂直 逻辑推理
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 数学运算、逻辑推理
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为.
【问题】 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？
知识点一 空间向量的坐标运算
1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝
数量积 a·b＝
2.设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
【想一想】
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？
知识点二 空间向量的相关结论
1.空间向量的平行、垂直、模和夹角
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝ （b≠0） a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
a⊥b a·b＝0（a ,b≠0） a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
夹角 cos＜a，b＞＝ cos＜a，b＞＝
2.空间两点间的距离
在空间直角坐标系中，设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）.
（1）＝ ；
（2）P1P2＝｜｜
＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.（ ）
（2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），若a∥b，则＝＝.（ ）
（3）设A（0，1，－1），O为坐标原点，则＝（0，1，－1）.（ ）
2.已知空间向量m＝（1，－3，5），n＝（－2，2，－4），则m＋n＝ ，3m－n＝ ，（2m）·（－3n）＝ .
3.已知空间向量a＝（2，λ，－1），b＝（λ，8，λ－6），若a∥b，则λ＝ ，若a⊥b，则λ＝ .
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】 （1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝ ；
（2）（2024·郑州月考）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为 .
通性通法
空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算；
（3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解方程（组），求出其坐标.
【跟踪训练】
1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（ ）
A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
2.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝ ，（a－b）·（2a－3b）＝ .
题型二 利用空间向量解决平行与垂直
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点.
求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
（2）A1G⊥平面EFD.
通性通法
向量平行、垂直的应用
（1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数；
（2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系
①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系；
②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡质检）已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，则实数n＝（ ）
A.6 B.－6
C.4 D.－4
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是否存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE？请说明理由.
题型三 空间向量夹角、模的坐标表示的应用
【例3】 （2024·嘉兴月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
（1）求BM，BN的长；（2）求△BMN的面积.
通性通法
利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的一般步骤
（1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
（3）论证、计算：结合公式进行论证、计算；
（4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
【跟踪训练】
（2024·连云港月考）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点.
（1）求FH的长；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.
1.已知M（5，－1，2），A（4，2，－1），O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为（ ）
A.（－1，3，－3） B.（9，1，1）
C.（1，－3，3） D.（－9，－1，－1）
2.（多选）已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（ ）
A.a＋b＝（7，－5，0） B.a－b＝（5，－1，4）
C.a·b＝8 D.｜a｜＝
3.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为 .
4.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E.
向量概念的推广
我们已经知道：（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可以表示a的方向，又可以求｜a｜；
（2）平面向量a可以用二元有序实数对（x，y）表示，即a＝（x，y）.（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜；
（3）空间向量a可以用三元有序实数组（x，y，z）表示，即a＝（x，y，z）.（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜.
【问题探究】
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝（a1，a2，…，an ）.
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则
a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）；
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
｜a｜＝.
n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”｜AB｜＝
.
【例】 某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
【迁移应用】
（多选）已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠）.若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk（x，y，z∈R），则有序实数组（x，y，z）称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作a＝（x，y，z）θ，则下列说法正确的有（ ）
A.已知a＝（1，3，－2）θ，b＝（4，0，2）θ，则a·b＝0
B.已知a＝（x，y，0），b＝（0，0，z），其中x，y，z＞0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C.已知a＝（x1，y1，z1）θ，b＝（x2，y2，z2）θ，则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）θ
D.已知＝（1，0，0），＝（0，1，0），＝（0，0，1），则三棱锥O-ABC的表面积S＝
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） （a1－b1，a2－b2，a3－b3） （λa1，λa2，λa3）（λ∈R）
a1b1＋a2b2＋a3b3 2.（x2－x1，y2－y1，z2－z1） 减去
想一想
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.
知识点二
1.λb
2.（1）（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.（－1，－1，1） （5，－11，19） 168
解析：m＋n＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，1），3m－n＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，19），（2m）·（－3n）＝（2，－6，10）·（6，－6，12）＝168.
3.4 － 解析：若a∥b，则有＝＝，解得λ＝4.若a⊥b，则a·b＝2λ＋8λ－λ＋6＝0，解得λ＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）－4 （2）（5，，0）
解析：（1）易得2a＋3b＝（4，4，5），a－b＝（－3，2，0），则（2a＋3b）·（a－b）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4.
（2）法一（直接法） 因为＝（－），所以－＝，＝＋（－）＝（2，－1，2）＋[（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5，，0），所以点P的坐标为（5，，0）.
法二（间接法） 设P（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.因为＝（－）＝（3，，－2），所以解得则点P的坐标为（5，，0）.
跟踪训练
1.D ∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2.－2 5 解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5.
【例2】 证明：如图，以A为坐标原点，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）.
（1）＝（1，0，1），＝，＝.
因为＝2，·＝1×＋1×＝0，
所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
（2）＝，＝，＝.因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.
跟踪训练
1.D 因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1，－1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，所以存在实数λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得故选D.
2.解：假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.
如图，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
依题意可设AB＝BC＝a，AA1＝b，EC＝t，
则D1（0，0，b），A（a，0，0），E（0，a，t），
设P（x，a－x，b），则有＝（x，a－x，0），＝（－a，a，t），
由·＝x·（－a）＋（a－x）a＋0·t＝0，得x＝，即P（，，b），此时P为A1C1的中点，
∴在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.
【例3】 解：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则B（0，1，0），M（1，0，1），N（0，，1）.
（1）∵＝（1，－1，1），＝（0，－，1），
∴＝
＝，
｜｜＝＝.
故BM的长为，BN的长为.
（2）S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN＝cos＜，＞＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
跟踪训练
解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E（0，0，），F（，，0），C1（0，1，1），G（0，，0），H（0，，）.
（1）∵F，H，
∴＝，
∴｜｜＝＝.
∴FH的长为.
（2）∵＝（，，0）－（0，0，）＝（，，－），
＝－（0，1，1）＝（0，－，－1）.
∴｜｜＝，｜｜＝.
又·＝×0＋×＋×（－1）＝，
∴cos ＜，＞＝＝.
故异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
随堂检测
1.B ＝＝－，＝＋＝（9，1，1）.
2.AC 因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝＝3，故D不正确.故选A、C.
3. 解析：∵＝（0，3，3），＝（－1，1，0），∴｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴cos＜，＞＝＝，又∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝.
4.解：（1）E（a，x，0），F（a－x，a，0）.
（2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a），
∴＝（－x，a，－a），＝（a，x－a，－a），
∴·＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0，
∴⊥，∴A1F⊥C1E.
拓视野 向量概念的推广
【例】 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5），
其中aij为第j门课程的平均成绩.
迁移应用
BC 由定义可得a·b＝（1，3，－2）θ·（4，0，2）θ＝（i＋3j－2k）·（4i＋2k）＝12cos θ，因为0＜θ＜π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得a＋b＝（x1，y1，z1）θ＋（x2，y2，z2）θ＝（x1i＋y1j＋z1k）＋（x2i＋y2j＋z2k）＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j＋（z1＋z2）k＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误.故选B、C.
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1.3.2
空间向量运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题 数学运算
2.掌握空间向量运算的坐标表示，会判断两个向量是
否共线或垂直 逻辑推理
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公
式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.
在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量
为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力
分别为 F1， F2， F3），若3根细绳两两之间的夹角均为 .
【问题】 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道 F1， F2， F3的
大小分别是多少吗？
知识点一 空间向量的坐标运算
1. 设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有
向量运算 坐标表示
加法 a ＋ b ＝
减法 a － b ＝
数乘 λ a ＝
数量积 a · b ＝
（ a1＋ b1， a2＋ b2， a3＋ b3）
（ a1－ b1， a2－ b2， a3－ b3）
（λ a1，λ a2，λ a3）（λ∈R）
a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3
2. 设 A （ x1， y1， z1）， B （ x2， y2， z2），则 ＝
.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线
段的终点坐标 起点坐标.
（ x2－ x1， y2
－ y1， z2－ z1）
减去
【想一想】
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.
知识点二 空间向量的相关结论
1. 空间向量的平行、垂直、模和夹角
设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
a ∥ b a ＝ （ b ≠0） a1＝λ b1， a2＝λ b2，
a3＝λ b3（λ∈R）
a ⊥ b a · b ＝0（a ,b≠0） a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3＝0
λ b
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
模
夹角 cos ＜ a ， b ＞＝
2. 空间两点间的距离
在空间直角坐标系中，设 P1（ x1， y1， z1）， P2（ x2， y2， z2）.
（1） ＝ ；
（2） P1 P2＝｜ ｜
＝ .
（ x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点 B 的坐标相同.
（ × ）
（2）设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），若 a ∥ b ，则
＝ ＝ . （ × ）
（3）设 A （0，1，－1）， O 为坐标原点，则 ＝（0，1，－1）.
（ √ ）
×
×
√
2. 已知空间向量 m ＝（1，－3，5）， n ＝（－2，2，－4），则 m ＋
n ＝ ，3 m － n ＝ ，（2
m ）·（－3 n ）＝ .
解析： m ＋ n ＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，
1），3 m － n ＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，
19），（2 m ）·（－3 n ）＝（2，－6，10）·（6，－6，12）＝168.
（－1，－1，1）
（5，－11，19）
168
解析：若 a ∥ b ，则有 ＝ ＝ ，解得λ＝4.若 a ⊥ b ，则 a · b ＝2λ
＋8λ－λ＋6＝0，解得λ＝－ .
4
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】 （1）已知 a ＝（－1，2，1）， b ＝（2，0，1），则（2 a
＋3 b ）·（ a － b ）＝ ；
解析：易得2 a ＋3 b ＝（4，4，5）， a － b ＝（－3，2，0），则（2 a
＋3 b ）·（ a － b ）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4.
－4
（2）（2024·郑州月考）已知 O 是坐标原点，且 A ， B ， C 三点的坐
标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则
适合条件 ＝ （ － ）的点 P 的坐标为 （5， ，
.
（5， ，
0）
解析：法一（直接法） 因为 ＝ － －
＝ ＝ ＋ － ）＝（2，－1，2）＋
[（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5， ，0），所以点 P 的
坐标为（5， ，0）.
法二（间接法） 设 P （ x ， y ， z ），则 ＝（ x －2， y ＋
1， z －2）.因为 ＝ － ）＝（3， ，－2），所以
则点 P 的坐标为（5， ，0）.
通性通法
空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐
标确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公
式计算；
（3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通
过解方程（组），求出其坐标.
【跟踪训练】
1. 已知 A （1，－2，0）和向量 a ＝（－3，4，12），且 ＝2 a ，则
点 B 的坐标为（ ）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析： ∵ a ＝（－3，4，12），且 ＝2 a ，∴ ＝（－6，
8，24）.∵ A 的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0），
＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），
∴点 B 的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2. 已知 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，1，1），则 a ·（－2 b ）＝
，（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝ .
解析： a ·（－2 b ）＝－2 a · b ＝－2（0＋1＋0）＝－2， a － b ＝
（1，0，－1），2 a －3 b ＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，
－1，－3）.∴（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝（1，0，－1）·（2，－1，
－3）＝2＋3＝5.
－
2
5
题型二 利用空间向量解决平行与垂直
【例2】 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，已知 E ， F ， G ， H 分别是
CC1， BC ， CD ， A1 C1的中点.
求证：（1） AB1∥ GE ， AB1⊥ EH ；
证明：如图，以 A 为坐标原点，以{ }
为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为
1，则 A （0，0，0）， B （1，0，0）， C （1，1，
0）， D （0，1，0）， A1（0，0，1）， B1（1，0，
1）， C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得 E ， F
， G ， H .
（1） ＝（1，0，1）， ＝ ＝ .
因为 ＝2 · ＝1× ＋1× ＝0，所以 ∥
⊥ ，即 AB1∥ GE ， AB1⊥ EH .
（2） A1 G ⊥平面 EFD .
证明： ＝ ＝ ＝
.因为 · ＝ － ＋0＝0， · ＝ ＋0－ ＝0，所以
A1 G ⊥ DF ， A1 G ⊥ DE .
因为 DF ∩ DE ＝ D ，所以 A1 G ⊥平面 EFD .
通性通法
向量平行、垂直的应用
（1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数；
（2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系
①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系；
②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，
将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡质检）已知向量 a ＝（0，1，1）， b ＝（1，－2，1）.
若向量 a ＋ b 与向量 c ＝（ m ，2， n ）平行，则实数 n ＝（ ）
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
解析： 因为 a ＝（0，1，1）， b ＝（1，－2，1），所以 a ＋ b
＝（1，－1，2），又因为向量 a ＋ b 与向量 c ＝（ m ，2， n ）平
行，所以存在实数λ，使得λ（ a ＋ b ）＝ c ，所以故选D.
2. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ， E 是侧棱 CC1上的
任意一点，在线段 A1 C1上是否存在一个定点 P ，使得 D1 P 总垂直于
AE ？请说明理由.
解：假设在线段 A1 C1上存在一个定点 P ，使得 D1 P
总垂直于 AE .
如图，以 D 为原点，分别以 的方向为
x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
依题意可设 AB ＝ BC ＝ a ， AA1＝ b ， EC ＝ t ，则 D1（0，0， b ）， A （ a ，0，0）， E （0， a ， t ），
设 P （ x ， a － x ， b ），则有 ＝（ x ， a － x ，
0）， ＝（－ a ， a ， t ），
由 · ＝ x ·（－ a ）＋（ a － x ） a ＋0· t ＝0，得
x ＝ ，即 P （ ， b ），此时 P 为 A1 C1的中点，
∴在线段 A1 C1上存在一个定点 P ，使得 D1 P 总垂直
于 AE .
题型三 空间向量夹角、模的坐标表示的应用
【例3】 （2024·嘉兴月考）如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1
中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝90°，棱 AA1＝2， M ， N 分别是
AA1， CB1的中点.
（1）求 BM ， BN 的长；
解：建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，则 B （0，1，0）， M （1，0，1）， N （0， ，1）.
（1）∵ ＝（1，－1，1）， ＝（0，－ ，1），
∴ ＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝ .
故 BM 的长为 ， BN 的长为 .
（2）求△ BMN 的面积.
解： S△ BMN ＝ · BM · BN · sin ∠ MBN .
∵ cos ∠ MBN ＝ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝
，
∴ sin ∠ MBN ＝ ＝ ，
故 S△ BMN ＝ × × × ＝ .
即△ BMN 的面积为 .
通性通法
利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的一般步骤
（1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
（3）论证、计算：结合公式进行论证、计算；
（4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
【跟踪训练】
（2024·连云港月考）如图，棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，
E ， F 分别为 D1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG ＝ CD ， H 为
C1 G 的中点.
（1）求 FH 的长；
解：如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， D 为坐标原点，则有 E
， F ， C1（0，1，1）， G （0， ，
0）， H （0， ）.
（1）∵ F ， H ，
∴ ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
∴ FH 的长为 .
（2）求 EF 与 C1 G 所成角的余弦值.
解：∵ ＝（ ，0）－（0，0， ）＝（ ，－ ），
＝ －（0，1，1）＝ .
∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ .
又 · ＝ ×0＋ × ＋ ×（－1）＝ ，
∴ cos ＜ ＞＝ ＝ .
故异面直线 EF 与 C1 G 所成角的余弦值为 .
1. 已知 M （5，－1，2）， A （4，2，－1）， O 为坐标原点，若
＝ ，则点 B 的坐标应为（ ）
A. （－1，3，－3） B. （9，1，1）
C. （1，－3，3） D. （－9，－1，－1）
解析： ＝ ＝ － ＝ ＋ ＝（9，1，1）.
2. （多选）已知向量 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），则
下列结论正确的是（ ）
A. a ＋ b ＝（7，－5，0） B. a － b ＝（5，－1，4）
C. a · b ＝8
解析： 因为 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），所以
a ＋ b ＝（7，－5，0），故A正确； a － b ＝（－5，1，－4），故B
不正确； a · b ＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜ a ｜＝
＝3，故D不正确.故选A、C.
3. 已知 A （2，－5，1）， B （2，－2，4）， C （1，－4，1），则向
量 与 的夹角为 .
解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝3
，｜ ｜＝ · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴ cos
＜ ＞＝ ＝ ，又∵＜ ＞∈[0，π]，∴＜
＞＝ .
4. 如图，在棱长为 a 的正方体 OABC - O1 A1 B1 C1中， E ， F 分别是棱
AB ， BC 上的动点，且 AE ＝ BF ＝ x ，其中0≤ x ≤ a ，以 O 为原点
建立空间直角坐标系 Oxyz .
（1）写出点 E ， F 的坐标；
解： E （ a ， x ，0）， F （ a － x ， a ，0）.
（2）求证： A1 F ⊥ C1 E .
解：证明：∵ A1（ a ，0， a ）， C1（0， a ， a ），
∴ ＝（－ x ， a ，－ a ）， ＝（ a ， x － a ，－ a ），
∴ · ＝－ ax ＋ a （ x － a ）＋ a2＝0，
∴ ⊥ ，∴ A1 F ⊥ C1 E .
向量概念的推广
我们已经知道：（1）直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ，对
于直线 l 上的任意一个向量 a ，一定存在唯一的实数 x ，使得 a ＝ xe ，
此时称 x 为向量 a 在直线 l 上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，
用该坐标 x 即可以表示 a 的方向，又可以求｜ a ｜；
（2）平面向量 a 可以用二元有序实数对（ x ， y ）表示，即 a ＝（ x ，
y ）.（ x ， y ）称为平面向量 a 的坐标，此时的向量又称为二维
向量，用该坐标可以表示 a 的方向，也可求｜ a ｜；
（3）空间向量 a 可以用三元有序实数组（ x ， y ， z ）表示，即 a ＝
（ x ， y ， z ）.（ x ， y ， z ）称为空间向量 a 的坐标，此时的向
量 a 称为三维向量，用该向量的坐标可以表示 a 的方向，也可
求｜ a ｜.
【问题探究】
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的
实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念
是否可以再进一步推广？
结论：用 n 元有序实数组（ a1， a2，…， an ）表示 n 维向量，它构成
了 n 维向量空间， a ＝（ a1， a2，…， an ）.
对于 n 维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设 a ＝（ a1， a2，…， an ）， b ＝（ b1， b2，…， bn ），则
a ± b ＝（ a1± b1， a2± b2，…， an ± bn ）；
λ a ＝λ（ a1， a2，…， an ）＝（λ a1，λ a2，…，λ an ），λ∈R；
a · b ＝（ a1， a2，…， an ）·（ b1， b2，…， bn ）＝ a1 b1＋ a2 b2＋…＋
anbn ；
｜ a ｜＝ .
n 维向量空间中 A （ a1， a2，…， an ）， B （ b1， b2，…， bn ）两点
间的“距离”｜ AB ｜＝
.
【例】 某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用
30个5维向量表示，即 ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）（ i ＝1，
2，…，30），其中 aij 表示成绩， i 不同表示不同的同学， j 不同表示
不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的
平均成绩.
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标
分别加起来，然后再乘以 ，即
ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5），
其中 aij 为第 j 门课程的平均成绩.
【迁移应用】
（多选）已知单位向量 i ， j ， k 两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠
）.若空间向量 a 满足 a ＝ xi ＋ yj ＋ zk （ x ， y ， z ∈R），则有序实数
组（ x ， y ， z ）称为向量 a 在“仿射”坐标系 Oxyz （ O 为坐标原点）
下的“仿射”坐标，记作 a ＝（ x ， y ， z ）θ，则下列说法正确的有
（ ）
A. 已知 a ＝（1，3，－2）θ， b ＝（4，0，2）θ，则 a · b ＝0
C. 已知 a ＝（ x1， y1， z1）θ， b ＝（ x2， y2， z2）θ，则 a ＋ b ＝（ x1
＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）θ
解析： 由定义可得 a · b ＝（1，3，－2）θ·（4，
0，2）θ＝（ i ＋3 j －2 k ）·（4 i ＋2 k ）＝12 cos θ，因
为0＜θ＜π，且θ≠ ，所以 a · b ≠0，故A错误；如图所
示，设 ＝ b ， ＝ a ，则点 A 在平面 Oxy 上，点 B 在 z 轴上，由图易知当 x ＝ y 时，∠ AOB 取得最小值，即向量 a 与 b 的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得 a ＋ b ＝（ x1， y1， z1）θ＋（ x2， y2， z2）θ＝（ x1 i ＋ y1 j ＋ z1 k ）＋（ x2 i ＋ y2 j ＋ z2 k ）＝（ x1＋ x2） i ＋（ y1＋ y2） j ＋（ z1＋ z2） k ＝（ x1＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）θ，故C正确；
由已知可得三棱锥 O - ABC 为正四面体，棱长为1，其
表面积 S ＝4× ×12× ＝ ，故D错误.故选B、C.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 A （3，－2，4）， B （0，5，－1），若 ＝ （ O 为坐
标原点），则点 C 的坐标是（ ）
解析： ∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）
＝ .∴点 C 的坐标为 .故选B.
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2. 已知向量 a ＝（1，2，3）， b ＝（－2，－4，－6），｜ c ｜＝
，若（ a ＋ b ）· c ＝7，则 a 与 c 的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： a ＋ b ＝（－1，－2，－3）＝－ a ，故（ a ＋ b ）· c ＝－
a · c ＝7，得 a · c ＝－7，而｜ a ｜＝ ＝ ，所以 cos
＜ a ， c ＞＝ ＝－ ，所以＜ a ， c ＞＝120°.
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3. 已知空间向量 a ＝（2，－2，1）， b ＝（3，0，4），则向量 b 在向
量 a 上的投影向量是（ ）
解析： ∵ a ＝（2，－2，1）， b ＝（3，0，4），∴｜ a ｜｜
b ｜· cos ＜ a ， b ＞＝ a · b ＝2×3＋（－2）×0＋1×4＝10，｜ a ｜＝
＝3，∴向量 b 在向量 a 上的投影向量是｜ b ｜
cos ＜ a ， b ＞· ＝ · a ＝ （2，－2，1）.故选C.
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4. 在空间直角坐标系中，已知点 A （1，－2，11）， B （4，2，3），
C （6，－1，4），则△ ABC 一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： ∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝
（2，－3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜
＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝
，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ ABC 一定是直角三
角形.
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5. （多选）（2024·日照月考）已知空间向量 a ＝（－2，－1，1）， b
＝（3，4，5），则下列结论正确的有（ ）
A. （2 a ＋ b ）∥ a
C. a ⊥（5 a ＋6 b ）
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解析： 因为2 a ＋ b ＝（－1，2，7）， a ＝（－2，－1，1），
而 ≠ ≠ ，所以2 a ＋ b 与 a 不共线，故A不正确；因为｜ a ｜＝
，｜ b ｜＝5 ，所以5｜ a ｜＝ ｜ b ｜，故B正确；因为
a ·（5 a ＋6 b ）＝5 a2＋6 a · b ＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）
＝0，所以 a ⊥（5 a ＋6 b ），故C正确；因为 a · b ＝－5，所以 cos
＜ a ， b ＞＝ ＝－ ，故D不正确.
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6. （多选）已知向量 a ＝（1，－1， m ）， b ＝（－2， m －1，2），
则下列结论中正确的是（ ）
B. 若 a ⊥ b ，则 m ＝－1
C. 不存在实数λ，使得 a ＝λ b
D. 若 a · b ＝－1，则 a ＋ b ＝（－1，－2，－2）
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解析： 由｜ a ｜＝2，可得 ＝2，解得 m ＝
± ，故A选项正确；由 a ⊥ b ，可得－2－ m ＋1＋2 m ＝0，解得 m
＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得 a ＝λ b ，则
显然λ无解，即不存在实数λ，使得 a ＝λ b ，故C
选项正确；若 a · b ＝－1，则－2－ m ＋1＋2 m ＝－1，解得 m ＝0，
于是 a ＋ b ＝（－1，－2，2），故D选项错误.
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7. （2024·开封月考）已知点 A （λ＋1，μ－1，3）， B （2λ，μ，λ－
2μ）， C （λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝ ，μ
＝ .
解析：因为 ＝（λ－1，1，λ－2μ－3）， ＝（2，－2，6），
由 A ， B ， C 三点共线，得 ∥ ＝－ ＝ ，解得
λ＝0，μ＝0.
0
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8. 若△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，0， ）， B （－ ， ，
）， C （－1，0， ），则角 A 的大小为 .
解析： ＝（－ ，0）， ＝（－1，0，0），则 cos A ＝
cos ＜ ＞＝ ＝ ，因为0°＜ A ＜180°.故角 A 的大
小为30°.
30°
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解析：由已知，得 b － a ＝（2， t ， t ）－（1－ t ，1－ t ， t ）＝（1
＋ t ，2 t －1，0）.∴｜ b － a ｜＝ ＝
＝ .∴当 t ＝ 时，｜ b － a ｜取最小
值，最小值为 .
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10. 设 x ， y ∈R，向量 a ＝（ x ，1，1）， b ＝（1， y ，1）， c ＝
（2，－4，2），且 a ⊥ b ， b ∥ c .
（1）求｜ a ＋ b ｜；
解： 由 x ， y ∈R，向量 a ＝（ x ，1，1）， b ＝（1， y ，
1）， c ＝（2，－4，2），且 a ⊥ b ， b ∥ c ，可得 x ＋ y ＋1
＝0， ＝ ＝ ，解得 x ＝1， y ＝－2，则 a ＝（1，1，
1）， b ＝（1，－2，1），所以 a ＋ b ＝（2，－1，2），
故｜ a ＋ b ｜＝ ＝3.
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（2）求向量 a ＋ b 与2 a ＋ b － c 夹角的大小.
解：因为2 a ＋ b － c ＝（1，4，1），所以（ a ＋ b ）·（2 a ＋
b － c ）＝2×1＋（－1）×4＋2×1＝0，故向量 a ＋ b 与2 a ＋
b － c 的夹角为 .
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11. （2024·珠海月考）已知向量 a ＝（2，－1，3）， b ＝（－4，2，
t ）的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为（ ）
A. （－∞，－6）
解析： 因为向量 a ＝（2，－1，3）， b ＝（－4，2， t ）的夹
角为钝角，所以 a · b ＜0，且 a ， b 不共线，则 a · b ＝－10＋3 t ＜
0，解得 t ＜ .当 a ∥ b 时， t ＝－6，所以实数 t 的取值范围为（－
∞，－6）∪（－6， ）.故选B.
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12. 如图， PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，其中 AD ＝2 AB ，
E 是 CD 的中点， F 是 AD 上一点，当 BF ⊥ PE 时， AF ∶ FD
＝ .
1∶7
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解析：以 A 为坐标原点， AB ， AD ， AP 所在的
直线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系.设 AB ＝1，则 AD ＝2，设 AP ＝
a ，所以 A （0，0，0）， B （1，0，0）， D
（0，2，0）， E （ ，2，0）， P （0，0， a ）.设 F （0， y ，0），则 ＝（ ，2，－ a ）， ＝（－1， y ，0）.因为 BF ⊥ PE ，所以 · ＝0，所以－ ＋2 y ＝0，解得 y ＝ ，所以 F （0， ，0）.所以 AF ＝ ，则 FD ＝2－ ＝ ，所以 AF ∶ FD ＝ ∶ ＝1∶7.
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13. 如图，将边长为1的正方形 AA1 O1 O （及其内部）绕 OO1旋转一周
形成圆柱， 的长为 ， 的长为 ，其中 B1与 C 在平面 AA1
O1 O 的同侧，则异面直线 B1 C 与 AA1所成的角的大小为 .
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解析：以 O 为坐标原点， OA ， OO1所在直线分
别为 y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz ，则 A （0，1，0）， A1（0，1，1），
B1（ ，1）， C （ ，－ ，0）.
所以 ＝（0，0，1）， ＝（0，－1，－1），则 ·
＝02＋0×（－1）＋1×（－1）＝－1，所以 cos ＜ ＞＝
＝ ＝－ .因此，异面直线 B1 C 与 AA1所成的角为 .
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14. 在①（ ＋ ）⊥（ － ）；②｜ ｜＝ ；③0＜ cos
＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，
并完成问题.
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问题：如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为坐标原点，建
立空间直角坐标系 Dxyz .已知点 D1的坐标为（0，0，2）， E 为棱
D1 C1上的动点， F 为棱 B1 C1上的动点， ，试问是否存在点
E ， F 满足 EF ⊥ A1 C ？若存在，求 · 的值；若不存在，请说
明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：由题意，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1棱长为2，则 A （2，0，
0）， B （2，2，0）， A1（2，0，2）， D （0，0，0）， C （0，
2，0），设 E （0， a ，2）（0≤ a ≤2）， F （ b ，2，2）（0≤ b
≤2），则 ＝（ b ，2－ a ，0）， ＝（－2，2，－2），
＝（－2， a ，2）， ＝（ b －2，0，2），所以 · ＝4－2
（ a ＋ b ）， · ＝8－2 b .
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选择①：因为（ ＋ ）⊥（ － ），
所以（ ＋ ）·（ － ）＝0， ＝ ，得 a ＝ b ，
若 · ＝0得4－2（ a ＋ b ）＝0，则 a ＝ b ＝1，
故存在点 E （0，1，2）， F （1，2，2），满足 · ＝0，
· ＝8－2 b ＝6.
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选择②：因为｜ ｜＝ ＝ ，得 a ＝ ，
若 · ＝0，即4－2（ a ＋ b ）＝0，得 b ＝ .
故存在点 E ， F · ＝0，
· ＝8－2 b ＝5.
选择③：因为0＜ cos ＜ ＞＜1，所以 不共线，
所以 b ≠2－ a ，即 a ＋ b ≠2，
则 · ＝4－2（ a ＋ b ）≠0，
故不存在点 E ， F 满足 EF ⊥ A1 C .
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15. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，点
E 在棱 AB 上移动，则直线 D1 E 与 A1 D 所成角的大小为 ，若
D1 E ⊥ EC ，则 AE ＝ .
90°
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解析：在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为
原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又 AD
＝ AA1＝1， AB ＝2，点 E 在棱 AB 上移动.则 D
（0，0，0）， D1（0，0，1）， A （1，0，0）， A1（1，0，1）， C （0，2，0），设 E （1， m ，0），0≤ m ≤2，则 ＝（1，
m ，－1）， ＝（－1，0，－1），∴ · ＝－1＋0＋1＝0，∴直线 D1 E 与 A1 D 所成角的大小为90°.∵ ＝（－1，2－
m ，0）， D1 E ⊥ EC ，∴ · ＝－1＋ m （2－ m ）＋0＝0，解得 m ＝1，∴ AE ＝1.
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16. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标
系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为
“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均
为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直
角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标： i ，
j ， k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（ x 轴， y 轴， z 轴）正方
向的单位向量，若向量 n ＝ xi ＋ yj ＋ zk ，则 n 与有序实数组（ x ，
y ， z ）相对应，称向量 n 的斜60°坐标为[ x ， y ， z ]，记作 n ＝
[ x ， y ， z ].
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（1）若 a ＝[1，2，3]， b ＝[－1，1，2]，求 a ＋ b 的斜60°坐标；
解： 由 a ＝[1，2，3]， b ＝[－1，
1，2]，知 a ＝ i ＋2 j ＋3 k ， b ＝－ i
＋ j ＋2 k ，所以 a ＋ b ＝（ i ＋2 j ＋3 k ）＋（－ i ＋ j ＋2 k ）＝3 j ＋5 k ，
所以 a ＋ b ＝[0，3，5].
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（2）在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝2， AA1＝
3，∠ BAD ＝∠ BAA1＝∠ DAA1＝60°，如图，以{ ，
， }为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若 ＝ ，求向量 的斜60°坐标；
②若 ＝[2， t ，0]，且 ⊥ ，求｜ ｜.
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解：设 i ， j ， k 分别为与 同方向的单位向
量，
则 ＝2 i ， ＝2 j ， ＝3 k ，
① ＝ －
＝（ ＋ ）－（ ＋ ）
＝－ ＋ ＋
＝－2 i ＋2 j ＋ k ＝［－2，2， ］.
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②由题得 ＝ ＋ ＋ ＝2 i ＋2 j ＋3 k ，
因为 ＝[2， t ，0]，所以 ＝2 i ＋ tj ，
由 ⊥ · ＝（2 i ＋2 j ＋3 k ）·（2 i ＋ tj ）＝
0 4 i2＋2 tj2＋（4＋2 t ） i · j ＋6 k · i ＋3 tk · j ＝0 4＋2 t ＋（4
＋2 t ）· ＋3＋ ＝0 t ＝－2.
则｜ ｜＝｜2 i －2 j ｜＝
＝
＝ ＝2.
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谢 谢 观 看！
