第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则实数x＝（ ）
A.－1 B.1或－1
C.－3 D.1
2.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（ ）
A.（1，－1，1） B.（2，－1，1）
C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1）
3.已知线段AB的两端点坐标为A（9，－3，4），B（9，2，1），则线段AB与坐标平面（ ）
A.Oxy平行 B.Oxz平行
C.Oyz平行 D.Oyz相交
4.（2024·南平月考）已知向量＝（2，4，x），平面α的一个法向量n＝（1，y，3），若AB α，则（ ）
A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6
C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0
5.（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（ ）
A.平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0）
B.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）
C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
6.（多选）若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（ ）
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
7.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 .
8.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
9.（2024·南京质检）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝（－2，－2，1），则棱AA1的长为 .
10.已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2，－2）.
（1）写出直线BC的一个方向向量；
（2）设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.
11.（2024·莆田质检）已知＝（－3，1，2），平面α的一个法向量为n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为（ ）
A.AB⊥α B.AB α
C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α
12.（多选）已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向量，则（ ）
A.m＝－1 B.m＝1
C.n＝2 D.n＝－2
13.已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为 .
14.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SAB的一个法向量.
15.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜｜的最小值是 .
16.（2024·金华质检）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.
（1）求证：是平面ABCD的法向量；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.A 由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
2.C 显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝（x，y，z），则有即取z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
3.C 因为＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－3），所以AB∥平面Oyz.
4.C 由题意可知·n＝0，可得3x＋4y＋2＝0.
5.AC ∵＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；∵＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确.
6.ABC 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确.
7.（1，1，1）（答案不唯一） 解析：由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）.
8.x＋2y－3z＝0 解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0.
9.2 解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设AA1＝h，由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，h），所以＝（1，0，h），因为n＝（－2，－2，1），所以根据法向量的定义可得，n·＝（－2，－2，1）·（1，0，h）＝－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2.
10.解：（1）∵B（2，0，0），C（0，2，－2），
∴＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线BC的一个方向向量.
（2）由题意＝（x－2，y－2，z－2），
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，
∴（－2，2，－2）·（x－2，y－2，z－2）＝0.
∴－2（x－2）＋2（y－2）－2（z－2）＝0.
化简得x－y＋z－2＝0.
11.D 因为n·＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
12.AC c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c为平面α的一个法向量，得
得解得
13.（2，1，0）（答案不唯一） 解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），
且满足
即
可取x＝2，y＝1，z＝0，故终点坐标为（2，1，0）.
14.解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），D，C（1，1，0），S（0，0，1），因此＝（，1，0），＝（－，0，1）.
显然向量＝是平面SAB的一个法向量.
设n＝（x，y，z）为平面SCD的法向量，
则
即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，故平面SCD的一个法向量为（2，－1，1）.
15. 解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0，1，－1），∴＝（1，y，－2），＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC，∴·＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵＝（－x，y，0），∴｜｜＝＝＝＝≥（当y＝－1时取等号）.故｜｜的最小值为.
16.解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量.
（2）因为｜｜＝＝，
｜｜＝＝2，
·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以cos＜，＞＝＝，
故sin＜，＞＝，
S ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8.
2 / 21.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系 直观想象、逻辑推理
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理 数学运算、逻辑推理
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
牌楼，与牌坊类似，是我国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的.
【问题】 如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
知识点一 空间中点、直线的向量表示
1.点的位置向量
如图，在空间中，取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的 .
2.空间直线的向量表示
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，将＝a代入①式，得＝ .
提醒 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
知识点二 空间平面的向量表示
1.空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋ .
2.平面的法向量
如图，直线l⊥α，取直线l的 ，则a叫做平面α的法向量.过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为 .
提醒 一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.
【想一想】
1.空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
2.一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l的方向向量是唯一的.（ ）
（2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（ ）
（3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不共线向量唯一确定.（ ）
2.若A（2，1，1），B（1，2，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A.（2，1，1） B.（－2，2，2）
C.（－3，2，1） D.（2，1，－1）
3.（2024·徐州月考）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的一个法向量可以是（ ）
A.（1，0，1） B.（1，0，－1）
C.（0，0，1） D.（1，－1，0）
题型一 直线的方向向量
【例1】 （1）（2024·威海月考）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（ ）
A.0 B.1
C. D.3
（2）在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 .
通性通法
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
【跟踪训练】
1.（多选）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的方向向量是（ ）
A.（2，2，6） B.（1，1，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
2.已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是 .
题型二 平面的法向量
【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
通性通法
求平面法向量的步骤
【跟踪训练】
（多选）已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（ ）
A.（－，1，9） B.（，1，－9）
C.（－15，4，36） D.（15，4，－36）
1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A.（1，2，3） B.（1，3，2）
C.（2，1，3） D.（3，2，1）
2.（2024·周口月考）已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别是（ ）
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和10
3.若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ）
A.（0，－3，1） B.（2，0，1）
C.（－2，－3，1） D.（－2，3，－1）
4.（2024·烟台月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量.
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.基点 位置向量 2.＋t
知识点二
1.x＋y
2.方向向量a {P｜a·＝0}
想一想
1.提示：能.
2.提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.B ∵＝（－1，1，1），而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B.
3.D 设平面α的法向量为n＝（x，y，z），所以n⊥，n⊥.因为＝（2，2，0），＝（0，0，2），所以即取x＝1，则y＝－1，z＝0，所以平面α的一个法向量为（1，－1，0）.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）（0，0，1） （0，1，1）（答案不唯一） 解析：（1）∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0.
（2）∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）；∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），∴直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）.
跟踪训练
1.AB ∵M，N在直线l上，且＝（1，1，3），故向量（1，1，3），（2，2，6）都是直线l的方向向量.
2.（－3，1，1）或（3，1，1） 解析：设P（x，y，z），则＝（x，y－1，z－1），因为∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）.
【例2】 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D（0，，0），P（0，0，1），E，C（1，，0），
于是＝，＝（1，，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）.
母题探究
解：
建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）.
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，）.
跟踪训练
BD 设平面AOB（O是坐标原点）的法向量是u＝（x，y，z），则即令y＝1，解得令y＝4，解得故u＝（，1，－9）或u＝（15，4，－36）.故选B、D.
随堂检测
1.A 因为＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量.
2.A 由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10.
3.D 易知D中的向量与n共线.
4.解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2）.
（1）连接AC（图略），易知AC⊥平面BDD1B1，
∴＝（－2，2，0）为平面BDD1B1的一个法向量.
（2）易知＝（2，2，0），＝（1，0，2）.
设平面BDEF的法向量为n＝（x，y，z），
∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1，
即n＝（2，－2，－1）为平面BDEF的一个法向量.
3 / 4(共60张PPT)
1.4.1
用空间向量研究直线、
平面的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向
量与平面的法向量 数学抽象
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面
与平面的垂直与平行关系 直观想象、
逻辑推理
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置
关系的判定定理 数学运算、
逻辑推理
第1课时
空间中点、直线和平面的
向量表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
牌楼，与牌坊类似，是我国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、
寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖
木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高
大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的.
【问题】 如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线
与地面平行.这是为什么呢？
知识点一 空间中点、直线的向量表示
1. 点的位置向量
如图，在空间中，取一定点 O 作为 ，那么空间中任意一点
P 就可以用向量 来表示，向量 称为点 P 的 .
基点
位置向量
2. 空间直线的向量表示
如图， a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取 ＝ a ，取定空间中的
任意一点 O ，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ，使
＝ ＋ ta ①，将 ＝ a 代入①式，得 ＝ .
＋ t
提醒 空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下两
个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与 l 平行或重合.
知识点二 空间平面的向量表示
1. 空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点 O ，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条
件是存在实数 x ， y ，使 ＝ ＋ .
x ＋ y
提醒 一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.
方向向量 a
{ P ｜ a · ＝0}
【想一想】
1. 空间中给定一个点 A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
提示：能.
2. 一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向
向量不共线能确定.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线 l 的方向向量是唯一的. （ × ）
（2）若点 A ， B 是平面α上的任意两点， n 是平面α的法向量，则
· n ＝0. （ √ ）
（3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的
两个不共线向量唯一确定. （ √ ）
×
√
√
2. 若 A （2，1，1）， B （1，2，2）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向
向量为（ ）
A. （2，1，1） B. （－2，2，2）
C. （－3，2，1） D. （2，1，－1）
解析： ∵ ＝（－1，1，1），而与 共线的非零向量都可以
作为直线 l 的方向向量，故选B.
3. （2024·徐州月考）平面α经过三点 O （0，0，0）， A （2，2，
0）， B （0，0，2），则平面α的一个法向量可以是（ ）
A. （1，0，1） B. （1，0，－1）
C. （0，0，1） D. （1，－1，0）
解析： 设平面α的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），所以 n ⊥ ， n
⊥ .因为 ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2），所以
取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝
0，所以平面α的一个法向量为（1，－1，0）.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的方向向量
【例1】 （1）（2024·威海月考）已知直线 l 的一个方向向量 m ＝
（2，－1，3），且直线 l 过 A （0， y ，3）和 B （－1，2， z ）两点，
则 y － z ＝（ A ）
A. 0 B. 1 D. 3
A
解析：∵ A （0， y ，3）， B （－1，2， z ），∴ ＝（－1，2－
y ， z －3），∵直线 l 的一个方向向量为 m ＝（2，－1，3），故设
＝ km .∴－1＝2 k ，2－ y ＝－ k ， z －3＝3 k .解得 k ＝－ ， y ＝ z ＝
.∴ y － z ＝0.
（2）在如图所示的坐标系中， ABCD - A1 B1 C1 D1为正方体，棱长为
1，则直线 DD1的一个方向向量为 ，直线 BC1的
一个方向向量为 .
（0，0，1）
（0，1，1）（答案不唯一）
解析：∵ DD1∥ AA1， ＝（0，0，1），∴直线 DD1的一个方向向量为（0，0，1）；∵ BC1∥ AD1， ＝（0，1，1），∴直线 BC1的一个方向向量为（0，1，1）.
通性通法
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示
以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
【跟踪训练】
1. （多选）若 M （1，0，－1）， N （2，1，2）在直线 l 上，则直线 l
的方向向量是（ ）
A. （2，2，6） B. （1，1，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
解析： ∵ M ， N 在直线 l 上，且 ＝（1，1，3），故向量
（1，1，3），（2，2，6）都是直线 l 的方向向量.
2. 已知点 P 是过点 A （0，1，1）且方向向量为 v ＝（1，0，0）的直
线上的一点，若｜ ｜＝3，则点 P 的坐标是
.
解析：设 P （ x ， y ， z ），则 ＝（ x ， y －1， z －1），因为
∥ v ，所以 ＝λ v ，即解得 x ＝λ， y ＝ z ＝1，所以 P
（λ，1，1），｜ ｜＝ ＝
3，解得λ＝±3.所以点 P 的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）.
（－3，1，1）或
（3，1，1）
题型二 平面的法向量
【例2】 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥平
面 ABCD ， E 为 PD 的中点. AB ＝ AP ＝1， AD ＝ ，试建立恰当的空
间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量.
解：因为 PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，
所以 AB ， AD ， AP 两两垂直.
如图，以 A 为坐标原点， 的方向分
别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐
标系，则 D （0， ，0）， P （0，0，1），
E ， C （1， ，0），于是 ＝ ＝（1， ，0）.
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACE 的法向量，
则
令 y ＝－1，则 x ＝ z ＝ .
所以平面 ACE 的一个法向量为 n ＝（ ，－1， ）.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面
PCD 的一个法向量.
解：建立如图所示空间直角坐标系，则 P （0，0，1）， C （1， ，
0），所以 ＝（1， ，－1），即直线 PC 的一个方向向量.
设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）.
因为 D （0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）.
由
所以令 y ＝1，则 z ＝ .
所以平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（0，1， ）.
通性通法
求平面法向量的步骤
【跟踪训练】
（多选）已知 A （－4，6，－1）， B （4，3，2），则下列各向量
中是平面 AOB （ O 是坐标原点）的法向量的是（ ）
C. （－15，4，36） D. （15，4，－36）
解析： 设平面 AOB （ O 是坐标原点）的法向量是 u ＝（ x ， y ，
z ），则 令 y ＝1，解得
令 y ＝4，解得故 u ＝（ ，1，－9）或 u ＝
（15，4，－36）.故选B、D.
1. 若 A （－1，0，1）， B （1，4，7）在直线 l 上，则直线 l 的一个方
向向量为（ ）
A. （1，2，3） B. （1，3，2）
C. （2，1，3） D. （3，2，1）
解析： 因为 ＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线 l 的一
个方向向量.
2. （2024·周口月考）已知直线 l1的方向向量 a ＝（2，－3，5），直
线 l2的方向向量 b ＝（－4， x ， y ），若 a ∥ b ，则 x ， y 的值分别是
（ ）
A. 6和－10 B. －6和10
C. －6和－10 D. 6和10
解析： 由题意得 ＝ ＝ ，且 x ≠0， y ≠0，所以 x ， y 的值
分别是6和－10.
3. 若 n ＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为
平面α的法向量的是（ ）
A. （0，－3，1） B. （2，0，1）
C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1）
解析： 易知D中的向量与 n 共线.
4. （2024·烟台月考）在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为棱 A1 D1， A1 B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面 BDD1 B1的一个法向量；
（1）连接 AC （图略），易知 AC ⊥平面 BDD1 B1，
∴ ＝（－2，2，0）为平面 BDD1 B1的一个法向量.
解：设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，则 D （0，0，
0）， B （2，2，0）， A （2，0，0）， C （0，2，0）， E
（1，0，2）.
（2）平面 BDEF 的一个法向量.
解：易知 ＝（2，2，0）， ＝
（1，0，2）.
设平面 BDEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ，
z ），
∴ ∴
令 x ＝2，得 y ＝－2， z ＝－1，
即 n ＝（2，－2，－1）为平面 BDEF 的一
个法向量.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 a ＝（2，－1，3）和 b ＝（－4，2 x2，6 x ）都是直线 l 的
方向向量，则实数 x ＝（ ）
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
解析：A 由题意得 a ∥ b ，所以解得 x ＝－1.
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2. 已知平面内的两个向量 a ＝（2，3，1）， b ＝（5，6，4），则该
平面的一个法向量为（ ）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
解析： 显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n ＝（ x ， y ，
z ），则有取 z ＝1，得 x ＝－2， y
＝1.∴ n ＝（－2，1，1）.
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3. 已知线段 AB 的两端点坐标为 A （9，－3，4）， B （9，2，1），则
线段 AB 与坐标平面（ ）
A. Oxy 平行 B. Oxz 平行
C. Oyz 平行 D. Oyz 相交
解析： 因为 ＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－
3），所以 AB ∥平面 Oyz .
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4. （2024·南平月考）已知向量 ＝（2，4， x ），平面α的一个法向
量 n ＝（1， y ，3），若 AB α，则（ ）
A. x ＝6， y ＝2 B. x ＝2， y ＝6
C. 3 x ＋4 y ＋2＝0 D. 4 x ＋3 y ＋2＝0
解析： 由题意可知 · n ＝0，可得3 x ＋4 y ＋2＝0.
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5. （多选）在如图所示的空间直角坐标系中， ABCD - A1 B1 C1 D1是棱
长为1的正方体，下列结论正确的是（ ）
A. 平面 ABB1 A1的一个法向量为（0，1，0）
B. 平面 B1 CD 的一个法向量为（1，1，1）
C. 平面 B1 CD1的一个法向量为（1，1，1）
D. 平面 ABC1 D1的一个法向量为（0，1，1）
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解析： ∵ ＝（0，1，0）， AB ⊥ AD ， AA1⊥ AD ，又 AB ∩
AA1＝ A ，∴ AD ⊥平面 ABB1 A1，∴A正确；∵ ＝（－1，0，
0），而（1，1，1）· ＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面 B1 CD
的法向量，∴ B不正确；∵ ＝（0，1，－1）， ＝（－1，
0，1），（1，1，1）· ＝0，（1，1，1）· ＝0， B1 C ∩ CD1
＝ C ，∴（1，1，1）是平面 B1 CD1的一个法向量，∴C正确；
∵ ＝（0，1，1），而 ·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，
1）不是平面 ABC1 D1的法向量，∴D不正确.
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6. （多选）若 是平面 ABCD 的法向量，且四边形 ABCD 为菱形，则
以下各式成立的是（ ）
解析： 由题意知 PA ⊥平面 ABCD ，所以 PA 与平面内的线
AB ， CD 都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可
推得对角线 BD ⊥平面 PAC ，故 PC ⊥ BD ，C选项正确.
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7. 棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1在空间直角坐标系中的位置如图
所示，则直线 DB1的一个方向向量为
.
（1，1，1）（答案不唯
一）
解析：由题意知 D （0，0，0）， B1（1，1，1），所以 ＝
（1，1，1），即直线 DB1的一个方向向量是（1，1，1）.
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8. 已知平面α经过点 O （0，0，0），且 e ＝（1，2，－3）是α的一个
法向量， M （ x ， y ， z ）是平面α内任意一点，则 x ， y ， z 满足的
关系式是 .
解析：由题意得 e ⊥ · e ＝（ x ， y ， z ）·（1，2，－3）
＝0，故 x ＋2 y －3 z ＝0.
x ＋2 y －3 z ＝0
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9. （2024·南京质检）在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，∠
ACB ＝90°，平面 A1 B1 C 的一个法向量为 n ＝（－2，－2，1），则
棱 AA1的长为 .
解析：以 C 为原点， CA ， CB ， CC1所在直线分
别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系 Cxyz ，设 AA1＝ h ，由题意可知 C （0，0，
0）， A1（1，0， h ），所以 ＝（1，0，
h ），因为 n ＝（－2，－2，1），所以根据法向
量的定义可得， n · ＝（－2，－2，1）·（1，0， h ）＝－2＋ h ＝0，解得 h ＝2，所以 AA1＝2.
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10. 已知 A （2，2，2）， B （2，0，0）， C （0，2，－2）.
（1）写出直线 BC 的一个方向向量；
解： ∵ B （2，0，0）， C （0，2，－2），
∴ ＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线 BC 的
一个方向向量.
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（2）设平面α经过点 A ，且 BC 是α的法向量， M （ x ， y ， z ）是
平面α内的任意一点，试写出 x ， y ， z 满足的关系式.
解：由题意 ＝（ x －2， y －2， z －2），
∵ ⊥平面α， AM α，
∴ ⊥ ，
∴（－2，2，－2）·（ x －2， y －2， z －2）＝0.
∴－2（ x －2）＋2（ y －2）－2（ z －2）＝0.
化简得 x － y ＋ z －2＝0.
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11. （2024·莆田质检）已知 ＝（－3，1，2），平面α的一个法向
量为 n ＝（2，－2，4），点 A 不在平面α内，则直线 AB 与平面α的
位置关系为（ ）
A. AB ⊥α B. AB α
C. AB 与α相交但不垂直 D. AB ∥α
解析： 因为 n · ＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以 n
⊥ .又点 A 不在平面α内， n 为平面α的一个法向量，所以 AB
∥α，故选D.
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12. （多选）已知平面α内两向量 a ＝（1，1，1）， b ＝（0，2，－
1），且 c ＝ ma ＋ nb ＋（4，－4，1），若 c 为平面α的一个法向
量，则（ ）
A. m ＝－1 B. m ＝1
C. n ＝2 D. n ＝－2
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解析： c ＝ ma ＋ nb ＋（4，－4，1）＝（ m ， m ， m ）＋
（0，2 n ，－ n ）＋（4，－4，1）＝（ m ＋4， m ＋2 n －4， m － n
＋1），由 c 为平面α的一个法向量，得
得
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13. 已知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（1，－2，0），写出一个以
（2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的单位向量的终点坐标
为 .
（2，1，0）（答案不唯一）
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解析：设终点坐标为（ x ， y ， z ），因为 l 的一个方向向量为 v ＝
（1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的单位向
量为（ x －2， y －1， z －1），
且满足
即
可取 x ＝2， y ＝1， z ＝0，故终点坐标为（2，1，0）.
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14. 如图所示，在四棱锥 S - ABCD 中，底面是直角梯形， AD ∥ BC ，
∠ ABC ＝90°， SA ⊥底面 ABCD ，且 SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD ＝
，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SAB 的一个法
向量.
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解：以 A 为坐标原点， AD ， AB ， AS 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A （0，0，0），
D ， C （1，1，0）， S （0，0，1），因此 ＝
＝ .
显然向量 ＝ 是平面 SAB 的一个法向量.
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 SCD 的法向量，
则
取 x ＝2，则 y ＝－1， z ＝1，故平面 SCD 的一个法向量为（2，－
1，1）.
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15. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A （－1，0，2）， B （0，1，
－1），点 C ， D 分别在 x 轴、 y 轴上， AD ⊥ BC ，那么｜ ｜的
最小值是 .
解析：设 C （ x ，0，0）， D （0， y ，0）.∵ A （－1，0，2）， B
（0，1，－1），∴ ＝（1， y ，－2）， ＝（ x ，－1，
1）.∵ AD ⊥ BC ，∴ · ＝ x － y －2＝0，即 x ＝ y ＋2.∵ ＝
（－ x ， y ，0），∴｜ ｜＝ ＝ ＝
＝ ≥ （当 y ＝－1时取等号）.
故｜ ｜的最小值为 .
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16. （2024·金华质检）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一
点，如果 ＝（2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－
1，2，－1）.
（1）求证： 是平面 ABCD 的法向量；
解： 证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－
4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以 AP ⊥ AB ， AP ⊥ AD .
又 AB ∩ AD ＝ A ，所以 AP ⊥平面 ABCD .
所以 是平面 ABCD 的法向量.
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（2）求平行四边形 ABCD 的面积.
解：因为｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝2 ，
· ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ，
故 sin ＜ ＞＝ ，
S ABCD ＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ＞＝8 .
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谢 谢 观 看！
