第1课时 直线与圆的位置关系
1.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
2.直线x＋y＋12＝0被圆x2＋y2＝100所截得的弦长为（ ）
A.2 B.4
C.8 D.16
3.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（ ）
A.（x－）2＋y2＝1 B.（x－3）2＋y2＝3
C.（x－）2＋y2＝3 D.（x－3）2＋y2＝9
4.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为（ ）
A.x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y－5＝0 D.x＋y－3＝0
5.（多选）（2024·汕尾月考）给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则（ ）
A.实数m的取值范围为（0，＋∞）
B.当l与圆C相切时，m＝
C.当1＜m＜2时，l与圆C相离
D.当l与圆C相交时，m＞
6.（多选）与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
7.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 .
8.（2024·苏州月考）由直线y＝x＋1上的点向圆（x－3）2＋y2＝1作切线，则切线长的最小值为 .
9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 .
10.已知直线l：2x＋y－4＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们的交点坐标.
11.已知直线2x＋my－8＝0与圆C：（x－m）2＋y2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数m＝（ ）
A.2 B.14
C.2或14 D.1
12.（2024·济宁质检）直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足（ ）
A.｜b｜＝
B.－1＜b≤1或b＝－
C.－1≤b＜1
D.非以上答案
13.（多选）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（ ）
A.直线l与圆C的位置关系无法判定
B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2
C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
14.已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程.
15.（2024·淮安月考）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点.根据该结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点M（－1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是 .
16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C： x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
第1课时 直线与圆的位置关系
1.B ∵直线y＝ax＋1恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，∴直线与圆相交.
2.D 圆x2＋y2＝100的圆心坐标为（0，0），半径为10，圆心（0，0）到直线x＋y＋12＝0的距离d＝＝6，则直线x＋y＋12＝0被圆x2＋y2＝100所截得的弦长为2＝16.故选D.
3.B 由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B.
4.A 由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1 kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
5.BC 圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为（x－2）2＋y2＝m－1，圆心为C（2，0），半径r＝.对于A：由r＝＞0，解得m＞1，故A错误；对于B：因为C（2，0）到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝，所以当l与圆C相切时，r＝＝，解得m＝，故B正确；对于C：当1＜m＜2时，0＜r＜1＜，所以l与圆C相离，故C正确；对于D：当l与圆C相交时，＞，解得m＞，故D错误.故选B、C.
6.ABD 圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，所以直线方程为y＝±x；
②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去），所以直线方程为x＋y－4＝0.
7.x＋2y－5＝0 解析：设切线斜率为k，则由已知得 k·kOP＝－1.
∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.
8. 解析：切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，易知圆心（3，0）到直线的距离d＝＝2，圆的半径r＝1，所以切线长的最小值为＝＝.
9.－或－ 解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
10.解：由直线l和圆的方程，得
消去y，得5x2－12x＋4＝0.
∵Δ＝（－12）2－4×5×4＝64＞0，
∴直线l与圆C相交，有两个公共点.
由5x2－12x＋4＝0，得x1＝2，x2＝.
把x1＝2代入方程①，得y1＝0；把x2＝代入方程①，得y2＝.
∴直线l与圆相交，有两个公共点，它们的坐标分别是（2，0）和（，）.
11.C 由题意知圆C的半径r＝2，则有｜AC｜＝｜BC｜＝2.因为△ABC为等腰直角三角形，则圆心（m，0）到直线的距离d＝r＝，即d＝＝，解得m＝14或m＝2.故选C.
12.B 曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝（即x2＋y2＝1，x≥0）的图象，如图所示.当直线与曲线相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
13.BCD 由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆心C的坐标为（3，4），半径为2.由直线l的方程可得y－3＝k（x－4），则直线l恒过定点（4，3），此点在圆C内，故直线l与圆C相交.故A错误；当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0.设圆心C（3，4）到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最远距离为＋2.故B正确；当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C（3，4）到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0.故C正确；设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确.故选B、C、D.
14.解：（1）由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），
由题意，得＝，
解得a＝－6（舍）或a＝2，
所以圆的半径为r＝＝，
则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2.
（2）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，
则｜AB｜＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1），
即kx－y－k＋3＝0.
弦心距d＝，得｜AB｜＝2＝2，
解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0.
15.1 解析：∵点M（－1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），易知kMN＝1，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为（x－a）2＋（y－3＋a）2＝2（1＋a2），由题中结论得，当∠MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P，则此时点P的坐标为（a，0），代入圆S的方程得2（1＋a2）＝（a－3）2，解得a＝1或a＝－7，即对应的切点分别为P（1，0）和P'（－7，0），对于定长的弦在弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，P'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，∴∠MPN＞∠MP'N，故点P（1，0）即为所求，则点P的横坐标为1.
16.解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P坐标为.
圆的方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜.
因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1，
所以当｜PC｜最小时，｜AP｜最小.
因为｜PC｜2＝（1－x）2＋（1＋2＋x）2＝（x＋1）2＋9.
所以当x＝－时，｜PC＝9.
所以｜AP｜min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
（2）由（1）知圆心C到点P距离为3是C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°，则需｜PC｜＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在.
2 / 22.5.1 直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 逻辑推理、直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想 直观想象、数学运算
第1课时 直线与圆的位置关系
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
【问题】 （1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？
（2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？
知识点 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
2.直线与圆的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d r d r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
【想一想】
1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（ ）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（ ）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（ ）
（4）过圆外一点的直线与圆相离.（ ）
2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（ ）
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
3.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为（ ）
A.0或2 B.2 C. D.无解
4.圆（x－1）2＋（y＋4）2＝25在x轴截得的弦长是（ ）
A.8 B.6
C.5 D.6
题型一 直线与圆位置关系的判断
【例1】 （2024·滨州月考）若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a的取值范围.
通性通法
直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离.
（2）代数法：Δ＝b2－4ac
【跟踪训练】
1.已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（ ）
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
2.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋（y－1）2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－）∪（，＋∞）
B.（，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（2，＋∞）
题型二 切线问题
【例2】 （2024·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程.
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？
2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？
通性通法
1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.
3.求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【跟踪训练】
1.若直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，则a＝（ ）
A.0 B.－4或2
C.2 D.0或－4
2.由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为（ ）
A.1 B.2
C. D.3
题型三 弦长问题
【例3】 过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，求弦AB的长.
通性通法
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝.
【跟踪训练】
1.（2024·丽水质检）若点P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A.2x－y－5＝0 B.2x＋y－3＝0
C.x＋y－1＝0 D.x－y－3＝0
2.若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为 .
1.（2024·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（ ）
A.（0，2] B.（1，2]
C.（0，2） D.（1，2）
2.（多选）若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝（ ）
A.－2 B.－12
C.2 D.12
3.若圆C的圆心为（3，0），直线l：x－y－1＝0被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
圆的切线与切点弦
若P0（x0，y0）是圆O：x2＋y2＝r2上一点，则圆O的过点P0的切线方程是x0x＋y0y＝r2.事实上，因为点P0（x0，y0）在圆O：x2＋y2＝r2上，所以＋＝r2，即x0·x0＋y0·y0＝r2，从而点P0在直线x0x＋y0y＝r2上.又因为圆心O到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝＝r，所以x0x＋y0y＝r2是圆O的过点P0的切线方程.
【问题探究】
当点P0（x0，y0）在圆O外时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线呢？
【迁移应用】
当点P0（x0，y0）在圆O内（异于点O）时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线？
第1课时 直线与圆的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.两个 一个 没有 2.＝ ＞
想一想
1.提示：一定.
2.提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.B 圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
3.B 由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2.
4.B 令y＝0，得（x－1）2＝9，所以x－1＝±3，所以x1＝－2，x2＝4，故所求弦长为｜x1－x2｜＝6.故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一（代数法） 由消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0，
Δ＝（8a）2－4×25（a2－900）＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50.
②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50.
③当直线和圆相离时，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.
法二（几何法） 圆x2＋y2＝100的圆心为（0，0），半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
①当直线和圆相交时，d＜r，
即＜10，－50＜a＜50.
②当直线和圆相切时，d＝r，
即＝10，a＝50或a＝－50.
③当直线和圆相离时，d＞r，
即＞10，a＜－50或a＞50.
跟踪训练
1.A 将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.
2.C 由题意得圆心坐标为（a，1），半径为，∴＞，∴｜a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
【例2】 解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），
即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
母题探究
1.解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，
故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在.
因为圆的切线垂直于经过切点的半径，
所以所求切线的斜率k＝0，
所以切线方程为y＝－2.
2.解：由题知，设切线长为d，
d＝
＝＝7.
跟踪训练
1.D 由圆O：（x－a）2＋y2＝2可得圆心O（a，0），半径r＝，因为直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，所以圆心O（a，0）到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，整理可得｜a＋2｜＝2，所以a＝0或a＝－4，故选D.
2.C 圆心C（3，0）到y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝.
【例3】 解：法一 设A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.
由消去y，得2x2－2x－7＝0，所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝·＝（k为直线l的斜率）.
法二 由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.
圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，
则有｜AB｜＝2＝.
跟踪训练
1.D ∵AB是圆（x－1）2＋y2＝25的弦，圆心为C（1，0），AB的中点P（2，－1）满足AB⊥CP，∴AB的斜率k＝＝＝1，可得直线AB的方程为y＋1＝x－2，化简得x－y－3＝0，故选D.
2.0或4 解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0.
随堂检测
1.C 由题意得圆心到直线的距离为d＝＞，∴m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C.
2.CD 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1，由圆心（1，1）到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或12.
3.解：设圆的半径为r，依题意，圆心（3，0）到直线x－y－1＝0的距离为＝，
则由垂径定理得r2＝（）2＋（）2＝4，∴r＝2，
∴圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝4.
拓视野 圆的切线与切点弦
问题探究
提示：如图，过P0（x0，y0）作圆O的两条切线，切点分别为A，B.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线P0A的方程为x1x＋y1y＝r2.
因为P0（x0，y0）在直线P0A上，所以x1x0＋y1y0＝r2，
故（x1，y1）满足方程x0x＋y0y＝r2，
即点A在直线x0x＋y0y＝r2上.
同理点B在直线x0x＋y0y＝r2上.
所以x0x＋y0y＝r2是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程.
迁移应用
解：圆心O（0，0）到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝，∵点P0（x0，y0）在圆O内，即＜r，
则d＞r，故直线与圆相离.
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2.5.1
直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置
关系 逻辑推理、
直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代
数方法处理几何问题的思想 直观想象、
数学运算
第1课时
直线与圆的位置关系
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了
黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看
成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
【问题】 （1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？
（2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？
知识点 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
两个
一个
没有
2. 直线与圆的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
判
断
方
法 d ＜ r
d r
d r
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
＝
＞
【想一想】
1. 若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：一定.
2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. （ × ）
（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.
（ √ ）
（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元
后得到的一元二次方程无解. （ √ ）
（4）过圆外一点的直线与圆相离. （ × ）
×
√
√
×
2. 直线 y ＝ x ＋1与圆 x2＋ y2＝1的位置关系为（ ）
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
解析： 圆心（0，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝ .因为0
＜ ＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
3. 直线 x ＋ y ＋ m ＝0与圆 x2＋ y2＝ m 相切，则 m 的值为（ ）
A. 0或2 B. 2
D. 无解
解析： 由于直线与圆相切，故 ＝ ，解得 m ＝0（舍
去）或 m ＝2.
4. 圆（ x －1）2＋（ y ＋4）2＝25在 x 轴截得的弦长是（ ）
A. 8 B. 6
C. 5
解析： 令 y ＝0，得（ x －1）2＝9，所以 x －1＝±3，所以 x1＝－
2， x2＝4，故所求弦长为｜ x1－ x2｜＝6.故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与圆位置关系的判断
【例1】 （2024·滨州月考）若直线4 x －3 y ＋ a ＝0与圆 x2＋ y2＝100
有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数 a 的取值范围.
解：法一（代数法） 由消去 y ，得25 x2＋8 ax ＋
a2－900＝0，
Δ＝（8 a ）2－4×25（ a2－900）＝－36 a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36 a2＋90 000＞0，解得－50＜ a ＜
50.
②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a ＝50或 a ＝－50.
③当直线和圆相离时，Δ＜0，即 a ＜－50或 a ＞50.
法二（几何法） 圆 x2＋ y2＝100的圆心为（0，0），半径 r ＝10，
则圆心到直线的距离 d ＝ ＝ .
①当直线和圆相交时， d ＜ r ，
即 ＜10，－50＜ a ＜50.
②当直线和圆相切时， d ＝ r ，
即 ＝10， a ＝50或 a ＝－50.
③当直线和圆相离时， d ＞ r ，
即 ＞10， a ＜－50或 a ＞50.
通性通法
直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系. d ＜
r 相交； d ＝ r 相切； d ＞ r 相离.
（2）代数法：Δ＝ b2－4 ac
【跟踪训练】
1. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x ＝0， l 是过点 P （3，0）的直线，则
（ ）
A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切
C. l 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能
解析： 将点 P （3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12
＝－3＜0，∴点 P （3，0）在圆内.∴过点 P 的直线 l 必与圆 C 相交.
2. 若直线 x － y ＋1＝0与圆（ x － a ）2＋（ y －1）2＝2没有公共点，则
实数 a 的取值范围是（ ）
C. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
D. （2，＋∞）
解析： 由题意得圆心坐标为（ a ，1），半径为 ，
∴ ＞ ，∴｜ a ｜＞2，∴ a ＞2或 a ＜－2.∴实数 a 的
取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
题型二 切线问题
【例2】 （2024·福州月考）过点 M （2，4）向圆（ x －1）2＋（ y ＋
3）2＝1引切线，求其切线方程.
解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点 M 在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是 y －4＝ k （ x －2），
即 kx － y ＋4－2 k ＝0，
由于直线与圆相切，圆心为（1，－3）， r ＝1，故 ＝
1，解得 k ＝ .
所以切线方程为24 x －7 y －20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线 x ＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24 x －7 y －20＝0或 x ＝2.
【母题探究】
1. （变条件）若将本例中的点 M 的坐标改为（1，－2），其他条件不
变，又如何求其切线方程？
解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，
故点 M 在圆上，
设圆的圆心为 C ，则 C （1，－3），显然 CM 的斜率不存在.
因为圆的切线垂直于经过切点的半径，
所以所求切线的斜率 k ＝0，
所以切线方程为 y ＝－2.
2. （变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？
解：由题知，设切线长为 d ，
d ＝
＝ ＝7.
通性通法
1. 过圆上一点（ x0， y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率 k ，再由垂直关系得切线的斜率为－
，由点斜式可得切线方程.如果切线斜率为零或不存在，则由图形
可直接得切线方程 y ＝ y0或 x ＝ x0.
2. 过圆外一点（ x0， y0）的圆的切线方程的求法
设切线方程为 y － y0＝ k （ x － x0），由圆心到直线的距离等于半径
建立方程，可求得 k ，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程
时，另一个方程应为 x ＝ x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在
的情况，而过圆外一点的切线有两条.
3. 求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量
统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【跟踪训练】
1. 若直线 x － y ＋2＝0与圆 O ：（ x － a ）2＋ y2＝2相切，则 a ＝
（ ）
A. 0 B. －4或2
C. 2 D. 0或－4
解析： 由圆 O ：（ x － a ）2＋ y2＝2可得圆心 O （ a ，0），半径
r ＝ ，因为直线 x － y ＋2＝0与圆 O ：（ x － a ）2＋ y2＝2相切，
所以圆心 O （ a ，0）到直线 x － y ＋2＝0的距离 d ＝ ＝
，整理可得｜ a ＋2｜＝2，所以 a ＝0或 a ＝－4，故选D.
2. 由直线 y ＝ x ＋1上任一点向圆（ x －3）2＋ y2＝1引切线，则该切线
长的最小值为（ ）
A. 1
D. 3
解析： 圆心 C （3，0）到 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝2 .
所以切线长的最小值为 l ＝ ＝ .
题型三 弦长问题
【例3】 过圆 x2＋ y2＝8内的点 P （－1，2）作直线 l 交圆于 A ， B 两
点，若直线 l 的倾斜角为 π，求弦 AB 的长.
解：法一 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.由题意知直线 l 的方程为 y
－2＝－（ x ＋1），即 x ＋ y －1＝0.
由消去 y ，得2 x2－2 x －7＝0，所以 x1＋ x2＝1， x1 x2
＝－ ，
所以｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝ ·
＝ · ＝ （ k 为直线 l 的斜率）.
法二 由题意知直线 l 的方程为 y －2＝－（ x ＋1），即 x ＋ y －1＝0.
圆心（0，0）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ，
则有｜ AB ｜＝2 ＝ .
通性通法
求弦长常用的3种方法
（1）利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l 之间的关系
＋ d2＝ r2解题；
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标
后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）利用弦长公式，设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ，与圆的两交点（ x1，
y1），（ x2， y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与
系数的关系得弦长 l ＝ ｜ x1－ x2｜＝
.
【跟踪训练】
1. （2024·丽水质检）若点 P （2，－1）为圆（ x －1）2＋ y2＝25的弦
AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ）
A. 2 x － y －5＝0 B. 2 x ＋ y －3＝0
C. x ＋ y －1＝0 D. x － y －3＝0
解析： ∵ AB 是圆（ x －1）2＋ y2＝25的弦，圆心为 C （1，
0）， AB 的中点 P （2，－1）满足 AB ⊥ CP ，∴ AB 的斜率 k ＝
＝ ＝1，可得直线 AB 的方程为 y ＋1＝ x －2，化简得 x － y －3＝
0，故选D.
2. 若直线 x － y ＝2被圆（ x － a ）2＋ y2＝4所截得的弦长为2 ，则实
数 a 的值为 .
0或4
解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（ a ，0），半径 r ＝2.又直线
被圆截得的弦长为2 ，所以圆心到直线的距离 d ＝
＝ .又 d ＝ ，所以｜ a －2｜＝2，解得 a ＝4或 a ＝0.
1. （2024·河源月考）若直线 x － y ＝0与圆（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝ m
相离，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. （0，2] B. （1，2]
C. （0，2） D. （1，2）
解析： 由题意得圆心到直线的距离为 d ＝ ＞ ，
∴ m ＜2.∵ m ＞0，∴0＜ m ＜2.故选C.
2. （多选）若直线3 x ＋4 y ＝ b 与圆 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0相切，则 b
＝（ ）
A. －2 B. －12
C. 2 D. 12
解析： 圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0，可化为（ x －1）2
＋（ y －1）2＝1，由圆心（1，1）到直线3 x ＋4 y － b ＝0的距离为
＝1，得 b ＝2或12.
3. 若圆 C 的圆心为（3，0），直线 l ： x － y －1＝0被该圆所截得的弦
长为2 ，求圆 C 的标准方程.
解：设圆的半径为 r ，依题意，圆心（3，0）到直线 x － y －1＝0的
距离为 ＝ ，
则由垂径定理得 r2＝（ ）2＋（ ）2＝4，∴ r ＝2，
∴圆的标准方程为（ x －3）2＋ y2＝4.
圆的切线与切点弦
若 P0（ x0， y0）是圆 O ： x2＋ y2＝ r2上一点，则圆 O 的过点 P0的
切线方程是 x0 x ＋ y0 y ＝ r2.事实上，因为点 P0（ x0， y0）在圆 O ： x2＋
y2＝ r2上，所以 ＋ ＝ r2，即 x0· x0＋ y0· y0＝ r2，从而点 P0在直线 x0
x ＋ y0 y ＝ r2上.又因为圆心 O 到直线 x0 x ＋ y0 y ＝ r2的距离 d ＝
＝ r ，所以 x0 x ＋ y0 y ＝ r2是圆 O 的过点 P0的切线方程.
【问题探究】
当点 P0（ x0， y0）在圆 O 外时，方程 x0 x ＋ y0 y ＝ r2表示怎样的直线呢？
提示：如图，过 P0（ x0， y0）作圆 O 的两条切线，
切点分别为 A ， B .
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则直线 P0 A 的方程为 x1 x ＋ y1 y ＝ r2.
因为 P0（ x0， y0）在直线 P0 A 上，所以 x1 x0＋ y1 y0＝ r2，
故（ x1， y1）满足方程 x0 x ＋ y0 y ＝ r2，
即点 A 在直线 x0 x ＋ y0 y ＝ r2上.
同理点 B 在直线 x0 x ＋ y0 y ＝ r2上.
所以 x0 x ＋ y0 y ＝ r2是直线 AB 的方程，即切点弦所在直线的方程.
【迁移应用】
当点 P0（ x0， y0）在圆 O 内（异于点 O ）时，方程 x0 x ＋ y0 y ＝ r2表
示怎样的直线？
解：圆心 O （0，0）到直线 x0 x ＋ y0 y ＝ r2的距离 d ＝ ，∵点
P0（ x0， y0）在圆 O 内，即 ＜ r ，
则 d ＞ r ，故直线与圆相离.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 y ＝ ax ＋1与圆 x2＋ y2－2 x －3＝0的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 随 a 的变化而变化
解析： ∵直线 y ＝ ax ＋1恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆
x2＋ y2－2 x －3＝0的内部，∴直线与圆相交.
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2. 直线 x ＋ y ＋12＝0被圆 x2＋ y2＝100所截得的弦长为（ ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
解析： 圆 x2＋ y2＝100的圆心坐标为（0，0），半径为10，圆心
（0，0）到直线 x ＋ y ＋12＝0的距离 d ＝ ＝6，则
直线 x ＋ y ＋12＝0被圆 x2＋ y2＝100所截得的弦长为2
＝16.故选D.
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3. 圆心为（3，0）且与直线 x ＋ y ＝0相切的圆的方程为（ ）
B. （ x －3）2＋ y2＝3
D. （ x －3）2＋ y2＝9
解析： 由题意知所求圆的半径 r ＝ ＝ ，故所求圆
的方程为（ x －3）2＋ y2＝3，故选B.
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4. 直线 l 与圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋ a ＝0（ a ＜3）相交于 A ， B 两点，若
弦 AB 的中点为 C （－2，3），则直线 l 的方程为（ ）
A. x － y ＋5＝0 B. x ＋ y －1＝0
C. x － y －5＝0 D. x ＋ y －3＝0
解析： 由圆的一般方程可得圆心为 M （－1，2）.由圆的性质易
知 M （－1，2）与 C （－2，3）的连线与弦 AB 垂直，故有 kAB × kMC ＝－1 kAB ＝1，故直线 AB 的方程为 y －3＝ x ＋2，整理得 x － y ＋5＝0.
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5. （多选）（2024·汕尾月考）给定直线 l ：3 x ＋4 y ＝0和圆 C ： x2－4
x ＋ y2＝ m －5，则（ ）
A. 实数 m 的取值范围为（0，＋∞）
C. 当1＜ m ＜2时， l 与圆 C 相离
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解析： 圆 C ： x2－4 x ＋ y2＝ m －5的标准方程为（ x －2）2＋ y2
＝ m －1，圆心为 C （2，0），半径 r ＝ .对于A：由 r ＝
＞0，解得 m ＞1，故A错误；对于B：因为 C （2，0）到直
线 l ：3 x ＋4 y ＝0的距离 d ＝ ＝ ，所以当 l 与圆 C 相切
时， r ＝ ＝ ，解得 m ＝ ，故B正确；对于C：当1＜ m ＜2
时，0＜ r ＜1＜ ，所以 l 与圆 C 相离，故C正确；对于D：当 l 与圆
C 相交时， ＞ ，解得 m ＞ ，故D错误.故选B、C.
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6. （多选）与圆 C ： x2＋ y2－4 x ＋2＝0相切，且在 x ， y 轴上的截距
相等的直线方程为（ ）
A. x ＋ y ＝0 B. x － y ＝0
C. x ＝0 D. x ＋ y ＝4
解析： 圆 C 的方程可化为（ x －2）2＋ y2＝2.可分为两种情况
讨论：
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①直线在 x ， y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方
程为 y ＝ kx ，则 ＝ ，解得 k ＝±1，所以直线方程为 y ＝±
x ；
②直线在 x ， y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为 ＋ ＝1
（ a ≠0），即 x ＋ y － a ＝0（ a ≠0），则 ＝ ，解得 a ＝
4（ a ＝0舍去），所以直线方程为 x ＋ y －4＝0.
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7. 若点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切
线方程为 .
解析：设切线斜率为 k ，则由已知得 k · kOP ＝－1.
∴ k ＝－ .∴切线方程为 x ＋2 y －5＝0.
x ＋2 y －5＝0
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解析：切线长的最小值是当直线 y ＝ x ＋1上的点与圆心距离最小时
取得，易知圆心（3，0）到直线的距离 d ＝ ＝2 ，圆的
半径 r ＝1，所以切线长的最小值为 ＝ ＝ .
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解析：由已知得点（－2，－3）关于 y 轴的对称点为（2，－3），
由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.
设反射光线所在直线的斜率为 k ，则反射光线所在直线的方程为 y
＋3＝ k （ x －2），即 kx － y －2 k －3＝0.由反射光线与圆相切，则
有 d ＝ ＝1，解得 k ＝－ 或 k ＝－ .
－ 或－
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10. 已知直线 l ：2 x ＋ y －4＝0和圆心为 C 的圆 x2＋ y2－2 y －4＝0，判
断直线 l 与圆 C 的位置关系；如果相交，求出它们的交点坐标.
解：由直线 l 和圆的方程，得
消去 y ，得5 x2－12 x ＋4＝0.
∵Δ＝（－12）2－4×5×4＝64＞0，
∴直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点.
由5 x2－12 x ＋4＝0，得 x1＝2， x2＝ .
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把 x1＝2代入方程①，得 y1＝0；把 x2＝ 代入方程①，得 y2＝ .
∴直线 l 与圆相交，有两个公共点，它们的坐标分别是（2，0）和
（ ）.
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11. 已知直线2 x ＋ my －8＝0与圆 C ：（ x － m ）2＋ y2＝4相交于 A ， B
两点，且△ ABC 为等腰直角三角形，则实数 m ＝（ ）
A. 2 B. 14
C. 2或14 D. 1
解析： 由题意知圆 C 的半径 r ＝2，则有｜ AC ｜＝｜ BC ｜＝2.
因为△ ABC 为等腰直角三角形，则圆心（ m ，0）到直线的距离 d
＝ r ＝ ，即 d ＝ ＝ ，解得 m ＝14或 m ＝2.故选C.
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12. （2024·济宁质检）直线 y ＝ x ＋ b 与曲线 x ＝ 有且只有一
个交点，则 b 满足（ ）
C. －1≤ b ＜1 D. 非以上答案
解析：B 曲线 x ＝ 含有限制条件，即 x
≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆
在 y 轴右侧（含与 y 轴的交点）的部分.在同一平面
直角坐标系中，画出 y ＝ x ＋ b 与曲线 x ＝
（即 x2＋ y2＝1， x ≥0）的图象，如图所示.当直线与曲线相切时， b ＝－ ，其他位置符合条件时需－1＜ b ≤1.
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13. （多选）已知圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0和直线 l ： kx － y ＋3
－4 k ＝0，则（ ）
A. 直线 l 与圆 C 的位置关系无法判定
C. 当圆 C 上有且仅有3个点到直线 l 的距离等于1时， k ＝0
D. 若直线 l 与圆 C 交于 M ， N 两点，则 MN 的中点的轨迹是一个圆
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解析： 由 x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0，得（ x －3）2＋（ y －
4）2＝4，所以圆心 C 的坐标为（3，4），半径为2.由直线 l 的方程
可得 y －3＝ k （ x －4），则直线 l 恒过定点（4，3），此点在圆 C
内，故直线 l 与圆 C 相交.故A错误；当 k ＝1时，直线 l 的方程为 x
－ y －1＝0.设圆心 C （3，4）到直线 l 的距离为 d ，则 d ＝
＝ ，所以圆 C 上的点到直线 l 的最远距离为 ＋2.故
B正确；
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当圆 C 上有且仅有3个点到直线 l 的距离等于1时，圆心 C （3，4）到
直线 l 的距离为1，由 ＝1，得 k ＝0.故C正确；设直线 l
恒过的定点为 A ， MN 的中点为 P ，由垂径定理知 PC ⊥ PA ，故点 P 的
轨迹是以 AC 为直径的圆，故D正确.故选B、C、D.
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14. 已知圆 C 过点（1，1），圆心在 x 轴正半轴上，且与直线 y ＝ x －4
相切.
（1）求圆 C 的标准方程；
解： 由题意，设圆心坐标为 C （ a ，0）（ a ＞0），
由题意，得 ＝ ，
解得 a ＝－6（舍）或 a ＝2，
所以圆的半径为 r ＝ ＝ ，
则圆 C 的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝2.
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（2）已知过点 P （1，3）的直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，且｜
AB ｜＝2，求直线 l 的方程.
解： 若斜率不存在，则直线方程为 x ＝1，弦心距 d ＝
1，半径为 ，
则｜ AB ｜＝2 ＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为 y －3＝ k （ x －1），
即 kx － y － k ＋3＝0.
弦心距 d ＝ ，得｜ AB ｜＝2 ＝2，
解得 k ＝－ ，直线方程为4 x ＋3 y －13＝0.
综上所述，直线 l 的方程为 x ＝1或4 x ＋3 y －13＝0.
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15. （2024·淮安月考）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点
M ， N 是锐角∠ AQB 的边 QA 上的两点，试在边 QB 上找一点 P ，
使得∠ MPN 最大”.如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射
线 QB 相切的圆与射线 QB 的切点.根据该结论解决以下问题：在平
面直角坐标系中，给定两点 M （－1，2）， N （1，4），点 P 在 x
轴上移动，当∠ MPN 取最大值时，点 P 的横坐标是 .
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解析：∵点 M （－1，2）， N （1，4），则线段 MN 的中点坐标为
（0，3），易知 kMN ＝1，则经过 M ， N 两点的圆的圆心在线段
MN 的垂直平分线 y ＝3－ x 上，设圆心为 S （ a ，3－ a ），则圆 S
的方程为（ x － a ）2＋（ y －3＋ a ）2＝2（1＋ a2），由题中结论
得，当∠ MPN 取最大值时，圆 S 必与 x 轴相切于点 P ，则此时点 P
的坐标为（ a ，0），代入圆 S 的方程得2（1＋ a2）＝（ a －3）2，
解得 a ＝1或 a ＝－7，即对应的切点分别为 P （1，0）和P'（－7，
0），对于定长的弦在弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角
度增大，又过点 M ， N ，P'的圆的半径大于过点 M ， N ， P 的圆的
半径，∴∠ MPN ＞∠MP'N，故点 P （1，0）即为所求，则点 P 的
横坐标为1.
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16. 已知 P 是直线3 x ＋4 y ＋8＝0上的动点， PA ， PB 是圆 C ： x2＋ y2－
2 x －2 y ＋1＝0的两条切线， A ， B 是切点.
（1）求四边形 PACB 面积的最小值；
解： 如图，连接 PC ，由点 P 在直线3
x ＋4 y ＋8＝0上，可设点 P 坐标为 .
圆的方程可化为（ x －1）2＋（ y －1）2＝1，
所以 S四边形 PACB ＝2 S△ PAC ＝2× ×｜ AP ｜×｜ AC ｜＝｜ AP ｜.
因为｜ AP ｜2＝｜ PC ｜2－｜ CA ｜2＝｜ PC ｜2－1，
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所以当｜ PC ｜最小时，｜ AP ｜最小.
因为｜ PC ｜2＝（1－ x ）2＋
＝（ x ＋1）2＋9.
所以当 x ＝－ 时，｜ PC ＝9.
所以｜ AP ｜min＝ ＝2 .
即四边形 PACB 面积的最小值为2 .
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（2）直线上是否存在点 P ，使∠ BPA ＝60°，若存在，求出点 P 的
坐标；若不存在，说明理由.
解： 由（1）知圆心 C 到点 P 距离为3是 C 到直线上点的
最小值，若∠ APB ＝60°，则需｜ PC ｜＝2，这是不可能
的，所以这样的点 P 不存在.
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