第2课时 直线与圆的方程的实际应用
1.如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥的直径为（ ）
A.15米 B.13米
C.9米 D.6.5米
2.（2024·扬州月考）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（ ）
A.1.4米 B.3.0米
C.3.6米 D.4.5米
3.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（ ）
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
4.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段，这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）
A.10米 B.10米
C.6米 D.6米
5.（2024·淮安月考）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为（ ）
A.（12－24）m
B.（12＋24）m
C.（24－12）m
D.不确定
6.（多选）从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（ ）
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过最短路程是5－1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是［－，1］
7.（2024·东营质检）如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为 m.
8.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝，tan β＝，则该零件的截面的周长为 .（结果保留π）
9.设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？
10.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点M与两个定点的距离之比为常数λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）.在△ABC中，B（－1，0），C（1，0），D为AB的中点，且｜CD｜＝｜AB｜，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. B.2
C.2 D.2
11.（多选）（2024·南京月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在△ABC中，已知AB＝AC，点B（－2，4），点C（5，－3），且其“欧拉线”与圆M：（x－5）2＋y2＝r2相切，则（ ）
A.“欧拉线”方程为x－y＋1＝0
B.圆M上点到“欧拉线”的最大距离为4
C.若点（x，y）在圆M上，则x＋y的最小值是1
D.若点（x，y）在圆M上，则x2＋y2－4x＋6y的取值范围是[－11，37]
12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋（y＋2）2≤2，若将军从点A（－4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x＋y－1＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为 .
13.（2024·阳江月考）有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离，A地的运费是B地的2倍，已知A，B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.
（1）求A，B两地的售货区域的分界线的方程；
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
14.如图，已知某市穿越公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B.且要求市中心O到AB所在直线的距离为10 km.
（1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离；
（2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界）.问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？
第2课时 直线与圆的方程的实际应用
1.B 如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米.
2.C 可画出示意图如图所示，通过勾股定理得OD＝＝＝3.6（米）.故选C.
3.A 因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin＝×2×（－1）＝3－.
4.C 根据题意，建立如图所示的圆拱桥模型.设圆O的半径为R，当水面跨度是20米，拱顶离水面4米时，水面为AB，M为AB的中点，即｜AB｜＝20，｜OM｜＝R－4，由勾股定理，得｜AM｜2＝（）2＝｜OA｜2－｜OM｜2，即100＝R2－（R－4）2，解得R＝.当水面上涨2米后，水面为CD，N为CD的中点，此时｜ON｜＝R－2，由勾股定理，得｜CD｜＝2｜CN｜＝2＝6（米）.
5.A 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为（－18，0），（18，0），（0，6）.设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0，将点P2的横坐标x＝6代入上式，结合图形解得y＝－24＋12.故支柱A2P2的长为（12－24）m.
6.BCD 点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知＝1，解得k＝或k＝.∴反射光线方程为y＋3＝（x＋3）或y＋3＝（x＋3）.即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；又过A'（－3，－3），C（2，2）的方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝＝5，所以光线的最短路程为5－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－，0），所以被挡住的范围是［－，1］，故D正确.
7.100 解析：如图所示，当BD与圆O相切时，新路的长度最小，记切点为H，∴｜OH｜＝45，连接OB，∴｜OB｜＝＝＝10，∵H为圆O的切点，∴OH⊥BD，∴｜BH｜＝＝55，由题意可知，∠DAB＝∠OHD＝90°，∠ADB＝∠ODH，∴△ABD∽△HOD，∴＝＝，∴＝＝，解得｜OD｜＝90，｜DH｜＝45，故｜BD｜＝｜BH｜＋｜HD｜＝55＋45＝100.
8.84＋6π 解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O（a，b），则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝＝＝｜12－b｜，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得AB＝＝9，CD＝＝16，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋＝84＋6π.
9.解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a，0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为＋＝1（a＞3，b＞3），设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.
10.D 设点D（x，y）（y≠0）.因为D为AB的中点，所以A（2x＋1，2y）.又｜CD｜＝｜AB｜，所以＝，即＝（y≠0），化简得（x＋2）2＋y2＝3（y≠0），其圆心为（－2，0），则圆上点到直线BC的最大距离为，所以点A到直线BC的最大距离为2，所以△ABC的最大面积S＝×2×2＝2.故选D.
11.BCD 因为AB＝AC，故欧拉线即为BC的中垂线，又B（－2，4），C（5，－3），故BC的中点为（，），且kBC＝＝－1，故BC的中垂线方程为x－y－1＝0，故A错误；因为圆M：（x－5）2＋y2＝r2与欧拉线相切，故＝2＝r，所以圆M上的点到欧拉线的最大距离为2r＝4，故B正确；若点（x，y）在圆M上，设x＋y＝t，则≤2，故1≤t≤9，故t的最小值为1，故C正确；因为点（x，y）在圆M上，故（x－5）2＋y2＝8，即x2＋y2＝10x－17，故x2＋y2－4x＋6y＝6（x＋y）－17，由C的判断可得1≤x＋y≤9，故－11≤6（x＋y）－17≤37，故D正确.故选B、C、D.
12.4 解析：设点A关于直线x＋y－1＝0的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），kAA'＝，故解得由x2＋（y＋2）2≤2知军营所在区域的中心为C（0，－2）.如图，从点A先到河边，再到军营的最短总路程即点A'到圆C上一点的最短距离，为｜A'C｜－，故“将军饮马”的最短总路程为－＝4.
13.解：（1）以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则点A（3，0），B（－3，0），
设每单位距离B的运费为a元，设售货区域内一点为P（x，y），若在两地的购货费用相同，则2a＝a，
化简可得（x－5）2＋y2＝16，故在A，B两地的售货区域的分界线的方程为（x－5）2＋y2＝16.
（2）如图，由（1）可知，A，B两地的售货区域的分界线是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（x－5）2＋y2＝16上的居民从A，B两地购货的总费用相同.
由2a＞a，
可得（x－5）2＋y2＞16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16外的居民从B地购货便宜；
由2a＜a，
可得（x－5）2＋y2＜16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16内的居民从A地购货便宜.
14.解：（1）如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则｜OE｜＝10 km.
在Rt△AEO中，sin A＝＝，
所以cos A＝，
在Rt△ABO中，AB＝＝＝20（km）.
即A，B两出入口间的距离为20 km.
（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x＋30）2＋y2＝25.
设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0），则｜OA｜＝，且需＝10，＞5，
解得t＜20k或t＞60k.
因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意，
所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20.
所以出口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置.
3 / 3第2课时 直线与圆的方程的实际应用
题型一 圆的方程的实际应用
【例1】 （2024·盐城月考）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈内部最高点距水面9 m，拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，可以通行无阻，近日水位暴涨了2.7 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能使船通过桥洞，试问船身应该降低多少？（精确到0.01）
通性通法
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.
【跟踪训练】
一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，试求水面的宽度.
题型二 直线与圆的方程的实际应用
【例2】 （2024·金华质检）一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
通性通法
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
【跟踪训练】
为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求｜DE｜的最小值.
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是（ ）
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝25（y≥0）
C.（x＋5）2＋y2＝25（y≤0）
D.x2＋y2＝25（y≤0）
2.（2024·深圳月考）台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40 km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5 h B.1 h
C.1.5 h D.2 h
3.如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是（ ）
A.5米 B.米
C.米 D.7米
第2课时 直线与圆的方程的实际应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：以正常水位时河道中央为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示.
易知拱桥所在圆过点（11，0），（－11，0），（0，9），
设拱桥所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.
故解得
故拱桥所在圆的方程是x2＋y2＋y－121＝0.
当x＝2时，可得y≈8.82.
故当水位暴涨2.7 m后，船身应该降低6.5＋2.7－8.82＝0.38（m）.
故船身应降低0.38 m，才能通过桥洞.
跟踪训练
解：以圆弧形拱桥的顶点为原点，过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B.则由已知可得A（6，－2）.
设圆的半径长为r，则C（0，－r），即圆的方程为x2＋（y＋r）2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，
∴圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.
当水面下降1 m后，设水面所在弦的端点为A'，B'，可设A'（x0，－3）（x0＞0），代入x2＋（y＋10）2＝100，解得x0＝，
故水面宽度为2 m.
【例2】 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系（如图所示），
其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为（0，4），轮船的初始位置所对应的点的坐标为（7，0），
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0，
圆心（0，0）到l：4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，
因为＞3，所以直线与圆相离.
故轮船不会受到台风的影响.
跟踪训练
解：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略），
则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B（8，0），C（0，8），所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.
易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，｜DE｜的最小值为－1＝（4－1）（km）.
故｜DE｜的最小值为（4－1）（km）.
随堂检测
1.B 在给定的坐标系中，半圆方程中y≥0，故选B.
2.B 以A为坐标原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系（图略），则B（40，0），台风中心移动轨迹为y＝x（x≥0），而B点到射线y＝x的距离d＝＝20＜30，则直线y＝x被圆（x－40）2＋y2＝302截得的弦长为2＝20（km），∴B城市处于危险区内的时间为＝1（h），故选B.
3.B ∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5米，在Rt△OAD中，设半径OA＝R，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝.∴此隧道圆的半径OA是米，故选B.
2 / 2(共53张PPT)
第2课时
直线与圆的方程的实际应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆的方程的实际应用
【例1】 （2024·盐城月考）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，
拱圈内部最高点距水面9 m，拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上
部分高6.5 m，船顶部宽4 m，可以通行无阻，近日水位暴涨了2.7 m，
为此，必须加重船载，降低船身，才能使船通过桥洞，试问船身应该
降低多少？（精确到0.01）
解：以正常水位时河道中央为原点 O ，建立平面直角坐标系，如图所
示.易知拱桥所在圆过点（11，0），（－11，0），（0，9），
设拱桥所在圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）.
故
故拱桥所在圆的方程是 x2＋ y2＋ y －121＝0.
当 x ＝2时，可得 y ≈8.82.
故当水位暴涨2.7 m后，船身应该降低6.5＋2.7－8.82＝0.38（m）.
故船身应降低0.38 m，才能通过桥洞.
通性通法
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要
素，通过代数运算，解决几何问题.
【跟踪训练】
一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 m，水
面宽12 m，当水面下降1 m后，试求水面的宽度.
解：以圆弧形拱桥的顶点为原点，过圆弧形拱桥
的顶点的水平切线为 x 轴，过圆弧形拱桥的顶点的
竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设圆心为 C ，水面所在弦的端点为 A ， B . 则由已
知可得 A （6，－2）.
设圆的半径长为 r ，则 C （0，－ r ），即圆的方程
为 x2＋（ y ＋ r ）2＝ r2.
将点 A 的坐标代入上述方程，可得 r ＝10，
∴圆的方程为 x2＋（ y ＋10）2＝100.
当水面下降1 m后，设水面所在弦的端点为A'，
B'，可设A'（ x0，－3）（ x0＞0），代入 x2＋（ y
＋10）2＝100，解得 x0＝ ，
故水面宽度为2 m.
题型二 直线与圆的方程的实际应用
【例2】 （2024·金华质检）一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到
气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围
是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如
果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴建
立直角坐标系（如图所示），
其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区
域所对应的圆的方程为 x2＋ y2＝9，
港口所对应的点的坐标为（0，4），轮船的初始位
置所对应的点的坐标为（7，0），
则轮船航线所在直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即4 x ＋7
y －28＝0，
圆心（0，0）到 l ：4 x ＋7 y －28＝0的距离 d ＝ ＝ ，
因为 ＞3，所以直线与圆相离.故轮船不会受到台风的影响.
通性通法
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
【跟踪训练】
为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它
的附近有一条公路，从基地中心 O 处向正东方向走1 km是储备基地的
边界上的点 A ，接着向东走7 km到达公路上的点 B . 从基地中心 O 向正
北方向走8 km到达公路的另一点 C . 现准备在储备基地的边界上选一
点 D ，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE ，求｜ DE ｜的最小值.
解：以 O 为坐标原点， OB ， OC 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，正东
方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，建立平面直角坐标系
（图略），
则圆 O 的方程为 x2＋ y2＝1.因为点 B （8，0）， C （0，8），所以直
线 BC 的方程为 ＋ ＝1，即 x ＋ y －8＝0.
易知，当 O ， D ， E 三点共线且 OE ⊥ BC 时， DE 的长最小，｜ DE ｜
的最小值为 －1＝（4 －1）（km）.
故｜ DE ｜的最小值为（4 －1）（km）.
1. 一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标
系，则该半圆的方程是（ ）
A. x2＋ y2＝25
B. x2＋ y2＝25（ y ≥0）
C. （ x ＋5）2＋ y2＝25（ y ≤0）
D. x2＋ y2＝25（ y ≤0）
解析： 在给定的坐标系中，半圆方程中 y ≥0，故选B.
2. （2024·深圳月考）台风中心从 A 地以20 km/h的速度向东北方向移
动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，若城市 B 在 A 地正东40
km处，则 B 城市处于危险区内的时间为（ ）
A. 0.5 h B. 1 h
C. 1.5 h D. 2 h
解析： 以 A 为坐标原点，正东方向为 x 轴，正北方向为 y 轴建立
平面直角坐标系（图略），则 B （40，0），台风中心移动轨迹为 y
＝ x （ x ≥0），而 B 点到射线 y ＝ x 的距离 d ＝ ＝20 ＜
30，则直线 y ＝ x 被圆（ x －40）2＋ y2＝302截得的弦长为2
＝20（km），∴ B 城市处于危险区内的时间为
＝1（h），故选B.
3. 如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面 AB 宽为10米，净高 CD 为7
米，则此隧道圆的半径是（ ）
A. 5米
D. 7米
解析： ∵ OD ⊥ AB ，∴ AD ＝ DB ＝ AB ＝ ×10＝5米，在Rt△
OAD 中，设半径 OA ＝ R ，则 OD ＝ CD － R ＝7－ R ，∴ OA2＝ OD2
＋ AD2，即 R2＝（7－ R ）2＋52，解得 R ＝ .∴此隧道圆的半径 OA
是 米，故选B.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图，圆弧形拱桥的跨度｜ AB ｜＝12米，拱高｜ CD ｜＝4米，则
拱桥的直径为（ ）
A. 15米 B. 13米
解析： 如图，设圆心为 O ，半径为 r ，则由勾
股定理得｜ OB ｜2＝｜ OD ｜2＋｜ BD ｜2，即 r2＝
（ r －4）2＋62，解得 r ＝ ，所以拱桥的直径为13米.
C. 9米 D. 6.5米
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2. （2024·扬州月考）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径
为4.5米的半圆形隧道，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过
（ ）
A. 1.4米 B. 3.0米
C. 3.6米 D. 4.5米
解析： 可画出示意图如图所示，通过勾股定理
得 OD ＝ ＝ ＝3.6（米）.
故选C.
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3. 设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用 x2＋ y2－2 x ＝0表
示，在公园外两点 A （－2，0）， B （0，2）与公园边上任意一点
修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（ ）
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解析： 因为直线 lAB ： x － y ＋2＝0，圆心为（1，0），半径为
1，则圆心到直线 lAB 的距离为 d ＝ ＝ ，所以 AB 边上的高的
最小值为 －1，所以三角形舞台面积 Smin＝ ×2 ×（ －1）＝
3－ .
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4. 小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时
间段，这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面上涨2米
后，桥在水面的跨度为（ ）
A. 10米
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解析： 根据题意，建立如图所示的圆拱桥模
型.设圆 O 的半径为 R ，当水面跨度是20米，拱顶
离水面4米时，水面为 AB ， M 为 AB 的中点，
即｜ AB ｜＝20，｜ OM ｜＝ R －4，由勾股定
理，得｜ AM ｜2＝（ ）2＝｜ OA ｜2－｜ OM ｜2，即100＝ R2－（ R －4）2，解得 R ＝ .当水面上涨2米后，水面为 CD ， N 为 CD 的中点，此时｜ ON ｜＝ R －2，由勾股定理，得｜ CD ｜＝2｜ CN ｜＝2 ＝6 （米）.
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5. （2024·淮安月考）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度 AB
是36 m，拱高 OP 是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，
则支柱 A2 P2的长为（ ）
D. 不确定
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解析： 如图，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，
线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐
标系，那么点 A ， B ， P 的坐标分别为（－18，
0），（18，0），（0，6）.设圆拱所在的圆的方程是 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0.因为 A ， B ， P 在此圆上，故有故圆拱所在圆的方程是 x2＋ y2＋48 y －324＝0，将点 P2的横坐标 x ＝6代入上式，结合图形解得 y ＝－24＋12 .故支柱 A2 P2的长为（12 －24）m.
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6. （多选）从点 A （－3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射后，
照射到圆 C ： x2＋ y2－4 x －4 y ＋7＝0上，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若反射光线与圆 C 相切，则切线方程为3 x －4 y －3＝0
B. 若反射光线穿过圆 C 的圆心，则反射光线方程为 x － y ＝0
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解析： 点 A （－3，3）关于 x 轴的对称点为A'（－3，－3）.
圆的方程为（ x －2）2＋（ y －2）2＝1，由题意知反射光线的斜率
存在，设反射光线方程为 y ＋3＝ k （ x ＋3），即 kx － y ＋3 k －3＝
0.由反射光线与圆 C 相切知 ＝1，解得 k ＝ 或 k ＝
.∴反射光线方程为 y ＋3＝ （ x ＋3）或 y ＋3＝ （ x ＋3）.即4 x
－3 y ＋3＝0或3 x －4 y －3＝0，故A错误；又过A'（－3，－3）， C
（2，2）的方程为 y ＝ x ，故B正确；
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因为｜A'C｜＝ ＝5 ，所以光线的最短路
程为5 －1，故C正确；由于两条与圆 C 相切的反射光线与 x 轴的交
点为（1，0）和（－ ，0），所以被挡住的范围是［－ ，1］，故D
正确.
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7. （2024·东营质检）如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆
形池塘以 O 为圆心，以45 m为半径， B 为公园入口，道路 AB 为
东西方向，道路 AC 经过点 O 且向正北方向延伸， OA ＝10 m， AB
＝100 m，现计划从 B 处起修一条新路与道路 AC 相连，且新路在池
塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为 m.
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解析：如图所示，当 BD 与圆 O 相切时，新路的长
度最小，记切点为 H ，∴｜ OH ｜＝45 ，连接
OB ，∴｜ OB ｜＝ ＝
＝10 ，∵ H 为圆 O 的切点，
∴OH ⊥ BD ，∴｜ BH ｜＝ ＝55 ，由题意可知，∠ DAB ＝∠ OHD ＝90°，∠ ADB ＝∠ ODH ，∴△ ABD ∽△ HOD ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，解得｜ OD ｜＝90，｜ DH ｜＝45 ，故｜ BD ｜＝｜ BH ｜＋｜ HD ｜＝55 ＋45 ＝100 .
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8. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示
（单位：cm），四边形 AFED 为矩形， AB ， CD ， FE 均与圆 O 相
切， B ， C 为切点，零件的截面 BC 段为圆 O 的一段弧，已知tan α＝
，tan β＝ ，则该零件的截面的周长为 .（结果保留π）
84＋6π
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解析：以 A 为原点， AD 所在直线为 x 轴建立平面
直角坐标系，如图，则直线 AB 的方程为4 x ＋3 y ＝
0，直线 CD 的方程为3 x －4 y －105＝0，直线 EF
的方程为 y ＝12，设圆心为 O （ a ， b ），则圆心
到直线 AB ，直线 CD ，直线 y ＝12的距离均相等
且等于 r ，则 r ＝ ＝ ＝｜12－ b ｜，解得 a ＝15， b ＝0， r ＝12，易得 AB ＝ ＝9， CD ＝ ＝16， 圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋ ＝84＋6π.
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9. 设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，
甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着
沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速
度都一定，且其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？
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解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方
向为 x 轴，南北方向为 y 轴建立平面直角坐标系.
设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇，设 D 点坐
标为（ a ，0）， C 点坐标为（0， b ），则 CD 所在
直线的方程为 ＋ ＝1（ a ＞3， b ＞3），设乙的速
度为 v ，则甲的速度为3 v .依题意有
解得所以乙向北前进3.75 km时甲、
乙两人相遇.
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10. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为
亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 M 与两个
定点的距离之比为常数λ（λ＞0，λ≠1），那么点 M 的轨迹为圆
（人们称之为阿波罗尼斯圆）.在△ ABC 中， B （－1，0）， C
（1，0）， D 为 AB 的中点，且｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜，则△ ABC 面
积的最大值为（ ）
B. 2
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解析： 设点 D （ x ， y ）（ y ≠0）.因为 D 为 AB 的中点，所以 A
（2 x ＋1，2 y ）.又｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜，所以 ＝ ＝ （ y ≠0），化简得（ x ＋2）2＋ y2＝3（ y
≠0），其圆心为（－2，0），则圆上点到直线 BC 的最大距离为
，所以点 A 到直线 BC 的最大距离为2 ，所以△ ABC 的最大面
积 S ＝ ×2×2 ＝2 .故选D.
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11. （多选）（2024·南京月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定
理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人
称为三角形的“欧拉线”.在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 B （－
2，4），点 C （5，－3），且其“欧拉线”与圆 M ：（ x －5）2＋
y2＝ r2相切，则（ ）
A. “欧拉线”方程为 x － y ＋1＝0
C. 若点（ x ， y ）在圆 M 上，则 x ＋ y 的最小值是1
D. 若点（ x ， y ）在圆 M 上，则 x2＋ y2－4 x ＋6 y 的取值范围是[－
11，37]
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解析： 因为 AB ＝ AC ，故欧拉线即为 BC 的中垂线，又 B
（－2，4）， C （5，－3），故 BC 的中点为（ ），且 kBC ＝
＝－1，故 BC 的中垂线方程为 x － y －1＝0，故A错误；因为圆
M ：（ x －5）2＋ y2＝ r2与欧拉线相切，故 ＝2 ＝ r ，
所以圆 M 上的点到欧拉线的最大距离为2 r ＝4 ，故B正确；若
点（ x ， y ）在圆 M 上，设 x ＋ y ＝ t ，则 ≤2 ，故1≤ t
≤9，故 t 的最小值为1，故C正确；
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因为点（ x ， y ）在圆 M 上，故（ x －5）2＋ y2＝8，即 x2＋ y2＝10 x －
17，故 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝6（ x ＋ y ）－17，由C的判断可得1≤ x ＋ y
≤9，故－11≤6（ x ＋ y ）－17≤37，故D正确.故选B、C、D.
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解析：设点 A 关于直线 x ＋ y －1＝0的对称点
A'（ a ， b ），AA'的中点为（ ）， kAA‘
＝
由 x2＋（ y ＋2）2≤2知军营所在区域的中心为
C （0，－2）.如图，从点 A 先到河边，再到军营的最短总路程即点A'到圆 C 上一点的最短距离，为｜A'C｜－
－ ＝4 .
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13. （2024·阳江月考）有一种大型商品， A ， B 两地都有出售，且价
格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离， A
地的运费是 B 地的2倍，已知 A ， B 两地相距6千米，顾客购物的唯
一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系.
（1）求 A ， B 两地的售货区域的分界线的方程；
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解： 以线段 AB 的中点 O 为坐标原点，
AB 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面
直角坐标系 xOy ，则点 A （3，0），
B （－3，0），设每单位距离 B 的运费
为 a 元，设售货区域内一点为 P （ x ， y ），若在两地的购货费用相同，则2 a ＝ a ，化简可得（ x －5）2＋ y2＝16，故在 A ， B 两地的售货区域的分界线的方程为（ x －5）2＋ y2＝16.
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（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲
线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解： 如图，由（1）可知， A ， B 两地的售货区域的分
界线是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（ x
－5）2＋ y2＝16上的居民从 A ， B 两地购货的总费用相同.
由2 a ＞ a ，可得（ x －
5）2＋ y2＞16，
所以在圆（ x －5）2＋ y2＝16外的居民从 B 地购货便宜；
由2 a ＜ a ，可得（ x －
5）2＋ y2＜16，
所以在圆（ x －5）2＋ y2＝16内的居民从 A 地购货便宜.
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14. 如图，已知某市穿越公路 MON 自西向东到达市中心 O 后转向正北
方向，现准备修建一条直线型高架公路 L ，在 MO 上设一出入口
A ，在 ON 上设一出入口 B . 且要求市中心 O 到 AB 所在直线的距离
为10 km.
（1）若将出入口 A 设计在距离中心 O 点10
km处，求 A ， B 两出入口间的距离；
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解： 如图，过点 O 作 OE ⊥ AB 交 AB
于点 E ，则｜ OE ｜＝10 km.
在Rt△ AEO 中， sin A ＝ ＝ ，
所以 cos A ＝ ，
在Rt△ ABO 中， AB ＝ ＝ ＝20（km）.
即 A ， B 两出入口间的距离为20 km.
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（2）在公路 MO 段上距离市中心 O 点30 km处有一古建筑 C （视为
点），现设立一个以 C 为圆心，5 km为半径的圆形保护区
（包含边界）.问如何在古建筑 C 和市中心 O 之间设出入口
A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？
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解： 以 O 为原点建立平面直角坐
标系，则圆 C 的方程为（ x ＋30）2＋ y2
＝25.
设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ t （ k ＞0，
t ＞0），则｜ OA ｜＝ ＝10， ＞5，
解得 t ＜20 k 或 t ＞60 k .
因为古建筑 C 距 O 点30 km，当 t ＞60 k 时，｜ OA ｜＞60，不合题意，
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所以 t ＜20 k ，即｜ OA ｜＜20.故0＜｜
OA ｜＜20.
所以出口 A 应设计在与市中心距离20
km以内的位置.
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谢 谢 观 看！
