2.5.2 圆与圆的位置关系
1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为（ ）
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
3.已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（ ）
A.6 cm或14 cm B.10 cm
C.14 cm D.无解
4.（2024·舟山月考）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝（ ）
A.21 B.19 C.9 D.－11
5.我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2＝1和（x－4）2＋（y－2）2＝1，若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b＝（ ）
A. B.1
C. D.2
6.（多选）（2024·开封月考）下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是（ ）
A.（x＋2）2＋（y＋2）2＝9
B.（x－2）2＋（y＋2）2＝9
C.（x－2）2＋（y－2）2＝25
D.（x－2）2＋（y＋2）2＝49
7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝ .
8.已知点P（2，－2）和圆C：（x＋1）2＋（y－2）2＝16，则P在圆C （填“内”“外”或“上”）；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为 .
9.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为 .
10.（2024·台州月考）已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
11.已知圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－4＝0恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多选）已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y＝2x＋2
C.线段AB的长为
D.若圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则｜EF｜的最大值为＋3
13.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为 .
14.（2024·商丘月考）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
（1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线l：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6 mm（如图所示），则R＝ mm.
16.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1.
（1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
（2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长.
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
2.5.2 圆与圆的位置关系
1.C 由已知，得C1（－2，－4），r1＝5，C2（－2，－2），r2＝3，则d＝｜C1C2｜＝2，所以d＝｜r1－r2｜，所以两圆内切.
2.C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A、B、D.
3.A 当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6 cm；当两圆内切时，rB－rA＝10.则rB＝10＋4＝14（cm）.
4.C 因为x2＋y2－6x－8y＋m＝0 （x－3）2＋（y－4）2＝25－m，所以25－m＞0 m＜25，且圆C2的圆心为（3，4），半径为，根据圆与圆外切的判定（圆心距离等于半径和）可得＝1＋ m＝9.
5.B 若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1.
6.BCD 由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为（－1，2），半径r＝2.A项，圆心C1（－2，－2），半径r1＝3.∵｜C1C｜＝∈（r1－r，r1＋r），∴两圆相交；B项，圆心C2（2，－2），半径r2＝3，∵｜C2C｜＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C项，圆心C3（2，2），半径r3＝5，∵｜C3C｜＝3＝r3－r，∴两圆内切；D项，圆心C4（2，－2），半径r4＝7，∵｜C4C｜＝5＝r4－r，∴两圆内切.
7.1 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.
8.外 （x－2）2＋（y＋2）2＝81
解析：由题知C（－1，2），圆C的半径为4，所以｜PC｜＝＝5＞4，所以点P在圆C外.设以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝r2，r＞0，则｜PC｜＋4＝r，即r＝9，所以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝81.
9.（x－3）2＋（y＋1）2＝16
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ（x2＋y2－4y－6）＝0（λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（，），将其代入方程x－y－4＝0，得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即（x－3）2＋（y＋1）2＝16.
10.解：（1）证明：C1的标准方程是（x－1）2＋（y－3）2＝11，
则C1（1，3），r＝.
C2的标准方程是（x－5）2＋（y－6）2＝16，
则C2（5，6），R＝4.
｜C1C2｜＝＝5，
显然4－＜5＜4＋，所以两圆相交.
（2）两圆方程相减得8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0为公共弦所在直线方程，
点C1到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝2，所以公共弦长l＝2＝2.
11.B 圆C1的圆心为C1（a，0），半径为r1＝1，圆C2的圆心为C2（0，b），半径为r2＝2.∵两圆有三条公共切线，∴两圆外切.∴＝3，∴点（a，b）在圆x2＋y2＝9上.而表示点（a，b）到点（3，4）的距离.故的最小值为－3＝2.
12.AD 因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；又圆O：x2＋y2＝4 ①，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0 ②，所以由②－①得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；又圆O的圆心为O（0，0），半径为2，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2×＝，故C错误；圆M的圆心为M（－2，1），半径为1，所以｜EF｜max＝｜OM｜＋2＋1＝＋3，故D正确.
13.4 解析：如图所示，在Rt△OO1A中，｜OA｜＝，｜O1A｜＝2，∴｜OO1｜＝5，∴｜AC｜＝＝2，∴｜AB｜＝4.
14.解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4，
所以圆C的圆心为（3，4），半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0.
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0.
（2）依题意，设D（a，a＋2）.
又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2，
由两圆外切，可知｜CD｜＝5，
所以＝5，
解得a＝－1或a＝6.
所以D（－1，1）或D（6，8），
所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9.
15. 解析：如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，点D为线段OO2与圆O2的交点，令｜DE｜＝h＝6，所以｜NE｜＝10，｜O2M｜＝10，｜O2N｜＝10－｜DN｜＝h＝6，因为∠O1NO2＝∠OMO2＝90°，∠O1O2N＝∠OO2M，所以△O1NO2∽△OMO2，所以＝，所以＝，解得R＝.
16.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为，
即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
（2）①由已知可得｜PA｜＝｜PB｜，故圆心P在线段AB的中垂线上.
∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝，
∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0.
由
得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）.
1 / 22.5.2 圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 逻辑推理、直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 直观想象、数学运算
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
【问题】 （1）圆与圆之间有几种位置关系？
（2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
知识点 圆与圆的位置关系
1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 .
2.判定方法
（1）代数法：通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断.
一元二次方程
（2）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示
两圆外离 0 d＞
两圆内含 d＜
两圆相交 2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2
两圆内切 1 d＝
两圆外切 d＝
【想一想】
当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（ ）
（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（ ）
（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（ ）
（4）过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（ ）
2.圆（x＋2）2＋（y＋2）2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
3.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 .
4.（2024·三明月考）若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a＝ .
题型一 圆与圆位置关系的判断
角度1 两圆位置关系的判断
【例1】 （1）圆C1：（x＋2）2＋（y－2）2＝4和圆C2：（x－2）2＋（y－5）2＝16的位置关系是（ ）
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
（2）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
通性通法
判断两圆位置关系的方法
（1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
角度2 已知两圆位置关系求参数
【例2】 （2024·漳州月考）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.问：m为何值时：
（1）圆C1与圆C2外切？
（2）圆C1与圆C2内含？
通性通法
根据圆与圆的位置关系得出圆心距和半径的关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【跟踪训练】
1.已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
2.（2024·滨州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是 .
题型二 两圆相切问题
【例3】 （1）以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 ；
（2）与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程为 .
通性通法
处理两圆相切问题的步骤
（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切；
（2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
【跟踪训练】
求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程.
题型三 两圆相交问题
【例4】 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝所截得的弦长.
通性通法
1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【跟踪训练】
已知圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：x2＋y2＋6x＝0相交于A，B两点，则四边形AO1BO2的面积是（ ）
A. B.2
C.4 D.
1.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：（x－5）2＋（y－4）2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
2.（2024·温州月考）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0）内切，则实数m的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程是（ ）
A.（x－4）2＋（y－6）2＝6
B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6或（x－4）2＋（y－6）2＝6
C.（x－4）2＋（y－6）2＝36
D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36
4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，判断圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系.
曲线系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆系方程.
1.直线系方程
（1）与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）；
（2）与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）；
（3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不含l2，λ为参数）.
2.圆系方程
（1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）；
（2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数）.
应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值.
一、平行或垂直的直线系方程的应用
【例1】 （1）求过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
（2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.
方法总结
1.与定直线平行的直线系方程
与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程（包括原直线）为Ax＋By＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0.
2.与定直线垂直的直线系方程
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为待定系数），若所求的直线过点P（x0，y0），则其方程为B（x－x0）－A（y－y0）＝0.
二、过交点的直线系方程的应用
【例2】 （2024·台州月考）若直线l经过直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.
方法总结
求过交点的直线方程的两种解法
（1）通过解方程组求出交点坐标，然后根据两直线的位置关系确定斜率；
（2）选用直线系方程，设出过l1与l2交点的直线系方程为（A1x＋B1y＋C1）＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或（A2x＋B2y＋C2）＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而确定直线方程.
三、圆系方程的应用
【例3】 （1）求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程；
（2）求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28＝0的交点的直线方程和圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
方法总结
1.以（a，b）为圆心的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝λ2（λ≠0）.
2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0（D2＋E2－4λ＞0）.
3.过同一定点（a，b）的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＋λ1（x－a）＋λ2（y－b）＝0（λ1，λ2不同时为0）.
4.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0.
5.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，①当λ＝－1时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方程（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0为过两圆公共切点的公切线所在直线的方程.
2.5.2 圆与圆的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.外离 外切 相交 内切 内含
2.（1）相交 内切或外切 内含或外离 （2）r1＋r2 ｜r1－r2｜ ｜r1－r2｜ r1＋r2
想一想
提示：当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.C 两圆的圆心分别为（－2，－2），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝5，又5＝R＋r，所以两圆外切.
3.x＋3y＝0 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
4.±1 解析：圆C1的圆心为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2的方程可化为（x－a）2＋y2＝1，则圆C2的圆心为C2（a，0），半径r2＝1，若两圆内切，则｜C1C2｜＝＝2－1＝1，解得a＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）C 解析：（1）由题意得圆C1的圆心为C1（－2，2），半径r1＝2，圆C2的圆心为C2（2，5），半径r2＝4，圆心距｜C1C2｜＝＝5＜2＋4＝r1＋r2，且5＞r2－r1，所以两圆相交.
（2）由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C.
【例2】 解：把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：（x－m）2＋（y＋2）2＝9，圆C2：（x＋1）2＋（y－m）2＝4.两圆圆心的坐标分别为（m，－2），（－1，m），半径分别为3，2.
（1）若圆C1与圆C2外切，则＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
（2）若圆C1与圆C2内含，则＜3－2，即m2＋3m＋2＜0，解得－2＜m＜－1.
跟踪训练
1.C 圆C1的圆心为C1（0，0），半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3）2＋（y－4）2＝42，圆心为C2（3，4），半径长r2＝4，所以｜C1C2｜＝＝5.因为r1－r2＝5，所以｜C1C2｜＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切.
2.[－1，＋1] 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1.
【例3】 （1）（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169 （2）（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36
解析：（1）设所求圆的半径为r，则＝｜8－r｜，∴r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169.
（2）设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），∵所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且圆x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，∴＝r＋1①.又所求圆与直线x＋y＝0相切于点M（3，－），故＝②，且＝r③.由①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.故所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36.
跟踪训练
解：因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为（a，0），半径为r，则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，又因为所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点（3，－），所以解得所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4.
【例4】 解：由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝－＝，所以所求弦长为2×＝.
跟踪训练
C 将两圆方程相减，得直线AB的方程为6x＝－4，即x＝－，所以｜AB｜＝2＝.因为｜O1O2｜＝3，所以四边形AO1BO2的面积是S＝｜AB｜·｜O1O2｜＝4.
随堂检测
1.A 圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0化为标准方程为（x＋1）2＋（y＋4）2＝25，∴圆C1的圆心为（－1，－4），半径为5.又圆C2的圆心为（5，4），半径为5，∴两圆的圆心距为＝10＝5＋5，∴两圆外切.故选A.
2.C C1：x2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝m2（m＞0），所以C1（0，0），r1＝1，C2（3，－4），r2＝m.因为圆C1与圆C2内切，所以｜C1C2｜＝｜r1－r2｜，即5＝｜1－m｜，因为m＞0，所以m＝6.故选C.
3.D 由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
4.解：把圆M的方程化成标准方程为x2＋（y－a）2＝a2，
所以M（0，a），r1＝a，
所以点M到直线x＋y＝0的距离d＝.
由题意可得，（）2＋2＝a2，又a＞0，所以a＝2，
所以M（0，2），r1＝2，又N（1，1），r2＝1，
所以｜MN｜＝，所以｜r1－r2｜＜｜MN｜＜r1＋r2，
所以两圆相交.
拓视野 曲线系方程
【例1】 解：（1）设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
（2）设过2x－y＋4＝0与x＋y－7＝0交点的直线系方程为2x－y＋4＋λ（x＋y－7）＝0，
即（2＋λ）x＋（λ－1）y＋（4－7λ）＝0，因为和2x－7y－14＝0垂直，
可得（2＋λ）×2＋（λ－1）×（－7）＝0，解得λ＝，
所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.
【例2】 解：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S0＝×1×≠，所以直线l的方程不可能是x－2y＋1＝0.故可设直线l的方程为2x＋y－8＋λ（x－2y＋1）＝0（λ为常数），
即（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋λ－8＝0.
由题意得（2＋λ）（1－2λ）（λ－8）≠0，
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S＝｜－｜·｜－｜＝，
所以（λ－8）2＝｜（1－2λ）（2＋λ）｜，解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，直线l的方程为x－y－1＝0；
当λ＝－22时，直线l的方程为4x－9y＋6＝0.
【例3】 解：（1）过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0（λ∈R），
即[x＋（λ＋1）]2＋（y＋）2＝λ2－4λ＋4，
圆的半径为＝
＝，
故当λ＝时对应圆的半径最小，且最小半径为.
∴所求圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝.
（2）设过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0， ①
令λ＝－1即可得x－y＋4＝0，此即为公共弦所在直线的方程.
把①式整理得（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
∴圆心的坐标为（－，－）.
而圆心在直线x－y－4＝0上，∴－＋－4＝0，∴λ＝－7.
代入圆系方程得x2＋y2－x＋7y－32＝0.
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2.5.2
圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 逻辑推理、
直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用
代数方法处理几何问题的思想 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置
关系？
【问题】 （1）圆与圆之间有几种位置关系？
（2）能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
知识点 圆与圆的位置关系
1. 种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、
、 、 、 .
外离
外
切
相交
内切
内含
（1）代数法：通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行
判断.
一元二次方程
2. 判定方法
（2）几何法：若两圆的半径分别为 r1， r2，圆心距为 d ，则两圆有
以下位置关系：
位置关系 公共点个数 圆心距与半 径的关系 图示
两圆外离 0 d ＞
两圆内含 d ＜
两圆相交 2 ｜ r1－ r2｜＜ d ＜ r1＋ r2
r1＋ r2
｜ r1－
r2｜
位置关系 公共点个数 圆心距与半 径的关系 图示
两圆内切 1 d ＝
两圆外切 d ＝
｜ r1－
r2｜
r1＋ r2
【想一想】
当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？
提示：当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也
可能内含.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外
切. （ × ）
（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.
（ × ）
（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的
公共弦所在的直线方程. （ × ）
×
×
×
（4）过圆 O ： x2＋ y2＝ r2外一点 P （ x0， y0）作圆的两条切线，切
点为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0
x ＋ y0 y ＝ r2. （ √ ）
√
2. 圆（ x ＋2）2＋（ y ＋2）2＝4与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9的位置
关系为（ ）
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 相离
解析： 两圆的圆心分别为（－2，－2），（2，1），半径分别
为 r ＝2， R ＝3，两圆的圆心距为 ＝5，
又5＝ R ＋ r ，所以两圆外切.
3. 已知两圆 x2＋ y2＝10和（ x －1）2＋（ y －3）2＝20相交于 A ， B 两
点，则直线 AB 的方程是 .
解析：圆的方程（ x －1）2＋（ y －3）2＝20可化为 x2＋ y2－2 x －6 y
＝10.又 x2＋ y2＝10，两式相减得2 x ＋6 y ＝0，即 x ＋3 y ＝0.
4. （2024·三明月考）若圆 C1： x2＋ y2＝4与圆 C2： x2＋ y2－2 ax ＋ a2
－1＝0内切，则 a ＝ .
解析：圆 C1的圆心为 C1（0，0），半径 r1＝2，圆 C2的方程可化为
（ x － a ）2＋ y2＝1，则圆 C2的圆心为 C2（ a ，0），半径 r2＝1，若
两圆内切，则｜ C1 C2｜＝ ＝2－1＝1，解得 a ＝±1.
x ＋3 y ＝0
±1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
角度1 两圆位置关系的判断
【例1】 （1）圆 C1：（ x ＋2）2＋（ y －2）2＝4和圆 C2：（ x －2）
2＋（ y －5）2＝16的位置关系是（ B ）
A. 外离 B. 相交
B
题型一 圆与圆位置关系的判断
解析： 由题意得圆 C1的圆心为 C1（－2，2），半径 r1＝
2，圆 C2的圆心为 C2（2，5），半径 r2＝4，圆心距｜ C1 C2｜＝
＝5＜2＋4＝ r1＋ r2，且5＞ r2－ r1，
所以两圆相交.
C. 内切 D. 外切
（2）两圆 C1： x2＋（ y －3）2＝4与 C2：（ x －4）2＋ y2＝9的公切线
有（ C ）
A. 1条 B. 2条
C
C. 3条 D. 4条
解析：由圆 C1： x2＋（ y －3）2＝4，圆 C2：（ x －4）2＋ y2＝9，
可得圆心 C1（0，3）， r1＝2；圆心 C2（4，0）， r2＝3，所
以｜ C1 C2｜＝ ＝5＝ r1＋ r2，故两圆
外切，共有3条公切线，故选C.
通性通法
判断两圆位置关系的方法
（1）几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之
和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中
主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程
组解的个数进而判断两圆位置关系.
角度2 已知两圆位置关系求参数
【例2】 （2024·漳州月考）已知圆 C1： x2＋ y2－2 mx ＋4 y ＋ m2－5
＝0，圆 C2： x2＋ y2＋2 x －2 my ＋ m2－3＝0.问： m 为何值时：
（1）圆 C1与圆 C2外切？
（1）若圆 C1与圆 C2外切，则 ＝3＋
2，即 m2＋3 m －10＝0，解得 m ＝－5或 m ＝2.
解：把圆 C1，圆 C2的方程化为标准方程，得圆 C1：（ x － m ）2
＋（ y ＋2）2＝9，圆 C2：（ x ＋1）2＋（ y － m ）2＝4.两圆圆心
的坐标分别为（ m ，－2），（－1， m ），半径分别为3，2.
（2）圆 C1与圆 C2内含？
解：若圆 C1与圆 C2内含，则 ＜3－
2，即 m2＋3 m ＋2＜0，解得－2＜ m ＜－1.
通性通法
根据圆与圆的位置关系得出圆心距和半径的关系列出关系式，求
出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【跟踪训练】
1. 已知两圆分别为圆 C1： x2＋ y2＝81和圆 C2： x2＋ y2－6 x －8 y ＋9＝
0，这两圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交
C. 内切 D. 外切
解析： 圆 C1的圆心为 C1（0，0），半径长 r1＝9；圆 C2的方程
化为标准形式为（ x －3）2＋（ y －4）2＝42，圆心为 C2（3，4），
半径长 r2＝4，所以｜ C1 C2｜＝ ＝5.因为
r1－ r2＝5，所以｜ C1 C2｜＝ r1－ r2，所以圆 C1和圆 C2内切.
2. （2024·滨州月考）若圆 x2＋ y2＝ r2与 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋4＝0有公共
点，则 r 的取值范围是 .
[ －1， ＋1]
解析：由 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋4＝0得（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝1，两
圆圆心之间的距离为 ＝ .因为两圆有公共点，所
以｜ r －1｜≤ ≤ r ＋1，所以 －1≤ r ≤ ＋1.
题型二 两圆相切问题
【例3】 （1）以（3，－4）为圆心，且与圆 x2＋ y2＝64内切的圆的
方程为
；
解析： 设所求圆的半径为 r ，则 ＝｜8－r ｜，∴ r ＝3或 r ＝13，故所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝169.
（2）与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切且与直线 x ＋ y ＝0相切于点 M （3，
－ ）的圆的方程为 （ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2
.
（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝9或（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝
169
（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 ）2
＝36
解析： 设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r
＞0），∵所求圆与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，且圆 x2＋ y2－2 x ＝0
的圆心为（1，0），半径为1，∴ ＝ r ＋1①.又
所求圆与直线 x ＋ y ＝0相切于点 M （3，－ ＝
②，且 ＝ r ③.由①②③得 a ＝4， b ＝0， r ＝2或 a
＝0， b ＝－4 ， r ＝6.故所求圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4或
x2＋（ y ＋4 ）2＝36.
通性通法
处理两圆相切问题的步骤
（1）定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则
必须考虑两圆内切还是外切；
（2）转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆
半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
【跟踪训练】
求与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，圆心在 x 轴上，且过点（3，－ ）的
圆的方程.
解：因为所求圆的圆心在 x 轴上，所以可设圆心坐标为（ a ，0），半
径为 r ，则所求圆的方程为（ x － a ）2＋ y2＝ r2，又因为所求圆与圆 x2
＋ y2－2 x ＝0外切，且过点（3，－所以所求圆的方程为（ x
－4）2＋ y2＝4.
题型三 两圆相交问题
【例4】 求圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2： x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0的公共
弦所在直线被圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝ 所截得的弦长.
解：由题意将圆 C1与圆 C2的方程相减，可得圆 C1和圆 C2公共弦所在
的直线 l 的方程为 x ＋ y －1＝0，对于圆 C3：（ x －1）2＋（ y －1）2＝
，该圆的圆心到直线 x ＋ y －1＝0的距离为 d ＝ ＝ ，由
条件知 r2－ d2＝ － ＝ ，所以所求弦长为2× ＝ .
通性通法
1. 两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y
＋ F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（ D1－ D2） x ＋
（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0.
2. 公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的
距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦
长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【跟踪训练】
已知圆 O1： x2＋ y2＝4与圆 O2： x2＋ y2＋6 x ＝0相交于 A ， B 两点，
则四边形 AO1 BO2的面积是（ ）
解析： 将两圆方程相减，得直线 AB 的方程为6 x ＝－4，即 x ＝－
，所以｜ AB ｜＝2 ＝ .因为｜ O1 O2｜＝3，所以四边形
AO1 BO2的面积是 S ＝ ｜ AB ｜·｜ O1 O2｜＝4 .
1. 已知圆 C1： x2＋ y2＋2 x ＋8 y －8＝0，圆 C2：（ x －5）2＋（ y －4）
2＝25，则圆 C1与圆 C2的位置关系为（ ）
A. 外切 B. 内切
C. 相交 D. 相离
解析： 圆 C1： x2＋ y2＋2 x ＋8 y －8＝0化为标准方程为（ x ＋1）
2＋（ y ＋4）2＝25，∴圆 C1的圆心为（－1，－4），半径为5.又圆
C2的圆心为（5，4），半径为5，∴两圆的圆心距为
＝10＝5＋5，∴两圆外切.故选A.
2. （2024·温州月考）圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2：（ x －3）2＋（ y ＋
4）2＝ m2（ m ＞0）内切，则实数 m 的值为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： C1： x2＋ y2＝1， C2：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝ m2（ m
＞0），所以 C1（0，0）， r1＝1， C2（3，－4）， r2＝ m .因为圆 C1
与圆 C2内切，所以｜ C1 C2｜＝｜ r1－ r2｜，即5＝｜1－ m ｜，因为
m ＞0，所以 m ＝6.故选C.
3. 半径为6的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋（ y －3）2＝1内切，则此圆的
方程是（ ）
A. （ x －4）2＋（ y －6）2＝6
B. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝6或（ x －4）2＋（ y －6）2＝6
C. （ x －4）2＋（ y －6）2＝36
D. （ x ＋4）2＋（ y －6）2＝36或（ x －4）2＋（ y －6）2＝36
解析： 由题意可设圆的方程为（ x － a ）2＋（ y －6）2＝36，由
题意，得 ＝5，所以 a2＝16，所以 a ＝±4.故选D.
4. 已知圆 M ： x2＋ y2－2 ay ＝0（ a ＞0）截直线 x ＋ y ＝0所得线
段的长度是2 ，判断圆 M 与圆 N ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝
1的位置关系.
解：把圆 M 的方程化成标准方程为 x2＋（ y － a ）2＝ a2，
所以 M （0， a ）， r1＝ a ，
所以点 M 到直线 x ＋ y ＝0的距离 d ＝ .
由题意可得，（ ）2＋2＝ a2，又 a ＞0，所以 a ＝2，
所以 M （0，2）， r1＝2，又 N （1，1）， r2＝1，
所以｜ MN ｜＝ ，所以｜ r1－ r2｜＜｜ MN ｜＜ r1＋ r2，
所以两圆相交.
曲线系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，
曲线系方程是指含有参数的二元方程当参数在其取值范围内变化时分
别对应的所有曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线系方程和圆
系方程.
1. 直线系方程
（1）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线系方程为 Ax ＋ By ＋λ＝
0（λ为参数）；
（2）与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线系方程为 Bx － Ay ＋λ＝
0（λ为参数）；
（3）过直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0与 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的交点
的直线系方程为（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝
0（不含 l2，λ为参数）.
2. 圆系方程
（1）过圆 O ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0与直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0
交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）
＝0（λ为参数）；
（2）过圆 O1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 O2： x2＋ y2＋ D2 x
＋ E2 y ＋ F2＝0交点的圆系方程为 x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＋λ
（ x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（不包括圆 O2，λ为参数）.
应用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数
的值.
一、平行或垂直的直线系方程的应用
【例1】 （1）求过点 A （1，－4）且与直线2 x ＋3 y ＋5＝0平行的直
线方程；
解： 设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋ c ＝0（ c ≠5），由题意
知，2×1＋3×（－4）＋ c ＝0，所以 c ＝10，故所求直线方程为
2 x ＋3 y ＋10＝0.
（2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2 x － y ＋4＝0， x ＋ y －7
＝0，2 x －7 y －14＝0，求边2 x －7 y －14＝0上的高所在的直线
方程.
解： 设过2 x － y ＋4＝0与 x ＋ y －7＝0交点的直线系方程为
2 x － y ＋4＋λ（ x ＋ y －7）＝0，
即（2＋λ） x ＋（λ－1） y ＋（4－7λ）＝0，因为和2 x －7 y －14
＝0垂直，
可得（2＋λ）×2＋（λ－1）×（－7）＝0，解得λ＝ ，
所以所求高所在的直线方程为7 x ＋2 y －19＝0.
方法总结
1. 与定直线平行的直线系方程
与 Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线方程（包括原直线）为 Ax ＋ By ＋λ＝
0（λ为待定系数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为
A （ x － x0）＋ B （ y － y0）＝0.
2. 与定直线垂直的直线系方程
与 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线方程为 Bx － Ay ＋λ＝0（λ为待定系
数），若所求的直线过点 P （ x0， y0），则其方程为 B （ x － x0）－
A （ y － y0）＝0.
二、过交点的直线系方程的应用
【例2】 （2024·台州月考）若直线 l 经过直线 l1：2 x ＋ y －8＝0和
l2： x －2 y ＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直
线 l 的方程.
解：易知直线 x －2 y ＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积 S0＝ ×1×
≠ ，所以直线 l 的方程不可能是 x －2 y ＋1＝0.故可设直线 l 的方程为
2 x ＋ y －8＋λ（ x －2 y ＋1）＝0（λ为常数），
即（2＋λ） x ＋（1－2λ） y ＋λ－8＝0.
由题意得（2＋λ）（1－2λ）（λ－8）≠0，
令 x ＝0，得 y ＝－ ；
令 y ＝0，得 x ＝－ .
所以直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝ ｜－ ｜·｜－
｜＝ ，
所以（λ－8）2＝｜（1－2λ）（2＋λ）｜，解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，直线 l 的方程为 x － y －1＝0；
当λ＝－22时，直线 l 的方程为4 x －9 y ＋6＝0.
方法总结
求过交点的直线方程的两种解法
（1）通过解方程组求出交点坐标，然后根据两直线的位置关系确定
斜率；
（2）选用直线系方程，设出过 l1与 l2交点的直线系方程为（ A1 x ＋ B1
y ＋ C1）＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0或（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＋λ
（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＝0（λ为常数），根据条件求参数λ，从而
确定直线方程.
三、圆系方程的应用
【例3】 （1）求过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的
交点，且面积最小的圆的方程；
解： 过直线2 x ＋ y ＋4＝0和圆 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0的交
点的圆系方程可设为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＋λ（2 x ＋ y ＋4）＝0
（λ∈R），
即[ x ＋（λ＋1）]2＋（ y ＋ ）2＝ λ2－4λ＋4，
圆的半径为 ＝ ＝
，
故当λ＝ .
∴所求圆的方程为（ x ＋ ）2＋（ y － ）2＝ .
（2）求过两圆 x2＋ y2＋6 x －4＝0与 x2＋ y2＋6 y －28＝0的交点的直线
方程和圆心在直线 x － y －4＝0上的圆的方程.
解： 设过两圆交点的圆系方程为
x2＋ y2＋6 x －4＋λ（ x2＋ y2＋6 y －28）＝0， ①
令λ＝－1即可得 x － y ＋4＝0，此即为公共弦所在直线的方程.
把①式整理得（1＋λ） x2＋（1＋λ） y2＋6 x ＋6λ y －4－28λ
＝0.
∴圆心的坐标为（－ ，－ ）.
而圆心在直线 x － y －4＝0上，∴－ ＋ －4＝0，∴λ
＝－7.
代入圆系方程得 x2＋ y2－ x ＋7 y －32＝0.
方法总结
1. 以（ a ， b ）为圆心的同心圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝λ2
（λ≠0）.
2. 与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0同心的圆系方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey
＋λ＝0（ D2＋ E2－4λ＞0）.
3. 过同一定点（ a ， b ）的圆系方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＋λ1
（ x － a ）＋λ2（ y － b ）＝0（λ1，λ2不同时为0）.
4. 过直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的交点的圆系
方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0.
5. 过两圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0和 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y
＋ F2＝0的交点的圆系方程为（ x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1）＋λ（ x2
＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2）＝0（λ≠－1）.特别地，在该圆系方程中，
①当λ＝－1时，方程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为
两圆公共弦所在直线的方程；②当两圆相切（内切或外切）时，方
程（ D1－ D2） x ＋（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0为过两圆公共切点的
公切线所在直线的方程.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 圆 C1： x2＋ y2＋4 x ＋8 y －5＝0与圆 C2： x2＋ y2＋4 x ＋4 y －1＝0的
位置关系为（ ）
A. 相交 B. 外切
C. 内切 D. 外离
解析： 由已知，得 C1（－2，－4）， r1＝5， C2（－2，－2），
r2＝3，则 d ＝｜ C1 C2｜＝2，所以 d ＝｜ r1－ r2｜，所以两圆内切.
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2. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0和圆 x2＋ y2－6 x ＝0交于 A ， B 两点，则 AB
的垂直平分线的方程是（ ）
A. x ＋ y ＋3＝0 B. 2 x － y －5＝0
C. 3 x － y －9＝0 D. 4 x －3 y ＋7＝0
解析： AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代
入，即可排除A、B、D.
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3. 已知圆 A ，圆 B 相切，圆心距为10 cm，其中圆 A 的半径为4 cm，则
圆 B 的半径为（ ）
A. 6 cm或14 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 无解
解析： 当两圆外切时， d ＝ rA ＋ rB ，即10＝4＋ rB ，所以 rB ＝6
cm；当两圆内切时， rB － rA ＝10.则 rB ＝10＋4＝14（cm）.
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4. （2024·舟山月考）若圆 C1： x2＋ y2＝1与圆 C2： x2＋ y2－6 x －8 y ＋
m ＝0外切，则 m ＝（ ）
A. 21 B. 19
C. 9 D. －11
解析： 因为 x2＋ y2－6 x －8 y ＋ m ＝0 （ x －3）2＋（ y －4）2＝
25－ m ，所以25－ m ＞0 m ＜25，且圆 C2的圆心为（3，4），半
径为 ＝1＋ m ＝9.
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5. 我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串
圆”.在如图所示的“串圆”中，圆 C1和圆 C3的方程分别为 x2＋ y2
＝1和（ x －4）2＋（ y －2）2＝1，若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b
＞0）始终平分圆 C2的周长，则 a ＋ b ＝（ ）
B. 1
D. 2
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解析： 若直线 ax ＋2 by －2＝0（ a ， b ＞0）始终平分圆 C2的周
长，则该直线经过圆 C2的圆心，由圆外切的关系知 C2为线段 C1 C3
的中点，圆 C1的圆心的坐标为（0，0），圆 C3的圆心的坐标为
（4，2），所以圆 C2的圆心的坐标为（2，1），可得 a ＋ b ＝1.
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6. （多选）（2024·开封月考）下列圆中与圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1
＝0相切的是（ ）
A. （ x ＋2）2＋（ y ＋2）2＝9
B. （ x －2）2＋（ y ＋2）2＝9
C. （ x －2）2＋（ y －2）2＝25
D. （ x －2）2＋（ y ＋2）2＝49
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解析： 由圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋1＝0，可知圆心 C 的坐标
为（－1，2），半径 r ＝2.A项，圆心 C1（－2，－2），半径 r1＝
3.∵｜ C1 C ｜＝ ∈（ r1－ r ， r1＋ r ），∴两圆相交；B项，圆
心 C2（2，－2），半径 r2＝3，∵｜ C2 C ｜＝5＝ r ＋ r2，∴两圆外
切，满足条件；C项，圆心 C3（2，2），半径 r3＝5，∵｜ C3 C ｜＝
3＝ r3－ r ，∴两圆内切；D项，圆心 C4（2，－2），半径 r4＝7，
∵｜ C4 C ｜＝5＝ r4－ r ，∴两圆内切.
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7. 若圆 x2＋ y2＝4与圆 x2＋ y2＋2 ay －6＝0（ a ＞0）的公共弦长为2
，则 a ＝ .
解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y ＝ ，圆
心（0，0）到直线的距离为 d ＝ ＝ ＝1，所以 a ＝1.
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8. 已知点 P （2，－2）和圆 C ：（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝16，则 P 在
圆 C （填“内”“外”或“上”）；以 P 为圆心且和圆 C 内
切的圆的标准方程为 .
解析：由题知 C （－1，2），圆 C 的半径为4，所以｜ PC ｜＝
＝5＞4，所以点 P 在圆 C 外.设以 P 为圆
心且和圆 C 内切的圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝ r2， r
＞0，则｜ PC ｜＋4＝ r ，即 r ＝9，所以以 P 为圆心且和圆 C 内切的
圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝81.
外
（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝81
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9. 圆心在直线 x － y －4＝0上，且经过圆 x2＋ y2－4 x －6＝0与圆 x2＋ y2
－4 y －6＝0的交点的圆的方程为 .
解析：设所求圆的方程为 x2＋ y2－4 x －6＋λ（ x2＋ y2－4 y －6）＝0
（λ≠－1）.易求得所求圆的圆心坐标为（ ），将其代入
方程 x － y －4＝0，得λ＝－ .故所求圆的方程为 x2＋ y2－6 x ＋2 y －
6＝0，即（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝16.
（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝16
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10. （2024·台州月考）已知圆 C1： x2＋ y2－2 x －6 y －1＝0和 C2： x2＋
y2－10 x －12 y ＋45＝0.
（1）求证：圆 C1和圆 C2相交；
解： 证明： C1的标准方程是（ x －1）2＋（ y －3）2＝11，
则 C1（1，3）， r ＝ .
C2的标准方程是（ x －5）2＋（ y －6）2＝16，
则 C2（5，6）， R ＝4.
｜ C1 C2｜＝ ＝5，
显然4－ ＜5＜4＋ ，所以两圆相交.
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（2）求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解： 两圆方程相减得8 x ＋6 y －46＝0，即4 x ＋3 y －23
＝0为公共弦所在直线方程，
点 C1到直线4 x ＋3 y －23＝0的距离 d ＝ ＝2，所以
公共弦长 l ＝2 ＝2 .
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11. 已知圆 C1： x2＋ y2－2 ax ＋ a2－1＝0和圆 C2： x2＋ y2－2 by ＋ b2－4
＝0恰有三条公共切线，则 的最小值为
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析： 圆 C1的圆心为 C1（ a ，0），半径为 r1＝1，圆 C2的圆心
为 C2（0， b ），半径为 r2＝2.∵两圆有三条公共切线，∴两圆外
切.∴ ＝3，∴点（ a ， b ）在圆 x2＋ y2＝9上.而
表示点（ a ， b ）到点（3，4）的距离.
故 －3＝2.
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12. （多选）已知圆 O ： x2＋ y2＝4和圆 M ： x2＋ y2＋4 x －2 y ＋4＝0相
交于 A ， B 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 两圆有两条公切线
B. 直线 AB 的方程为 y ＝2 x ＋2
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解析： 因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
又圆 O ： x2＋ y2＝4 ①，圆 M ： x2＋ y2＋4 x －2 y ＋4＝0 ②，所
以由②－①得4 x －2 y ＋4＝－4，即 y ＝2 x ＋4，所以直线 AB 的方
程为 y ＝2 x ＋4，故B错误；又圆 O 的圆心为 O （0，0），半径为
2，则圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝ ＝ ，所以｜ AB ｜＝2×
＝ ，故C错误；圆 M 的圆心为 M （－2，1），半
径为1，所以｜ EF ｜max＝｜ OM ｜＋2＋1＝ ＋3，故D正确.
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13. 若☉ O ： x2＋ y2＝5与☉ O1：（ x － m ）2＋ y2＝20（ m ∈R）相交于
A ， B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度
为 .
解析：如图所示，在Rt△ OO1 A 中，｜ OA ｜
＝ ，｜ O1 A ｜＝2 ，∴｜ OO1｜＝5，
∴｜ AC ｜＝ ＝2，∴｜ AB ｜＝4.
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14. （2024·商丘月考）已知圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0.
（1）若直线 l1过定点 A （1，1），且与圆 C 相切，求 l1的方程；
解： 圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0化为标准方程为
（ x －3）2＋（ y －4）2＝4，
所以圆 C 的圆心为（3，4），半径为2.
①若直线 l1的斜率不存在，即直线为 x ＝1，符合题意.
②若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y －1＝ k （ x －
1），即 kx － y － k ＋1＝0.
由题意知，圆心（3，4）到已知直线 l1的距离等于半径2，
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所以 ＝2，即 ＝2，解得 k ＝ ，所以
直线方程为5 x －12 y ＋7＝0.
综上，所求 l1的方程为 x ＝1或5 x －12 y ＋7＝0.
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（2）若圆 D 的半径为3，圆心在直线 l ： x － y ＋2＝0上，且与圆 C
外切，求圆 D 的方程.
解： 依题意，设 D （ a ， a ＋2）.
又已知圆 C 的圆心为（3，4），半径为2，
由两圆外切，可知｜ CD ｜＝5，
所以 ＝5，
解得 a ＝－1或 a ＝6.所以 D （－1，1）或 D （6，8），
所以所求圆 D 的方程为（ x ＋1）2＋（ y －1）2＝9或（ x －
6）2＋（ y －8）2＝9.
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解析：如图，设两圆 O1， O2外切于点 M ，连接
OM ，作 O1 N ⊥ OO2交 OO2于点 N ，点 D 为线段
OO2与圆 O2的交点，令｜ DE ｜＝ h ＝6，所以｜
NE ｜＝10，｜ O2 M ｜＝10，｜ O2 N ｜＝10－｜DN ｜＝ h ＝6，因为∠ O1 NO2＝∠ OMO2＝90°，∠ O1 O2 N ＝∠ OO2 M ，所以△ O1 NO2∽△ OMO2，所以 ＝ ＝ ，解得 R ＝ .
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16. 已知圆 A ： x2＋（ y ＋1）2＝1，圆 B ：（ x －4）2＋（ y －3）2＝1.
（1）过圆心 A 的直线 l 截圆 B 所得的弦长为 ，求直线 l 的斜率；
解： 由题意知，直线 l 的斜率存在，且圆心 A （0，－
1），设直线 l 的方程为 y ＝ kx －1，由弦长可得圆心 B （4，
3）到直线 l 的距离为 ，
即 ＝ ，化简得12 k2－25 k ＋12＝0，
解得 k ＝ 或 k ＝ .
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①求动圆圆心 P 的轨迹方程；
②问动圆 P 是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经
过，请说明理由.
（2）若动圆 P 同时平分圆 A 与圆 B 的周长.
解： ①由已知可得｜ PA ｜＝｜ PB ｜，故圆心 P 在线段
AB 的中垂线上.
∵直线 AB 的斜率为1，∴圆心 P 所在直线的斜率为－1，且
该直线过点（2，1），∴圆心 P 在直线 x ＋ y －3＝0上.即动
圆圆心 P 的轨迹方程为 x ＋ y －3＝0.
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②设 P （ m ，3－ m ），则动圆 P 的半径为 ＝
，
∴动圆 P 的方程为（ x － m ）2＋（ y ＋ m －3）2＝ m2＋（3－
m ＋1）2＋1，
即 x2＋ y2－6 y －8－2 m （ x － y －1）＝0.
由
得故动圆 P 过定点（2＋
，1＋ ），（2－ ，1－ ）.
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谢 谢 观 看！
