一、两直线的平行与垂直
理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题.
【例1】 （1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（2024·济南月考）若点A（4，－1）在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是 ；
（3）若直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，则b＝ .
反思感悟
1.判定两条直线平行、垂直的方法
（1）若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）；
（2）一般式方程下的平行与垂直：l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
二、两直线的交点与距离问题
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【例2】 （1）若点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为（ ）
A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3
（2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（ ）
A. B. C. D.
（3）（2024·苏州月考）已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P（0，4）到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
反思感悟
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）.
三、圆的方程
理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【例3】 （1）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标与半径分别为（ ）
A.（2，4）， B.（2，4），5
C.（－2，－4）， D.（－2，－4），5
（2）（2022·全国甲卷14题）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为 ；
（3）大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O为坐标原点，若M（，－），则｜PM｜的最小值为 .
反思感悟
求圆的方程的两种方法
四、直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线与圆的方程解决与圆有关的切线、弦长问题，并能解决一些简单的实际问题.
【例4】 （1）已知实数x，y满足方程（x＋2）2＋y2＝2，则的最大值为 ；
（2）（2024·泰州月考）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
①当m∈R时，证明l与圆C总相交；
②m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长.
反思感悟
1.判断直线与圆的位置关系的方法
2.直线被圆截得的弦长的两种求法
3.解决直线与圆相切问题的策略
五、圆与圆的位置关系
能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.
【例5】 （2024·潍坊质检）已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
（1）求证：两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
反思感悟
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）垂直 （3）±
解析：（1）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立.
（2）将点A（4，－1）的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－，则·＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.
（3）直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝6b2，∴b2＝，∴b＝±，同时截距不等，直线不重合.
【例2】 （1）C （2）B （3）C
解析：（1）∵点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，∴＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5.
（2）因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1.所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝＝.故选B.
（3）法一 由得即直线l过点（1，2）.设点Q（1，2），因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条.
法二 依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条.
【例3】 （1）D （2）（x－1）2＋（y＋1）2＝5 （3）1 解析：（1）由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5.
（2）法一 设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M，
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三 设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
（3）动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝＝1＜2，故点M（，－）在圆内，所以当O，M，P三点共线时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1.
【例4】 （1）1 解析：原方程表示以点（－2，0）为圆心，为半径的圆，设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±1.故的最大值为1.
（2）解：①证明：直线l的方程可化为y＋3＝2m（x－4），
由点斜式可知，直线恒过点P（4，－3）.
由于42＋（－3）2－6×4＋12×（－3）＋20＝－15＜0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交.
②圆的方程可化为（x－3）2＋（y＋6）2＝25.
如图，当圆心C（3，－6）到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短.
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－.
在Rt△APC中，｜PC｜＝，｜AC｜＝r＝5.
所以｜AB｜＝2＝2.
故当m＝－时，l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2.
【例5】 解：（1）证明：圆C1的方程可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5，圆C2的方程可化为x2＋（y－1）2＝5，
∴C1（2，－1），C2（0，1），两圆的半径均为，
∵C1C2＝＝2＜2，∴两圆相交.
（2）将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，x2＋y2－4x＋2y－（x2＋y2－2y－4）＝0，即x－y－1＝0.
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章末复习与总结
一、两直线的平行与垂直
理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂
直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题.
【例1】 （1）设不同直线 l1：2 x － my －1＝0， l2：（ m －1） x － y
＋1＝0，则“ m ＝2”是“ l1∥ l2”的（ C ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当 m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平
行，即充分性成立.当 l1∥ l2时，显然 m ≠0，从而有 ＝ m －1，
解得 m ＝2或 m ＝－1，但当 m ＝－1时，两直线重合，不合要
求，故必要性成立.
C
（2）（2024·济南月考）若点 A （4，－1）在直线 l1： ax － y ＋1＝0
上，则 l1与 l2：2 x － y －3＝0的位置关系是 ；
解析： 将点 A （4，－1）的坐标代入 ax － y ＋1＝0，得 a
＝－ · ＝－ ×2＝－1，∴ l1⊥ l2.
垂直
解析： 直线 m1： x ＋3 by －5＝0与直线 m2：2 bx ＋ y ＋2＝0
平行，∴1＝6 b2，∴ b2＝ ，∴ b ＝± ，同时截距不等，直线
不重合.
±
反思感悟
1. 判定两条直线平行、垂直的方法
（1）若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1∥ l2 k1＝
k2， l1⊥ l2 k1 k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）；
（2）一般式方程下的平行与垂直： l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2
－ B2 C1≠0， l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
2. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
二、两直线的交点与距离问题
1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2. 掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直
线间的距离.
【例2】 （1）若点（1， a ）到直线 y ＝ x ＋1的距离是 ，则实
数 a 的值为（ C ）
A. －1 B. 5
C. －1或5 D. －3或3
C
解析： ∵点（1， a ）到直线 y ＝ x ＋1的距离是 ，
∴ ＝ ，即｜ a －2｜＝3，解得 a ＝－1或 a ＝5，
∴实数 a 的值为－1或5.
（2）若直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0平
行，则 l1与 l2间的距离为（ B ）
B
解析：因为直线 l1： x ＋ ay ＋6＝0与 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a
＝0平行，所以3－ a （ a －2）＝0且2 a2－18≠0，解得 a ＝－
1.所以直线 l1： x － y ＋6＝0， l2： x － y ＋ ＝0，所以直线 l1
与 l2间的距离 d ＝ ＝ .故选B.
（3）（2024·苏州月考）已知直线 l 过直线 l1： x －2 y ＋3＝0与直线
l2：2 x ＋3 y －8＝0的交点，且点 P （0，4）到直线 l 的距离为
2，则这样的直线 l 的条数为（ C ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
解析：法一 由即直线 l 过点
（1，2）.设点 Q （1，2），因为 PQ ＝
＝ ＞2，所以满足条件的直线 l 有
2条.
法二 依题意，设经过直线 l1与 l2交点的直线 l 的方程为2 x ＋3 y －8＋
λ（ x －2 y ＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ） x ＋（3－2λ） y ＋3λ－8＝
0.由题意得 ＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ
＝－2或λ＝ ，代入得直线 l 的方程为 y ＝2或4 x －3 y ＋2＝0，所以直
线 l 有2条.
反思感悟
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要
注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距
离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两
平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中 x ， y 的
系数化为对应相等的形式）.
三、圆的方程
理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程
与一般方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【例3】 （1）已知 a ∈R，方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝
0表示圆，则圆心坐标与半径分别为（ D ）
B. （2，4），5
D. （－2，－4），5
D
解析： 由题可得 a2＝ a ＋2，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a ＝2
时，方程不表示圆，舍去.当 a ＝－1时，方程为 x2＋ y2＋4 x ＋8 y
－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5.
（2）（2022·全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点
（3，0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
；
（ x －1）2
＋（ y ＋1）2＝5
解析：法一 设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，则
∴☉ M 的方程为（ x －
1）2＋（ y ＋1）2＝5.
法二 设☉ M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞
0），则 M ，
∴
∴☉ M 的方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5.
法三 设 A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半径为 r ，则 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中点坐标为 ，∴ AB 的垂直平分线方程为 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.联立得解得 M （1，－
1），∴ r2＝｜ MA ｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方
程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
（3）大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长
也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个
定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动
点 P 满足｜ OP ｜＝2，其中 O 为坐标原点，若 M （ ，－
），则｜ PM ｜的最小值为 .
1
解析：动点 P 的轨迹是以 O 为圆心，2为半径的圆，即 x2＋ y2＝4，而｜
OM ｜＝ ＝1＜2，故点 M （ ，－ ）在圆
内，所以当 O ， M ， P 三点共线时，｜ PM ｜最小，即｜ PM ｜min＝2
－｜ OM ｜＝2－1＝1.
反思感悟
求圆的方程的两种方法
四、直线与圆的位置关系
1. 能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2. 能用直线与圆的方程解决与圆有关的切线、弦长问题，并能解决一
些简单的实际问题.
【例4】 （1）已知实数 x ， y 满足方程（ x ＋2）2＋ y2＝2，则 的
最大值为 ；
1
解析：原方程表示以点（－2，0）为圆心， ＝ k ，即 y ＝ kx .当直线 y ＝ kx 与圆相切时，
斜率 k 取最大值和最小值，此时 ＝ ，解得 k ＝±1.
故 的最大值为1.
（2）（2024·泰州月考）已知直线 l ：2 mx － y －8 m －3＝0和圆
C ： x2＋ y2－6 x ＋12 y ＋20＝0.
①当 m ∈R时，证明 l 与圆 C 总相交；
② m 取何值时， l 被圆 C 截得的弦长最短？并求此弦长.
解：①证明：直线 l 的方程可化为 y ＋3＝2 m （ x －4），
由点斜式可知，直线恒过点 P （4，－3）.
由于42＋（－3）2－6×4＋12×（－3）＋20＝－15＜0，所以
点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交.
②圆的方程可化为（ x －3）2＋（ y ＋6）2＝25.
如图，当圆心 C （3，－6）到直线 l 的距离最大
时，线段 AB 的长度最短.
此时 PC ⊥ l ，又 kPC ＝ ＝3，
所以直线 l 的斜率为－ ，则2 m ＝－ ，所以 m ＝－ .
在Rt△ APC 中，｜ PC ｜＝ ，｜ AC ｜＝ r ＝5.
所以｜ AB ｜＝2 ＝2 .
故当 m ＝－ 时， l 被圆 C 截得的弦长最短，最短弦长为2 .
反思感悟
1. 判断直线与圆的位置关系的方法
2. 直线被圆截得的弦长的两种求法
3. 解决直线与圆相切问题的策略
五、圆与圆的位置关系
能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相
交、内切、内含）.
【例5】 （2024·潍坊质检）已知圆 C1： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＝0与圆
C2： x2＋ y2－2 y －4＝0.
（1）求证：两圆相交；
解： 证明：圆 C1的方程可化为（ x －2）2＋（ y ＋1）2
＝5，圆 C2的方程可化为 x2＋（ y －1）2＝5，
∴ C1（2，－1）， C2（0，1），两圆的半径均为 ，
∵ C1 C2＝ ＝2 ＜2 ，∴两圆相交.
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
解： 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线
的方程， x2＋ y2－4 x ＋2 y －（ x2＋ y2－2 y －4）＝0，即 x
－ y －1＝0.
反思感悟
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距
离与两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作
差消去 x2， y2项得到.
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