章末检测（二） 直线和圆的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（ ）
A.y＝－x－2 B.y＝x－2
C.y＝x＋2 D.y＝－x＋2
2.已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则｜MN｜＝（ ）
A.10 B.180
C.6 D.6
3.直线x＋y－1＝0被圆（x＋1）2＋y2＝3截得的弦长为（ ）
A. B.2
C.2 D.4
4.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ）
A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－4＝0
5.已知直线x－2y＋m＝0（m＞0）与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.2
6.已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝4 B.（x－）2＋（y－）2＝2
C.（x－1）2＋（y－1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－2）2＝5
7.已知大圆O1与小圆O2相交于A（2，1），B（1，2）两点，且两圆都与两坐标轴相切，则｜O1O2｜＝（ ）
A.4 B.4
C.6 D.6
8.已知M（3，4）是半径为1的动圆C上一点，P为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当｜AB｜取最大值时，△PAB的外接圆的方程为（ ）
A.x2＋y2－3x－4y－6＝0 B.x2＋y2－3x－4y＋6＝0
C.x2＋y2－3x－4y＝0 D.x2＋y2－4x－3y＝0
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是（ ）
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点（，0）到直线l的距离是2
D.过点（2，2）与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0
10.已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是（ ）
A.圆M的圆心为（4，－3）
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
11.已知圆C1：（x－2cos θ）2＋（y－2sin θ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，则下列说法正确的是（ ）
A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切
B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线
C.当θ＝时，直线l：x－y－1＝0被圆C1截得的弦长为
D.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.点M到x轴和到点N（－4，2）的距离都等于10，则点M的坐标为 .
13.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 .
14.在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0（m∈R）过定点 ，以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
16.（本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.
17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，圆上一点A（2，4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC｜＝｜OA｜，求直线l的方程.
18.（本小题满分17分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明其形状；
（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），证明：直线QR过定点，并求该定点坐标.
19.（本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之间均有小径连接（小径均为直路），且∠AOB＝π，喷泉中心C点距离B点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一休息亭Q，现测得｜OB｜＝40米，｜OQ｜＝20米，且OQ⊥OA.
（1）请计算小径AB的长度；
（2）现打算改建控制台O的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能近，在点A，B，C的位置及∠AOB大小均不变的前提下，请计算O'C长度的最小值；
（3）一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r＝10米的圆形区域（含边界），此人的行进速度是v＝10米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a的最小值.
章末检测（二） 直线和圆的方程
1.B 因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为y＝x－2.故选B.
2.D 由kMN＝＝－，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以｜MN｜＝＝6，故选D.
3.B 由题意，得圆心为（－1，0），半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B.
4.D 直线x－2y＋2＝0上的点（－2，0）关于直线x＝1对称的点为A（4，0），直线x－2y＋2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点为B（2，1），故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程，为＝，即x＋2y－4＝0，故选D.
5.A 由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8（舍去），∴m＋n＝0.
6.C 因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C（1，m），又圆心在第一象限，所以∠ACB为直角，所以△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为（1，1），圆的半径为，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
7.B 由题意，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为（a，a）（a＞0），其方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将点（1，2）或（2，1）的坐标代入，解得a＝5或a＝1，所以O1：（x－5）2＋（y－5）2＝25，O2：（x－1）2＋（y－1）2＝1，可得O1（5，5），O2（1，1），所以｜O1O2｜＝＝4.
8.A 如图，∵｜MC｜＝1，∴圆心C的轨迹方程为（x－3）2＋（y－4）2＝1.∵P为圆O：x2＋y2＝1上的动点，又｜OM｜＝5，∴3≤｜PC｜≤7.∵｜PC｜·｜AB｜＝2｜AC｜·｜PA｜，｜AC｜＝1，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝2，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小，当｜PC｜最大时，｜AB｜最大.当｜PC｜＝｜OM｜＋2＝7时，｜AB｜取最大值，△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC的中点，即OM的中点为（，2），∴外接圆的方程为（x－）2＋（y－2）2＝，即x2＋y2－3x－4y－6＝0.
9.CD 对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点（，0）到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点（2，2）与直线l平行的直线方程是y－2＝（x－2），整理得x－y－4＝0，故D正确.综上所述，正确的选项为C、D.
10.ABD 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，即（x－4）2＋（y＋3）2＝25，故圆M的圆心坐标为（4，－3），半径为5，显然选项C不正确，A正确；又圆心M（4，－3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，故圆M被x轴截得的弦长为8，被y轴截得的弦长为6，故B、D正确.
11.ACD 由已知得C1（2cos θ，2sin θ），C2（0，0），r1＝1，r2＝1，所以｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2，故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ＝时，C1（，1），所以C1到直线l的距离为＝，则弦长为2×＝，所以C中说法正确；因为｜C1C2｜＝2，所以｜PQ｜max＝｜C1C2｜＋1＋1＝4，所以D中说法正确.
12.（2，10）或（－10，10） 解析：设M（x，y），则｜y｜＝＝10.解得或
13.x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
解析：设直线l的方程为＋＝1，∴｜ab｜＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
14.（2，－1） （x－1）2＋y2＝2 解析：根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m（x－2）＝y＋1.由解得即直线l经过定点（2，－1），记点（2，－1），（1，0）分别为点M，点C，则｜MC｜＝＝.以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝｜MC｜＝.故半径最大的圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.
15.解：（1）由直线的点斜式方程，得y－5＝－（x＋2），
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0（C≠－14），
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
16.解：（1）设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），因为圆C经过点A（－1，1）和B（－2，－2），
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
所以解得
所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝＝5＞5，
所以直线x－y＋5＝0与圆C相离，
所以｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5.
17.解：（1）由点N在直线x＝6上，设N（6，n），
因为圆N与x轴相切，则圆N为（x－6）2＋（y－n）2＝n2，n＞0，
又圆N与圆M：（x－6）2＋（y－7）2＝25外切，则｜7－n｜＝｜n｜＋5，解得n＝1，
即圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.
（2）由题意得｜OA｜＝2，kOA＝2.
设l：y＝2x＋b，则圆心M到直线l的距离d＝＝，
则｜BC｜＝2＝2，
｜BC｜＝｜OA｜＝2，即2＝2，解得b＝5或b＝－15，
即l：y＝2x＋5或y＝2x－15.
18.解：（1）设M（x，y），
由＝，得＝.
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4.
故曲线C是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆.
（2）证明：由题意知，PQ，PR与圆C相切，Q，R为切点，C（－1，0）是曲线C的圆心，则CQ⊥PQ，CR⊥PR，则C，R，P，Q四点共圆，Q，R在以CP为直径的圆上（如图）.
CP的中点为（1，），｜CP｜＝，
以线段CP为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝（）2，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0. ①
又Q，R在圆x2＋y2＋2x－3＝0上， ②
由两圆方程作差即②－①，得4x＋py＝0，
所以直线QR的方程为4x＋py＝0.
则QR恒过坐标原点O（0，0）.
19.解：以O为坐标原点，AO所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）由｜OB｜＝40米，∠AOB＝π，可知B（40，40），
则直线OB的方程为y＝x，又Q（0，20），
所以直线AB的方程为y＝x＋20，
令y＝0，得x＝－40，故A（－40，0），
所以｜AB｜＝40米.
（2）易知O，A，B三点共圆，且易求得此圆的方程为（x＋20）2＋（y－60）2＝4 000，其圆心为（－20，60），半径为20.
易得C（－20，40）在圆内，则｜O'C｜min＝20－20，此时点O'为直线x＝－20与点A及坐标原点之间劣弧的交点.
（3）人从A处行驶到B处所需要的时间为＝4（分钟），
假设在t（0＜t＜4）时刻人所在的位置为M，
则｜AM｜＝10t米，所以M（20t－40，10t），
则｜CM｜2＝（20t－20）2＋（10t－40）2＝100（5t2－16t＋20），
又在t（0＜t＜4）时刻，r2＝100at，故欲使这个人在行进的过程中被水幕沾染，
则存在t∈（0，4），使得r2≥｜CM｜2，即100at≥100（5t2－16t＋20）成立，
所以存在t∈（0，4），使得a≥5（t＋）－16成立，
当t∈（0，4）时，5（t＋）－16≥5×2－16＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，
所以a≥4，即实数a的最小值为4.
3 / 3(共34张PPT)
章末检测（二）
直线和圆的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知直线的倾斜角为45°，在 x 轴上的截距为2，则直线的方程为
（ ）
A. y ＝－ x －2 B. y ＝ x －2
C. y ＝ x ＋2 D. y ＝－ x ＋2
解析： 因为直线的倾斜角为45°，在 x 轴上的截距为2，所以该直
线的斜率 k ＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为 y
＝ x －2.故选B.
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2. 已知过点 M （－2， a ）， N （ a ，4）的直线的斜率为－ ，则｜
MN ｜＝（ ）
A. 10 B. 180
解析： 由 kMN ＝ ＝－ ，解得 a ＝10，即 M （－2，10），
N （10，4），所以｜ MN ｜＝ ＝6
，故选D.
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3. 直线 x ＋ y －1＝0被圆（ x ＋1）2＋ y2＝3截得的弦长为（ ）
B. 2
D. 4
解析： 由题意，得圆心为（－1，0），半径 r ＝ ，弦心距 d
＝ ＝ ，所以所求的弦长为2 ＝2，故选B.
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4. 直线 x －2 y ＋2＝0关于直线 x ＝1对称的直线方程是（ ）
A. 2 x ＋ y －4＝0 B. x ＋2 y －1＝0
C. 2 x ＋ y －3＝0 D. x ＋2 y －4＝0
解析： 直线 x －2 y ＋2＝0上的点（－2，0）关于直线 x ＝1对称
的点为 A （4，0），直线 x －2 y ＋2＝0上的点（0，1）关于直线 x
＝1对称的点为 B （2，1），故直线 x －2 y ＋2＝0关于直线 x ＝1对
称的直线方程，即直线 AB 的方程，为 ＝ ，即 x ＋2 y －4＝
0，故选D.
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5. 已知直线 x －2 y ＋ m ＝0（ m ＞0）与直线 x ＋ ny －3＝0互相平行，
且它们间的距离是 ，则 m ＋ n ＝（ ）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 2
解析： 由题意，所给两条直线平行，∴ n ＝－2.由两条平行直线
间的距离公式，得 d ＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝2或
m ＝－8（舍去），∴ m ＋ n ＝0.
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6. 已知圆 C 经过 A （0，0）， B （2，0），且圆心在第一象限，△
ABC 为直角三角形，则圆 C 的方程为（ ）
A. （ x －1）2＋（ y －1）2＝4
C. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
D. （ x －1）2＋（ y －2）2＝5
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解析： 因为圆心在弦 AB 的垂直平分线上，所以可设 C （1，
m ），又圆心在第一象限，所以∠ ACB 为直角，所以△ ABC 为等腰
直角三角形，所以｜ AC ｜＝ ＝ .因为 m ＞0，所以 m ＝
1，所以圆心坐标为（1，1），圆的半径为 ，所以圆 C 的方程为
（ x －1）2＋（ y －1）2＝2.
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7. 已知大圆 O1与小圆 O2相交于 A （2，1）， B （1，2）两点，且两圆
都与两坐标轴相切，则｜ O1 O2｜＝（ ）
A. 4
D. 6
解析： 由题意，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为（ a ， a ）
（ a ＞0），其方程为（ x － a ）2＋（ y － a ）2＝ a2，将点（1，2）
或（2，1）的坐标代入，解得 a ＝5或 a ＝1，所以 O1：（ x －5）2＋
（ y －5）2＝25， O2：（ x －1）2＋（ y －1）2＝1，可得 O1（5，
5）， O2（1，1），所以｜ O1 O2｜＝ ＝4 .
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8. 已知 M （3，4）是半径为1的动圆 C 上一点， P 为圆 O ： x2＋ y2＝1
上一动点，过点 P 作圆 C 的切线，切点分别为 A ， B ，则当｜ AB ｜
取最大值时，△ PAB 的外接圆的方程为（ ）
A. x2＋ y2－3 x －4 y －6＝0
B. x2＋ y2－3 x －4 y ＋6＝0
C. x2＋ y2－3 x －4 y ＝0
D. x2＋ y2－4 x －3 y ＝0
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解析： 如图，∵｜ MC ｜＝1，∴圆心 C 的轨
迹方程为（ x －3）2＋（ y －4）2＝1.∵ P 为圆
O ： x2＋ y2＝1上的动点，又｜ OM ｜＝5，
∴3≤｜ PC ｜≤7.∵｜ PC ｜·｜ AB ｜＝2｜
AC ｜·｜ PA ｜，｜ AC ｜＝1，｜ PC ｜2＝｜ PA ｜
2＋｜ AC ｜2，∴｜ AB ｜＝ ＝2 ，∴当｜ PC ｜最小时，｜ AB ｜最小，当｜ PC ｜最大时，｜ AB ｜最大.当｜ PC ｜
＝｜ OM ｜＋2＝7时，｜ AB ｜取最大值，△ PAB 的外接圆以线段 PC 为直径，而 PC 的中点，即 OM 的中点为（ ，2），∴外接圆的方程为（ x － ）2＋（ y －2）2＝ ，即 x2＋ y2－3 x －4 y －6＝0.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线 l ： x － y ＋1＝0，则下列结论正确的是（ ）
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解析： 对于A，直线 l ： x － y ＋1＝0的斜率 k ＝tan ＝
，故直线 l 的倾斜角是 ，故A错误；对于B，因为直线 m ： x －
y ＋1＝0的斜率k'＝ ，kk'＝1≠－1，故直线 l 与直线 m 不垂
直，故B错误；对于C，点（ ，0）到直线 l 的距离 d ＝
＝2，故C正确；对于D，过点（2 ，2）与直线
l 平行的直线方程是 y －2＝ （ x －2 x － y －4＝
0，故D正确.综上所述，正确的选项为C、D.
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10. 已知圆 M 的一般方程为 x2＋ y2－8 x ＋6 y ＝0，则下列说法中正确的
是（ ）
A. 圆 M 的圆心为（4，－3）B. 圆 M 被 x 轴截得的弦长为8
C. 圆 M 的半径为25 D. 圆 M 被 y 轴截得的弦长为6
解析： 圆 M 的一般方程为 x2＋ y2－8 x ＋6 y ＝0，即（ x －
4）2＋（ y ＋3）2＝25，故圆 M 的圆心坐标为（4，－3），半径为
5，显然选项C不正确，A正确；又圆心 M （4，－3）到 x 轴的距离
为3，到 y 轴的距离为4，故圆 M 被 x 轴截得的弦长为8，被 y 轴截得
的弦长为6，故B、D正确.
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11. 已知圆 C1：（ x －2 cos θ）2＋（ y －2 sin θ）2＝1与圆 C2： x2＋ y2
＝1，则下列说法正确的是（ ）
A. 对于任意的θ，圆 C1与圆 C2始终相切
B. 对于任意的θ，圆 C1与圆 C2始终有四条公切线
D. P ， Q 分别为圆 C1与圆 C2上的动点，则｜ PQ ｜的最大值为4
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解析： 由已知得 C1（2 cos θ，2 sin θ）， C2（0，0）， r1＝
1， r2＝1，所以｜ C1 C2｜＝ ＝2＝ r1＋
r2，故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ＝
时， C1（ ，1），所以 C1到直线 l 的距离为 ＝
，则弦长为2× ＝ ，所以C中说法正确；因为｜
C1 C2｜＝2，所以｜ PQ ｜max＝｜ C1 C2｜＋1＋1＝4，所以D中说
法正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 点 M 到 x 轴和到点 N （－4，2）的距离都等于10，则点 M 的坐标
为 .
解析：设 M （ x ， y ），则｜ y ｜＝ ＝
10.解得
（2，10）或（－10，10）
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13. 已知直线 l 的斜率为 ，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直
线 l 的方程为 .
解析：设直线 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ｜ ab ｜＝3，且－ ＝ ，
解得 a ＝－6， b ＝1或 a ＝6， b ＝－1，∴直线 l 的方程为 ＋ y ＝
1或 － y ＝1，即 x －6 y ＋6＝0或 x －6 y －6＝0.
x －6 y ＋6＝0或 x －6 y －6＝0
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14. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ： mx － y －2 m －1＝0（ m ∈R）
过定点 ，以点（1，0）为圆心且与 l 相切的所有圆
中，半径最大的圆的标准方程为 .
（2，－1）
（ x －1）2＋ y2＝2
解析：根据题意，直线 l ： mx － y －2 m －1＝0，即 m （ x －2）＝
y ＋1.由即直线 l 经过定点（2，－
1），记点（2，－1），（1，0）分别为点 M ，点 C ，则｜ MC ｜
＝ ＝ .以点（1，0）为圆心且与 l 相
切的所有圆中，半径最大时， r ＝｜ MC ｜＝ .故半径最大的圆
的标准方程为（ x －1）2＋ y2＝2.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知直线 l 经过点 P （－2，5），且斜率为－
.
（1）求直线 l 的方程；
解： 由直线的点斜式方程，得 y －5＝－ （ x ＋2），
整理得所求直线方程为3 x ＋4 y －14＝0.
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（2）若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为3，求直线 m 的
方程.
解： 由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为3 x ＋
4 y ＋ C ＝0（ C ≠－14），
由点到直线的距离公式得 ＝3，
即 ＝3，解得 C ＝1或 C ＝－29，
故所求直线 m 的方程为3 x ＋4 y ＋1＝0或3 x ＋4 y －29＝0.
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16. （本小题满分15分）已知圆心为 C 的圆经过点 A （－1，1）和 B
（－2，－2），且圆心在直线 l ： x ＋ y －1＝0上.
（1）求圆 C 的标准方程；
解： 设圆 C 的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），因为圆 C 经过点 A （－1，1）和 B （－2，－2），
且圆心在直线 l ： x ＋ y －1＝0上，
所以
所以圆 C 的标准方程为（ x －3）2＋（ y ＋2）2＝25.
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（2）设点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 x － y ＋5＝0上，求｜ PQ ｜的
最小值.
解： 因为圆心 C 到直线 x － y ＋5＝0的距离为 d ＝
＝5 ＞5，
所以直线 x － y ＋5＝0与圆 C 相离，
所以｜ PQ ｜的最小值为 d － r ＝5 －5.
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17. （本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，圆
M ： x2＋ y2－12 x －14 y ＋60＝0，圆上一点 A （2，4）.
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N
在直线 x ＝6上，求圆 N 的标准方程；
解： 由点 N 在直线 x ＝6上，设 N （6，n ），
因为圆 N 与 x 轴相切，则圆 N 为（ x －6）2
＋（ y － n ）2＝ n2， n ＞0，又圆 N 与圆 M ：（ x －6）2＋（ y －7）2＝25外切，则｜7－ n ｜＝｜ n ｜＋5，解得 n ＝1，即圆 N 的标准方程为（ x －6）2＋（ y －1）2＝1.
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（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ， C 两点，且｜ BC ｜
＝｜ OA ｜，求直线 l 的方程.
解： 由题意得｜ OA ｜＝2 ， kOA ＝2.
设 l ： y ＝2 x ＋ b ，则圆心 M 到直线 l 的距离 d
＝ ＝ ，
则｜ BC ｜＝2 ＝2 ，
｜ BC ｜＝｜ OA ｜＝2 ，即2 ＝2 ，解
得 b ＝5或 b ＝－15，即 l ： y ＝2 x ＋5或 y ＝2 x －15.
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18. （本小题满分17分）已知动点 M 与两个定点 O （0，0）， A （3，
0）的距离的比为 ，动点 M 的轨迹为曲线 C .
（1）求曲线 C 的方程，并说明其形状；
解： 设 M （ x ， y ），
由 ＝ ＝ .
化简得 x2＋ y2＋2 x －3＝0，即（ x ＋1）2＋ y2＝4.
故曲线 C 是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆.
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（2）过直线 x ＝3上的动点 P （3， p ）（ p ≠0）分别作 C 的两条
切线 PQ ， PR （ Q ， R 为切点），证明：直线 QR 过定点，
并求该定点坐标.
解： 证明：由题意知， PQ ， PR 与圆 C
相切， Q ， R 为切点， C （－1，0）是曲线 C
的圆心，则 CQ ⊥ PQ ， CR ⊥ PR ，则 C ，
R ， P ， Q 四点共圆， Q ， R 在以 CP 为直径
的圆上（如图）.
CP 的中点为（1， ），｜ CP ｜＝ ，
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以线段 CP 为直径的圆的方程为（ x －1）2＋
（ y － ）2＝（ ）2，
整理得 x2＋ y2－2 x － py －3＝0. ①
又 Q ， R 在圆 x2＋ y2＋2 x －3＝0上， ②
由两圆方程作差即②－①，得4 x ＋ py ＝0，
所以直线 QR 的方程为4 x ＋ py ＝0.
则 QR 恒过坐标原点 O （0，0）.
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19. （本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点 C 为圆心
的圆形喷泉，沿湖有一条小径 AB ，在 AB 的另一侧建有控制台
O ， OA 和 OB 之间均有小径连接（小径均为直路），且∠ AOB ＝
π，喷泉中心 C 点距离 B 点60米，且 CB 连线恰与 OA 平行，在小径
AB 上有一休息亭 Q ，现测得｜ OB ｜＝40 米，｜ OQ ｜＝20
米，且 OQ ⊥ OA .
（1）请计算小径 AB 的长度；
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（1）由｜ OB ｜＝40 米，∠ AOB ＝ π，
可知 B （40，40），
则直线 OB 的方程为 y ＝ x ，又 Q （0，20），
所以直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋20，
令 y ＝0，得 x ＝－40，故 A （－40，0），
所以｜ AB ｜＝40 米.
解：以 O 为坐标原点， AO 所在直线为 x 轴，
OQ 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直
角坐标系.
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（2）现打算改建控制台 O 的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能
近，在点 A ， B ， C 的位置及∠ AOB 大小均不变的前提下，
请计算O'C长度的最小值；
解：易知 O ， A ， B 三点共圆，且易求得此圆的方程为（ x ＋20）2＋（ y －60）2＝4 000，其圆心为（－20，60），半径为20 .
易得 C （－20，40）在圆内，则｜O'C｜min＝20 －20，此时点O'为直线 x ＝－20与点 A 及坐标原点之间劣弧的交点.
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（3）一人从小径一端 A 处向 B 处匀速前进时，喷
泉恰好同时开启，喷泉开启 t 分钟后的水幕是
一个以 C 为圆心，半径 r ＝10 米的圆形区
域（含边界），此人的行进速度是 v ＝10 米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数 a 的最小值.
解：人从 A 处行驶到 B 处所需要的时间为 ＝4（分钟），
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假设在 t （0＜ t ＜4）时刻人所在的位置为 M ，
则｜ AM ｜＝10 t 米，所以 M （20 t －40，10 t ），
则｜ CM ｜2＝（20 t －20）2＋（10 t －40）2
＝100（5 t2－16 t ＋20），
又在 t （0＜ t ＜4）时刻， r2＝100 at ，故欲使这个人在行进的过程中被水幕沾染，
则存在 t ∈（0，4），使得 r2≥｜ CM ｜2，即100 at ≥100（5 t2－16 t ＋20）成立，
所以存在 t ∈（0，4），使得 a ≥5（ t ＋ ）－16成立，
当 t ∈（0，4）时，5（ t ＋ ）－16≥5×2 －16＝4，
当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时取等号，所以 a ≥4，即实数 a 的最小值为4.
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谢 谢 观 看！
