一、圆锥曲线的定义及应用
厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题.
【例1】 （1）已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上.若｜F1A｜＝2｜F2A｜，则cos∠AF2F1＝（ ）
A. B. C. D.
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是 ；
（3）（2024·厦门月考）已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是（8，7），则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为 .
反思感悟
1.在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程.
2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识解决.
3.与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利用几何意义去解决.
提醒 应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
二、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量；
（3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
【例2】 （1）已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0，4），F2（0，－4），P是双曲线上一点且｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6，则双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
（2）已知F（3，0）是椭圆的一个焦点，过F且垂直于x轴的弦长为4，则该椭圆的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
（3）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的标准方程为 .
反思感悟
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
（1）定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）；双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）；抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0）；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
三、圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
【例3】 （1）已知双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）
A.x2＝y B.x2＝y
C.x2＝8y D.x2＝16y
（2）（2024·开封质检）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2｜＋｜≤｜｜，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A.（1，2] B.[2，＋∞）
C.（1，] D.[，＋∞）
（3）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为 .
反思感悟
1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.
2.双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得；
（2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
【例4】 （1）（2024·济南月考）已知椭圆＋y2＝1上存在两点M，N关于直线y＝－x＋t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为（ ）
A.0 B.2 C.0或2 D.0或6
（2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，－2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点.
①求椭圆的方程；②求弦长｜CD｜.
反思感悟
1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
（1）判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法；
（2）对于过定点的直线，可通过定点与椭圆的位置关系进行判断.
2.求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式·｜x1－x2｜＝·或·｜y1－y2｜＝·（k≠0）求弦长；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p.
3.用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
五、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
【例5】 （2023·全国乙卷20题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（－2，0）在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
反思感悟
1.解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
2.圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
章末复习与总结
【例1】 （1）B （2）－＝1（x≥3） （3）9 解析：（1）由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得｜F1A｜－｜F2A｜＝2a，又｜F1A｜＝2｜F2A｜，故｜F1A｜＝4a，｜F2A｜＝2a.又｜F1F2｜＝2c＝4a，所以cos∠AF2F1＝＝＝.故选B.
（2）｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故动点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）.
（3）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝－1，如图，设点P在准线上的射影是点M，根据抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PM｜＝｜PQ｜＋1，所以｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PM｜－1＝｜PA｜＋｜PF｜－1≥｜AF｜－1＝－1＝10－1＝9，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立.故｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为9.
【例2】 （1）C （2）C （3）y2＝6x
解析：（1）由题意知双曲线的焦点在y轴上，故设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，得a＝3，又c＝4，故b2＝c2－a2＝16－9＝7，故双曲线的标准方程为－＝1.故选C.
（2）依题意知，过F且垂直于x轴的直线与椭圆的两个交点坐标分别为（3，2），（3，－2），则解得所以椭圆的方程为＋＝1.故选C.
（3）法一 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的标准方程为y2＝6x.
法二 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的标准方程为y2＝6x.
【例3】 （1）D （2）B （3）x±y＝0
解析：（1）由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为（0，），则有＝2，解得p＝8，故抛物线C2的方程为x2＝16y.
（2）当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP（图略），因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以＝（＋）；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2｜＋｜≤｜｜，所以4｜｜≤2c，由｜｜≥a，所以a≤｜｜≤，所以a≤，所以e≥2.故选B.
（3）设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即（）4＝，所以＝.故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
【例4】 （1）A 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x0，y0），则由点差法可得（y2－y1）·（y2＋y1）＝－（x2－x1）（x2＋x1），即·＝－①，显然x1≠x2.又因为②，将②代入①可得kMN·＝－，由M，N两点关于直线y＝－x＋t对称，可得kMN＝1，所以y0＝－x0，又因为y0＝－x0＋t，所以x0＝2t，y0＝－t，代入抛物线方程得（－t）2＝2t，解得t＝0或t＝2. 当t=2时,y=-x+2与椭圆相离，不符合题意.故选A.
（2）解：①因为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），所以b＝1，又
所以a2＝2，c＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
②设C（x1，y1），D（x2，y2），
椭圆的左焦点F1（－1，0），所以直线BF1的方程为＋＝1，即y＝－2x－2，
联立直线与椭圆方程得
整理得9x2＋16x＋6＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝＝，
所以｜CD｜＝·
＝× ＝.
【例5】 解：（1）由椭圆C过点A（－2，0），得＝1，则b2＝4.
所以c2＝a2－4.
又＝，所以a2＝9.
故椭圆C的方程为＋＝1.
（2）证明：显然直线PQ的斜率存在，故设直线PQ的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则lPQ：y＝k（x＋2）＋3.
联立得方程组
消去y并整理，得（4k2＋9）x2＋8k（2k＋3）x＋16k2＋48k＝0，
所以x1＋x2＝－，①
x1x2＝. ②
又A（－2，0），P（x1，y1），则lAP：y＝（x＋2）.
同理，lAQ：y＝（x＋2）.
当x＝0时，yM＝，yN＝.
设线段MN的中点坐标为（0，y0），
则y0＝＝＋＝k＋＋k＋＝2k＋.
将①②代入上式，得y0＝3.
故线段MN的中点坐标为（0，3），为定点.
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章末复习与总结
一、圆锥曲线的定义及应用
厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物
线的定义解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题.
【例1】 （1）已知双曲线 C 的离心率为2，左、右焦点分别为 F1，
F2，点 A 在 C 上.若｜ F1 A ｜＝2｜ F2 A ｜，则 cos ∠ AF2 F1＝
（ B ）
B
解析： 由 e ＝ ＝2，得 c ＝2 a ，如图，由双
曲线的定义得｜ F1 A ｜－｜ F2 A ｜＝2 a ，又｜ F1
A ｜＝2｜ F2 A ｜，故｜ F1 A ｜＝4 a ，｜ F2 A ｜＝
2 a .又｜ F1 F2｜＝2 c ＝4 a ，所以 cos ∠ AF2 F1＝
＝ ＝ .
故选B.
（2）平面内有两个定点 F1（－5，0）和 F2（5，0），动点 P 满足｜
PF1｜－｜ PF2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是
；
解析： ｜ PF1｜－｜ PF2｜＝6＜｜ F1 F2｜＝10，根据双曲
线的定义可知点 P 的轨迹为双曲线的右支，且 a ＝3， c ＝5，故
b2＝16，故动点 P 的轨迹方程为 － ＝1（ x ≥3）.
－ ＝1（ x
≥3）
（3）（2024·厦门月考）已知点 P 是抛物线 x2＝4 y 上的动点，点 P 在 x
轴上的射影是点 Q ，点 A 的坐标是（8，7），则｜ PA ｜＋｜
PQ ｜的最小值为 .
解析： 抛物线的焦点为 F （0，1），
准线方程为 y ＝－1，
如图，设点 P 在准线上的射影是点 M ，根
据抛物线的定义知，｜ PF ｜＝｜ PM ｜
＝｜ PQ ｜＋1，所以｜ PA ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PA ｜＋｜ PM ｜－1＝｜ PA ｜＋｜ PF ｜－1≥｜ AF ｜－1＝
－1＝10－1＝9，当且仅当 A ， P ， F 三点共线时，等号成立.故｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的最小值为9.
9
反思感悟
1. 在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆
锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程.
2. 涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义
结合解三角形的知识解决.
3. 与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利
用几何意义去解决.
提醒 应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
二、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，
只需把这种关系“翻译”成含 x ， y 的等式就得到曲线的轨
迹方程；
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其
中的基本量；
（3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，
再根据条件确定待定的系数.
【例2】 （1）已知双曲线的上、下焦点分别为 F1（0，4），
F2（0，－4）， P 是双曲线上一点且｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝
6，则双曲线的标准方程为（ C ）
C
解析： 由题意知双曲线的焦点在 y 轴上，故设双曲线的方
程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），由｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝
2 a ＝6，得 a ＝3，又 c ＝4，故 b2＝ c2－ a2＝16－9＝7，故双曲
线的标准方程为 － ＝1.故选C.
（2）已知 F （3，0）是椭圆的一个焦点，过 F 且垂直于 x 轴的弦长为
4 ，则该椭圆的方程为（ C ）
C
解析： 依题意知，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆的两个
交点坐标分别为（3，2 ），（3，－2＋ ＝1.故选C.
（3）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，
P 为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP .
若｜ FQ ｜＝6，则 C 的标准方程为 .
解析： 法一 由题易得｜ OF ｜＝ ，｜ PF ｜＝ p ，∠
OPF ＝∠ PQF ，所以tan∠ OPF ＝tan ∠ PQF ，所以 ＝
＝ ，解得 p ＝3，所以 C 的标准方程为 y2＝6 x .
y2＝6 x
法二 由题易得｜ OF ｜＝ ，｜ PF ｜＝ p ，｜ PF ｜2＝｜ OF ｜·｜
FQ ｜，即 p2＝ ×6，解得 p ＝3或 p ＝0（舍去），所以 C 的标准方程
为 y2＝6 x .
反思感悟
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定
式，再定量”的步骤：
（1）定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如
当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2＋ ny2
＝1（ m ＞0， n ＞0，且 m ≠ n ）；双曲线方程常设为 mx2－ ny2
＝1（ mn ＞0）；抛物线方程常设为 y2＝2 ax 或 x2＝2 ay （ a
≠0）；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通
过解方程得到量的大小.
三、圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心
率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
【例3】 （1）已知双曲线 C1： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的离心
率为2.若抛物线 C2： x2＝2 py （ p ＞0）的焦点到双曲线 C1的渐近线的
距离为2，则抛物线 C2的方程为（ D ）
C. x2＝8 y D. x2＝16 y
D
解析： 由 e2＝1＋ ＝4得 ＝ ，则双曲线的渐近线方程
为 y ＝± x ，即 x ± y ＝0，抛物线 C2的焦点坐标为（0，
），则有 ＝2，解得 p ＝8，故抛物线 C2的方程为 x2＝16 y .
（2）（2024·开封质检）已知双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的
左、右焦点为 F1， F2，在双曲线上存在点 P 满足2｜ ＋
｜≤｜ ｜，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是
（ B ）
A. （1，2] B. [2，＋∞）
B
解析： 当 P 不是双曲线与 x 轴的交点时，连接 OP （图略），因为 OP 为△ PF1 F2的边 F1 F2上的中线，所以 ＝ ＋ ）；当 P 是双曲线与 x 轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点 P 满足2｜ ＋ ｜≤｜ ｜，所以4｜ ｜≤2 c ，由｜ ｜≥ a ，所以 a ≤｜ ｜≤ ，所以 a ≤ ，所以 e ≥2.故选B.
（3）已知 a ＞ b ＞0，椭圆 C1的方程为 ＋ ＝1，双曲线 C2的方程
为 － ＝1， C1与 C2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程
为 .
x ± y ＝0
解析： 设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2，则 e1
＝ ， e2＝ .因为 e1· e2＝ ＝ ，即
（ ）4＝ ＝ .故双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ＝±
x ，即 x ± y ＝0.
反思感悟
1. 椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条
件确定 a ， b ， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a ， c 代
换，求 的值.
2. 双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式
可得；
（2）用法：①可得 或 的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的
方程.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组
成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y （或
x ）得到关于变量 x （或 y ）的一元二次方程，考虑该一元二次方程
的判别式.
2. 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦
点弦、一般弦长、中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
【例4】 （1）（2024·济南月考）已知椭圆 ＋ y2＝1上存在两点
M ， N 关于直线 y ＝－ x ＋ t 对称，且 MN 的中点在抛物线 y2＝ x 上，
则实数 t 的值为（ ）
A. 0 B. 2
C. 0或2 D. 0或6
解析： 设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， MN 的中点为 E （ x0，
y0），则 由点差法可得（ y2－ y1）（ y2＋ y1）＝－
（ x2－ x1）（ x2＋ x1），即 · ＝－ ①，显然 x1≠ x2.又因
为②，将②代入①可得 kMN · ＝－ ，由 M ， N 两
点关于直线 y ＝－ x ＋ t 对称，可得 kMN ＝1，所以 y0＝－ x0，又因
为 y0＝－ x0＋ t ，所以 x0＝2 t ， y0＝－ t ，代入抛物线方程得（－ t ）
2＝2 t ，解得 t ＝0或 t ＝2.当t=2时,y=-x+2与椭圆相离，不符合题意.故选A.
（2）已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点为 A （0，1），
离心率为 ，过点 B （0，－2）及左焦点 F1的直线交椭圆于
C ， D 两点.
①求椭圆的方程；
②求弦长｜ CD ｜.
解：①因为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点为 A
（0，1），所以 b ＝1，又
所以 a2＝2， c ＝1，所以椭圆的方程为 ＋ y2＝1.
②设 C （ x1， y1）， D （ x2， y2），
椭圆的左焦点 F1（－1，0），所以直线 BF1的方程为 ＋
＝1，即 y ＝－2 x －2，
联立直线与椭圆方程得
整理得9 x2＋16 x ＋6＝0，
所以 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ ＝ ，
所以｜ CD ｜＝ ·
＝ × ＝ .
反思感悟
1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
（1）判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法；
（2）对于过定点的直线，可通过定点与椭圆的位置关系进行判断.
2. 求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式 ·｜ x1－ x2｜＝
· 或 ·｜ y1－ y2｜
＝ · （ k ≠0）求弦长；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）
求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜ AB ｜＝ x1＋ x2
＋ p .
3. 用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
五、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、
探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的
方程求解.
【例5】 （2023·全国乙卷20题）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）的离心率为 ，点 A （－2，0）在 C 上.
（1）求 C 的方程；
解： 由椭圆 C 过点 A （－2，0），得 ＝1，
则 b2＝4.
所以 c2＝ a2－4.
又 ＝ ，所以 a2＝9.
故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（－2，3）的直线交 C 于 P ， Q 两点，直线 AP ， AQ 与 y 轴
的交点分别为 M ， N ，证明：线段 MN 的中点为定点.
解： 证明：显然直线 PQ 的斜率存在，故设直线 PQ 的
斜率为 k ， P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 lPQ ： y ＝ k
（ x ＋2）＋3.
联立得方程组
消去 y 并整理，得（4 k2＋9） x2＋8 k （2 k ＋3） x ＋16 k2＋
48 k ＝0，所以 x1＋ x2＝－ ， ①
x1 x2＝ . ②
又 A （－2，0）， P （ x1， y1），则 lAP ： y ＝ （ x ＋2）.
同理， lAQ ： y ＝ （ x ＋2）.
当 x ＝0时， yM ＝ ， yN ＝ .
设线段 MN 的中点坐标为（0， y0），
则 y0＝ ＝ ＋ ＝ k ＋ ＋ k ＋ ＝2 k ＋
.
将①②代入上式，得 y0＝3.
故线段 MN 的中点坐标为（0，3），为定点.
反思感悟
1. 解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
2. 圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系
或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
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