章末检测（三） 圆锥曲线的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知抛物线的准线方程为y＝－，则该抛物线的标准方程为（ ）
A.x2＝8y B.y2＝x C.y2＝3x D.x2＝y
2.双曲线－＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，则a＝（ ）
A.1 B.－2 C.1或－2 D.2
3.已知F1，F2为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
4.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为（ ）
A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝8x D.y2＝6x
5.若椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，则椭圆C的长轴长的取值范围是（ ）
A.（6，6） B.（18，36） C.（6，＋∞） D.（36，＋∞）
6.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法错误的是（ ）
A.｜BF｜＝3 B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2＝6x
7.已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点（不同于左、右顶点），且sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，则△PF1F2的面积是（ ）
A.2 B.3 C.2 D.
8.已知F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，且满足2＝，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知曲线mx2＋y2＝1（ ）
A.m＝－1表示两条直线
B.m＝1表示圆
C.m＜0表示焦点在x轴上的双曲线
D.0＜m＜1表示焦点在x轴上的椭圆
10.已知双曲线－＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A.抛物线的准线方程为x＝1 B.双曲线的实轴长为4
C.双曲线的离心率为2 D.P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝，则｜PF2｜＝
11.法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆Γ的离心率为
B.△MPQ面积的最大值为a2
C.M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知双曲线W：－＝1（其中a＞0）的两条渐近线互相垂直，则a＝ .
13.直线l与抛物线y＝相交于A，B两点，当｜AB｜＝4时，弦AB的中点M到x轴距离的最小值为 .
14.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，写出C的一个标准方程： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点A（0，），B（1，3）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线E与双曲线C的渐近线相同， ，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.（本小题满分15分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.
（1）求椭圆的方程；
（2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程.
17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切.
（1）求圆心M的轨迹方程C；
（2）已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求·的最小值.
18.（本小题满分17分）已知抛物线C：y2＝4x，A，B（m，0），其中m＞0，过B的直线l交抛物线C于M，N两点.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
19.（本小题满分17分）焦距为2c的椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0），如果满足“2b＝a＋c”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M，N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由.
章末检测（三） 圆锥曲线的方程
1.D 因为抛物线的准线方程为y＝－，所以＝，即p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝y.
2.A 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，
所以椭圆＋＝1的焦点在x轴上，依题意得解得a＝1.
3.D 由椭圆的定义知｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＝16，所以a＝4，又e＝＝，所以c＝2，所以b2＝42－（2）2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
4.B 因为直线AB过焦点F（，0），所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
5.C 椭圆C：＋＝1（m＞9）的离心率e1＝，椭圆D：＋＝1的离心率e2＝＝.因为椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，所以e1＞e2，即＞，解得m＞18，则2＞6，所以椭圆C的长轴长的取值范围是（6，＋∞）.故选C.
6.A 由题意得F（，0），l：x＝－，设A（x0，y0），则｜FA｜＝｜FB｜＝｜FD｜＝x0＋，而∠ABD＝90°，则｜AB｜＝｜AF｜，F是AD的中点，又点D的横坐标为－，故x0＝，故｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜＝2p，即△ABF为等边三角形，又△ABF的面积为9，则边长｜AB｜＝2p＝6，p＝3.点F到准线的距离为3，抛物线C的方程为y2＝6x，故B、C、D正确，｜BF｜＝｜AB｜＝6，故A错误.故选A.
7.D 在△PF1F2中，由正弦定理，得＝，又sin∠PF2F1＝2sin∠PF1F2，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜.又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2.由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝，所以sin∠F1PF2＝，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2＝×2×4×＝.故选D.
8.A F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，则F（c，0），设过右焦点F（c，0）的直线与y＝x垂直，则该直线为y＝－（x－c），联立解得所以A，同理，联立可得B（，－），因为2＝，则2（c－）＝－c，b2＝c2－a2，因为e＞1，故e＝.故选A.
9.BD 对于A选项，当m＝－1时，y2－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于B选项，当m＝1时，x2＋y2＝1表示圆心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，
当m＜0时，y2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0＜m＜1时，方程为＋y2＝1，由于＞1，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确.故选B、D.
10.BD 对于A，抛物线y2＝－4x的准线方程是x＝，A选项错误.对于B，抛物线y2＝－4x的焦点是（－，0），所以F1（－，0），F2（，0），c＝.在双曲线中，c2＝a2＋b2，则a2＋3＝7，解得a＝2或a＝－2（舍去），所以双曲线的实轴长为2a＝4，B选项正确.对于C，双曲线的离心率e＝＝，C选项错误.对于D，由双曲线定义｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即＝4，解得｜PF2｜＝或｜PF2｜＝＜－2（舍去），D选项正确.故选B、D.
11.ACD 依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝a2，即a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝＝＝，故A正确.因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以｜PQ｜＝2×＝a，所以△MPQ面积的最大值为｜PQ｜×＝×＝a2，故B错误.设M（x0，y0），Γ的左焦点为F（－c，0），连接MF，因为c2＝a2－b2＝a2，所以｜MF｜2＝（x0＋c）2＋＝＋＋2x0c＋c2＝a2＋2x0×a＋a2＝2a2＋ax0.又－a≤x0≤a，所以｜MF｜2≥（2－）a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为，故C正确.由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称.设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（－x1，－y1），k1＝，k2＝.又所以＋＝0，所以＝·＝－，所以k1k2＝－，故D正确.故选A、C、D.
12.2 解析：双曲线W：－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线W的两条渐近线互相垂直，所以×（－）＝－1，又a＞0，所以a＝2.
13. 解析：设抛物线的焦点为F，过点A，B，M分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，连接AF，BF，如图，抛物线y＝的焦点坐标为（0，）.根据抛物线的定义得，｜MM1｜＝＝≥＝，当直线l过点F时取等号，则即为要求的最小值.
14.＋＝1（答案不唯一） 解析：因为｜PF1｜＝6｜PF2｜，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝7｜PF2｜＝2a，则｜PF2｜＝，又因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以≥a－c，即≥.根据题意可设C的方程为＋＝1（a＞b＞0），因为椭圆C的短轴长为4，则2b＝4，可得b＝2，又由≥，可得＝≥，解得a2≥，所以椭圆C的一个标准方程为＋＝1.
15.解：（1）设双曲线C的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），
则解得所以双曲线C的方程为－＝1.
（2）双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
若选①，设双曲线E的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
所以解得
所以双曲线E的实轴长为2.
若选②，设双曲线E的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
所以解得所以双曲线E的实轴长为2.
16.解：（1）由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2，
解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆的方程为＋＝1.
（2）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN的方程为y＝k（x－3），
代入椭圆方程整理得（2k2＋1）x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝，
｜MN｜＝
＝
＝＝，
解得k＝±，满足k2＜1，
故所求直线方程为y＝±（x－3）.
17.解：（1）因为动圆M与圆E：（x＋）2＋y2＝和圆F：（x－）2＋y2＝都外切，
设动圆M的半径为r，则｜ME｜＝r＋，｜MF｜＝r＋，
所以｜ME｜－｜MF｜＝4＜｜EF｜，
所以圆心M的轨迹是以（－，0），（，0）为焦点，2a＝4的双曲线的右支，即－＝1（x≥2）.
（2）设P（x，y），A（8，0），则＝（x－8，y），＝（x，y），
所以·＝（x－8）x＋y2，且－＝1（x≥2），
所以·＝x2－8x＋3＝－8x－3（x≥2），当x＝时，（·）min＝－.
18.解：（1）证明：由题意l：x＝5，代入y2＝4x中，解得y＝±2，
不妨取M（5，2），N（5，－2），
则＝（4，2－2），＝（4，－2－2），
所以·＝（4，2－2）·（4，－2－2）＝16－（20－4）＝0，
所以AM⊥AN，即△AMN为直角三角形得证.
（2）由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2（x－m），M，N，联立
得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m＞0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
因为AM⊥AN则·＝0，
又＝，＝，
即＋（y1－2）（y2－2）＝0，
化简，得（y1＋2）（y2＋2）＋16＝0，
即y1y2＋2（y1＋y2）＋20＝0，代入解得m＝6.
故m＝6时，有AM⊥AN.
19.解：（1）因为椭圆Г：＋＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b＝a＋c，所以c＝2b－a，又c2＝a2－b2，所以（2b－a）2＝a2－b2，化简得＝.
（2）过定点（0，±10），理由如下：
由2c＝12得c＝6，由得a＝10，b＝8，
椭圆方程为：＋＝1，所以A（0，8），设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（－x0，－y0），
所以直线AP的方程为：y＝x＋8，令y＝0，得x＝－，所以M，
同理可得N，所以以MN为直径的圆的方程为＋（y－0）（y－0）＝0，
结合＋＝1，化简得x2＋y2－x－100＝0，令x＝0，得y＝±10，所以该圆恒过定点（0，±10）.
3 / 3(共42张PPT)
章末检测（三）
圆锥曲线的方程
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知抛物线的准线方程为 y ＝－ ，则该抛物线的标准方程为（ ）
A. x2＝8 y
C. y2＝3 x
解析： 因为抛物线的准线方程为 y ＝－ ＝ ，即 p ＝
，所以所求抛物线的标准方程为 x2＝ y .
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2. 双曲线 － ＝1与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，则 a ＝（ ）
A. 1 B. －2
C. 1或－2 D. 2
解析： 因为双曲线 － ＝1的焦点在 x 轴上，
所以椭圆 ＋ ＝1的焦点在 x 轴上，依题意得解
得 a ＝1.
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3. 已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的两个焦点，过 F2作椭
圆的弦 AB ，若△ AF1 B 的周长为16，椭圆的离心率为 ，则椭圆的
方程是（ ）
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解析： 由椭圆的定义知｜ AF1｜＋｜ BF1｜＋｜ AB ｜＝4 a ＝
16，所以 a ＝4，又 e ＝ ＝ ，所以 c ＝2 ，所以 b2＝42－（2
）2＝4，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.
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4. 过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点作直线交抛物线于 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2）两点，如果 x1＋ x2＝6，且｜ AB ｜＝8，那么抛
物线方程为（ ）
A. y2＝2 x B. y2＝4 x
C. y2＝8 x D. y2＝6 x
解析： 因为直线 AB 过焦点 F （ ，0），所以｜ AB ｜＝ x1＋ x2
＋ p ＝6＋ p ＝8，所以 p ＝2，所以抛物线方程为 y2＝4 x .
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5. 若椭圆 C ： ＋ ＝1（ m ＞9）比椭圆 D ： ＋ ＝1更扁，则椭
圆 C 的长轴长的取值范围是（ ）
B. （18，36）
D. （36，＋∞）
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解析： 椭圆 C ： ＋ ＝1（ m ＞9）的离心率 e1＝ ，椭
圆 D ： ＋ ＝1的离心率 e2＝ ＝ .因为椭圆 C ： ＋ ＝1
（ m ＞9）比椭圆 D ： ＋ ＝1更扁，所以 e1＞ e2，即 ＞
，解得 m ＞18，则2 ＞6 ，所以椭圆 C 的长轴长的取值范围
是（6 ，＋∞）.故选C.
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6. 已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，准线为 l ， A 为 C 上
一点，以 F 为圆心，｜ FA ｜为半径的圆交 l 于 B ， D 两点.若∠ ABD
＝90°，且△ ABF 的面积为9 ，则下列说法错误的是（ ）
A. ｜ BF ｜＝3 B. △ ABF 是等边三角形
C. 点 F 到准线的距离为3 D. 抛物线 C 的方程为 y2＝6 x
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解析： 由题意得 F （ ，0）， l ： x ＝－ ，设 A （ x0， y0），
则｜ FA ｜＝｜ FB ｜＝｜ FD ｜＝ x0＋ ，而∠ ABD ＝90°，则｜
AB ｜＝｜ AF ｜， F 是 AD 的中点，又点 D 的横坐标为－ ，故 x0＝
，故｜ AB ｜＝｜ AF ｜＝｜ BF ｜＝2 p ，即△ ABF 为等边三角
形，又△ ABF 的面积为9 ，则边长｜ AB ｜＝2 p ＝6， p ＝3.点 F
到准线的距离为3，抛物线 C 的方程为 y2＝6 x ，故B、C、D正
确，｜ BF ｜＝｜ AB ｜＝6，故A错误.故选A.
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7. 已知双曲线 C ： x2－ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 是 C
上的一点（不同于左、右顶点），且 sin ∠ PF2 F1＝2 sin ∠ PF1
F2，则△ PF1 F2的面积是（ ）
A. 2 B. 3
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解析： 在△ PF1 F2中，由正弦定理，得 ＝ ，又
sin ∠ PF2 F1＝2 sin ∠ PF1 F2，所以｜ PF1｜＝2｜ PF2｜.又｜ PF1｜
－｜ PF2｜＝2，所以｜ PF1｜＝4，｜ PF2｜＝2.由余弦定理，得
cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝ ，所以
sin ∠ F1 PF2＝ ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜ sin ∠ F1 PF2
＝ ×2×4× ＝ .故选D.
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8. 已知 F 是双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点，过点 F 作双
曲线一条渐近线的垂线，垂足为 A ，与另一条渐近线交于点 B ，且
满足2 ＝ ，则双曲线的离心率为（ ）
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解析： F 是双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点，则 F
（ c ，0），设过右焦点 F （ c ，0）的直线与 y ＝ x 垂直，则该直线
为 y ＝－ （ x － c ），联立所以 A
可得 B （ ，－
），因为2 ＝ ，则2（ c － ）＝ － c ， b2＝ c2－
a2，因为 e ＞1，故 e ＝ .故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知曲线 mx2＋ y2＝1（ ）
A. m ＝－1表示两条直线
B. m ＝1表示圆
C. m ＜0表示焦点在 x 轴上的双曲线
D. 0＜ m ＜1表示焦点在 x 轴上的椭圆
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解析： 对于A选项，当 m ＝－1时， y2－ x2＝1表示焦点在 y 轴
上的双曲线，故错误；对于B选项，当 m ＝1时， x2＋ y2＝1表示圆
心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，当 m ＜0时， y2＋
mx2＝1表示焦点在 y 轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0＜ m
＜1时，方程为 ＋ y2＝1，由于 ＞1，故表示焦点在 x 轴上的椭
圆，故正确.故选B、D.
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10. 已知双曲线 － ＝1（ a ＞0）的左焦点 F1与抛物线 y2＝－4 x
的焦点重合， F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有
（ ）
A. 抛物线的准线方程为 x ＝1
B. 双曲线的实轴长为4
C. 双曲线的离心率为2
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解析： 对于A，抛物线 y2＝－4 x 的准线方程是 x ＝ ，A
选项错误.对于B，抛物线 y2＝－4 x 的焦点是（－ ，0），所
以 F1（－ ，0）， F2（ ，0）， c ＝ .在双曲线中， c2＝ a2
＋ b2，则 a2＋3＝7，解得 a ＝2或 a ＝－2（舍去），所以双曲线的
实轴长为2 a ＝4，B选项正确.对于C，双曲线的离心率 e ＝ ＝
，C选项错误.对于D，由双曲线定义｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2
a ，即 ＝4，解得｜ PF2｜＝ 或｜ PF2｜＝ ＜ －2
（舍去），D选项正确.故选B、D.
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11. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何
之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是
以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆
Γ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的蒙日圆为 C ： x2＋ y2＝ a2，过 C 上
的动点 M 作Γ的两条切线，分别与 C 交于 P ， Q 两点，直线 PQ 交Γ
于 A ， B 两点，则下列结论正确的是（ ）
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解析： 依题意，过椭圆Γ的上顶点作 y 轴的垂线，过椭圆Γ
的右顶点作 x 轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆 C 上，所以 a2＋
b2＝ a2，即 a2＝2 b2，所以椭圆Γ的离心率 e ＝ ＝ ＝ ，
故A正确.因为点 M ， P ， Q 都在圆 C 上，且∠ PMQ ＝90°，所以
PQ 为圆 C 的直径，所以｜ PQ ｜＝2× ＝ a ，所以△ MPQ
面积的最大值为 ｜ PQ ｜× ＝ × ＝ a2，故B错误.
设 M （ x0， y0），Γ的左焦点为 F （－ c ，0），连接 MF ，因为 c2
＝ a2－ b2＝ a2，所以｜ MF ｜2＝（ x0＋ c ）2＋ ＝ ＋ ＋2 x0
c ＋ c2＝ a2＋2 x0× a ＋ a2＝2 a2＋ ax0.又－ a ≤ x0≤ a ，
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所以｜ MF ｜2≥（2－ ） a2，则 M 到Γ的左焦点的距离的最小值
为 ，故C正确.由直线 PQ 经过坐标原点，易得点 A ， B
关于原点对称.设 A （ x1， y1）， D （ x2， y2），则 B （－ x1，－
y1）， k1＝ ， k2＝ .又 ＋
＝0，所以 ＝ · ＝－ ，所以 k1 k2＝－ ，故
D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知双曲线 W ： － ＝1（其中 a ＞0）的两条渐近线互相垂
直，则 a ＝ .
解析：双曲线 W ： － ＝1的渐近线方程为 y ＝± x ，因为双曲
线 W 的两条渐近线互相垂直，所以 ×（－ ）＝－1，又 a ＞0，
所以 a ＝2.
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解析：设抛物线的焦点为 F ，过点 A ， B ， M
分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1， B1，
M1，连接 AF ， BF ，如图，抛物线 y ＝ 的
焦点坐标为（0， ）.根据抛物线的定义
得，｜ MM1｜＝ ＝ ≥ ＝ ，当直线 l 过点 F 时取等号，则 即为要求的最小值.
13. 直线 l 与抛物线 y ＝ 相交于 A ， B 两点，当｜ AB ｜＝4时，弦 AB
的中点 M 到 x 轴距离的最小值为 .
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14. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 y 轴上， F1， F2为 C 的两个
焦点， C 的短轴长为4，且 C 上存在一点 P ，使得｜ PF1｜＝6｜
PF2｜，写出 C 的一个标准方程： .
＋ ＝1（答案不唯一）
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解析：因为｜ PF1｜＝6｜ PF2｜，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝7｜
PF2｜＝2 a ，则｜ PF2｜＝ ，又因为 a － c ≤｜ PF2｜≤ a ＋ c ，
所以 ≥ a － c ，即 ≥ .根据题意可设 C 的方程为 ＋ ＝1（ a
＞ b ＞0），因为椭圆 C 的短轴长为4，则2 b ＝4，可得 b ＝2，又由
≥ ＝ ≥ ，解得 a2≥ ，所以椭圆 C 的
一个标准方程为 ＋ ＝1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）在①双曲线 E 的焦点在 x 轴上；②双曲线
E 的焦点在 y 轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题
中，并作答.
已知双曲线 C 的对称轴为坐标轴，且 C 经过点 A （0， ）， B
（1，3）.
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（1）求双曲线 C 的方程；
解： 设双曲线 C 的方程为 mx2＋ ny2＝1（ mn ＜0），
则所以双曲线 C 的方程为
－ ＝1.
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（2）若双曲线 E 与双曲线 C 的渐近线相同， ，且 E 的焦距为
4，求双曲线 E 的实轴长.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝± x .
若选①，设双曲线 E 的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞
0），
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所以
所以双曲线 E 的实轴长为2.
若选②，设双曲线 E 的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
所以所以双曲线 E 的实轴长为2 .
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16. （本小题满分15分）已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）经过点 A
（2，1），离心率为 ，过点 B （3，0）的直线 l 与椭圆交于不同
的两点 M ， N .
（1）求椭圆的方程；
解： 由题意有 ＋ ＝1， e ＝ ＝ ， a2－ b2＝ c2，
解得 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ＋
＝1.
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（2）若｜ MN ｜＝ ，求直线 MN 的方程.
解： 由直线 MN 过点 B 且与椭圆有两交点，可设直线
MN 的方程为 y ＝ k （ x －3），
代入椭圆方程整理得（2 k2＋1） x2－12 k2 x ＋18 k2－6＝0，Δ
＝24－24 k2＞0，得 k2＜1.
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），
则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，
｜ MN ｜＝
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＝ ＝ ，
解得 k ＝± ，满足 k2＜1，
故所求直线方程为 y ＝± （ x －3）.
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17. （本小题满分15分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 M 与圆
E ：（ x ＋ ）2＋ y2＝ 和圆 F ：（ x － ）2＋ y2＝ 都外切.
（1）求圆心 M 的轨迹方程 C ；
解： 因为动圆 M 与圆 E ：（ x ＋ ）2＋ y2＝ 和圆
F ：（ x － ）2＋ y2＝ 都外切，
设动圆 M 的半径为 r ，则｜ ME ｜＝ r ＋ ，｜ MF ｜＝ r ＋ ，
所以｜ ME ｜－｜ MF ｜＝4＜｜ EF ｜，
所以圆心 M 的轨迹是以（－ ，0），（ ，0）为焦点，
2 a ＝4的双曲线的右支，即 － ＝1（ x ≥2）.
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（2）已知点 O 为原点，点 A （8，0），点 P 是曲线 C 上任意一
点，求 · 的最小值.
解： 设 P （ x ， y ）， A （8，0），则 ＝（ x －8，
y ）， ＝（ x ， y ），
所以 · ＝（ x －8） x ＋ y2，且 － ＝1（ x ≥2），
所以 · ＝ x2－8 x ＋3 ＝ －8 x －3（ x ≥2），
当 x ＝ · ）min＝－ .
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18. （本小题满分17分）已知抛物线 C ： y2＝4 x ，
A ， B （ m ，0），其中 m ＞0，过 B
的直线 l 交抛物线 C 于 M ， N 两点.
（1）当 m ＝5，且直线 l 垂直于 x 轴时，
求证：△ AMN 为直角三角形；
解： 证明：由题意 l ： x ＝5，代入 y2＝4 x 中，解得 y ＝±2 ，不妨取 M （5，2 ）， N （5，－2 ），
则 ＝（4，2 －2）， ＝（4，
－2 －2），所以 · ＝（4，2 －2）·（4，－2 －2）＝16－（20－4）＝0，
所以 AM ⊥ AN ，即△ AMN 为直角三角形得证.
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（2）若 ＝ ＋ ，当点 P 在直线 l 上时，求实数 m ，使得
AM ⊥ AN .
解： 由题意可得四边形 OAPB 为平行四边形，则 kBP ＝ kOA ＝2，
设直线 l ： y ＝2（ x － m ）， M ， N 得 y2－2 y －4 m ＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16 m ＞0， y1＋ y2＝2， y1 y2＝－4 m ，
因为 AM ⊥ AN 则 · ＝0，
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又 ＝ ＝ ，
即 ＋（ y1－2）（ y2－2）＝0，
化简，得（ y1＋2）（ y2＋2）＋16＝0，
即 y1 y2＋2（ y1＋ y2）＋20＝0，代入解得 m ＝6.
故 m ＝6时，有 AM ⊥ AN .
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19. （本小题满分17分）焦距为2 c 的椭圆Г： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0），如果满足“2 b ＝ a ＋ c ”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆Г： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）是“等差椭圆”，求
的值；
解： 因为椭圆Г： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）是“等差椭
圆”，所以2 b ＝ a ＋ c ，所以 c ＝2 b － a ，又 c2＝ a2－ b2，所
以（2 b － a ）2＝ a2－ b2，化简得 ＝ .
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（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点 A 为椭圆短轴的上顶点，
P 为椭圆上异于 A 点的任一点， Q 为 P 关于原点 O 的对称点
（ Q 也异于 A ），直线 AP 、 AQ 分别与 x 轴交于 M ， N 两
点，判断以线段 MN 为直径的圆是否过定点？说明理由.
解： 过定点（0，±10），理由如下：
由2 c ＝12得 c ＝6，由得 a ＝10， b ＝8，
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椭圆方程为： ＋ ＝1，所以 A （0，8），设 P （ x0，
y0）（ x0≠0），则 Q （－ x0，－ y0），
所以直线 AP 的方程为： y ＝ x ＋8，令 y ＝0，得 x ＝－
，所以 M ，
同理可得 N ，所以以 MN 为直径的圆的方程为
＋（ y －0）·（ y －0）＝0，
结合 ＋ ＝1，化简得 x2＋ y2－ x －100＝0，令 x ＝
0，得 y ＝±10，所以该圆恒过定点（0，±10）.
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谢 谢 观 看！
