(共44张PPT)
培优课
抛物线焦点弦性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）焦点 F 的弦，若 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），则：
（1） x1· x2＝ ， y1· y2＝－ p2；
（2）｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝ ， S△ OAB ＝ （α是直线 AB 的倾
斜角）；
（3） ＋ ＝ 为定值（ F 是抛物线的焦点）；
（4）以弦 AB 为直径的圆与准线相切.
题型一
【例1】 （2024·烟台月考）已知抛物线 y ＝2 x2的焦点为 F ， M
（ x1， y1）， N （ x2， y2）是抛物线上两点，若直线 MN 过点
F ，则 x1 x2＝（ ）
C. －1 D. －2
解析： 法一 依题意，直线 MN 斜率存在，设其方程为 y ＝
kx ＋消去 y 整理得 x2－ kx － ＝0，∴ x1 x2
＝－ .
法二 y ＝2 x2即 x2＝ y ，由抛物线焦点弦的性质知， x1 x2＝－ p2＝－ .
通性通法
通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，能较为
迅速的得到结果.
【跟踪训练】
已知抛物线 C 的顶点是原点 O ，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F
的直线与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 · ＝－12，则抛物线 C 的
方程为（ ）
A. x2＝8 y B. x2＝4 y
C. y2＝8 x D. y2＝4 x
解析： 设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），直线 AB 的方程为 x
＝ my ＋ ，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1 x2＝ ， y1 y2＝－
p2，得 · ＝ x1 x2＋ y1 y2＝ － p2＝－ p2＝－12，解得 p ＝4（舍
负），即抛物线 C 的方程为 y2＝8 x .
题型二
【例2】 已知直线 l ： y ＝ x －1经过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的
焦点，且与抛物线 C 交于 A ， B 两点，则｜ AB ｜＝ .
解析：设直线 AB 的倾斜角为α，则 sin α＝ ，由题意知，直线 l ： y
＝ x －1过点（1，0），所以 ＝1，解得 p ＝2，则｜ AB ｜＝ ＝
＝8.
8
通性通法
设过抛物线焦点的弦的两端点分别为 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则四种标准方程形式下的弦长公式如下：
标准方程 弦长公式
y2＝2 px （ p ＞0） ｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p
y2＝－2 px （ p ＞0） ｜ AB ｜＝ p －（ x1＋ x2）
x2＝2 py （ p ＞0） ｜ AB ｜＝ y1＋ y2＋ p
x2＝－2 py （ p ＞0） ｜ AB ｜＝ p －（ y1＋ y2）
【跟踪训练】
经过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F ，倾斜角为30°的直线 l 与
C 交于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点 M 的横坐标为7，那么 p ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），∵ AB 的中点 M 的横坐标
为7，∴ x1＋ x2＝14，∴14＋ p ＝ ，∴ p ＝2.
题型三
【例3】 （2024·宿迁月考）过抛物线 C ： y2＝8 x 的焦点 F 的直线交
抛物线 C 于 A ， B 两点，若｜ AF ｜＝6，则｜ BF ｜＝（ ）
A. 9或6 B. 6或3
C. 9 D. 3
解析： 法一 设点 A 为第一象限内的点， A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则 x1＞0， y1＞0，则由题意可得 F （2，0），｜ AF ｜＝ x1＋2
＝6，则 x1＝4，由 ＝8 x1，得 y1＝4 ，所以 kAB ＝ ＝2 ，直
线 AB 的方程为 y ＝2 （ x －2），将直线 AB 的方程代入 y2＝8 x 化简
得 x2－5 x ＋4＝0，所以 x2＝1，所以｜ BF ｜＝ x2＋2＝3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得， ＋ ＝ ＝ － ＝ ，可得｜ BF ｜＝3.
通性通法
将求弦长问题通过焦半径与 p 之间的关系，转化为焦半径问题.
【跟踪训练】
已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于
A ， B 两点，若｜ AF ｜＝4，｜ BF ｜＝1，则 p ＝（ ）
B. 2 D. 1
解析： 由抛物线焦点弦的性质可得， ＋ ＝ ，由｜
AF ｜＝4，｜ BF ｜＝1，得 ＝ ＋1＝ ，解得 p ＝ .
题型四 以弦 AB 为直径的圆与准线相切的应用
【例4】 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线
相切.
证明：如图，作AA'⊥ l 于点A'，BB'⊥ l 于点B'， M 为
AB 的中点，作MM'⊥ l 于点M'，则由抛物线定义可
知｜AA'｜＝｜ AF ｜，｜BB'｜＝｜ BF ｜，在直角梯
形BB'A'A中，｜MM'｜＝ （｜AA'｜＋｜BB'｜）＝
（｜ AF ｜＋｜ BF ｜）＝ ｜ AB ｜，即｜MM'｜等
于以 AB 为直径的圆的半径.故以 AB 为直径的圆与抛
物线的准线相切.
通性通法
把焦点三角形的外接圆转化为以弦 AB 为直径的圆与准线相切，
进行问题的求解.
【跟踪训练】
（2024·绍兴质检）过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 作直线交抛物
线于 A ， B 两点，以 AB 为直径的圆与准线 l 的公共点为 M ，若∠ AMF
＝60°，则∠ MFO 的大小为（ ）
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 不确定
解析： 如图，取 AB 的中点 G ，连接 MG ，则以
AB 为直径的圆与准线 l 切于点 M ，根据抛物线性
质， MG ∥ x 轴，由已知 F （ ，0），设直线 AB 的
方程为 y ＝ k （ x － ），联立
y2－ y － ＝0，由根与系数的关系得 y1＋ y2＝
，∴点 M （－ ），∴ kMF ＝ ＝－ ，∵kAB · kMF ＝－1，∴ MF ⊥ AB ，∵∠ AMF ＝60°，∴∠ GAM ＝∠ GMA ＝30°，∴∠ MFO ＝∠ GMF ＝30°.
1. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点弦 AB 的两端点分别为 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），则 的值为（ ）
A. －4 B. 4
C. p2 D. － p2
解析： 由焦点弦的性质可知 x1 x2＝ ， y1 y2＝－ p2，∴ ＝－
4，故选A.
2. 过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点，若｜
AF ｜＝2｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 4
C. 5 D. 6
解析： 因为｜ AF ｜＝2｜ BF ｜， ＋ ＝ ＋
＝ ＝ ＝1，解得｜ BF ｜＝ ，｜ AF ｜＝3，故｜
AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ .
3. 抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°
的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
解：依题意可设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则直线方程为
y ＝－ x ＋ .
设直线交抛物线于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，
则｜ AB ｜＝ ，∴ ＝8，∴ p ＝2，
故所求的抛物线方程为 y2＝4 x .
当抛物线方程设为 y2＝－2 px （ p ＞0）时，同理可求得抛物线方程
为 y2＝－4 x .综上，抛物线方程为 y2＝±4 x .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设 AB 为过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点弦，则｜ AB ｜的最小值
为（ ）
B. p
C. 2 p D. 无法确定
解析： 当 AB 垂直于对称轴时，｜ AB ｜取最小值，此时 AB 为抛
物线的通径，长度等于2 p .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 已知抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F ，过点 F 作斜率为1的直线 l 交抛物线
C 于 P ， Q 两点，则 ＋ ＝（ ）
C. 1 D. 2
解析： 由抛物线焦点弦的性质可得， ＋ ＝ ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F （1，
0），过 F 的直线 l 与 C 交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，则下
列直线与以 AB 为直径的圆相切的是（ ）
A. y 轴 B. x ＝－1
C. x ＝－2 D. 不存在
解析： 抛物线焦点为 F （1，0），即 ＝1， p ＝2，故抛物线
C ： y2＝4 x ，准线方程为 x ＝－1，由焦点弦性质知，以弦 AB 为直
径的圆与准线相切，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （2024·济宁月考）已知 AB 是过抛物线2 x2＝ y 的焦点的弦.若｜
AB ｜＝4，则 AB 中点的纵坐标是（ ）
A. 1 B. 2
解析： 如图所示，设线段 AB 的中点为 P
（ x0， y0），分别过 A ， P ， B 三点作准线 l 的垂
线，垂足分别为A'， Q ，B'，由题意得｜AA'｜
＋｜BB'｜＝｜ AB ｜＝4，｜ PQ ｜＝
＝2.又｜ PQ ｜＝ y0＋ ，∴ y0＋
＝2，∴ y0＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 直线 l 过抛物线 C ： y2＝12 x 的焦点，且与抛物线 C 交于 A ， B 两
点，若弦 AB 的长为16，则直线 l 的倾斜角等于（ ）
解析： ∵ p ＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜ AB ｜＝ ＝
＝16，∴ sin 2α＝ ，则 sin α＝ .∴α＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 已知抛物线 C ： x2＝4 y 的焦点为 F ，过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交
于 A ， B 两点，点 O 为坐标原点，则∠ AOB 是（ ）
A. 直角 B. 锐角
C. 钝角 D. 与点 A ， B 位置有关
解析： 法一 抛物线 C 的焦点 F 的坐标为（0，1），由题意分
析可知，直线 m 的斜率一定存在.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
直线 m 的方程为 y ＝ kx ＋1，与抛物线 C ： x2＝4 y 联立，得 x2－4 kx
－4＝0，所以 x1＋ x2＝4 k ， x1 x2＝－4，所以 · ＝ x1 x2＋ y1 y2
＝ x1 x2＋ · ＝－4＋1＝－3＜0，所以∠ AOB 为钝角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
法二 抛物线焦点在 y 轴上，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1 x2
＝－ p2＝－4， y1 y2＝ ＝1，则 · ＝ x1 x2＋ y1 y2＝－4＋1＝－3
＜0，故∠ AOB 为钝角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （多选）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： x2＝8 y ，若过
焦点 F 的直线 l 交抛物线于两点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则下
列说法中正确的是（ ）
A. x1 x2＝－16 B. y1 y2＝16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 由 x2＝8 y ，得 p ＝4，由抛物线焦点弦的性质，得 x1 x2
＝－ p2＝－16，故A正确； y1 y2＝ ＝4，故B错误；根据题意，直
线 l 的斜率一定存在，又过点 F （0，2），设直线 l 的方程为 y ＝ kx
＋2，联立得 x2－8 kx －16＝0，则 x1＋ x2＝8 k ， ＝
（ x1， y1－2）， ＝（ x2， y2－2），则 · ＝ x1 x2＋（ y1－
2）（ y2－2）＝ x1 x2＋ y1 y2－2（ y1＋ y2）＋4＝－16－2 k （ x1＋
x2）＝－16－16 k2≤－16，故当 k ＝0时， · 的最大值为－16，
故C正确；｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜2·｜
｜2＝（ ＋ ＋ ）＝（8 y1＋ ）·（8 y2＋ ）＝
y1 y2（8＋ y1）（8＋ y2）＝4[64＋8（ y1＋ y2）＋ y1 y2]＝16（25＋16
k2），所以｜ ｜·｜ ｜＝4 ≥20＞12，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：由于｜ AF ｜＝｜ BF ｜，所以 l ⊥ x 轴，所以圆心坐标为 F
（1，0），半径为 r ＝2，弦长为2 ＝2 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 过抛物线 y2＝4 x 的焦点作直线交抛物线于 P （ x1， y1）， Q （ x2，
y2）两点，若 x1＋ x2＝6，则 PQ 的中点 M 到抛物线准线的距离
为 .
解析：由抛物线的方程 y2＝4 x ，可得 p ＝2，故它的焦点为 F （1，
0），准线方程为 x ＝－1.由中点坐标公式可得 PQ 的中点 M
（ ），由于 x1＋ x2＝6，则 M 到准线的距离为
＋1＝4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. （2024·珠海月考）设 F 为抛物线 C ： y2＝3 x 的焦点，过 F 且倾斜
角为30°的直线交 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面
积为 .
解析：易知抛物线中 p ＝ ＝
＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. （2024·湖州质检）已知抛物线 M ： y ＝2 px2（ p ＞0）的焦点为
F ，过点 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 M 交于 A （点 A 在第二象
限）， B 两点，则 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：抛物线方程为 x2＝ y ，故焦点坐标为 F （0， ），则直
线 l 方程为 y － ＝ x ，与 M ： y ＝2 px2（ p ＞0）联立得：16 p2 x2
－6 px －1＝0，即（2 px －1）（8 px ＋1）＝0，设 A （ x1， y1），
B （ x2， y2）， x1＜0，则 x1＝－ ， x2＝ ， y1＝ x1＋ ＝
， y2＝ x2＋ ＝ ，则｜ AF ｜＝ y1＋ ＝ ＋ ＝
，｜ AB ｜＝ y1＋ y2＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 已知直线 l ： x － my ＋ m －2＝0与抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）恒
有两个交点 A ， B .
（1）求 p 的取值范围；
解： 将直线 l 与抛物线 C 方程联立，得
y2－2 pmy ＋2 pm －4 p ＝0，
又因为直线 l 与抛物线 C 恒有两个交点，
所以其判别式Δ＝（－2 pm ）2－4（2 pm －4 p ）＝4 p2 m2－8
pm ＋16 p ＞0对 m ∈R恒成立，
故需使方程4 p2 m2－8 pm ＋16 p ＝0的判别式Δ1＝（－8 p ）2
－4×4 p2×16 p ＜0，
又 p ＞0，所以解得 p ＞ ，即 p 的取值范围为（ ，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）当 m ＝1时，直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ，求此时线段 AB
的长度.
解： 由题，当 m ＝1时， l ： x － y －1＝0，由 l 过焦点 F
（ ，0）得 p ＝2，所以抛物线 C ： y2＝4 x .
将直线 l 与抛物线 C 方程联立，并令 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），得 x2－6 x ＋1＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6，又因 AB 经过抛物线焦
点，故｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝6＋2＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. （2024·淮安月考）已知点 P （1， m ）是抛物线 C ： y2＝2 px （ p
＞0）上的点， F 为抛物线的焦点，且｜ PF ｜＝2，过焦点 F 的直
线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A ， B .
（1）求抛物线 C 的方程；
解： 由题意｜ PF ｜＝1＋ ＝2， p ＝2，
∴抛物线方程为 y2＝4 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）若｜ AB ｜＝8，求直线 l 的斜率.
解： 法一 由（1）知焦点为 F （1，0），
若直线 l 斜率不存在，则｜ AB ｜＝4，不符合题意，
因此设直线 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）（ k ≠0），
由得 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则 x1＋ x2＝ ，
｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋2＝ ＋2＝8，
解得 k ＝1或 k ＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
法二 若直线 l 的斜率不存在，则｜ AB ｜＝4，不符合题意，
设直线 l 的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，｜ AB ｜＝ ，
代入可得 sin 2α＝ ＝ ，
即α＝45°或135°，则 k ＝tan α＝±1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
谢 谢 观 看！培优课 抛物线焦点弦性质的应用
1.设AB为过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦，则｜AB｜的最小值为（ ）
A. B.p
C.2p D.无法确定
2.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
3.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是（ ）
A.y轴 B.x＝－1
C.x＝－2 D.不存在
4.（2024·济宁月考）已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵坐标是（ ）
A.1 B.2
C. D.
5.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（ ）
A.直角 B.锐角
C.钝角 D.与点A，B位置有关
7.（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（ ）
A.x1x2＝－16 B.y1y2＝16
C.·的最大值为－16 D.｜｜·｜｜＞12
8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若｜AF｜＝｜BF｜，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为 .
9.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为 .
10.（2024·珠海月考）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 .
11.（2024·湖州质检）已知抛物线M：y＝2px2（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则＝ .
12.已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两个交点A，B.
（1）求p的取值范围；
（2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度.
13.（2024·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率.
培优课 抛物线焦点弦性质的应用
1.C 当AB垂直于对称轴时，｜AB｜取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
2.C 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1.
3.B 抛物线焦点为F（1，0），即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B.
4.D 如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝＝2.又｜PQ｜＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
5.D ∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或.
6.C 法一 抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3＜0，所以∠AOB为钝角.
法二 抛物线焦点在y轴上，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角.
7.ACD 由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，＝（x1，y1－2），＝（x2，y2－2），则·＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时，·的最大值为－16，故C正确；｜｜＝，｜｜＝，｜｜2·｜｜2＝（＋）（＋）＝（8y1＋）·（8y2＋）＝y1y2（8＋y1）（8＋y2）＝4[64＋8（y1＋y2）＋y1y2]＝16（25＋16k2），所以｜｜·｜｜＝4≥20＞12，故D正确.
8.2 解析：由于｜AF｜＝｜BF｜，所以l⊥x轴，所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2，弦长为2＝2.
9.4 解析：由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1.由中点坐标公式可得PQ的中点M（，），由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为＋1＝4.
10. 解析：易知抛物线中p＝，由抛物线的性质可得＝＝.
11. 解析：抛物线方程为x2＝y，故焦点坐标为F（0，），则直线l方程为y－＝x，与M：y＝2px2（p＞0）联立得：16p2x2－6px－1＝0，即（2px－1）（8px＋1）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0，则x1＝－，x2＝，y1＝x1＋＝，y2＝x2＋＝，则｜AF｜＝y1＋＝＋＝，｜AB｜＝y1＋y2＋＝＋＝，所以＝.
12.解：（1）将直线l与抛物线C方程联立，得 y2－2pmy＋2pm－4p＝0，
又因为直线l与抛物线C恒有两个交点，
所以其判别式Δ＝（－2pm）2－4（2pm－4p）＝4p2m2－8pm＋16p＞0对 m∈R恒成立，
故需使方程4p2m2－8pm＋16p＝0的判别式Δ1＝（－8p）2－4×4p2×16p＜0，
又p＞0，所以解得p＞，即p的取值范围为（，＋∞）.
（2）由题，当m＝1时，l：x－y－1＝0，由l过焦点F（，0）得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x.
将直线l与抛物线C方程联立，并令A（x1，y1），B（x2，y2），得 x2－6x＋1＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，又因AB经过抛物线焦点，故｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
13.解：（1）由题意｜PF｜＝1＋＝2，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
（2）法一 由（1）知焦点为F（1，0），
若直线l斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
因此设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），
由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，
｜AB｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
法二 若直线l的斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
设直线l的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，｜AB｜＝，
代入可得sin2α＝＝，
即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
1 / 2培优课 抛物线焦点弦性质的应用
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则：
（1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角）；
（3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）；
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切.
题型一 x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用
【例1】 （2024·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（ ）
A.－ B.－
C.－1 D.－2
通性通法
通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，能较为迅速的得到结果.
【跟踪训练】
已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
题型二 ｜AB｜＝x1＋x2＋p＝的应用
【例2】 已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则｜AB｜＝ .
通性通法
设过抛物线焦点的弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则四种标准方程形式下的弦长公式如下：
标准方程 弦长公式
y2＝2px（p＞0） ｜AB｜＝x1＋x2＋p
y2＝－2px（p＞0） ｜AB｜＝p－（x1＋x2）
x2＝2py（p＞0） ｜AB｜＝y1＋y2＋p
x2＝－2py（p＞0） ｜AB｜＝p－（y1＋y2）
【跟踪训练】
经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
题型三 ＋＝的应用
【例3】 （2024·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝（ ）
A.9或6 B.6或3
C.9 D.3
通性通法
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
【跟踪训练】
已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，则p＝（ ）
A. B.2
C. D.1
题型四 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
【例4】 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
通性通法
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
【跟踪训练】
（2024·绍兴质检）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为（ ）
A.15° B.30°
C.45° D.不确定
1.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则的值为（ ）
A.－4 B.4
C.p2 D.－p2
2.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（ ）
A.4 B.
C.5 D.6
3.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
培优课 抛物线焦点弦性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 B 法一 依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋，由消去y整理得x2－kx－＝0，∴x1x2＝－.
法二 y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－.
跟踪训练
C 设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），直线AB的方程为x＝my＋，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x.
【例2】 8 解析：设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点（1，0），所以＝1，解得p＝2，则｜AB｜＝＝＝8.
跟踪训练
B 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝，∴p＝2.
【例3】 D 法一 设点A为第一象限内的点，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，则由题意可得F（2，0），｜AF｜＝x1＋2＝6，则x1＝4，由＝8x1，得y1＝4，所以kAB＝＝2，直线AB的方程为y＝2（x－2），将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以｜BF｜＝x2＋2＝3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，所以＝－＝，可得｜BF｜＝3.
跟踪训练
C 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，由｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，得＝＋1＝，解得p＝.
【例4】 证明：如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'，则由抛物线定义可知｜AA'｜＝｜AF｜，｜BB'｜＝｜BF｜，在直角梯形BB'A'A中，｜MM'｜＝（｜AA'｜＋｜BB'｜）＝（｜AF｜＋｜BF｜）＝｜AB｜，即｜MM'｜等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
跟踪训练
B 如图，取AB的中点G，连接MG，则以AB为直径的圆与准线l切于点M，根据抛物线性质，MG∥x轴，由已知F（，0），设直线AB的方程为y＝k（x－），联立，得y2－y－＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，∴点M（－，），∴kMF＝＝－，∵kAB·kMF＝－1，∴MF⊥AB，∵∠AMF＝60°，∴∠GAM＝∠GMA＝30°，∴∠MFO＝∠GMF＝30°.
随堂检测
1.A 由焦点弦的性质可知x1x2＝，y1y2＝－p2，∴＝－4，故选A.
2.B 因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝.
3.解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋.
设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则｜AB｜＝，∴＝8，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
1 / 2
