培优课 椭圆的综合问题
1.（2024·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是（ ）
A.（1，2） B.[1，2） C.[1，2] D.（1，2]
2.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
3.（2024·徐州月考）已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上有一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，则P点的坐标为（ ）
A.（－，） B.（－，） C.（1，3） D.（3，1）
4.已知（2，1）是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积（ ）
A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16
5.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则（ ）
A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R C.2a＝m＋n D.b＝
7.（多选）设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.离心率e＝
B.△PF1F2面积的最大值为
C.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
D.·的最小值为0
8.（2024·无锡质检）斜率为－1的直线与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为 .
9.已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是 .
10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为 .
11.（2024·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）.
（1）求“挞圆”的方程；
（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值.
12.在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切.
（1）求动圆圆心P所在曲线C的方程；
（2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程.
培优课 椭圆的综合问题
1.C 因为P（m，n）是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围是[1，2].
2.A 由题意得解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选A.
3.B 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0（a≠4），由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36（a2－8）＝0，解得a＝3或a＝－3，易知与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，由得即P（－，）.
4.B 因为（2，1）是椭圆C：＋＝1上一点，所以＋＝1，所以＋≥2××（当且仅当＝，即a＝2b时，取等号），所以1≥，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B.
5.B 如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E，则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R，∴c＝＝R，∴e＝＝＝.
6.ABD ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据题图可得（*）.∴a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；（*）中两式相加得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由（*）可得两式相乘可得（m＋R）·（n＋R）＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝（m＋R）（n＋R） b＝，故D正确.
7.CD 对于A：由椭圆C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，所以左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），离心率e＝＝，故选项A错误；对于B：｜F1F2｜＝2，当P点与椭圆的上、下顶点重合时，△PF1F2的面积最大，所以△PF1F2面积的最大值为×2×b＝×2×1＝1，故选项B错误；对于C：以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为1，由圆心（0，0）到直线x＋y－＝0的距离d＝＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，故选项C正确；对于D：设P（x，y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），·＝x2＋y2－1＝x2＋1－－1＝≥0，则·的最小值为0，故选项D正确.故选C、D.
8. 解析：设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，所以Δ＝（－4m）2－4×3×（2m2－6）＝72－8m2＞0，得－3＜m＜3，x1＋x2＝，x1x2＝，所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝，原点到直线的距离d＝.所以S△OAB＝×·＝≤·＝.当且仅当m＝±时，等号成立.所以△AOB面积的最大值为.
9.2 解析：因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2.
10.（－1，1） 解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）.
11.解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34，
解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）.
（2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点，
则＋＝1，＋＝1，
可得x1＝－x0.
所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34（＋）＝510，
当且仅当＝时，S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
12.解：（1）连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r，
由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2－r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2＞｜C1C2｜＝2，
所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2，
则a＝，c＝，故b＝＝1，
所以曲线C的方程为＋x2＝1.
（2）若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意.
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，
将y＝kx＋1代入＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－，即＝－＝－，
所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1.
1 / 2培优课 椭圆的综合问题
题型一 与椭圆有关的最值（范围）问题
【例1】 （2024·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值.
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1.若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为（ ）
A.1 B.－1
C.－ D.以上都不正确
2.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.
题型二 直线与椭圆的综合问题
【例2】 （2024·枣庄月考）如图，椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）经过点A（0，－1），且长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点（2，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），求证：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
通性通法
解决直线与椭圆综合问题的注意点
（1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视.
【跟踪训练】
（2024·嘉兴月考）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程.
题型三 椭圆的实际应用问题
【例3】 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝，｜F1F2｜＝4.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
（2）若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积.
通性通法
求解椭圆实际应用问题的思路
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题；
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解；
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
【跟踪训练】
某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是 m.
1.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A.30 cm B.20 cm
C.10 cm D.10 cm
2.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积的最大值为（ ）
A.6 B.15
C.20 D.12
3.（2024·宿迁质检）斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则｜AB｜的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
培优课 椭圆的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由题意得解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t.
由得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0，
由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－t，x1x2＝，
所以｜PQ｜＝·｜x1－x2｜
＝·
＝·
＝·，
又0≤t2＜7，所以当t＝0时，可得｜PQ｜max＝.
跟踪训练
1.C 设＝k，则y＝k（x－2）.由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值为－.故选C.
2.解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P，
故所求最短距离为d＝＝＝.
由得
即P（，－）.
【例2】 解：（1）将点A的坐标代入椭圆E的方程，可得b＝1，由已知可得a＝2b＝2，
因此，椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可得直线PQ的方程为y－1＝k（x－2），即y＝kx＋1－2k，
由已知可得k≠＝1，
联立消去y可得（4k2＋1）x2＋8k（1－2k）x＋16k（k－1）＝0，
由Δ＝64k2（1－2k）2－64k（4k2＋1）·（k－1）＝64k＞0，可得k＞0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k－＝2k－＝2k－（2k－1）＝1.
因此，直线AP与AQ的斜率之和为定值.
跟踪训练
解：（1）由题意，可得解得故椭圆C的方程为＋＝1.
（2）根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜.
当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－，｜BN｜＝，｜AM｜≠｜BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在.
设l的方程为y＝kx＋2，由得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝0，
则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设N（x0，y0），则x0＝＝－.
由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜，
∴｜x1－x2｜＝｜x0－0｜，
则＝｜x0｜，
即＝｜－｜，
整理得k2＝＞，故k＝±，
∴直线l的方程为y＝±x＋2.
【例3】 解：（1）设截口BAC所在椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），
∵BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝，｜F1F2｜＝4，
∴在Rt△BF1F2中，｜F2B｜＝＝，
故2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝2，得a＝，
又2c＝｜F1F2｜＝4，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝2，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
（2）∵点P在椭圆上，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，
又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形，
∴｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16.
由得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
故△F1PF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜＝2.
跟踪训练
32 解析：设椭圆方程为＋＝1，当点（4，4.5）在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32 m.
随堂检测
1.B 因为两个椭圆的离心率相同，所以＝，所以＝，所以a小＝10，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
2.D 设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知a＝5，b＝3，c＝4，所以S△ABF＝｜OF｜·｜y1－y2｜≤｜OF｜·2b＝12.
3.B 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋m，由消去y得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由Δ＝（8m）2－4×5×4（m2－1）＝80－16m2＞0，得0≤m2＜5.则x1＋x2＝－，x1x2＝.∴｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝·＝·，∴当m＝0时，｜AB｜取得最大值.
3 / 3(共56张PPT)
培优课
椭圆的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
01
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与椭圆有关的最值（范围）问题
【例1】 （2024·开封质检）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在
x 轴上，左顶点为 A （－2，0），离心率为 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
解： 设椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由题意得解得 c ＝1，所以 b2＝ a2－ c2＝3，
所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）斜率为1的直线 l 与椭圆 C 相交于 P ， Q 两点，求｜ PQ ｜的
最大值.
解： 设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），直线 l 的方程为 y ＝ x＋ t .
由得7 x2＋8 tx ＋4（ t2－3）＝0，
由Δ＝（8 t ）2－112（ t2－3）＞0，得0≤ t2＜7，则 x1＋ x2＝－
t ， x1 x2＝ ，所以｜ PQ ｜＝ ·｜ x1－ x2｜
＝ ·
＝ ·
＝ · ，
又0≤ t2＜7，所以当 t ＝0时，可得｜ PQ ｜max＝ .
通性通法
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处
理，此时，应注意椭圆中 x ， y 的取值范围，常常是化为闭区间
上的二次函数的最值问题来求解.
【跟踪训练】
1. 若点（ x ， y ）在椭圆4 x2＋ y2＝4上，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. －1
D. 以上都不正确
解析： 设 ＝ k ，则 y ＝ k （ x －2）.由消去
y ，整理得（ k2＋4） x2－4 k2 x ＋4（ k2－1）＝0，由题意得Δ＝16 k4
－4×4（ k2－1）（ k2＋4）≥0，解得－ ≤ k ≤ 的
最小值为－ .故选C.
2. 在椭圆 ＋ ＝1上求一点 P ，使它到直线 l ：3 x －2 y －16＝0的距
离最短，并求出最短距离.
解：设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y ＝ x ＋ m ，代入 ＋
＝1，并整理得4 x2＋3 mx ＋ m2－7＝0，
由Δ＝9 m2－16（ m2－7）＝0得 m2＝16，∴ m ＝±4，
故两切线方程为 y ＝ x ＋4和 y ＝ x －4，
显然 y ＝ x －4即3 x －2 y －8＝0距 l 最近，它们之间的距离即为所
求最短距离，且 y ＝ x －4与椭圆的切点即为所求点 P ，
故所求最短距离为 d ＝ ＝ ＝ .
由即 P （ ，－ ）.
题型二 直线与椭圆的综合问题
【例2】 （2024·枣庄月考）如图，椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）经过点 A （0，－1），且长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆 E 的方程；
解： 将点 A 的坐标代入椭圆 E 的
方程，可得 b ＝1，由已知可得 a ＝2 b
＝2，
因此，椭圆 E 的方程为 ＋ y2＝1.
解： 证明：设 P （ x1， y1），
Q （ x2， y2），由题意可得直线 PQ
的方程为 y －1＝ k （ x －2），即 y
＝ kx ＋1－2 k ，
由已知可得 k ≠ ＝1，
（2）经过点（2，1），且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两
点 P ， Q （均异于点 A ），求证：直线 AP 与 AQ 的斜率之和
为定值.
联立消去 y 可得（4 k2＋1） x2＋8 k （1－2 k ） x ＋16 k （ k －1）＝0，由Δ＝64 k2（1－2 k ）2－64 k （4 k2＋1）（ k －1）＝64 k ＞0，可得 k ＞0，则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，则 kAP ＋ kAQ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 k － ＝2 k － ＝2 k －（2 k －1）＝1.因此，直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值.
通性通法
解决直线与椭圆综合问题的注意点
（1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要
分两种情况讨论；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算
更简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围
的作用，这一点容易忽视.
【跟踪训练】
（2024·嘉兴月考）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的长轴长
是短轴长的2倍， F 是椭圆 C 的一个焦点，点 M （0，2），且｜ MF ｜
＝ .
（1）求椭圆 C 的方程；
解： 由题意，可得故椭圆
C 的方程为 ＋ ＝1.
（2）若过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为
N ，且满足｜ AM ｜＝｜ BN ｜，求直线 l 的方程.
解： 根据题意可得，点 A 必在点 B 的上方，才有｜ AM ｜
＝｜ BN ｜.
当 l 的斜率不存在时，｜ AM ｜＝2－ ，｜ BN ｜＝ ，｜
AM ｜≠｜ BN ｜，不符合题意，故 l 的斜率必定存在.
设 l 的方程为 y ＝ kx ＋2，由得（1＋4 k2） x2＋16
kx ＋8＝0，
则Δ＝（16 k ）2－32（1＋4 k2）＝128 k2－32＞0，即 k2＞ .
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .
设 N （ x0， y0），则 x0＝ ＝－ .
由｜ AM ｜＝｜ BN ｜可得，｜ AB ｜＝｜ MN ｜，
∴ ｜ x1－ x2｜＝ ｜ x0－0｜，
则 ＝｜ x0｜，
即 ＝｜－ ｜，
整理得 k2＝ ＞ ，故 k ＝± ，
∴直线 l 的方程为 y ＝± x ＋2.
题型三 椭圆的实际应用问题
【例3】 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕
其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口 BAC 是椭
圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上，片门位于另一个焦点 F2
上.由椭圆一个焦点 F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另
一个焦点 F2.已知 BF1⊥ F1 F2，｜ F1 B ｜＝ ，｜ F1 F2｜＝4.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口 BAC 所在的椭圆的
方程；
解： 设截口 BAC 所在椭
圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞
b ＞0），
∵ BF1⊥ F1 F2，｜ F1 B ｜＝
，｜ F1 F2｜＝4，
∴在Rt△ BF1 F2中，｜ F2 B ｜＝ ＝ ，
故2 a ＝｜ F1 B ｜＋｜ F2 B ｜＝2 ，得 a ＝ ，
又2 c ＝｜ F1 F2｜＝4，∴ c ＝2，∴ b2＝ a2－ c2＝2，
∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.
（2）若透明窗 DE 所在的直线与截口 BAC 所在的椭圆交于一点 P ，且
∠ F1 PF2＝90°，求△ F1 PF2的面积.
解： ∵点 P 在椭圆上，
∴｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝
2 ，
又∠ F1 PF2＝90°，即△ F1 PF2
为直角三角形，
∴｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝16.
由得｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4，
故△ F1 PF2的面积为 ｜ PF1｜·｜ PF2｜＝2.
通性通法
求解椭圆实际应用问题的思路
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为
数学问题；
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数
学问题的解；
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
【跟踪训练】
某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为6 m（如图所
示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆
的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是 m.
32
解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1，当点（4 ，4.5）在椭圆上时，
＋ ＝1，解得 a ＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴ a ≥16， d
＝2 a ≥32，故拱宽至少为32 m.
1. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模
型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已
知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10
cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A. 30 cm B. 20 cm
C. 10 cm
解析： 因为两个椭圆的离心率相同，所以 ＝
＝ ，所以 a小＝10，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
2. 已知 F 是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点， AB 为过椭圆中心的一条弦，
则△ ABF 的面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 15
C. 20 D. 12
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由题知 a ＝5， b ＝3， c
＝4，所以 S△ ABF ＝ ｜ OF ｜·｜ y1－ y2｜≤ ｜ OF ｜·2 b ＝12.
3. （2024·宿迁质检）斜率为1的直线 l 与椭圆 ＋ y2＝1相交于 A ， B
两点，则｜ AB ｜的最大值为（ ）
解析： 设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），直
线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m ，由消去 y 得5 x2＋8 mx ＋4
（ m2－1）＝0，由Δ＝（8 m ）2－4×5×4（ m2－1）＝80－16 m2＞
0，得0≤ m2＜5.则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .∴｜ AB ｜＝
｜ x1－ x2｜＝ · ＝
· ＝ · ，∴当 m ＝0时，｜
AB ｜取得最大值 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·莱芜月考）已知 P （ m ， n ）是椭圆 x2＋ ＝1上的一个动
点，则 m2＋ n2的取值范围是（ ）
A. （1，2） B. [1，2）
C. [1，2] D. （1，2]
解析： 因为 P （ m ， n ）是椭圆 x2＋ ＝1上的一个动点，所以
m2＋ ＝1，即 n2＝2－2 m2，所以 m2＋ n2＝2－ m2，又－1≤ m
≤1，则0≤ m2≤1，所以1≤2－ m2≤2，即1≤ m2＋ n2≤2，所以 m2
＋ n2的取值范围是[1，2].
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2. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得
到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积，已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）的面积为2 π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则
椭圆 C 的标准方程是（ ）
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解析： 由题意得所以椭圆 C 的标
准方程是 ＋ ＝1.故选A.
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3. （2024·徐州月考）已知椭圆 x2＋8 y2＝8，在椭圆上有一点 P ，使 P
到直线 l ： x － y ＋4＝0的距离最短，则 P 点的坐标为（ ）
C. （1，3） D. （3，1）
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解析： 设与直线 x － y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为 x
－ y ＋ a ＝0（ a ≠4），由消 x 得9 y2－2 ay ＋ a2－8
＝0，由Δ＝4 a2－36（ a2－8）＝0，解得 a ＝3或 a ＝－3，易知与直
线 l 距离较近的切线为 x － y ＋3＝0，由即 P （－ ）.
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4. 已知（2，1）是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上一点，则连接
椭圆 C 的四个顶点构成的四边形的面积（ ）
A. 有最小值4 B. 有最小值8
C. 有最大值8 D. 有最大值16
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解析： 因为（2，1）是椭圆 C ： ＋ ＝1上一点，所以 ＋
＝1，所以 ＋ ≥2× × （当且仅当 ＝ ，即 a ＝2 b 时，取
等号），所以1≥ ，即 ab ≥4，所以连接椭圆 C 的四个顶点构成
的四边形的面积为 S ＝ ·2 a ·2 b ＝2 ab ≥8，所以连接椭圆 C 的四个
顶点构成的四边形的面积的最小值为8，故选B.
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5. 如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22
cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为
（ ）
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解析： 如图， l1， l2是两条与球相切的直线，
分别切于点 A ， C ，与底面交于点 B ， D ，设篮
球的半径为 R ，∴ AC ＝2 R ＝22， R ＝11，过 C 作
CE ∥ BD 交 l1于点 E ，则 CE ＝ BD ，在Rt△ ACE
中， CE ＝ ，∴ CE ＝22× ＝2 a ，∴ a ＝ ＝ ， b ＝ R ，∴ c ＝ ＝ R ，∴ e ＝ ＝ ＝ .
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6. （多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦
点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A （离地面最近的点）距地
面 m 千米，远地点 B （离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F ，
A ， B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圆的长轴
长、短轴长、焦距分别为2 a ，2 b ，2 c ，则（ ）
A. a － c ＝ m ＋ R B. a ＋ c ＝ n ＋ R
C. 2 a ＝ m ＋ n
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解析： ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据题图可得
（*）.∴ a － c ＝ m ＋ R ，故A正确； a ＋ c ＝ n ＋
R ，故B正确；（*）中两式相加得 m ＋ n ＝2 a －2 R ，可得2 a ＝ m
＋ n ＋2 R ，故C不正确；由（*）可得两式相乘可
得（ m ＋ R ）（ n ＋ R ）＝ a2－ c2.∵ a2－ c2＝ b2，∴ b2＝（ m ＋ R ）
（ n ＋ R ） b ＝ ，故D正确.
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7. （多选）设椭圆 C ： ＋ y2＝1的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C
上的动点，则下列结论正确的是（ ）
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解析： 对于A：由椭圆 C ： ＋ y2＝1可知， a ＝ ， b ＝1，
c ＝1，所以左、右焦点分别为 F1（－1，0）， F2（1，0），离心率
e ＝ ＝ ，故选项A错误；对于B：｜ F1 F2｜＝2，当 P 点与椭圆
的上、下顶点重合时，△ PF1 F2的面积最大，所以△ PF1 F2面积的最
大值为 ×2× b ＝ ×2×1＝1，故选项B错误；
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对于C：以线段 F1 F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为1，由圆心
（0，0）到直线 x ＋ y － ＝0的距离 d ＝ ＝1，所以以线段 F1
F2为直径的圆与直线 x ＋ y － ＝0相切，故选项C正确；对于D：设
P （ x ， y ）， ＝（－1－ x ，－ y ）， ＝（1－ x ，－ y ），
· ＝ x2＋ y2－1＝ x2＋1－ －1＝ ≥0，则 · 的最小值
为0，故选项D正确.故选C、D.
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8. （2024·无锡质检）斜率为－1的直线与椭圆 C ： ＋ ＝1相交于
A ， B 两点，则△ AOB 面积的最大值为 .
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解析：设直线 AB 的方程为 y ＝－ x ＋ m ，联立得3 x2
－4 mx ＋2 m2－6＝0，所以Δ＝（－4 m ）2－4×3×（2 m2－6）＝72
－8 m2＞0，得－3＜ m ＜3， x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，所以｜
AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝ ，原点到直线的距离 d
＝ .所以 S△ OAB ＝ × · ＝
≤ · ＝ .当且仅当 m ＝± 时，等号成立.所以△ AOB
面积的最大值为 .
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9. 已知动点 P 在椭圆 C ： ＋ ＝1上，若点 A 的坐标为（3，0），
点 M 满足｜ ｜＝1， · ＝0，则｜ ｜的最小值是
.
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解析：因为｜ ｜＝1，所以点 M 的轨迹为以 A 为圆心，半径为1
的圆，因为 · ＝0，所以 PM ⊥ AM ，要使｜ ｜最小，只
需｜ ｜最小，设 P （ m ， n ），－6≤ m ≤6，则 ＋ ＝1，其
中｜ AP ｜＝ ＝ ＝
＝ ，因为－6≤ m ≤6，所以当 m ＝6时，｜
AP ｜min＝3，此时｜ ｜min＝ ＝2 .
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10. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1（－ c ，
0）， F2（ c ，0），若椭圆上存在一点 P ，使 ＝
，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ －1，1） .
（ －1，1）
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解析：在△ PF1 F2中，由正弦定理，得 ＝ .
∵ ＝ ，∴ ＝ ，即｜ PF1｜＝ ·｜
PF2｜.由椭圆定义知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ，则 ·｜ PF2｜＋｜
PF2｜＝2 a ，即｜ PF2｜＝ .由椭圆的几何性质知｜ PF2｜＜ a
＋ c ，则 ＜ a ＋ c ，即 c2＋2 ac － a2＞0，∴ e2＋2 e －1＞0，解
得 e ＜－ －1或 e ＞ －1.又 e ∈（0，1），∴ e ∈（ －1，1）.
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11. （2024·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长
34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”
形水池，水池边缘由两个半椭圆 ＋ ＝1
（ x ≤0）和 ＋ ＝1（ x ≥0）组成，其中 a ＞ b ＞9，“挞
圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共
点）.
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解： 由题意知 b ＝15， a ＋9＝34，
解得 a ＝25， b ＝15.
所以“挞圆”方程为 ＋ ＝1（ x
≤0）和 ＋ ＝1（ x ≥0）.
（1）求“挞圆”的方程；
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解： 设 P （ x0， t ）为矩形在第一象限内的顶点， Q （ x1， t ）为矩形在第二象限内的顶点，则 ＋ ＝1， ＋ ＝1，可得 x1＝－ x0.
（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网
箱的一条边所在直线方程为 y ＝ t （ t ∈（0，15）），求该网
箱所占水面面积的最大值.
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所以内接矩形的面积 S ＝2 t （ x0－ x1）＝2 t × x0＝
15×34×2· · ≤15×34（ ＋ ）＝510，
当且仅当 ＝ 时， S 取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
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12. 在平面直角坐标系中， C1（0，－ ），圆 C2： x2＋（ y － ）2
＝12，动圆 P 过 C1且与圆 C2相切.
（1）求动圆圆心 P 所在曲线 C 的方程；
解： 连接 PC1， PC2（图略），设动圆 P 的半径为 r ，
由题知｜ PC1｜＝ r ，｜ PC2｜＝2 － r ，所以｜ PC1｜
＋｜ PC2｜＝2 ＞｜ C1 C2｜＝2 ，
所以点 P 的轨迹是以 C1， C2为焦点的椭圆，其长轴长为2 a
＝2 ，焦距为2 c ＝2 ，
则 a ＝ ， c ＝ ，故 b ＝ ＝1，
所以曲线 C 的方程为 ＋ x2＝1.
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（2）若直线 l 过点（0，1）且与曲线 C 交于 A ， B 两点，线段 AB
的中点在直线 x ＝－ 上，求直线 l 的方程.
解： 若直线 l 的斜率不存在，则线段 AB 的中点为坐标
原点，不符合题意.
若直线 l 的斜率存在，设其方程为 y ＝ kx ＋1，
将 y ＝ kx ＋1代入 ＋ x2＝1，得（3＋ k2） x2＋2 kx －2＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），所以 x1＋ x2＝－ ＝－ ＝－ ，
所以 k2－4 k ＋3＝0，解得 k ＝1或 k ＝3，
所以直线 l 的方程为 y ＝ x ＋1或 y ＝3 x ＋1.
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谢 谢 观 看！
