培优课 圆锥曲线的综合问题
1.AB为过椭圆＋＝1（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为（ ）
A.b2 B.ab C.ac D.bc
2.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l的横截距（ ）
A.为定值－3 B.为定值3 C.为定值－1 D.不是定值
3.设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的取值范围为（ ）
A.（0，1] B.（0，） C.（0，］ D.［，＋∞）
4.（2024·江门质检）在抛物线y2＝4x上有不同的两点A，B（异于原点O），若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点（ ）
A.（0，2） B.（0，4） C.（－4，0） D.（－2，0）
5.（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q（m，n），点P到点Q和到y轴的距离分别为d1，d2，则（ ）
A.抛物线C的准线方程为y＝－1
B.若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值等于3
C.若（m－3）2＋n2＝1，则d1的最小值等于2
D.若m－n＝－4，则d1＋d2的最小值等于－1
6.抛物线y2＝4x的顶点为O，点A的坐标为（2，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（不经过点O和点A）且交抛物线于P，Q两点，则｜PQ｜的取值范围为 .
7.（2024·南平月考）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则双曲线C的焦距的最小值为 .
8.已知△AOB的顶点O为抛物线y2＝2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
（1）求证：直线AB必过一定点；
（2）求△AOB面积的最小值.
9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F（2，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得·为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
10.（2024·临沂月考）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长是2，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知C（0，1），若直线l：y＝kx－与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数λ，使∠AMC＝λ·∠ABC恒成立，并说明理由.
培优课 圆锥曲线的综合问题
1.D 由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·｜yB｜，故当｜yB｜＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc.
2.A 设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝.∴＝，∴y1y2＝6，设直线l：x＝my＋b，代入抛物线方程可化为y2－2my－2b＝0，∴y1y2＝－2b，∴－2b＝6，∴b＝－3，∴l的横截距为－3.
3.C 设P点的坐标为（，y0），y0＞0，则点M的坐标为（＋，），直线OM的斜率kOM＝＝≤＝，当且仅当y0＝，即y0＝时取等号.故选C.
4.B 设直线AB的方程为x＝ty＋b（b≠0），并代入抛物线方程，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴kOA＋kOB＝＋＝＝＝＝－＝1，∴b＝－4t，∴直线AB的方程为x＝ty－4t＝t（y－4），过定点（0，4）.
5.BD 由抛物线方程可知抛物线准线是l：x＝－1，A错误.当m＝n＝1时，△PQF的周长L＝｜PQ｜＋｜PF｜＋1＝d1＋dP－l＋1≥dQ－l＋1＝3，B正确.因为（m－3）2＋n2＝1，所以Q（m，n）在圆心为M（3，0），半径为1的圆上，所以d1≥｜PM｜－1，设P（，t），则｜PM｜2＝＋t2＝（t2－4）2＋8≥8，所以｜PM｜≥2，所以d1的最小值等于2－1，C错误.若m－n＝－4，则Q（m，n）在直线l1：x－y＋4＝0上，d1＋d2＝d1＋｜PF｜－1≥－1＝－1，D正确.故选B、D.
6.（4，4） 解析：设直线l的方程为y＝x－m，有0＜m＜2，由方程组消去y，得x2－（2m＋4）x＋m2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2m＋4，x1·x2＝m2，所以｜PQ｜＝4×，所以4＜｜PQ｜＜4.
7.8 解析：∵双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，∵直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立解得故D（a，b），联立解得故E（a，－b），∴｜ED｜＝2b，∴＝a×2b＝ab＝8.∵双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴双曲线C的焦距的最小值为8.
8.解：（1）证明：设OA所在直线的方程为y＝kx（k≠0），
则直线OB的方程为y＝－x.
由得A（，），
由得B（2k2，－2k）.
∴AB所在直线方程为（y＋2k）（－2k2）＝（＋2k）（x－2k2），
化简得x－（－k）y－2＝0，
∴直线过定点P（2，0）.
（2）由于直线AB过定点P（2，0），
∴可设直线AB的方程为x＝my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2）.
由得y2－2my－4＝0.
则Δ＝（－2m）2－4×（－4）＝4m2＋16＞0，
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，
∴｜y1－y2｜＝＝＝.
∴S△AOB＝｜y1｜·｜OP｜＋｜y2｜·｜OP｜＝｜OP｜·｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝≥4（当且仅当m＝0时取“＝”）.
∴当m＝0时，△AOB面积的最小值为4.
9.解：（1）由题意可得∴a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝2，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
（2）依题意，直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋2，－1＜m＜1，且m≠0，
代入－＝1得（m2－1）·y2＋4my＋2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，0），
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴·＝（x1－t）（x2－t）＋y1y2＝（my1＋2－t）（my2＋2－t）＋y1y2
＝（m2＋1）y1y2＋m（2－t）（y1＋y2）＋（2－t）2
＝（m2＋1）－m（2－t）＋（2－t）2
＝＋（2－t）2，
若要上式为定值，则必须有4t－6＝－2，即t＝1，
∴＋（2－t）2＝－2＋1＝－1，
故存在点P（1，0）满足·为定值－1.
10.解：（1）因椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长是2，则b＝1，而离心率e＝＝，解得a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
（2）存在常数λ＝2，使∠AMC＝λ·∠ABC恒成立，
由消去y并整理得：（9＋18k2）x2－12kx－16＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，
又＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），
·＝x1x2＋（y1－1）（y2－1）＝x1x2＋（kx1－）（kx2－） ＝（1＋k2）x1x2－k（x1＋x2）＋ ＝（1＋k2）·－·＋＝0，
则有⊥，而线段AB的中点为M，于是得｜MC｜＝｜MB｜，并且有∠AMC＝2∠ABC，
所以存在常数λ＝2，使∠AMC＝λ·∠ABC恒成立.
1 / 1培优课 圆锥曲线的综合问题
题型一 最值（范围）问题
【例1】 （1）（2024·南京月考）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－4，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2－2y＋22＝0上的一个动点，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为（ ）
A.7 B.7 C.8 D.8
（2）已知双曲线－＝1与双曲线－＝1（其中a＞0，b＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则的最大值为 .
通性通法
圆锥曲线中最值（范围）问题的求法
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等.
【跟踪训练】
如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
题型二 定点、定值问题
【例2】 （2024·无锡月考）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点.
（1）若l的斜率为2，求｜AB｜的值；
（2）求证：·为定值.
通性通法
定点、定值问题的解题策略
（1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点；
（2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数，即为定值.
【跟踪训练】
已知点P是椭圆C：＋＝1上一点，设直线l不经过点P且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
题型三 探索性问题
【例3】 试问是否能找到一条斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A（0，1）的距离相等？若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
通性通法
有关探索性问题的解题技巧
（1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再加以证明求出来的量符合题目条件；
（2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.
【跟踪训练】
（2024·杭州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点A（2，0）的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，△MNF的周长为9.
（1）求C的方程；
（2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）.若存在求出坐标，若不存在说明理由.
1.已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＜0，则y0的取值范围是（ ）
A.（－，） B.（－，）
C.（－，） D.（－，）
2.一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为（ ）
A.（0，4） B.（4，0）
C.（2，0） D.（0，2）
3.在椭圆F：＋y2＝1（a＞1）中，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，C，D两点均在直线x＝a上，且C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在椭圆F上，并说明理由.
培优课 圆锥曲线的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）
解析：（1）由题意可知，抛物线方程为y2＝16x，曲线C：（x－5）2＋（y－1）2＝4，如图，过点P作PA⊥准线x＝－4于点A，则｜PA｜＝｜PF｜，∴｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜，要使｜PA｜＋｜PQ｜最小，只需A，P，Q三点共线且｜QA｜最小即可，则需点Q到直线x＝－4的距离最短，∵点Q到直线x＝－4的最短距离为9－2＝7，∴｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为7.
（2）易知两个双曲线的焦距相等.由题设得＝＝≤＝，当且仅当a＝b时，不等式取“＝”，故的最大值为.
跟踪训练
解：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P.
直线AP的方程是x－y＋6＝0，
设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，
于是＝｜m－6｜，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，
得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，
由f（x）＝＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
【例2】 解：（1）依题意得F（1，0），
所以直线l的方程为y＝2（x－1）.
设直线l与抛物线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2－3x＋1＝0，
所以x1＋x2＝3，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
（2）证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2－4ky－4＝0，
所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
所以·＝（x1，y1）·（x2，y2）
＝x1x2＋y1y2＝（ky1＋1）（ky2＋1）＋y1y2
＝k2y1y2＋k（y1＋y2）＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以·为定值.
跟踪训练
解：当直线l的斜率不存在时，设A（x1，y1），B（x1，－y1），直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
则k1＋k2＝＝1，解得x1＝－4，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
A（x1，y1），B（x2，y2），
由整理得（3＋4k2）·x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝48（4k2－m2＋3）＞0.
由k1＋k2＝1，整理得（2k－1）x1x2＋（x1＋x2）＋2m－4＝0，
即（m－4k）（2m－2k－3）＝0.
当m＝k＋时，此时，直线l过点P，不符合题意；
当m＝4k时，Δ＝48（4k2－m2＋3）＞0有解，此时直线l：y＝k（x＋4）过定点（－4，0）.
【例3】 解：设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可.
由
消y得（1＋3k2）x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（xP，yP），
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.
∵AP⊥MN，∴＝－，
故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4（1＋3k2）（3m2－3）
＝9（1＋3k2）（1－k2）＞0，得－1＜k＜1且k≠0.
故当k∈（－1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l.
跟踪训练
解：（1）当MN与x轴垂直时，｜MF｜＝｜NF｜＝2＋，｜MN｜＝4，
从而有4＋p＋4＝9，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.
（2）设P（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
由题可知直线l斜率不为零，设l：x＝my＋2，
代入抛物线方程y2＝2x消去x，
得y2－2my－4＝0，从而y1＋y2＝2m，y1y2＝－4， ①
由∠OPM＝∠OPN可得kMP＋kNP＝0，
而kMP＋kNP＝＋
＝＋
＝，
将①代入，从而得＝0恒成立，所以x0＝－2，
因此存在点P满足题意，P点坐标为（－2，0）.
随堂检测
1.A 因为F1（－，0），F2（，0），－＝1，所以·＝（－－x0，－y0）·（－x0，－y0）＝＋－3＜0，即3－1＜0，解得－＜y0＜.
2.A 由抛物线x2＝16y，得到准线方程为y＝－4，焦点坐标为（0，4），∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切，由抛物线的定义知｜MF｜＝｜MK｜，如图所示，即动圆必经过定点F（0，4）.
3.解：直线BC与AD的交点在椭圆F上.
由已知得A（－a，0），B（0，－1），C（a，2），D（a，1），
∴直线BC的方程为y＝x－1，
直线AD的方程为y＝x＋，
联立解得
∴直线BC与AD的交点为（，），且＋（）2＝1，即交点坐标满足椭圆方程，因此该交点在椭圆F上.
1 / 2(共48张PPT)
培优课
圆锥曲线的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 最值（范围）问题
【例1】 （1）（2024·南京月考）抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的准线方
程为 x ＝－4， F 为抛物线的焦点， P 为抛物线上的一个动点， Q 为曲
线 C ： x2－10 x ＋ y2－2 y ＋22＝0上的一个动点，则｜ PF ｜＋｜ PQ ｜
的最小值为（ A ）
A. 7 C. 8
A
解析： 由题意可知，抛物线方程为
y2＝16 x ，曲线 C ：（ x －5）2＋（ y －1）
2＝4，如图，过点 P 作 PA ⊥准线 x ＝－4于
点 A ，则｜ PA ｜＝｜ PF ｜，∴｜ PF ｜
＋｜ PQ ｜＝｜ PA ｜＋｜ PQ ｜，要使｜
PA ｜＋｜ PQ ｜最小，只需 A ， P ， Q 三点共线且｜ QA ｜最小即可，则需点 Q 到直线 x ＝－4的距离最短，∵点 Q 到直线 x
＝－4的最短距离为9－2＝7，∴｜ PF ｜＋｜ PQ ｜的最小值为7.
（2）已知双曲线 － ＝1与双曲线 － ＝1（其中 a ＞0， b ＞
0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为 S1，连接它们的
焦点构成的四边形的面积为 S2，则 的最大值为 .
解析： 易知两个双曲线的焦距相等.由题设得 ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当 a ＝ b 时，不等式取“＝”，故 .
通性通法
圆锥曲线中最值（范围）问题的求法
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意
义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则
可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数
最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的
性质法等.
【跟踪训练】
如图所示，点 A ， B 分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F
是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，设 M 是椭圆长轴 AB 上的
一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的
距离 d 的最小值.
解：由已知可得点 A （－6，0），点 B （6，0），点 P .
直线 AP 的方程是 x － y ＋6＝0，
设点 M 的坐标是（ m ，0），则点 M 到直线 AP 的距离是 ，
于是 ＝｜ m －6｜，
又－6≤ m ≤6，解得 m ＝2.
由椭圆上的点（ x ， y ）到点 M 的距离为 d ，
得 d2＝（ x －2）2＋ y2＝ x2－4 x ＋4＋20－ x2
＝ ＋15，
由于－6≤ x ≤6，
由 f （ x ）＝ ＋15的图象可知，
当 x ＝ 时， d 取最小值，且最小值为 .
题型二 定点、定值问题
【例2】 （2024·无锡月考）设抛物线 C ： y2＝4 x ， F 为 C 的焦点，
过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点.
（1）若 l 的斜率为2，求｜ AB ｜的值；
解： 依题意得 F （1，0），
所以直线 l 的方程为 y ＝2（ x －1）.
设直线 l 与抛物线 C 的交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由得 x2－3 x ＋1＝0，
所以 x1＋ x2＝3，所以｜ AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ x1＋ x2＋ p
＝3＋2＝5.
（2）求证： · 为定值.
解： 证明：设直线 l 的方程为 x ＝ ky ＋1，直线 l 与抛物线
的交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由得 y2－4 ky －4＝0，
所以 y1＋ y2＝4 k ， y1 y2＝－4.
所以 · ＝（ x1， y1）·（ x2， y2）
＝ x1 x2＋ y1 y2＝（ ky1＋1）（ ky2＋1）＋ y1 y2
＝ k2 y1 y2＋ k （ y1＋ y2）＋1＋ y1 y2
＝－4 k2＋4 k2＋1－4＝－3，
所以 · 为定值.
通性通法
定点、定值问题的解题策略
（1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程
变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定
点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零
后解出定点；
（2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常
数，即为定值.
【跟踪训练】
已知点 P 是椭圆 C ： ＋ ＝1上一点，设直线 l 不经过点 P
且与椭圆 C 相交于 A ， B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为1，
问：直线 l 是否过定点？证明你的结论.
解：当直线 l 的斜率不存在时，设 A （ x1， y1）， B （ x1，－ y1），直线 PA ， PB 的斜率分别为 k1， k2，
则 k1＋ k2＝ ＝1，解得 x1＝－4，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由整理得（3＋4 k2） x2＋8 kmx ＋4 m2－12
＝0， x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0.
由 k1＋ k2＝1，整理得（2 k －1） x1 x2＋ （ x1＋ x2）＋
2 m －4＝0，即（ m －4 k ）（2 m －2 k －3）＝0.
当 m ＝ k ＋ 时，此时，直线 l 过点 P ，不符合题意；
当 m ＝4 k 时，Δ＝48（4 k2－ m2＋3）＞0有解，此时直线 l ： y ＝ k （ x
＋4）过定点（－4，0）.
题型三 探索性问题
【例3】 试问是否能找到一条斜率为 k （ k ≠0）的直线 l 与椭圆 ＋
y2＝1交于两个不同的点 M ， N ，且使 M ， N 到点 A （0，1）的距离相
等？若存在，试求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：设直线 l ： y ＝ kx ＋ m 为满足条件的直线，再设 P 为 MN 的中点，
欲满足条件，只需 AP ⊥ MN 即可.
由消 y 得（1＋3 k2） x2＋6 mkx ＋3 m2－3＝0.
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2）， P （ xP ， yP ），
则 xP ＝ ＝－ ， yP ＝ kxP ＋ m ＝ ，
∴ kAP ＝ .
∵ AP ⊥ MN ，∴ ＝－ ，
故 m ＝－ .
由Δ＝36 m2 k2－4（1＋3 k2）（3 m2－3）
＝9（1＋3 k2）（1－ k2）＞0，得－1＜ k ＜1且 k ≠0.
故当 k ∈（－1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线 l .
通性通法
有关探索性问题的解题技巧
（1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再加
以证明求出来的量符合题目条件；
（2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结
论不正确，则不存在.
【跟踪训练】
（2024·杭州质检）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，过
点 A （2，0）的直线 l 交 C 于 M ， N 两点，当 MN 与 x 轴垂直时，△
MNF 的周长为9.
（1）求 C 的方程；
解： 当 MN 与 x 轴垂直时，｜ MF ｜＝｜ NF ｜＝2＋ ，
｜ MN ｜＝4 ，
从而有4＋ p ＋4 ＝9，解得 p ＝1，
所以抛物线 C 的方程为 y2＝2 x .
（2）在 x 轴上是否存在点 P ，使得∠ OPM ＝∠ OPN 恒成立（ O 为坐
标原点）.若存在求出坐标，若不存在说明理由.
解： 设 P （ x0，0）， M （ x1， y1）， N （ x2， y2），
由题可知直线 l 斜率不为零，设 l ： x ＝ my ＋2，
代入抛物线方程 y2＝2 x 消去 x ，
得 y2－2 my －4＝0，从而 y1＋ y2＝2 m ， y1 y2＝－4， ①
由∠ OPM ＝∠ OPN 可得 kMP ＋ kNP ＝0，
而 kMP ＋ kNP ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ，
将①代入，从而得 ＝0恒成立，所以 x0
＝－2，
因此存在点 P 满足题意， P 点坐标为（－2，0）.
1. 已知 M （ x0， y0）是双曲线 C ： － y2＝1上的一点， F1， F2分别
是 C 的左、右焦点，若 · ＜0，则 y0的取值范围是（ ）
解析： 因为 F1（－ ，0）， F2（ ，0）， － ＝1，所
以 · ＝（－ － x0，－ y0）·（ － x0，－ y0）＝ ＋
－3＜0，即3 －1＜0，解得－ ＜ y0＜ .
2. 一动圆的圆心在抛物线 x2＝16 y 上，且该动圆恒与直线 y ＋4＝0相
切，则动圆必经过的定点为（ ）
A. （0，4） B. （4，0）
C. （2，0） D. （0，2）
解析： 由抛物线 x2＝16 y ，得到准线方程为 y
＝－4，焦点坐标为（0，4），∵动圆的圆心在
抛物线 x2＝16 y 上，且动圆恒与直线 y ＝－4相
切，由抛物线的定义知｜ MF ｜＝｜ MK ｜，如图
所示，即动圆必经过定点 F （0，4）.
解：直线 BC 与 AD 的交点在椭圆 F 上.
由已知得 A （－ a ，0）， B （0，－1）， C （ a ，2）， D （ a ，
1），
∴直线 BC 的方程为 y ＝ x －1，
直线 AD 的方程为 y ＝ x ＋ ，
3. 在椭圆 F ： ＋ y2＝1（ a ＞1）中， A ， B 分别为椭圆的左顶点和
下顶点， C ， D 两点均在直线 x ＝ a 上，且 C ， D 两点的纵坐标分别
为2和1，判断：直线 BC 与 AD 的交点是否在椭圆 F 上，并说明理由.
联立
∴直线 BC 与 AD 的交点为（ ），且 ＋（ ）2＝1，即
交点坐标满足椭圆方程，因此该交点在椭圆 F 上.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. AB 为过椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）中心的弦， F （ c ，0）为椭圆
的右焦点，则△ AFB 面积的最大值为（ ）
A. b2 B. ab
C. ac D. bc
解析： 由椭圆的对称性知， A ， B 两点关于原点 O 对称，因此
S△ AFB ＝2 S△ OFB ＝ c ·｜ yB ｜，故当｜ yB ｜＝ b 时，△ AFB 面积最
大，最大面积为 bc .
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2. 直线 l 与抛物线 C ： y2＝2 x 交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若直线
OA ， OB 的斜率 k1， k2满足 k1 k2＝ ，则 l 的横截距（ ）
A. 为定值－3 B. 为定值3
C. 为定值－1 D. 不是定值
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 · ＝ .∴ ＝
，∴ y1 y2＝6，设直线 l ： x ＝ my ＋ b ，代入抛物线方程可化为 y2－
2 my －2 b ＝0，∴ y1 y2＝－2 b ，∴－2 b ＝6，∴ b ＝－3，∴ l 的横截
距为－3.
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3. 设 O 为坐标原点，点 A （1，0），动点 P 在抛物线 y2＝2 x 上，且位
于第一象限， M 是线段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的取值范围为
（ ）
A. （0，1]
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解析： 设 P 点的坐标为（ ， y0）， y0＞0，则点 M 的坐标为
（ ＋ ），直线 OM 的斜率 kOM ＝ ＝ ≤ ＝ ，
当且仅当 y0＝ ，即 y0＝ 时取等号.故选C.
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4. （2024·江门质检）在抛物线 y2＝4 x 上有不同的两点 A ， B （异于原
点 O ），若直线 OA ， OB 斜率之和为1，则直线 AB 必经过定点
（ ）
A. （0，2） B. （0，4）
C. （－4，0） D. （－2，0）
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解析： 设直线 AB 的方程为 x ＝ ty ＋ b （ b ≠0），并代入抛物线
方程，消去 x 得 y2－4 ty －4 b ＝0，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则 y1＋ y2＝4 t ， y1 y2＝－4 b ，∴ kOA ＋ kOB ＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝－ ＝
1，∴ b ＝－4 t ，∴直线 AB 的方程为 x ＝ ty －4 t ＝ t （ y －4），过定
点（0，4）.
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5. （多选）已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，点
Q （ m ， n ），点 P 到点 Q 和到 y 轴的距离分别为 d1， d2，则
（ ）
A. 抛物线 C 的准线方程为 y ＝－1
B. 若 m ＝ n ＝1，则△ PQF 周长的最小值等于3
C. 若（ m －3）2＋ n2＝1，则 d1的最小值等于2
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解析： 由抛物线方程可知抛物线准线是 l ： x ＝－1，A错误.当
m ＝ n ＝1时，△ PQF 的周长 L ＝｜ PQ ｜＋｜ PF ｜＋1＝ d1＋ dP－ l
＋1≥ dQ－ l ＋1＝3，B正确.因为（ m －3）2＋ n2＝1，所以 Q （ m ，
n ）在圆心为 M （3，0），半径为1的圆上，所以 d1≥｜ PM ｜－
1，设 P （ ， t ），则｜ PM ｜2＝ ＋ t2＝ （ t2－4）2
＋8≥8，所以｜ PM ｜≥2 ，所以 d1的最小值等于2 －1，C错
误.若 m － n ＝－4，则 Q （ m ， n ）在直线 l1： x － y ＋4＝0上， d1＋
d2＝ d1＋｜ PF ｜－1≥ －1＝ －1，D正确.故选B、D.
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6. 抛物线 y2＝4 x 的顶点为 O ，点 A 的坐标为（2，0），倾斜角为 的
直线 l 与线段 OA 相交（不经过点 O 和点 A ）且交抛物线于 P ， Q 两
点，则｜ PQ ｜的取值范围为 .
解析：设直线 l 的方程为 y ＝ x － m ，有0＜ m ＜2，由方程组
消去 y ，得 x2－（2 m ＋4） x ＋ m2＝0，设 P （ x1，
y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝2 m ＋4， x1· x2＝ m2，所以｜ PQ ｜
＝4 × ，所以4 ＜｜ PQ ｜＜4 .
（4 ，4 ）
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7. （2024·南平月考）设 O 为坐标原点，直线 x ＝ a 与双曲线 C ： －
＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线分别交于 D ， E 两点，若△
ODE 的面积为8，则双曲线 C 的焦距的最小值为 .
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解析：∵双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），∴双曲线的渐近
线方程是 y ＝± x ，∵直线 x ＝ a 与双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0，
b ＞0）的两条渐近线分别交于 D ， E 两点，不妨设 D 在第一象限，
E 在第四象限，联立故 D （ a ， b ），联立
故 E （ a ，－ b ），∴｜ ED ｜＝2 b ，
∴ ＝ a ×2 b ＝ ab ＝8.∵双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞
0），∴其焦距为2 c ＝2 ≥2 ＝2 ＝8，当且仅当 a
＝ b ＝2 时取等号，∴双曲线 C 的焦距的最小值为8.
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8. 已知△ AOB 的顶点 O 为抛物线 y2＝2 x 的顶点， A ， B 两点都在抛物
线上，且∠ AOB ＝90°.
（1）求证：直线 AB 必过一定点；
解： 证明：设 OA 所在直线的方程为 y ＝ kx （ k ≠0），
则直线 OB 的方程为 y ＝－ x .
由得 A （ ），
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由得 B （2 k2，－2 k ）.
∴ AB 所在直线方程为（ y ＋2 k ）（ －2 k2）＝（ ＋2 k ）
（ x －2 k2），
化简得 x －（ － k ） y －2＝0，
∴直线过定点 P （2，0）.
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（2）求△ AOB 面积的最小值.
解： 由于直线 AB 过定点 P （2，0），
∴可设直线 AB 的方程为 x ＝ my ＋2， A （ x1， y1）， B （ x2，
y2）.由得 y2－2 my －4＝0.
则Δ＝（－2 m ）2－4×（－4）＝4 m2＋16＞0，
∴ y1＋ y2＝2 m ， y1 y2＝－4，
∴｜ y1－ y2｜＝ ＝ ＝
.
∴ S△ AOB ＝ ｜ y1｜·｜ OP ｜＋ ｜ y2｜·｜ OP ｜＝ ｜
OP ｜·｜ y1－ y2｜＝｜ y1－ y2｜＝ ≥4（当且仅当 m
＝0时取“＝”）.∴当 m ＝0时，△ AOB 面积的最小值为4.
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9. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的离心率为 ，右焦
点为 F （2，0）.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
解： 由题意可得∴ a ＝ ， c ＝2， b2＝ c2
－ a2＝2，
∴双曲线 C 的标准方程为 － ＝1.
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解：（2）依题意，直线 l 的斜率不为0，
设其方程为 x ＝ my ＋2，－1＜ m ＜1，且
m ≠0，
代入 － ＝1得（ m2－1）· y2＋4 my ＋
2＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， P （ t ，0），
（2）过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A ， B 两点，在 x 轴上是
否存在点 P ，使得 · 为定值？若存在，求出该定值；若
不存在，请说明理由.
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则 y1＋ y2＝－ ， y1 y2＝ ，
∴ · ＝（ x1－ t ）（ x2－ t ）＋ y1 y2
＝（ my1＋2－ t ）（ my2＋2－ t ）＋ y1 y2
＝（ m2＋1） y1 y2＋ m （2－ t ）（ y1＋ y2）＋（2－ t ）2
＝（ m2＋1） － m （2－ t ） ＋（2－ t ）2
＝ ＋（2－ t ）2，若要上式为定值，则必须有4 t －6＝－2，即 t ＝1，∴ ＋（2－ t ）2＝－2＋1＝－1，故存在点 P （1，0）满足 · 为定值－1.
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10. （2024·临沂月考）已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的短轴
长是2，且离心率为 .
（1）求椭圆 E 的方程；
解： 因椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的短轴长是
2，则 b ＝1，而离心率 e ＝ ＝ ，解得 a ＝
＋ y2＝1.
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（2）已知 C （0，1），若直线 l ： y ＝ kx － 与椭圆 E 相交于 A ，
B 两点，线段 AB 的中点为 M ，是否存在常数λ，使∠ AMC ＝
λ·∠ ABC 恒成立，并说明理由.
解： 存在常数λ＝2，使∠ AMC ＝λ·∠ ABC 恒成立，
由消去 y 并整理得：（9＋18 k2） x2－12 kx
－16＝0，
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设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝
－ ，
又 ＝（ x1， y1－1）， ＝（ x2， y2－1），
· ＝ x1 x2＋（ y1－1）（ y2－1）＝ x1 x2＋（ kx1－ ）
（ kx2－ ） ＝（1＋ k2） x1 x2－ k （ x1＋ x2）＋ ＝（1＋
k2）· － · ＋ ＝0，
则有 ⊥ ，而线段 AB 的中点为 M ，于是得｜ MC ｜
＝｜ MB ｜，并且有∠ AMC ＝2∠ ABC ，
所以存在常数λ＝2，使∠ AMC ＝λ·∠ ABC 恒成立.
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谢 谢 观 看！
