第1课时 椭圆及其标准方程（一）
1.若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，－3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数k＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（2024·金华月考）设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（ ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
5.（多选）（2024·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6.（多选）对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是（ ）
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
7.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为 .
8.已知椭圆的焦点为（0，4），（0，－4），椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为 .
9.已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为 .
10.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1，），（0，－）；
（2）以点F1（－1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2，）.
11.已知椭圆过点P（，－4）和点Q（－，3），则此椭圆的标准方程是（ ）
A.x2＋＝1 B.x2＋＝1或＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.以上都不对
12.（2024·开封月考）椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ）
A.± B.± C.± D.±
13.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为 .
14.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点A（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同的焦点；
（2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（－1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
15.（2024·泰安质检）在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝ .
16.如图，点A是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与y轴负半轴的交点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为（0，1），且满足BP∥x轴，·＝9，求椭圆C的方程.
第1课时 椭圆及其标准方程（一）
1.B 由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2×5＝10，则｜PF2｜＝10－6＝4.
2.D 由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.故选D.
3.B 椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.
4.D 由椭圆的定义，知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8.由题可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，则｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3或｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝5.又｜F1F2｜＝2c＝4，所以△PF1F2为直角三角形.
5.ACD 因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M是短轴端点，∠MF1F2＝60°，所以＝sin 60°，则＝，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上，＋＝1，＋＝1，＋＝1满足条件.故选A、C、D.
6.CD 当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确.故选C、D.
7.（0，－），（0，） 解析：将所给椭圆的方程化为标准方程得＋＝1，由8＞3，可知椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝.因此，椭圆的焦点坐标为（0，－），（0，）.
8.＋＝1 解析：由已知，椭圆的焦点在y轴上，且c＝4，由椭圆定义得，2a＝10，则a＝5，则b＝3，从而椭圆的标准方程为＋＝1.
9.4或 解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
10.解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由题意有可得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）设椭圆的标准方程为＋＝1（m＞n＞0），焦距为2c0.由题意有c0＝1，｜PF1｜＝＝，｜PF2｜＝＝，
有m＝＝＝，n＝＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
11.A 设经过点P（，－4）和点Q（－，3）的椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将P，Q两点的坐标代入得，解得∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
12.D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±.
13.9 解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
14.解：（1）椭圆方程3x2＋8y2＝24可化为＋＝1，
可得c＝，其焦点为（±，0），
设所求椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），
将点A（3，2）的坐标代入椭圆方程，可得＋＝1，
结合a2－b2＝5，解得a＝，b＝，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点，
又由P1（1，1），P4（1，）知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上，
因此解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
15. 解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，∴｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10，∴由正弦定理可知＝＝＝.
16.解：由题意得A（0，－b），直线AB的方程为y＝x－b，
由P（0，1）且BP∥x轴，得B（1＋b，1），
所以＝（1＋b，1＋b），＝（0，1＋b），
因为·＝9，故0＋（1＋b）2＝9，
因为b＞0，于是b＝2，所以B（3，1），
将B（3，1）代入椭圆＋＝1，
得＋＝1，解得a2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
2 / 23.1.1 椭圆及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学运算
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 数学运算、直观想象
第1课时 椭圆及其标准方程（一）
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示.我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.
【问题】 （1）你能说说到底什么是椭圆吗？
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点一 椭圆的定义
1.定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜.
4.符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ （常数）且2a ｜F1F2｜.
提醒 （1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
焦点坐标 （－c，0），（c，0） （0，－c），（0，c）
a，b，c的关系 c2＝
【想一想】
1.从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
2.在椭圆的标准方程中，a＞b＞c一定成立吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则点P的轨迹是椭圆.（ ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（ ）
（4）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（ ）
2.已知a＝，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为 .
3.椭圆＋＝1的焦距是 ，焦点坐标是 .
题型一 椭圆的定义
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆
通性通法
椭圆的定义在解题中的双向作用
椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
【跟踪训练】
1.甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（2024·济宁月考）若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为 .
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－6，0），F2（6，0），并且椭圆上一点P与两焦点的距离之和等于20；
（2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）；
（3）经过点A（，－2）和点B（－2，1）.
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；
（2）设方程：依据上述判断设出椭圆的方程；
（3）寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组；
（4）解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求.
提醒 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
【跟踪训练】
求满足过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程.
题型三 椭圆方程的简单应用
【例3】 （1）（2024·镇江月考）已知椭圆＋＝1的一个焦点为（2，0），则m＝（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
（2）已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 .
【母题探究】
（变条件）将本例（2）中的方程改为“＋＝1”，其他不变，试求实数m的取值范围.
通性通法
1.判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上.
2.对于方程＋＝1（m＞0，n＞0），当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆.
【跟踪训练】
1.若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A.（5，7） B.（5，6） C.（6，7） D.（5，6）∪（6，7）
2.（2024·济源质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距为4，则k＝ .
1.已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1
2.椭圆4y2＋x2＝1的焦距为（ ）
A. B.C.2 D.
3.如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＋c＝10，a－c＝4；
（2）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足b＝2.
第1课时 椭圆及其标准方程（一）
【基础知识·重落实】
知识点一
1.和 常数 4.2a ＞
知识点二
a2－b2
想一想
1.提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
2.提示：不一定，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小关系不确定.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.＋x2＝1 解析：b2＝a2－c2＝（）2－（2）2＝1，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3.16 （－8，0），（8，0） 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8.所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是（－8，0），（8，0）.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 选项A中，｜F1F2｜＝8，故平面内到F1，F2两点的距离之和等于常数8的点的轨迹是线段F1F2；选项B中，动点到F1，F2两点的距离之和等于6，小于｜F1F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C中，点（5，3）到点F1，F2的距离之和为＋＝4＞｜F1F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
跟踪训练
1.B 利用椭圆定义，若P点轨迹是椭圆，则｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a为常数），不能推出P点轨迹是椭圆，故选B.
2.7 解析：根据椭圆的定义知，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2×5＝10，因为｜PF1｜＝3，所以｜PF2｜＝7.
【例2】 解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝6，2a＝20，所以a＝10，b＝＝＝8，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
法一 由椭圆的定义知2a＝
＋
＝6＋＋6－＝12，解得a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3），所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
依题意有
解得
因为a＞b＞0，所以无解.
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练
解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（，－）在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【例3】 （1）A （2）（2，） 解析：（1）由题意得，a2＝m－2，b2＝10－m，故m－2－（10－m）＝4，解得m＝8.
（2）∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为＋＝1（a＞b＞0），∴｜m｜－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜，∴实数m的取值范围为（2，）.
母题探究
解：∵焦点在y轴上，∴m－1＞5－2m＞0，∴2＜m＜，∴实数m的取值范围为（2，）.
跟踪训练
1.D 由题意可知解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围是（5，6）∪（6，7）.
2.1或5 解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＋＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
随堂检测
1.B 由题意得解得m2＝9，n2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2.B 由椭圆的方程4y2＋x2＝1，得a2＝1，b2＝.又由c2＝a2－b2，得c2＝，解得c＝，所以焦距2c＝.故选B.
3.（0，1） 解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）.
4.解：（1）由a＋c＝10，a－c＝4，得a＝7，c＝3，所以b2＝a2－c2＝40.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
（2）由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又b＝2，所以b2＝20，a2＝25，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
3 / 3(共66张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用 数学运算
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭
圆的定义及标准方程 数学运算、
直观想象
第1课时
椭圆及其标准方程（一）
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②
所示.我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆
上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.
【问题】 （1）你能说说到底什么是椭圆吗？
（2）椭圆上任意一点的特征是什么？
知识点一 椭圆的定义
1. 定义：我们把平面内与两个定点 F1， F2的距离的 等于
（大于｜ F1 F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2. 焦点：两个定点 F1， F2.
3. 焦距：两焦点间的距离｜ F1 F2｜.
4. 符号表示：｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝ （常数）且2 a ｜
F1 F2｜.
和
常
数
2 a
＞
提醒 （1）当2 a ＝｜ F1 F2｜时，点的轨迹是线段 F1 F2；（2）当2
a ＜｜ F1 F2｜时，点的轨迹不存在.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准 方程
图形
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
焦点坐标 （－ c ，0），（ c ，0） （0，－ c ），（0，
c ）
a ， b ， c 的
关系 c2＝ 【想一想】
1. 从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2
项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
2. 在椭圆的标准方程中， a ＞ b ＞ c 一定成立吗？
提示：不一定，只需 a ＞ b ， a ＞ c 即可， b ， c 的大小关系不确定.
a2－ b2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足｜ PF1｜＋｜
PF2｜＝4，则点 P 的轨迹是椭圆. （ √ ）
（2）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足｜ PF1｜＋｜
PF2｜＝2，则点 P 的轨迹是椭圆. （ × ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝ b2
＋ c2. （ √ ）
（4）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲线是椭圆. （ × ）
√
×
√
×
2. 已知 a ＝ ， c ＝2 ，焦点在 y 轴上，则椭圆的标准方程为
.
解析： b2＝ a2－ c2＝（ ）2－（2 ）2＝1， b ＝1，所以椭圆的
标准方程为 ＋ x2＝1.
＋ x2＝1
3. 椭圆 ＋ ＝1的焦距是 ，焦点坐标是 .
16
解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在 x 轴上，且 a2＝100， b2＝36，所
以 c2＝ a2－ b2＝64，解得 c ＝8.所以焦距2 c ＝16，两焦点的坐标分
别是（－8，0），（8，0）.
（－8，0），（8，0）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 椭圆的定义
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A. 已知点 F1（－4，0）， F2（4，0），平面内到 F1， F2两点的距离
之和等于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知点 F1（－4，0）， F2（4，0），平面内到 F1， F2两点的距离
之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点 F1（－4，0）， F2（4，0）的距离之和等于点 M （5，
3）到点 F1， F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点 F1（－4，0）， F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是
椭圆
解析： 选项A中，｜ F1 F2｜＝8，故平面内到 F1， F2两点的距离之
和等于常数8的点的轨迹是线段 F1 F2；选项B中，动点到 F1， F2两点
的距离之和等于6，小于｜ F1 F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C
中，点（5，3）到点 F1， F2的距离之和为 ＋
＝4 ＞｜ F1 F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹
是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线段 F1 F2的垂直平分线.
通性通法
椭圆的定义在解题中的双向作用
椭圆的定义具有双向作用，即若｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝2 a （2 a
＞｜ F1 F2｜），则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到
两焦点的距离之和必为2 a .
【跟踪训练】
1. 甲：动点 P 到两定点 A ， B 的距离之和｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a （ a
＞0， a 为常数）；乙： P 点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 利用椭圆定义，若 P 点轨迹是椭圆，则｜ PA ｜＋｜
PB ｜＝2 a （ a ＞0， a 为常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，
若｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a （ a ＞0， a 为常数），不能推出 P 点轨迹
是椭圆，故选B.
2. （2024·济宁月考）若椭圆 ＋ ＝1上一点 P 到焦点 F1的距离为
3，则点 P 到另一焦点 F2的距离为 .
解析：根据椭圆的定义知，｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝2×5＝10，
因为｜ PF1｜＝3，所以｜ PF2｜＝7.
7
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为 F1（－6，0）， F2（6，0），并且椭圆
上一点 P 与两焦点的距离之和等于20；
解： 因为椭圆的焦点在 x 轴上，且 c ＝6，2 a ＝20，所以 a
＝10， b ＝ ＝ ＝8，所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
（2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3 ）；
解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0）.
法一 由椭圆的定义知2 a ＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，解得 a ＝6.
又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 .
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3 ＋ ＝1.
又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32，
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（3）经过点 A （ ，－2）和点 B （－2 ，1）.
解：法一 ①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1
（ a ＞ b ＞0）.
依题意有
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
依题意有
解得
因为 a ＞ b ＞0，所以无解.
综上，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝1（ m ＞0， n ＞0， m ≠ n ），
依题意有
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
通性通法
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，还
是两个坐标轴上都有可能；
（2）设方程：依据上述判断设出椭圆的方程；
（3）寻关系：依据已知条件，建立关于 a ， b ， c 的方程组；
（4）解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求.
提醒 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可
设所求椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝1（ m ＞0， n ＞0， m ≠ n ），
不必考虑焦点位置，用待定系数法求出 m ， n 的值即可.
【跟踪训练】
求满足过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭
圆的标准方程.
解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在 y 轴
上，且 c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16. ①
又点（ ，－ ＋ ＝1，
即 ＋ ＝1. ②
由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
题型三 椭圆方程的简单应用
【例3】 （1）（2024·镇江月考）已知椭圆 ＋ ＝1的一个焦
点为（2，0），则 m ＝（ A ）
A. 8 B. 7
C. 6 D. 5
解析： 由题意得， a2＝ m －2， b2＝10－ m ，故 m －2－
（10－ m ）＝4，解得 m ＝8.
A
（2）已知方程 ＋ ＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m
的取值范围为 .
解析： ∵椭圆焦点在 y 轴上，∴其标准方程应为 ＋ ＝
1（ a ＞ b ＞0），∴｜ m ｜－1＞5－2 m ＞0，解得2＜ m ＜ ，
∴实数 m 的取值范围为（2， ）.
（2， ）
【母题探究】
（变条件）将本例（2）中的方程改为“ ＋ ＝1”，其他不
变，试求实数 m 的取值范围.
解：∵焦点在 y 轴上，∴ m －1＞5－2 m ＞0，∴2＜ m ＜ ，∴实数 m
的取值范围为（2， ）.
通性通法
1. 判断焦点所在坐标轴的依据是看 x2项， y2项的分母哪个大，焦点在
分母大的坐标轴上.
2. 对于方程 ＋ ＝1（ m ＞0， n ＞0），当 m ＞ n ＞0时，方程表示
焦点在 x 轴上的椭圆；当 n ＞ m ＞0时，方程表示焦点在 y 轴上的椭
圆.特别地，当 n ＝ m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆.
【跟踪训练】
1. 若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则实数 k 的取值范围为（ ）
A. （5，7） B. （5，6）
C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7）
解析： 由题意可知解得5＜ k ＜7且 k ≠6，所以
实数 k 的取值范围是（5，6）∪（6，7）.
2. （2024·济源质检）已知椭圆方程为 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦
距为4，则 k ＝ .
解析：将方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为4，∴2 c ＝
4，即 c ＝2.当焦点在 x 轴上时，6－2 k ＝4，解得 k ＝1；当焦点在 y
轴上时，2 k －6＝4，解得 k ＝5.综上， k ＝1或5.
1或5
1. 已知点 A （－3，0）， B （0，2）在椭圆 ＋ ＝1上，则椭圆的
标准方程为（ ）
解析： 由题意得解得 m2＝9， n2＝4，所以椭圆的标
准方程为 ＋ ＝1.
2. 椭圆4 y2＋ x2＝1的焦距为（ ）
解析： 由椭圆的方程4 y2＋ x2＝1，得 a2＝1， b2＝ .又由 c2＝ a2
－ b2，得 c2＝ ，解得 c ＝ ，所以焦距2 c ＝ .故选B.
3. 如果 x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围
是 .
解析：椭圆的方程 x2＋ ky2＝2可化为 ＋ ＝1，∵ x2＋ ky2＝2表示
焦点在 y 轴上的椭圆，∴ ＞2，解得0＜ k ＜1.∴实数 k 的取值范围
是（0，1）.
（0，1）
4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） a ＋ c ＝10， a － c ＝4；
解： 由 a ＋ c ＝10， a － c ＝4，得 a ＝7， c ＝3，所以 b2
＝ a2－ c2＝40.
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
（2）与椭圆9 x2＋4 y2＝36有相同焦点，且满足 b ＝2 .
解： 由9 x2＋4 y2＝36可得 ＋ ＝1，
所以所求椭圆的焦点在 y 轴上，且 c2＝9－4＝5，又 b ＝2
，所以 b2＝20， a2＝25，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若椭圆 ＋ ＝1上一点 P 到焦点 F1的距离为6，则点 P 到另一个焦
点 F2的距离是（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 由椭圆的定义知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝2×5＝10，
则｜ PF2｜＝10－6＝4.
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2. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右焦点为 F （3，0），点（0，
－3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
解析： 由题意可得＋ ＝1.故选D.
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3. 已知椭圆4 x2＋ ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数 k ＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 椭圆方程可化为 x2＋ ＝1，由题意知解得
k ＝2.
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4. （2024·金华月考）设 F1， F2是椭圆 ＋ ＝1的两个焦点， P 是椭
圆上的点，且点 P 到两个焦点的距离之差为2，则△ PF1 F2是
（ ）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 等边三角形 D. 直角三角形
解析： 由椭圆的定义，知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝8.由题可
得｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2，则｜ PF1｜＝5，｜ PF2｜＝3或｜
PF1｜＝3，｜ PF2｜＝5.又｜ F1 F2｜＝2 c ＝4，所以△ PF1 F2为直角
三角形.
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5. （多选）（2024·周口月考）已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点，点
M 在椭圆 C 上，且△ F1 MF2是等边三角形，则椭圆 C 的方程可能为
（ ）
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解析： 因为△ F1 MF2是等边三角形，所以｜ MF1｜＝｜
MF2｜，所以点 M 是短轴端点，∠ MF1 F2＝60°，所以 ＝ sin 60°，
则 ＝ ，椭圆 C 的焦点可以在 x 轴或 y 轴上， ＋ ＝1， ＋
＝1， ＋ ＝1满足条件.故选A、C、D.
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6. （多选）对于曲线 C ： ＋ ＝1，下面四个说法中正确的是
（ ）
A. 曲线 C 不可能是椭圆
B. “1＜ k ＜4”是“曲线 C 是椭圆”的充分不必要条件
C. “曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3＜ k ＜4”的必要不充分条
件
D. “曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆”是“1＜ k ＜2.5”的充要条件
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解析： 当1＜ k ＜4且 k ≠2.5时，曲线 C 是椭圆，所以A错误；
当 k ＝2.5时，4－ k ＝ k －1，此时曲线 C 是圆，所以B错误；若曲线
C 是焦点在 y 轴上的椭圆，则解得2.5＜ k ＜4，所
以“曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3＜ k ＜4”的必要不充分
条件，所以C正确；若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则
解得1＜ k ＜2.5，所以D正确.故选C、D.
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7. 椭圆8 x2＋3 y2＝24的焦点坐标为 .
解析：将所给椭圆的方程化为标准方程得 ＋ ＝1，由8＞3，可
知椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2＝8， b2＝3，所以 c2＝ a2－ b2＝8－3
＝5， c ＝ .因此，椭圆的焦点坐标为（0，－ ），（0， ）.
（0，－ ），（0， ）
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8. 已知椭圆的焦点为（0，4），（0，－4），椭圆上一点到两焦点的
距离之和为10，则椭圆的标准方程为 .
解析：由已知，椭圆的焦点在 y 轴上，且 c ＝4，由椭圆定义得，2 a
＝10，则 a ＝5，则 b ＝3，从而椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
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9. 已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ m ＞0），并且焦距为6，则实
数 m 的值为 .
解析：∵2 c ＝6，∴ c ＝3.当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准
方程知 a2＝25， b2＝ m2.由 a2＝ b2＋ c2，得25＝ m2＋9，∴ m2＝16，
又 m ＞0，故 m ＝4.当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知
a2＝ m2， b2＝25.由 a2＝ b2＋ c2，得 m2＝25＋9＝34，又 m ＞0，故 m
＝ .综上可知，实数 m 的值为4或 .
4或
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10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在 x 轴上，中心为坐标原点，经过点（1， ），（0，
－ ）；
解： 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
由题意有
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）以点 F1（－1，0）， F2（1，0）为焦点，经过点 P （2， ）.
解： 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ m ＞ n ＞0），
焦距为2 c0.由题意有 c0＝1，｜ PF1｜＝ ＝ ，｜
PF2｜＝ ＝ ，
有 m ＝ ＝ ＝ ， n ＝ ＝2，
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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11. 已知椭圆过点 P （ ，－4）和点 Q （－ ，3），则此椭圆的标准
方程是（ ）
D. 以上都不对
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解析： 设经过点 P （ ，－4）和点 Q （－ ，3）的椭圆的方
程为 mx2＋ ny2＝1（ m ＞0， n ＞0， m ≠ n ），将 P ， Q 两点的坐标
代入得，∴所求椭圆的标准方程
为 x2＋ ＝1.
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12. （2024·开封月考）椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆
上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标为（ ）
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解析： ∵线段 PF1的中点 M 在 y 轴上且 O 是线段 F1 F2的中点
（ F2为椭圆的另一个焦点），∴ PF2⊥ x 轴，∴点 P 的横坐标是
±3，∵点 P 在椭圆上，∴ ＋ ＝1，即 y2＝ ，∴ y ＝± .∴点
M 的纵坐标为± .
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13. 已知 F1， F2是椭圆 C ： ＋ ＝1的两个焦点，点 M 在 C 上，则｜
MF1｜·｜ MF2｜的最大值为 .
解析：由椭圆 C ： ＋ ＝1，得｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝2×3＝6，
则｜ MF1｜·｜ MF2｜≤（ ）2＝32＝9，当且仅
当｜ MF1｜＝｜ MF2｜＝3时等号成立.
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14. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点 A （3，2）且与椭圆3 x2＋8 y2＝24有相同的焦点；
解： 椭圆方程3 x2＋8 y2＝24可化为 ＋ ＝1，
可得 c ＝ ，其焦点为（± ，0），
设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
将点 A （3，2）的坐标代入椭圆方程，可得 ＋ ＝1，
结合 a2－ b2＝5，解得 a ＝ ， b ＝ ，
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），四点 P1（1，1），
P2（0，1）， P3（－1， ）， P4（1， ）中恰有三点在
椭圆 C 上.
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解： 由题意，因为 P3， P4两点关于 y 轴对称，所以椭
圆 C 经过 P3， P4两点，
又由 P1（1，1）， P4（1， ）知，椭圆 C 不经过点 P1，
所以点 P2在椭圆 C 上，
因此
所以椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.
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15. （2024·泰安质检）在平面直角坐标系 Oxy 中，已知△ ABC 的顶点
A （－3，0）和 C （3，0），顶点 B 在椭圆 ＋ ＝1上，则
＝ .
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解析：由椭圆的方程得 a ＝5， b ＝4， c ＝3.∵△ ABC 的顶点 A （－
3，0）和 C （3，0），顶点 B 在椭圆 ＋ ＝1上，∴｜ BC ｜
＋｜ AB ｜＝2 a ＝10，∴由正弦定理可知 ＝
＝ ＝ .
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16. 如图，点 A 是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）与 y 轴负半轴的交
点，过 A 作斜率为1的直线 l 交椭圆于点 B ，若点 P 的坐标为（0，
1），且满足 BP ∥ x 轴， · ＝9，求椭圆 C 的方程.
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解：由题意得 A （0，－ b ），直线 AB 的方程为 y ＝ x － b ，
由 P （0，1）且 BP ∥ x 轴，得 B （1＋ b ，1），
所以 ＝（1＋ b ，1＋ b ）， ＝（0，1＋ b ），
因为 · ＝9，故0＋（1＋ b ）2＝9，
因为 b ＞0，于是 b ＝2，所以 B （3，1），
将 B （3，1）代入椭圆 ＋ ＝1，
得 ＋ ＝1，解得 a2＝12，故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
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谢 谢 观 看！
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16第2课时 椭圆及其标准方程（二）
1.在△ABC中，B（－2，0），C（2，0），｜AB｜＋｜AC｜＝6，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A.＋＝1（x≠±3） B.＋＝1（x≠±2）
C.＋＝1（x≠±3） D.＋＝1（x≠±2）
2.椭圆＋＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
3.（2024·厦门月考）已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P'，则PP'的中点M的轨迹方程是（ ）
A.4x2＋y2＝1 B.x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.x2＋＝1
4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
5.（2024·日照质检）点F是椭圆＋＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且｜ON｜＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.2
6.（多选）已知点F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
7.（2024·宁波月考）设P为椭圆C：＋＝1上的点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且｜PF1｜－｜PF2｜＝，则＝ .
8.已知△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，则顶点A的轨迹方程为 .
9.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝ .
10.如图，已知A，B是两定点，且｜AB｜＝2.动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，求当M变化时，动点P的轨迹方程.
11.已知椭圆C上任意一点P（x，y）都满足关系式＋＝4，则椭圆C的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
12.（多选）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为异于椭圆C与x轴的两个交点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2的面积的最大值为2
C.当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D.存在点P使得·＝0
13.已知点M是椭圆＋＝1上的动点，作MD⊥x轴，垂足为D.点P在线段MD上，且＝，当点M运动时，点P的轨迹方程为 .
14.（2024·汕头月考）已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点（－1，）.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
15.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1和圆B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为（ ）
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
16.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
（1）求△F1PF2的面积S；
（2）研究∠F1PF2的变化规律.
第2课时 椭圆及其标准方程（二）
1.A 在△ABC中，B（－2，0），C（2，0），｜AB｜＋｜AC｜＝6＞｜BC｜＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1（x≠±3）.
2.D 由椭圆＋＝1可得a＝5，b＝4，所以c＝＝＝3，令x＝0可得y＝±4，所以P（0，±4），所以△PF1F2的面积为×｜yP｜×｜F1F2｜＝×4×6＝12，故选D.
3.A 设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x＝，y＝y0.∵点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上，∴＋＝1，将x0＝2x，y0＝y代入，得4x2＋y2＝1.
4.C 由椭圆定义知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝8，故△ABF2的周长为｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝16.
5.A 如图所示，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.∵N为PF的中点，且｜ON｜＝2，∴｜PF1｜＝4.由椭圆方程可知，2a＝6，根据椭圆定义有｜PF｜＋｜PF1｜＝2a＝6，∴｜PF｜＝2.故选A.
6.ACD 结合选项可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），并设椭圆与y轴正半轴的交点为B.若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴｜BF1｜2＋｜BF2｜2≤｜F1F2｜2，即a2＋a2≤4c2.又c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，检验可得选项A、C、D满足.故选A、C、D.
7.2 解析：由椭圆方程，知a＝4.因为P为椭圆上的点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8.又因为｜PF1｜－｜PF2｜＝，所以｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以＝2.
8.＋＝1（x≠0） 解析：设顶点A的坐标为（x，y），则kAB＝（x≠0），kAC＝（x≠0）.依题意得·＝－（x≠0），化简可得顶点A的轨迹方程为＋＝1（x≠0）.
9. 解析：根据椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2c）2，又∵△PF1F2的面积为2，∴·｜PF1｜·｜PF2｜＝2，则｜PF1｜·｜PF2｜＝4，∴（2a）2＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2，由＋＝1可得b2＝a2－4，∴a2－4＝2，解得a＝.
10.解：设M（x，y），因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以｜PB｜＝｜PM｜，
即有｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA｜＋｜PM｜＝｜AM｜＝4＞｜AB｜，所以点P的轨迹是以A，B为焦点，焦距为2，长轴长为4的椭圆，则2a＝4，2c＝2，b2＝a2－c2＝3，故动点P的轨迹方程为＋＝1.
11.B 由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为（1，0），（－1，0），2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B.
12.AB 由椭圆C：＋＝1的方程可得a＝3，b＝，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝2，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以△PF1F2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝，故C错误；设P（x0，y0），则＋＝1，由·＝0可得＋＝4，从而＝－，＝，不成立，故D错误.故选A、B.
13.x2＋y2＝4 解析：设P（x，y），M（x0，y0），∴＋＝1.∵MD⊥x轴，P在MD上且＝，∴∴∴＋＝1，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
14.解：（1）由题意，知椭圆N的焦点为（－2，0），（2，0），
设椭圆M的方程为＋＝1（a＞b＞0），
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－（舍去），a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
（2）由（1）知F1（－2，0），F2（2，0），
设P（x0，y0），
则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1，
解得y0＝±.
又＋＝1，
所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为（，），（－，），（，－），（－，－）.
15.C 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
16.解：（1）如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.
由余弦定理，可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·（1＋cos 2θ）＝4c2，
∴｜PF1｜·｜PF2｜＝.
∴S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ.
（2）∵2θ为△PF1F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）.
令点P由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高在逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈（0，）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值.
2 / 2第2课时 椭圆及其标准方程（二）
题型一 与椭圆有关的轨迹问题
【例1】 （1）已知点A（－，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是－，则动点P的轨迹C的方程为 ；
（2）（2024·滨州月考）动圆P与定圆B：x2＋y2－4y－32＝0相内切，且过点A（0，－2），则动圆圆心P的轨迹方程为 .
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.
【跟踪训练】
1.若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），周长为18，则顶点C的轨迹方程为 .
2.（2024·潍坊月考）已知P是圆O：x2＋y2＝4上一动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝，则动点M的轨迹方程为 .
题型二 椭圆中的焦点三角形问题
【例2】 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
【母题探究】
（变条件）若将本例中“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积.
通性通法
1.椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
2.焦点三角形的常用公式
（1）焦点三角形的周长L＝2a＋2c；
（2）在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ（θ＝∠F1PF2）；
（3）焦点三角形的面积＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ（θ＝∠F1PF2）.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，则∠F1PF2＝ .
1.已知F1，F2为两定点，｜F1F2｜＝4，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
2.（2024·苏州月考）在△ABC中，三边a，b，c满足a＋c＝2b，A，C两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），则顶点B的轨迹方程为 .
3.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若｜PF1｜＝4，则｜PF2｜＝ ，∠F1PF2的大小为 .
4.若线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，｜AB｜＝6，点M是线段AB上一点，且｜AM｜＝2，求动点M的轨迹方程.
第2课时 椭圆及其标准方程（二）
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）＋y2＝1（x≠±）
（2）＋＝1 解析：（1）设P（x，y）（x≠±），由kAP·kBP＝·＝－，整理得＋y2＝1（x≠±）.故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1（x≠±）.
（2）设动圆P的半径为r，定圆B的方程可化为x2＋（y－2）2＝36.又动圆P过点A（0，－2），因此r＝｜PA｜.因为02＋（－2－2）2＝16＜36，所以点A（0，－2）在定圆B内.因为动圆P与定圆B：x2＋y2－4y－32＝0相内切，所以有｜PB｜＝6－r＝6－｜PA｜，则｜PB｜＋｜PA｜＝6，且｜AB｜＝4＜6，则点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b＝＝＝，故动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练
1.＋＝1（y≠0） 解析：∵△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），周长为18，∵｜AB｜＝8，∴｜BC｜＋｜AC｜＝10.∵｜BC｜＋｜AC｜＞8，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，除去直线AB上的点.∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是＋＝1（y≠0）.
2.＋y2＝1 解析：设M（x，y），P（x1，y1），则D（x1，0），由＝，得（x－x1，y）＝（0，y1），即x1＝x，y1＝2y，因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹方程为＋y2＝1.
【例2】 解：由已知得c＝3，所以｜F1F2｜＝6.
在△PF1F2中，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 60°.
即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜. ①
由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4.
即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜. ②
由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝.
母题探究
解：由椭圆＋＝1知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，
｜F1F2｜＝6，因为∠F1PF2＝90°，
所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝36.
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝3.
跟踪训练
90° 解析：因为｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，所以可设｜PF1｜＝4k，｜PF2｜＝3k.由题意可知3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，因为｜F1F2｜＝10，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝102＝｜F1F2｜2，所以∠F1PF2＝90°.
随堂检测
1.A 因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＞｜F1F2｜，所以动点M的轨迹是椭圆.故选A.
2.＋＝1（x≠±2） 解析：设点B的坐标为（x，y）.∵a＋c＝2b，即｜BC｜＋｜BA｜＝2｜AC｜，∴｜BC｜＋｜BA｜＝4.根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为＋＝1（x≠±2）.
3.2 120°
解析：∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，∴｜PF2｜＝6－｜PF1｜＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
4.解：设M（x，y），A（xA，0），B（0，yB）.
如图，由｜AB｜＝6，｜AM｜＝2，得＝，则（x－xA，y）＝（－xA，yB），
即得
又＋＝36，则动点M的轨迹方程为＋＝1.
1 / 2(共43张PPT)
第2课时
椭圆及其标准方程（二）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与椭圆有关的轨迹问题
【例1】 （1）已知点 A （－ ，0）， B （ ，0）， P 是平面内
的一个动点，直线 PA 与 PB 的斜率之积是－ ，则动点 P 的轨迹 C 的方
程为 ；
＋ y2＝1（ x ≠± ）
解析： 设 P （ x ， y ）（ x ≠± ），由 kAP · kBP ＝ · ＝－ ＋ y2＝1（ x ≠± ）.故动点 P 的轨迹 C 的方程为 ＋ y2＝1（ x ≠± ）.
（2）（2024·滨州月考）动圆 P 与定圆 B ： x2＋ y2－4 y －32＝0相内
切，且过点 A （0，－2），则动圆圆心 P 的轨迹方程为
.
＋
＝1
解析： 设动圆 P 的半径为 r ，定圆 B 的方程可化为 x2＋（ y
－2）2＝36.又动圆 P 过点 A （0，－2），因此 r ＝｜ PA ｜.因为
02＋（－2－2）2＝16＜36，所以点 A （0，－2）在定圆 B 内.因
为动圆 P 与定圆 B ： x2＋ y2－4 y －32＝0相内切，所以有｜ PB ｜
＝6－ r ＝6－｜ PA ｜，则｜ PB ｜＋｜ PA ｜＝6，且｜ AB ｜＝4
＜6，则点 P 的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆，且2 a ＝6，2 c ＝
4，即 a ＝3， c ＝2，所以 b ＝ ＝ ＝ ，故动圆
圆心 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
通性通法
求椭圆轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆
等）的定义，则可用定义法直接求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列
出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨
迹方程.
解析：∵△ ABC 的两个顶点坐标为 A （－4，0）， B （4，0），周
长为18，∵｜ AB ｜＝8，∴｜ BC ｜＋｜ AC ｜＝10.∵｜ BC ｜＋｜
AC ｜＞8，∴点 C 的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆，除去直线 AB 上
的点.∵2 a ＝10，2 c ＝8，∴ b ＝3.∴顶点 C 的轨迹方程是 ＋ ＝
1（ y ≠0）.
＋ ＝1（ y ≠0）
2. （2024·潍坊月考）已知 P 是圆 O ： x2＋ y2＝4上一动点，点 P 在 x 轴
上的射影是点 D ，点 M 满足 ＝ ，则动点 M 的轨迹方程
为 .
解析：设 M （ x ， y ）， P （ x1， y1），则 D （ x1，0），由 ＝
，得（ x － x1， y ）＝ （0， y1），即 x1＝ x ， y1＝2 y ，因为点
P 在圆 x2＋ y2＝4上，所以 x2＋4 y2＝4，故动点 M 的轨迹方程为 ＋
y2＝1.
＋ y2＝1
题型二 椭圆中的焦点三角形问题
【例2】 已知 P 为椭圆 ＋ ＝1上一点， F1， F2是椭圆的焦点，∠
F1 PF2＝60°，求△ F1 PF2的面积.
解：由已知得 c ＝3，所以｜ F1 F2｜＝6.
在△ PF1 F2中，｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜·｜
PF2｜· cos 60°.
即36＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－｜ PF1｜·｜ PF2｜. ①
由椭圆的定义得｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝4 .
即48＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＋2｜ PF1｜·｜ PF2｜. ②
由①②得｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4，
所以 ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin 60°＝ .
【母题探究】
（变条件）若将本例中“∠ F1 PF2＝60°”改为“∠ F1 PF2＝
90°”，求△ F1 PF2的面积.
解：由椭圆 ＋ ＝1知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝4 ，
｜ F1 F2｜＝6，因为∠ F1 PF2＝90°，
所以｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝｜ F1 F2｜2＝36.
所以｜ PF1｜·｜ PF2｜＝6，
所以 ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜＝3.
通性通法
1. 椭圆上的点 P （ x0， y0）（点 P 不在 x 轴上）与两焦点 F1， F2构成
的△ PF1 F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利
用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理等知识.
2. 焦点三角形的常用公式
（1）焦点三角形的周长 L ＝2 a ＋2 c ；
（2）在△ PF1 F2中，由余弦定理可得｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜
PF2｜2－2｜ PF1｜｜ PF2｜ cos θ（θ＝∠ F1 PF2）；
（3）焦点三角形的面积 ＝ ｜ PF1｜｜ PF2｜ sin θ（θ＝∠
F1 PF2）.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）设 F1， F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，
P 是椭圆上一点，且｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝4∶3，则∠ F1 PF2
＝ .
解析：因为｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝4∶3，所以可设｜ PF1｜＝4 k ，｜
PF2｜＝3 k .由题意可知3 k ＋4 k ＝2 a ＝14，所以 k ＝2，所以｜ PF1｜
＝8，｜ PF2｜＝6，因为｜ F1 F2｜＝10，｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝102
＝｜ F1 F2｜2，所以∠ F1 PF2＝90°.
90°
1. 已知 F1， F2为两定点，｜ F1 F2｜＝4，动点 M 满足｜ MF1｜＋｜
MF2｜＝6，则动点 M 的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 直线
C. 圆 D. 线段
解析： 因为｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝6＞｜ F1 F2｜，所以动点 M 的
轨迹是椭圆.故选A.
解析：设点 B 的坐标为（ x ， y ）.∵ a ＋ c ＝2 b ，即｜ BC ｜＋｜
BA ｜＝2｜ AC ｜，∴｜ BC ｜＋｜ BA ｜＝4.根据椭圆的定义易知，
点 B 的轨迹方程为 ＋ ＝1（ x ≠±2）.
＋ ＝1（ x ≠±2）
3. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上.
若｜ PF1｜＝4，则｜ PF2｜＝ ，∠ F1 PF2的大小为 .
解析：∵｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝6，∴｜ PF2｜
＝6－｜ PF1｜＝2.在△ F1 PF2中，由余弦定理得
cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝－ ，∴∠ F1 PF2＝120°.
2
120°
4. 若线段 AB 的两个端点分别在 x 轴， y 轴上滑动，｜ AB ｜＝6，点 M
是线段 AB 上一点，且｜ AM ｜＝2，求动点 M 的轨迹方程.
解：设 M （ x ， y ）， A （ xA ，0）， B （0， yB ）.
如图，由｜ AB ｜＝6，｜ AM ｜＝2，得 ＝ ，
则（ x － xA ， y ）＝ （－ xA ， yB ），即
又 ＋ ＝36，则动点 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ ABC 中， B （－2，0）， C （2，0），｜ AB ｜＋｜ AC ｜＝6，
则顶点 A 的轨迹方程是（ ）
解析： 在△ ABC 中， B （－2，0）， C （2，0），｜ AB ｜＋｜
AC ｜＝6＞｜ BC ｜＝4，则顶点 A 的轨迹满足椭圆的定义， a ＝3，
c ＝2， b ＝ ，所以顶点 A 的轨迹方程是 ＋ ＝1（ x ≠±3）.
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2. 椭圆 ＋ ＝1与 y 轴的交点为 P ，两个焦点为 F1， F2，则△ PF1 F2
的面积为（ ）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析： 由椭圆 ＋ ＝1可得 a ＝5， b ＝4，所以 c ＝
＝ ＝3，令 x ＝0可得 y ＝±4，所以 P （0，±4），所以△
PF1 F2的面积为 ×｜ yP ｜×｜ F1 F2｜＝ ×4×6＝12，故选D.
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3. （2024·厦门月考）已知圆 x2＋ y2＝1，从这个圆上任意一点 P 向 y 轴
作垂线，垂足为P'，则PP'的中点 M 的轨迹方程是（ ）
A. 4 x2＋ y2＝1
解析： 设点 M 的坐标为（ x ， y ），点 P 的坐标为（ x0， y0），
则 x ＝ ， y ＝ y0.∵点 P （ x0， y0）在圆 x2＋ y2＝1上，∴ ＋ ＝
1，将 x0＝2 x ， y0＝ y 代入，得4 x2＋ y2＝1.
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4. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1的直线 l
交椭圆于 A ， B 两点，则△ ABF2的周长是（ ）
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
解析： 由椭圆定义知，｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝｜ BF1｜＋｜
BF2｜＝2 a ＝8，故△ ABF2的周长为｜ AB ｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜
＝｜ AF1｜＋｜ BF1｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝16.
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5. （2024·日照质检）点 F 是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，点 P 在椭圆
上，线段 PF 的中点为 N ，且｜ ON ｜＝2（ O 为坐标原点），则线
段 PF 的长为（ ）
A. 2 B. 3
解析： 如图所示，不妨设 F 为左焦点， F1为右焦
点，连接 PF1.∵ N 为 PF 的中点，且｜ ON ｜＝2，
∴｜ PF1｜＝4.由椭圆方程可知，2 a ＝6，根据椭圆
定义有｜ PF ｜＋｜ PF1｜＝2 a ＝6，∴｜ PF ｜＝2.
故选A.
C. 4
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6. （多选）已知点 F1， F2为椭圆 C 的两个焦点，椭圆 C 上存在点 P ，
使得∠ F1 PF2＝90°，则椭圆 C 的方程可以是（ ）
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解析： 结合选项可设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
并设椭圆与 y 轴正半轴的交点为 B . 若椭圆 C 上存在点 P ，使得∠ F1
PF2＝90°，则需∠ F1 BF2≥90°，∴｜ BF1｜2＋｜ BF2｜2≤｜ F1 F2｜
2，即 a2＋ a2≤4 c2.又 c2＝ a2－ b2，∴ a2≥2 b2，检验可得选项A、
C、D满足.故选A、C、D.
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7. （2024·宁波月考）设 P 为椭圆 C ： ＋ ＝1上的点， F1， F2分别
为椭圆 C 的左、右焦点，且｜ PF1｜－｜ PF2｜＝ ，则
＝ .
解析：由椭圆方程，知 a ＝4.因为 P 为椭圆上的点，所以｜ PF1｜
＋｜ PF2｜＝2 a ＝8.又因为｜ PF1｜－｜ PF2｜＝ ，所以｜ PF1｜
＝ ，｜ PF2｜＝ ＝2.
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8. 已知△ ABC 的两个顶点坐标分别是 B （0，6）和 C （0，－6），边
AB ， AC 所在直线的斜率的乘积是－ ，则顶点 A 的轨迹方程
为 .
解析：设顶点 A 的坐标为（ x ， y ），则 kAB ＝ （ x ≠0）， kAC ＝
（ x ≠0）.依题意得 · ＝－ （ x ≠0），化简可得顶点 A
的轨迹方程为 ＋ ＝1（ x ≠0）.
＋ ＝1（ x ≠0）
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9. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，若在椭圆上存
在点 P 使得 PF1⊥ PF2，且△ PF1 F2的面积是2，则 a ＝ .
解析：根据椭圆定义知｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ，由 PF1⊥ PF2，得
△ PF1 F2为直角三角形，∴｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝（2 c ）2，又∵△
PF1 F2的面积为2，∴ ·｜ PF1｜·｜ PF2｜＝2，则｜ PF1｜·｜ PF2｜
＝4，∴（2 a ）2＝（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2
＋2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4 c2＋8，可得 a2－ c2＝2＝ b2，由 ＋
＝1可得 b2＝ a2－4，∴ a2－4＝2，解得 a ＝ .
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10. 如图，已知 A ， B 是两定点，且｜ AB ｜＝2.动点 M 到点 A 的距离
是4，线段 MB 的垂直平分线 l 交 MA 于点 P ，若以 AB 所在直线为 x
轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，求当 M 变化时，动点 P 的轨迹方程.
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解：设 M （ x ， y ），因为线段 MB 的垂直平分线 l 交 MA 于点 P ，
所以｜ PB ｜＝｜ PM ｜，
即有｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝｜ PA ｜＋｜ PM ｜＝｜ AM ｜＝4＞｜
AB ｜，所以点 P 的轨迹是以 A ， B 为焦点，焦距为2，长轴长为4
的椭圆，则2 a ＝4，2 c ＝2， b2＝ a2－ c2＝3，故动点 P 的轨迹方程
为 ＋ ＝1.
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11. 已知椭圆 C 上任意一点 P （ x ， y ）都满足关系式
＋ ＝4，则椭圆 C 的标准方程
为（ ）
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解析： 由题可知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，其坐标分别为（1，
0），（－1，0），2 a ＝4，故 a ＝2， c ＝1， b2＝3，所以椭圆 C
的标准方程为 ＋ ＝1，故选B.
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12. （多选）已知 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1的左、右焦点， P
为异于椭圆 C 与 x 轴的两个交点的动点，则下列结论正确的是
（ ）
A. △ PF1 F2的周长为10
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解析： 由椭圆 C ： ＋ ＝1的方程可得 a ＝3， b ＝ ， c
＝2，△ PF1 F2的周长为2 a ＋2 c ＝10，故A正确；当点 P 位于 y 轴
与椭圆 C 的交点时，△ PF1 F2的面积最大，最大值为 ×2 c × b ＝2
，故B正确；当∠ F1 PF2＝60°时，由余弦定理可得｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16，所以（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－3｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16，所以（2 a ）2－3｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16，可得｜ PF1｜·｜ PF2｜＝ ，所以△ PF1 F2的面积为 ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin 60°＝ ，故C错误；设 P （ x0， y0），则 ＋ ＝1，由 · ＝0可得 ＋ ＝4，从而 ＝－ ＝ ，不成立，故D错误.故选A、B.
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13. 已知点 M 是椭圆 ＋ ＝1上的动点，作 MD ⊥ x 轴，垂足为 D . 点
P 在线段 MD 上，且 ＝ ，当点 M 运动时，点 P 的轨迹方程
为 .
解析：设 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），∴ ＋ ＝1.∵ MD ⊥ x
轴， P 在 MD 上且 ＝ ，∴∴∴ ＋
＝1，即点 P 的轨迹方程为 x2＋ y2＝4.
x2＋ y2＝4
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14. （2024·汕头月考）已知椭圆 M 与椭圆 N ： ＋ ＝1有相同的焦
点，且椭圆 M 过点（－1， ）.
（1）求椭圆 M 的标准方程；
解：由题意，知椭圆 N 的焦点为（－2，0），（2，0），
设椭圆 M 的方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
则化简并整理得5 b4＋11 b2－16＝0，
故 b2＝1或 b2＝－ （舍去）， a2＝5，
故椭圆 M 的标准方程为 ＋ y2＝1.
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（2）设椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆 M 上，且
△ PF1 F2的面积为1，求点 P 的坐标.
解： 由（1）知 F1（－2，0）， F2（2，0），
设 P （ x0， y0），则△ PF1 F2的面积为 ×4×｜ y0｜＝1，
解得 y0＝± .又 ＋ ＝1，
所以 ＝ ， x0＝± ，
所以点 P 有4个，它们的坐标分别为（ ），（－ ），（ ，－ ），（－ ，－ ）.
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15. 设 P 是椭圆 ＋ ＝1上一点， M ， N 分别是圆 A ：（ x ＋4）2＋
y2＝1和圆 B ：（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜＋｜ PN ｜的
最小值、最大值分别为（ ）
A. 9，12 B. 8，11
C. 8，12 D. 10，12
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解析： 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆
圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义
知｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a ＝10，连接 PA ，
PB ，分别与左、右两圆相交于 M ， N 两点，设 r 为两圆的半径，此时｜ PM ｜＋｜ PN ｜最小，最小值为｜ PA ｜＋｜ PB ｜－2 r ＝8.延长 PA ， PB ，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜ PM ｜＋｜ PN ｜最大，最大值为｜ PA ｜＋｜ PB ｜＋2 r ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
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16. 已知椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 P 在椭圆 E 上，∠ F1 PF2＝2θ.
（1）求△ F1 PF2的面积 S ；
解： 如图所示，由椭圆的定义，可
得｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a .
由余弦定理，可得｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2
＋｜ PF2｜2－2·｜ PF1｜·｜ PF2｜· cos 2θ＝
（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－2·｜ PF1｜·｜ PF2｜－2·｜ PF1｜·｜ PF2｜· cos 2θ＝4 a2－2｜ PF1｜·｜ PF2｜·（1＋ cos 2θ）＝4 c2，
∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝ .
∴ S ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin 2θ＝ · · sin 2θ＝ · b2＝ b2·tan θ.
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（2）研究∠ F1 PF2的变化规律.
解： ∵2θ为△ PF1 F2的内角，∴2θ∈（0，π），即θ∈
（0， ）.
令点 P 由点 A 向点 B 运动，则△ PF1 F2的边 F1 F2不变，但 F1
F2上的高在逐渐增大，故 S 逐渐变大，从而tan θ逐渐变大，
由θ∈（0， ）可知，θ也逐渐变大.由此可见，点 P 的纵坐
标的绝对值越大，2θ也越大，当点 P 与点 B 重合时，∠ F1
PF2达到最大值.
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谢 谢 观 看！
