第1课时 椭圆的简单几何性质
1.椭圆6x2＋y2＝6的短轴端点坐标为（ ）
A.（－1，0），（1，0） B.（－6，0），（6，0）
C.（0，－1），（0，1） D.（0，－6），（0，6）
2.已知椭圆的离心率为，焦点是（－3，0）和（3，0），则椭圆方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.若点（3，2）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2），（3，－2），（－3，2）是否在椭圆上
4.（2024·焦作月考）已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ）
A.＋y2＝1 B.＋x2＝1
C.x2＋＝1 D.x2＋＝1
5.（多选）（2024·镇江月考）若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为（0，1），则下列关于椭圆C的结论中正确的有（ ）
A.m＝2 B.长轴长为
C.短轴长为2 D.离心率为
6.（多选）已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1（k＜9且k≠0），下列说法正确的是（ ）
A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆
B.两曲线的焦距相等
C.两曲线有相同的焦点
D.两曲线的离心率相等
7.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则 更扁（填序号）.
8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为 .
9.（2024·广州质检）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 .
10.焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P（，1）在椭圆上.
（1）求m的值；
（2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
11.设F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆C的方程为＋x2＝1
B.椭圆C的方程为＋y2＝1
C.｜PQ｜＝
D.△PF2Q的周长为4
13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为 cm，短轴长为 cm，离心率为 .
14.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P.
（1）若∠F1PF2为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围.
15.（2024·南京质检）如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝ .
16.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜.
（1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜；
（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.
第1课时 椭圆的简单几何性质
1.A ∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，∴b2＝1，且焦点在y轴上，∴短轴端点坐标为（－1，0），（1，0）.
2.A 由题意知椭圆的焦点在x轴上，c＝3，＝，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为＋＝1.
3.C 点（－3，2）与（3，2）关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C.
4.D 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则c2＝a2－b2＝（）2＝3，且a＝2b，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选D.
5.ACD 由已知可得＝1，解得m＝2或m＝－1（舍去），∴椭圆C的方程为＋＝1.∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，则c＝1.∴长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率为e＝＝＝.故选A、C、D.
6.ABC ∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2×＝8，曲线C2的焦距为2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝，曲线C2的离心率e2＝，故D不正确.故选A、B、C.
7.① 解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1＞e2，故①更扁.
8.（2，4] 解析：∵e＝，b＝1，0＜e≤，∴≤，则1＜a≤2，∴2＜2a≤4，即长轴长的取值范围是（2，4].
9. 解析：法一 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°，可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝·，变形可得（a2－c2）＝2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）＝2e，解得e＝或e＝－（舍去）.
法二 由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
10.解：（1）由题意，点P（，1）在椭圆上，代入得＋＝1，解得m＝2.
（2）由（1）知，椭圆方程为＋＝1，
则a＝2，b＝，c＝，
椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2；
焦距2c＝2；离心率e＝＝.
11.D 由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝与x轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选D.
12.ACD 由已知得，2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋＝1，如图.∴｜PQ｜＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.故选A、C、D.
13.8 12 解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8（cm），则c2＝（4）2－62＝12，∴c＝2，∴离心率e＝＝.
14.解：（1）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，
所以b＝c，a＝c，又因为焦距为2，所以c＝1，a＝，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，
所以45°＜∠OPF2＜90°（O为坐标原点），
所以sin∠OPF2＝∈（，1），
所以椭圆C的离心率的取值范围为（，1）.
15.35 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.
16.解：（1）由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，
故｜AF2｜＝8－3＝5.
（2）设｜F1B｜＝k，k＞0，则｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k.
由椭圆定义可得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋｜BF2｜2－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos∠AF2B，
即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－（2a－3k）（2a－k）.
化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k.
因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
1 / 23.1.2 椭圆的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 直观想象、数学运算
第1课时 椭圆的简单几何性质
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的几何性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1（－a，0），A2（a，0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0）
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝
焦点 F1（－c，0），F2 F1（0，－c），F2
焦距 ｜F1F2｜＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心
离心率 e＝ （0＜e＜1）
【想一想】
1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？
2.椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？
3.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（ ）
（2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（ ）
（3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（ ）
2.（多选）关于椭圆C：＋y2＝1，下列结论正确的是（ ）
A.对称中心为原点
B.长轴长为4
C.焦距为2
D.短轴长为1
3.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0），（0，2），则此椭圆的方程是 .
4.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ .
题型一 由椭圆标准方程研究几何性质
【例1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论；
（3）求出a，b，c；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
【跟踪训练】
（多选）（2024·临沂月考）关于椭圆4x2＋3y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A.离心率为
B.长轴长是2
C.焦点在y轴上
D.焦点坐标为（－1，0），（1，0）
题型二 由椭圆几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
（2）过点（3，0），离心率e＝.
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数；
（4）写出椭圆的标准方程.
【跟踪训练】
分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
（2）已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
题型三 椭圆的离心率问题
【例3】 （1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（ ）
A. B. C. D.
（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
通性通法
求椭圆离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值（范围）.
【跟踪训练】
1.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于 .
2.（2024·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 .
1.已知椭圆C：＋＝1，则长轴的端点为（ ）
A.（3，0），（－3，0）
B.（0，3），（0，－3）
C.（0，2），（0，－2）
D.（2，0），（－2，0）
2.已知椭圆C：＋＝1（a＞0）的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.（2024·淄博月考）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标为 .
4.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.求：
（1）这个椭圆的离心率；
（2）这个椭圆的标准方程.
第1课时 椭圆的简单几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
2a 2b （c，0） （0，c） 2c （0，0）
想一想
1.提示：能.e＝.
2.提示：越圆.
3.提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.ABC 易知A中结论正确；因为椭圆C：＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝.长轴长为2a＝4，故B中结论正确；焦距为2c＝2，故C中结论正确；短轴长为2b＝2，故D中结论错误.
3.＋＝1 解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.
4. 解析：a＝，c＝，＝，m＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：把已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，
所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，
两个焦点坐标分别是（－，0），（，0），
四个顶点坐标分别是（－4，0），（4，0），（0，－3），（0，3）.
跟踪训练
AC 将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，所以该椭圆的焦点在y轴上，故C正确；焦点坐标为（0，－1），（0，1），故D错误；a＝2，长轴长是4，故B错误；因为a＝2，b＝，所以c＝1，离心率e＝＝，故A正确.故选A、C.
【例2】 解：（1）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）.
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练
解：（1）由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
（2）由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2.
∴a2＝144，b2＝80，
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【例3】 （1）A （2）A 解析：（1）法一 由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
法二 代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）如图，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
跟踪训练
1. 解析：根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9.又a2－b2＝c2，所以或（舍），故e＝＝.
2.［，1） 解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是［，1）.
随堂检测
1.A 因为椭圆C的方程为＋＝1，所以a＝3，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为（3，0），（－3，0）.故选A.
2.C 因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，解得a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
3.（±，0） 解析：在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点（2，0），交y轴于点（0，1），依题意得a＝2，b＝1，则c＝＝，显然，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标是（±，0）.
4.解：由题意知2a＋2b＝18，2c＝6.
又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.
（1）离心率e＝＝.
（2）因为椭圆的焦点位置不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
3 / 4(共63张PPT)
3.1.2
椭圆的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，
进一步体会数形结合的思想 直观想象、数学
运算
第1课时
椭圆的简单几何性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常
出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的几何性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准 方程
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
顶点 A1（－ a ，0）， A2（ a ，
0）， B1（0，－ b ）， B2（0， b ） A1（0，－ a ）， A2（0，a ），
B1（－ b ，0）， B2（ b ，0）
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝ 焦点 F1（－ c ，0），F2 F1（0，－ c ）， F2
焦距 ｜ F1 F2｜＝ 对称性 对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心 离心率 e ＝ （0＜ e ＜1） 2 a
2 b
（ c ， 0）
（0， c ）
2 c
（0，0）
1. 能用 a ， b 表示椭圆离心率 e 吗？
提示：能. e ＝ .
2. 椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆吗？
提示：越圆.
3. 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点 B1和 B2到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1和 A2到中
心 O 的距离最远.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的长轴长等于 a . （ × ）
（2）椭圆 ＋ ＝1的离心率 e ＝ . （ × ）
（3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个
顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，± ）.
（ √ ）
×
×
√
2. （多选）关于椭圆 C ： ＋ y2＝1，下列结论正确的是（ ）
A. 对称中心为原点 B. 长轴长为4
D. 短轴长为1
解析：ABC 易知A中结论正确；因为椭圆 C ： ＋ y2＝1，所以 a
＝2， b ＝1， c ＝ .长轴长为2 a ＝4，故B中结论正确；焦距为2 c
＝2 ，故C中结论正确；短轴长为2 b ＝2，故D中结论错误.
3. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，
0），（0，2），则此椭圆的方程是 .
＋ ＝1
解析：由已知 a ＝4， b ＝2，椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆方程是
＋ ＝1.
4. 若焦点在 y 轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则 m ＝ .
解析： a ＝ ， c ＝ ＝ ， m ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由椭圆标准方程研究几何性质
【例1】 求椭圆9 x2＋16 y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点
坐标和顶点坐标.
解：把已知椭圆方程化成标准方程为 ＋ ＝1，
所以 a ＝4， b ＝3， c ＝ ＝ ，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2 a ＝8和2 b ＝6，
离心率 e ＝ ＝ ，
两个焦点坐标分别是（－ ，0），（ ，0），
四个顶点坐标分别是（－4，0），（4，0），（0，－3），（0，3）.
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论；
（3）求出 a ， b ， c ；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是 a ， b ， c ，而应是 a ， b ， c
的两倍.
【跟踪训练】
（多选）（2024·临沂月考）关于椭圆4 x2＋3 y2＝12有以下结论，其
中正确的有（ ）
C. 焦点在 y 轴上 D. 焦点坐标为（－1，0），（1，0）
解析： 将椭圆方程化为标准方程为 ＋ ＝1，所以该椭圆的焦
点在 y 轴上，故C正确；焦点坐标为（0，－1），（0，1），故D错
误； a ＝2，长轴长是4，故B错误；因为 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝1，
离心率 e ＝ ＝ ，故A正确.故选A、C.
题型二 由椭圆几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦
距为6；
解： 依题意可设椭圆方程为 ＋ ＝1（ a
＞ b ＞0）.
如图所示，△ A1 FA2为等腰直角三角形， OF 为斜
边 A1 A2的中线（高），且｜ OF ｜＝ c ，｜ A1
A2｜＝2 b ，
所以 c ＝ b ＝3，
所以 a2＝ b2＋ c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（3，0），离心率 e ＝ .
解： 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0），
由题意，得 a ＝3，
因为 e ＝ ，所以 c ＝ ，从而 b2＝ a2－ c2＝3，所以椭圆的标
准方程为 ＋ ＝1；
当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a
＞ b ＞0），
由题意，得 b ＝3，
因为 e ＝ ＝ ，
把 b ＝3代入，得 a2＝27，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参
数；
（4）写出椭圆的标准方程.
【跟踪训练】
分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦
距为8；
解： 由题意知，2 c ＝8， c ＝4，
∴ e ＝ ＝ ＝ ，
∴ a ＝8，从而 b2＝ a2－ c2＝48，
∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
（2）已知椭圆的离心率为 e ＝ ，短轴长为8 .
解： 由 e ＝ ＝ 得 c ＝ a ，
又2 b ＝8 ， a2＝ b2＋ c2.
∴ a2＝144， b2＝80，
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
题型三 椭圆的离心率问题
【例3】 （1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆 C1： ＋ y2＝1（ a ＞
1）， C2： ＋ y2＝1的离心率分别为 e1， e2，若 e2＝ e1，则 a ＝
（ A ）
A
解析： 法一 由题意知 e1＝ ， e2＝ ＝ ，因为
e2＝ e1，所以 ＝ × ，得 a ＝ .故选A.
法二 代入验证，若 a ＝ ，则 e1＝ ＝ ＝ ，
又 e2＝ ，所以 e2＝ e1，所以 a ＝ 符合题意，由于是单选
题，故选A.
（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该
椭圆的离心率为（ A ）
A
解析：如图，△ BF1 F2是正三角形，∵在Rt△ OBF2
中，｜ OF2｜＝ c ，｜ BF2｜＝ a ，∠ OF2 B ＝60°，
∴ cos 60°＝ ＝ ，即椭圆的离心率 e ＝ ，故选A.
通性通法
求椭圆离心率的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e ＝ 求解.若已知 a ， b 或 b ，
c 可借助于 a2＝ b2＋ c2求出 c 或 a ，再代入公式 e ＝ 求解；
（2）方程法：若 a ， c 的值不可求，则可根据条件建立 a ， b ， c 的关
系式，借助于 a2＝ b2＋ c2，转化为关于 a ， c 的齐次方程或不等
式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的
方程或不等式，即可求得 e 的值（范围）.
解析：根据题意得2 b ＝6， a ＋ c ＝9或 a － c ＝9.又 a2－ b2＝ c2，所
以（舍），故 e ＝ ＝ .
2. （2024·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心
率的取值范围为 .
解析：依题意可得2 c ≥2 b ，即 c ≥ b .所以 c2≥ b2，从而 c2≥ a2－
c2，即2 c2≥ a2， e2＝ ≥ ，所以 e ≥ .又因为0＜ e ＜1，所以椭
圆离心率的取值范围是［ ，1）.
［ ，1）
1. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1，则长轴的端点为（ ）
A. （3，0），（－3，0）
B. （0，3），（0，－3）
解析： 因为椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1，所以 a ＝3，且焦点在 x
轴上，所以长轴的端点为（3，0），（－3，0）.故选A.
2. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞0）的一个焦点为（2，0），则 C 的
离心率为（ ）
解析： 因为椭圆 C 的一个焦点为（2，0），所以 c ＝2，所以 a2
＝4＋4＝8，解得 a ＝2 ，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝ .
3. （2024·淄博月考）已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）有两个顶点在
直线 x ＋2 y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标为 .
解析：在 x ＋2 y ＝2中，由 y ＝0得 x ＝2，由 x ＝0得 y ＝1，则该直线
交 x 轴于点（2，0），交 y 轴于点（0，1），依题意得 a ＝2， b ＝
1，则 c ＝ ＝ ，显然，椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆
的焦点坐标是（± ，0）.
（± ，0）
4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为
6.求：
（1）这个椭圆的离心率；
（2）这个椭圆的标准方程.
解：因为椭圆的焦点位置不确定，所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1或 ＋ ＝1.
（1）离心率 e ＝ ＝ .
解：由题意知2 a ＋2 b ＝18，2 c ＝6.
又 a2＝ b2＋ c2，所以 a ＝5， b ＝4， c ＝3.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 椭圆6 x2＋ y2＝6的短轴端点坐标为（ ）
A. （－1，0），（1，0） B. （－6，0），（6，0）
C. （0，－1），（0，1） D. （0，－6），（0，6）
解析： ∵椭圆方程化为标准式为 ＋ x2＝1，∴ b2＝1，且焦点
在 y 轴上，∴短轴端点坐标为（－1，0），（1，0）.
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2. 已知椭圆的离心率为 ，焦点是（－3，0）和（3，0），则椭圆方
程为（ ）
解析： 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上， c ＝3， ＝ ，则 a ＝6，
∴ b2＝ a2－ c2＝27，∴椭圆方程为 ＋ ＝1.
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3. 若点（3，2）在椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上，则（ ）
A. 点（－3，－2）不在椭圆上
B. 点（3，－2）不在椭圆上
C. 点（－3，2）在椭圆上
D. 无法判断点（－3，－2），（3，－2），（－3，2）是否在椭圆上
解析：C 点（－3，2）与（3，2）关于 y 轴对称，由椭圆的对称
性可知，选C.
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4. （2024·焦作月考）已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距为2 ，且长轴
长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ）
解析： 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设椭圆方程为 ＋ ＝1
（ a ＞ b ＞0），则 c2＝ a2－ b2＝（ ）2＝3，且 a ＝2 b ，解得 a2＝
4， b2＝1，所以椭圆的标准方程为 x2＋ ＝1.故选D.
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5. （多选）（2024·镇江月考）若椭圆 C ： ＋ ＝1的一个焦点坐
标为（0，1），则下列关于椭圆 C 的结论中正确的有（ ）
A. m ＝2
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解析： 由已知可得 ＝1，解得 m ＝2或 m ＝－1
（舍去），∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.∴ a2＝3， b2＝2，即 a ＝
， b ＝ ，则 c ＝1.∴长轴长为2 a ＝2 ，短轴长为2 b ＝2
，离心率为 e ＝ ＝ ＝ .故选A、C、D.
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6. （多选）已知曲线 C1： ＋ ＝1与曲线 C2： ＋ ＝1（ k ＜
9且 k ≠0），下列说法正确的是（ ）
A. 两条曲线都是焦点在 x 轴上的椭圆
B. 两曲线的焦距相等
C. 两曲线有相同的焦点
D. 两曲线的离心率相等
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解析： ∵ k ＜9，∴25－ k ＞9－ k ＞0，又25＞9＞0，∴两曲
线都是焦点在 x 轴上的椭圆，故A正确；曲线 C1的焦距为2×
＝8，曲线 C2的焦距为2 ＝8，故B、
C正确；曲线 C1的离心率 e1＝ ，曲线 C2的离心率 e2＝ ，故D
不正确.故选A、B、C.
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7. 比较椭圆① x2＋9 y2＝36与② ＋ ＝1的形状，则 更扁（填
序号）.
解析： x2＋9 y2＝36化为标准方程为 ＋ ＝1，故离心率 e1＝
＝ ＋ ＝1的离心率 e2＝ .因为 e1＞ e2，故①更扁.
①
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8. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜ e ≤ ，则长轴长的取值范围
为 .
解析：∵ e ＝ ， b ＝1，0＜ e ≤ ，∴ ≤ ，
则1＜ a ≤2，∴2＜2 a ≤4，即长轴长的取值范围是（2，4].
（2，4]
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解析：法一 由 PF2⊥ F1 F2可知 P 点的横坐标为 c ，将 x ＝ c 代入椭
圆方程可解得 y ＝± ，所以｜ PF2｜＝ .又由∠ PF1 F2＝30°，可
得｜ F1 F2｜＝ ｜ PF2｜，故2 c ＝ · （ a2－
c2）＝2 ac ，等式两边同除以 a2，得 （1－ e2）＝2 e ，解得 e ＝
或 e ＝－ （舍去）.
9. （2024·广州质检）设椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦
点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点， PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2＝30°，则
C 的离心率为 .
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法二 由题意可设｜ PF2｜＝ m ，结合条件可知｜ PF1｜＝2 m ，｜ F1
F2｜＝ m ，故离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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10. 焦点在 x 轴上的椭圆的方程为 ＋ ＝1，点 P （ ，1）在
椭圆上.
（1）求 m 的值；
解： 由题意，点 P （ ，1）在椭圆上，代入得
＋ ＝1，解得 m ＝2.
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（2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
解： 由（1）知，椭圆方程为 ＋ ＝1，
则 a ＝2， b ＝ ， c ＝ ，
椭圆的长轴长2 a ＝4；短轴长2 b ＝2 ；
焦距2 c ＝2 ；离心率 e ＝ ＝ .
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11. 设 F1， F2分别为椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，若
直线 x ＝ 上存在点 P ，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心
率的取值范围是（ ）
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解析： 由垂直平分线的性质知｜ F1 F2｜＝｜ PF2｜，设直线 x
＝ 与 x 轴的交点为 M ，则｜ PF2｜≥｜ F2 M ｜，即｜ F1 F2｜
≥｜ F2 M ｜，则2 c ≥ － c ，即3 c2≥ a2，所以 e2＝ ≥ ，又0＜
e ＜1，所以 ≤ e ＜1.故选D.
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12. （多选）已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1， F2在 y 轴上，短
轴长等于2，离心率为 ，过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P ，
Q 两点，则下列说法正确的是（ ）
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解析： 由已知得，2 b ＝2， b ＝1， ＝ ，又
a2＝ b2＋ c2，解得 a2＝3.∴椭圆方程为 x2＋ ＝1，如
图.∴｜ PQ ｜＝ ＝ ＝ ，△ PF2 Q 的周长为4 a
＝4 .故选A、C、D.
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13. 如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为 cm，
短轴长为 cm，离心率为 .
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解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为 ＝8
（cm），则 c2＝（4 ）2－62＝12，∴ c ＝2 ，∴离心率 e ＝
＝ .
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14. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2，短轴的一个端点为 P .
（1）若∠ F1 PF2为直角，焦距为2，求椭圆 C 的标准方程；
解： 因为椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的
一个端点为 P ，且∠ F1 PF2为直角，
所以 b ＝ c ， a ＝ c ，又因为焦距为2，所以 c ＝1， a ＝
， b ＝1，
所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ y2＝1.
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（2）若∠ F1 PF2为钝角，求椭圆 C 的离心率的取值范围.
解： 因为椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1， F2，短轴的
一个端点为 P ，且∠ F1 PF2为钝角，
所以45°＜∠ OPF2＜90°（ O 为坐标原点），
所以 sin ∠ OPF2＝ ∈（ ，1），
所以椭圆 C 的离心率的取值范围为（ ，1）.
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15. （2024·南京质检）如图，把椭圆 ＋ ＝1的长轴（线段 AB ）分
成8等份，过每个分点作 x 轴的垂线，分别交椭圆于 P1， P2，
P3，…， P7七个点， F 是椭圆的左焦点，则｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜
＋…＋｜ P7 F ｜＝ .
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解析：由椭圆的对称性及定义，知｜ P1 F ｜＋｜ P7 F ｜＝2 a ，｜
P2 F ｜＋｜ P6 F ｜＝2 a ，｜ P3 F ｜＋｜ P5 F ｜＝2 a ，｜ P4 F ｜＝
a ，所以｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋｜ P3 F ｜＋｜ P4 F ｜＋｜ P5 F ｜
＋｜ P6 F ｜＋｜ P7 F ｜＝7 a .因为 a ＝5，所以所求式子的值为35.
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16. 设 F1， F2分别是椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，
过点 F1的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点，｜ AF1｜＝3｜ F1 B ｜.
（1）若｜ AB ｜＝4，△ ABF2的周长为16，求｜ AF2｜；
解： 由｜ AF1｜＝3｜ F1 B ｜，｜ AB ｜＝4，得｜ AF1｜
＝3，｜ F1 B ｜＝1.
因为△ ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4 a ＝16，
｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ＝8，
故｜ AF2｜＝8－3＝5.
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（2）若 cos ∠ AF2 B ＝ ，求椭圆 E 的离心率.
解： 设｜ F1 B ｜＝ k ， k ＞0，则｜ AF1｜＝3 k ，｜ AB ｜＝4 k .
由椭圆定义可得｜ AF2｜＝2 a －3 k ，｜ BF2｜＝2 a － k .
在△ ABF2中，由余弦定理可得｜ AB ｜2＝｜ AF2｜2＋｜
BF2｜2－2｜ AF2｜·｜ BF2｜· cos ∠ AF2 B ，
即（4 k ）2＝（2 a －3 k ）2＋（2 a － k ）2－ （2 a －3 k ）（2
a － k ）.
化简可得（ a ＋ k ）（ a －3 k ）＝0，而 a ＋ k ＞0，故 a ＝3 k .
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于是有｜ AF2｜＝3 k ＝｜ AF1｜，｜ BF2｜＝5 k .
因此｜ BF2｜2＝｜ F2 A ｜2＋｜ AB ｜2，可得 F1 A ⊥ F2 A ，
故△ AF1 F2为等腰直角三角形.
从而 c ＝ a ，所以椭圆 E 的离心率 e ＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
