第1课时 双曲线及其标准方程（一）
1.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
A.（，0） B.（，0）
C.（，0） D.（，0）
2.（2024·温州月考）P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（ ）
A.4 B.－4 C.8 D.－8
3.以F1（－，0），F2（，0）为焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
4.已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1（m＞1）和双曲线－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
5.（多选）（2024·泉州月考）若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是（ ）
A.若1＜t＜3，则曲线C为椭圆
B.若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3
C.若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞3
D.曲线C可能是圆
6.（多选）过点（1，1），且＝的双曲线的标准方程可以是（ ）
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C.x2－＝1 D.y2－＝1
7.已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝ .
8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过顶点C，D.若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为 .
9.（2024·湛江月考）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜＝ .
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）；
（2）a＝4，经过点A（1，－）.
11.双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A.1或21 B.14或36
C.2 D.21
12.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则双曲线C的标准方程为（ ）
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
13.（多选）设θ∈∪，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线可能是（ ）
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
14.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程.
15.已知双曲线C的焦点为F1（－2，0），F2（2，0），点A在C上，且关于原点O的对称点为B，｜AB｜＝｜F1F2｜，四边形AF1BF2的面积为6，则双曲线C的标准方程为（ ）
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.x2－y2＝2 D.－x2＝1
16.（2024·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，试判断△MF1F2的形状.
3.2.1 双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程（一）
1.B 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点坐标为（，0）.
2.D 因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得－＝1，即a＝4，∴｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，而点P在双曲线左支上，于是｜PF1｜＜｜PF2｜，∴｜PF1｜－｜PF2｜＝－8.故选D.
3.A 由题意得双曲线的焦点在x轴上且c＝.设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的方程为－y2＝1.故选A.
4.B 因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，又m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形.
5.BCD 若方程＋＝1表示椭圆，则解得1＜t＜3且t≠2，故A错误；若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则解得2＜t＜3，故B正确；若曲线C为双曲线，则（3－t）·（t－1）＜0，解得t＜1或t＞3，故C正确；若曲线C是圆，则解得t＝2，故D正确.故选B、C、D.
6.AB 由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入（1，1）点，得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
7.6或－6 解析：若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋（－）＝32，即k＝－6.
8.x2－＝1 解析：设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）.由题意得B（2，0），C（2，3），∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
9.4 解析：设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则
∴∴mn＝4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝4.
10.解：（1）∵双曲线焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
由其焦距为10，得2c＝10，c＝5，
又该双曲线过点（0，4），则a＝4，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（2）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
11.D 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设｜PF1｜＝11，根据双曲线的定义知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，∴｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝21.而1＜c－a＝7－5＝2，∴舍去｜PF2｜＝1，∴点P到另一个焦点的距离为21.
12.A ∵F1（－5，0），F2（5，0），∴c＝5，｜F1F2｜＝10.∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，∴cos∠PF1F2＝＝，∴｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＝2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.故选A.
13.AB 当θ∈时，sin θ＜0，cos θ＞0，此时方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确.当θ∈时，sin θ＞0，cos θ＜0，此时方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，B正确.故选A、B.
14.解：（1）如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵·＝0，
∴MF1⊥MF2，
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝｜F1F2｜·h，
∴h＝.
（2）设所求双曲线C的方程为－＝1（－4＜λ＜16），
由于双曲线C过点（3，2），
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
15.B 因为原点O分别为｜AB｜和｜F1F2｜的中点，所以四边形AF1BF2为平行四边形.又｜AB｜＝｜F1F2｜，所以四边形AF1BF2为矩形.由四边形AF1BF2的面积为6，得｜AF1｜｜AF2｜＝6，再结合｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝｜F1F2｜2＝16及双曲线的定义，得｜｜AF1｜－｜AF2｜｜＝2a，即4a2＝｜AF1｜2＋｜AF2｜2－2｜AF1｜｜AF2｜＝16－12＝4，即a2＝1，所以b2＝c2－a2＝3，故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
16.解：（1）椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
（2）不妨设M点在右支上，则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2，
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
故解得｜MF1｜＝4，｜MF2｜＝2，
又｜F1F2｜＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而cos∠MF2F1＝
＜0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
2 / 23.2.1 双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 数学抽象、直观想象
第1课时 双曲线及其标准方程（一）
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
知识点一 双曲线的定义
1.定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数（ ｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.
2.符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a（常数）且0＜2a＜｜F1F2｜.
3.焦点：两个定点 .
4.焦距： 的距离，表示为｜F1F2｜.
提醒 （1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点M的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于｜MF1｜与｜MF2｜的大小；（2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于｜F1F2｜.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2 F1 ，F2（0，c）
a，b，c的关系 c2＝
【想一想】
1.如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？
2.双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线.（ ）
（2）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线.（ ）
（3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.（ ）
2.双曲线－＝1的焦距为（ ）
A.3 B.4
C.2 D.4
3.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0
4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为 .
题型一 双曲线标准方程的认识
【例1】 已知－＝－1，当k为何值时：
（1）方程表示双曲线？
（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？
通性通法
方程表示双曲线的条件
（1）对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线；
（2）对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.
【跟踪训练】
1.命题p：“3＜m＜5”是命题q：“曲线＋＝1表示双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.（2024·聊城月考）椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝ .
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
（2）以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，）；
（3）过点P，Q且焦点在坐标轴上.
通性通法
求双曲线标准方程的两个关注点
提醒 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
【跟踪训练】
1.若双曲线中a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为 .
2.（2024·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为 .
题型三 双曲线定义的应用
【例3】 （1）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于 ；
（2）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝ .
通性通法
双曲线的定义的应用
（1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离；
（2）在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，从而求出｜PF1｜，｜PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜PF1｜，｜PF2｜，而是根据需要，把｜PF1｜＋｜PF2｜，｜PF1｜－｜PF2｜，｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体来处理.
【跟踪训练】
（2024·南阳月考）若点P是双曲线－＝1上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 .
1.已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.－2＜m＜2 B.m＞0
C.m≥0 D.｜m｜≥2
3.若双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）满足＝，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为（，0）和（－，0），点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，求双曲线的标准方程.
第1课时 双曲线及其标准方程（一）
【基础知识·重落实】
知识点一
1.差的绝对值 小于 3.F1，F2
4.两焦点间
知识点二
－＝1 －＝1 （c，0） （0，－c）
a2＋b2
想一想
1.提示：“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
2.提示：双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0，a＞c，c与b的大小关系不确定.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.D 由题意知，a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，即c＝2，焦距2c＝4.
3.C b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
4.22或2 解析：当点P在双曲线左支上时，｜PF2｜－｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝22；当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则｜PF2｜＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原方程可变形为－＝1.
要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）·（1－k）＞0.
即或解得k＜－3或1＜k＜3.
（2）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则解得1＜k＜3.
跟踪训练
1.A 若曲线＋＝1表示双曲线，则（m－3）（m－6）＜0，解得3＜m＜6.因为3＜m＜5是3＜m＜6的充分不必要条件，所以命题p是命题q的充分不必要条件.
2.1 解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2（舍去）.所以a＝1.
【例2】 解：（1）由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
（2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（3）设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0.
因为点P，Q在双曲线上，所以
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练
1.－＝1或－＝1
解析：因为a2＋b2＝c2，b＝3，a＋c＝9，解得c＝5，a＝4，当焦点在x轴上时，则双曲线的标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，则双曲线的标准方程为－＝1.
2.－＝1 解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且解得所以双曲线方程为－＝1.
【例3】 （1）22 （2）2 解析：（1）由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
（2）不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2）2＝8，又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝4，可得2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，则（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝12，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2.
跟踪训练
16 解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°，∴102＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋｜PF1｜·｜PF2｜，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝64，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
随堂检测
1.C 因为｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.
2.A ∵已知方程表示双曲线，∴（2＋m）·（2－m）＞0.∴－2＜m＜2.
3.A 由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0），则在双曲线C中，有解得所以双曲线C的方程为－＝1.
4.解：由 （｜PF1｜－｜PF2｜）2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故双曲线的标准方程为－y2＝1.
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3.2.1
双曲线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 数学抽象、
直观想象
第1课时
双曲线及其标准方程（一）
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1， F2上，把笔尖放在拉链的拉手 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几
何条件？
知识点一 双曲线的定义
1. 定义：一般地，我们把平面内与两个定点 F1， F2的距离的
等于非零常数（ ｜ F1 F2｜）的点的轨迹叫
做双曲线.
2. 符号表示：｜｜ MF1｜－｜ MF2｜｜＝2 a （常数）且0＜2 a ＜｜ F1
F2｜.
3. 焦点：两个定点 .
4. 焦距： 的距离，表示为｜ F1 F2｜.
差
的绝对值
小于
F1， F2
两焦点间
提醒 （1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点 M
的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于｜ MF1｜与｜
MF2｜的大小；（2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于｜ F1
F2｜.
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程 （ a ＞0， b ＞0）
（ a ＞0， b ＞0）
图形
－ ＝1
－ ＝1
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
焦点坐标 F1（－ c ，0），
F2 F1 ， F2
（0， c ）
a ， b ， c 的关系 c2＝ （ c ，0）
（0，－ c ）
a2＋ b2
【想一想】
1. 如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？
提示：“焦点跟着正项走”，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴
上；若 y2项的系数为正，那么焦点在 y 轴上.
2. 双曲线中 a ， b ， c 的关系与椭圆中 a ， b ， c 的关系有何不同？
提示：双曲线中， b2＝ c2－ a2，即 c2＝ a2＋ b2，其中 c ＞ a ， c ＞
b ， a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中， b2＝ a2－ c2，即 a2＝ b2
＋ c2，其中 a ＞ b ＞0， a ＞ c ， c 与 b 的大小关系不确定.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）
的点的轨迹是双曲线. （ × ）
（2）平面内到点 F1（0，4）， F2（0，－4）的距离之差等于8的点
的轨迹是双曲线. （ × ）
（3）双曲线标准方程中， a ， b 的大小关系是 a ＞ b . （ × ）
×
×
×
2. 双曲线 － ＝1的焦距为（ ）
解析： 由题意知， a2＝10， b2＝2，∴ c2＝ a2＋ b2＝12，即 c ＝2
，焦距2 c ＝4 .
3. 已知双曲线中 a ＝5， c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）
解析： b2＝ c2－ a2＝72－52＝24，故选C.
4. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，若双曲线上的
点 P 到点 F1的距离为12，则点 P 到点 F2的距离为 .
解析：当点 P 在双曲线左支上时，｜ PF2｜－｜ PF1｜＝10，则｜
PF2｜＝22；当点 P 在双曲线右支上时，｜ PF1｜－｜ PF2｜＝10，
则｜ PF2｜＝2.
22或2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 双曲线标准方程的认识
【例1】 已知 － ＝－1，当 k 为何值时：
（1）方程表示双曲线？
解： 原方程可变形为 － ＝1.
要使方程表示双曲线，必须满足（｜ k ｜－3）（1－ k ）＞0.
即解得 k ＜－3或1＜ k ＜3.
（2）方程表示焦点在 x 轴上的双曲线？
解： 若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，
则解得1＜ k ＜3.
通性通法
方程表示双曲线的条件
（1）对于方程 ＋ ＝1，当 mn ＜0时表示双曲线，进一步，当 m ＞
0， n ＜0时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m ＜0， n ＞0时表示
焦点在 y 轴上的双曲线；
（2）对于方程 － ＝1，当 mn ＞0时表示双曲线，且当 m ＞0， n
＞0时表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m ＜0， n ＜0时表示焦点
在 y 轴上的双曲线.
【跟踪训练】
1. 命题 p ：“3＜ m ＜5”是命题 q ：“曲线 ＋ ＝1表示双曲
线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若曲线 ＋ ＝1表示双曲线，则（ m －3）（ m －
6）＜0，解得3＜ m ＜6.因为3＜ m ＜5是3＜ m ＜6的充分不必要条
件，所以命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.
2. （2024·聊城月考）椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相同的焦
点，则 a ＝ .
解析：由双曲线方程知，焦点在 x 轴上，且 c2＝ a ＋2（ a ＞0）.由
椭圆方程，知 c2＝4－ a2，所以 a ＋2＝4－ a2，即 a2＋ a －2＝0，解
得 a ＝1或 a ＝－2（舍去）.所以 a ＝1.
1
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点
与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
解： 由双曲线的定义知，2 a ＝8，所以 a ＝4，
又知焦点在 x 轴上，且 c ＝5，
所以 b2＝ c2－ a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
（2）以椭圆 ＋ ＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3， ）；
解： 由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ＝2 .
设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
则有 a2＋ b2＝ c2＝8， － ＝1，解得 a2＝3， b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
（3）过点 P ， Q 且焦点在坐标轴上.
解： 设双曲线的方程为 Ax2＋ By2＝1， AB ＜0.
因为点 P ， Q 在双曲线上，所以
解得
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
通性通法
求双曲线标准方程的两个关注点
提醒 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为 mx2＋ ny2＝1的形式，注意标明条件 mn ＜0.
【跟踪训练】
1. 若双曲线中 a ＋ c ＝9， b ＝3，则双曲线的标准方程为
.
解析：因为 a2＋ b2＝ c2， b ＝3， a ＋ c ＝9，解得 c ＝5， a ＝4，当
焦点在 x 轴上时，则双曲线的标准方程为 － ＝1.当焦点在 y 轴
上时，则双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
或 － ＝1
2. （2024·常州质检）若圆 x2＋ y2－4 x －9＝0与 y 轴的两个交点 A ， B
都在双曲线上，且 A ， B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此
双曲线的标准方程为 .
－ ＝1
解析：将 x ＝0代入 x2＋ y2－4 x －9＝0，得 y2＝9，即 y ＝±3.所
以点 A ， B 的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为 A ， B 两
点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦
点在 y 轴上且－ ＝1.
题型三 双曲线定义的应用
【例3】 （1）设点 P 在双曲线 － ＝1上， F1， F2为双曲线的两
个焦点，且｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，则△ F1 PF2的周长等
于 ；
解析： 由题意知｜ F1 F2｜＝2 ＝10，｜｜ PF2｜－
｜ PF1｜｜＝6，又｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，∴｜ PF1｜＝3，
｜ PF2｜＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22.
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（2）已知双曲线 x2－ y2＝1，点 F1， F2为其两个焦点，点 P 为双曲线
上一点，若 PF1⊥ PF2，则｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝ .
解析： 不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥ PF2，所
以｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝（2 ）2＝8，又｜
PF1｜－｜ PF2｜＝2，所以（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＝4，可得
2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4，则（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2＝｜ PF1｜2
＋｜ PF2｜2＋2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝12，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜
＝2 .
2
通性通法
双曲线的定义的应用
（2）在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双
曲线的定义，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，或利用正弦定
理、余弦定理，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，从而求出｜
PF1｜，｜ PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜ PF1｜，｜
PF2｜，而是根据需要，把｜ PF1｜＋｜ PF2｜，｜ PF1｜－｜
PF2｜，｜ PF1｜·｜ PF2｜看作一个整体来处理.
（1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，
进而根据定义求该点到另一焦点的距离；
【跟踪训练】
（2024·南阳月考）若点 P 是双曲线 － ＝1上的一点，且∠ F1
PF2＝60°，则△ F1 PF2的面积为 .
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解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.由双曲线的定义和余弦
定理得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±6，｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－
2｜ PF1｜｜ PF2｜ cos 60°，∴102＝（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＋｜
PF1｜·｜ PF2｜，∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝64，∴ ＝ ｜ PF1｜·｜
PF2｜· sin ∠ F1 PF2＝ ×64× ＝16 .
1. 已知 M （－2，0）， N （2，0），｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4，则动点
P 的轨迹是（ ）
A. 双曲线 B. 双曲线左支
C. 一条射线 D. 双曲线右支
解析： 因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4＝｜ MN ｜，所以动点 P 的轨
迹是一条射线.故选C.
2. 方程 － ＝1表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ）
A. －2＜ m ＜2 B. m ＞0
C. m ≥0 D. ｜ m ｜≥2
解析： ∵已知方程表示双曲线，∴（2＋ m ）（2－ m ）＞0.
∴－2＜ m ＜2.
3. 若双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）满足 ＝ ，且与椭圆
＋ ＝1有公共焦点，则双曲线 C 的方程为（ ）
解析： 由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0），
则在双曲线 C 中，有所以双曲线 C
的方程为 － ＝1.
4. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1， F2的坐标分别为（ ，
0）和（－ ，0），点 P 在双曲线上，且 PF1⊥ PF2，△ PF1 F2的面
积为1，求双曲线的标准方程.
解：由 （｜ PF1｜－｜ PF2｜）
2＝16，即2 a ＝4，解得 a ＝2，又 c ＝ ，所以 b ＝1，故双曲线的
标准方程为 － y2＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若双曲线方程为 x2－2 y2＝1，则它的右焦点坐标为（ ）
解析： 将双曲线方程化为标准方程为 x2－ ＝1，∴ a2＝1， b2
＝ ，∴ c2＝ a2＋ b2＝ ，∴ c ＝ ，故右焦点坐标为（ ，0）.
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2. （2024·温州月考） P 是双曲线 x2－ y2＝16左支上一点， F1， F2分别
是左、右焦点，则｜ PF1｜－｜ PF2｜＝（ ）
A. 4 B. －4
C. 8 D. －8
解析： 因为双曲线方程为 x2－ y2＝16，化为标准方程得 －
＝1，即 a ＝4，∴｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝8，而点 P 在双曲
线左支上，于是｜ PF1｜＜｜ PF2｜，∴｜ PF1｜－｜ PF2｜＝－8.
故选D.
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3. 以 F1（－ ，0）， F2（ ，0）为焦点且过点 P （2，1）的双曲
线方程是（ ）
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解析： 由题意得双曲线的焦点在 x 轴上且 c ＝ .设双曲线
的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），则有 a2＋ b2＝ c2＝
3， － ＝1，解得 a2＝2， b2＝1，故所求双曲线的方程为
－ y2＝1.故选A.
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4. 已知有相同焦点 F1， F2的椭圆 ＋ y2＝1（ m ＞1）和双曲线 － y2
＝1（ n ＞0）， P 是它们的一个交点，则△ F1 PF2的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上均有可能
解析： 因为｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 ，｜ PF1｜－｜ PF2｜＝
±2 ，又 m －1＝ n ＋1，所以｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝2（ m ＋ n ）
＝4（ m －1）＝｜ F1 F2｜2，所以△ F1 PF2是直角三角形.
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5. （多选）（2024·泉州月考）若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为
C ，则下面四个选项中正确的是（ ）
A. 若1＜ t ＜3，则曲线 C 为椭圆
B. 若曲线 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则2＜ t ＜3
C. 若曲线 C 为双曲线，则 t ＜1或 t ＞3
D. 曲线 C 可能是圆
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解析： 若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则解
得1＜ t ＜3且 t ≠2，故A错误；若曲线 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，
则解得2＜ t ＜3，故B正确；若曲线 C 为双曲线，则
（3－ t ）（ t －1）＜0，解得 t ＜1或 t ＞3，故C正确；若曲线 C 是
圆，则解得 t ＝2，故D正确.故选B、C、D.
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6. （多选）过点（1，1），且 ＝ 的双曲线的标准方程可以是
（ ）
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解析： 由于 ＝ ，∴ b2＝2 a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线
方程为 － ＝1，代入（1，1）点，得 a2＝
－ y2＝1.同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线
方程为 － x2＝1.
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7. 已知双曲线方程为2 x2－ y2＝ k （ k ≠0），焦距为6，则 k ＝
.
解析：若焦点在 x 轴上，则方程可化为 － ＝1，所以 ＋ k ＝
32，即 k ＝6.若焦点在 y 轴上，则方程可化为 － ＝1，所以－ k
＋（－ ）＝32，即 k ＝－6.
6或－
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x2－ ＝1
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解析：设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.由题意
得 B （2，0）， C （2，3），∴∴双
曲线的标准方程为 x2－ ＝1.
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9. （2024·湛江月考）已知 F1， F2分别为双曲线 C ： x2－ y2＝1的左、
右焦点，点 P 在 C 上，∠ F1 PF2＝60°，则｜ PF1｜·｜ PF2｜
＝ .
解析：设｜ PF1｜＝ m ，｜ PF2｜＝ n ，则
∴∴ mn ＝4，即｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4.
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10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 y 轴上，焦距为10，且经过点（0，4）；
解：∵双曲线焦点在 y 轴上，
∴设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），
由其焦距为10，得2 c ＝10， c ＝5，
又该双曲线过点（0，4），则 a ＝4，
∴ b2＝ c2－ a2＝25－16＝9，
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2） a ＝4，经过点 A （1，－ ）.
解： 当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1
（ b ＞0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝－ × ＜0，不符
合题意；
当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b ＞
0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程
为 － ＝1.
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11. 双曲线 － ＝1上的点 P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个
焦点的距离为（ ）
A. 1或21 B. 14或36
C. 2 D. 21
解析： 设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，不妨设｜ PF1｜
＝11，根据双曲线的定义知｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝10，
∴｜ PF2｜＝1或｜ PF2｜＝21.而1＜ c － a ＝7－5＝2，∴舍去｜
PF2｜＝1，∴点 P 到另一个焦点的距离为21.
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12. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦点分别为 F1（－
5，0）， F2（5，0）， P 为双曲线 C 上一点， PF1⊥ PF2，tan∠
PF1 F2＝ ，则双曲线 C 的标准方程为（ ）
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解析： ∵ F1（－5，0）， F2（5，0），∴ c ＝5，｜ F1 F2｜＝
10.∵ PF1⊥ PF2，tan∠ PF1 F2＝ ，∴ cos ∠ PF1 F2＝ ＝
，∴｜ PF1｜＝8，｜ PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜
PF1｜－｜ PF2｜＝2＝2 a ，∴ a ＝1，∴ b2＝ c2－ a2＝25－1＝
24.∴双曲线 C 的标准方程为 x2－ ＝1.故选A.
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13. （多选）设θ∈ ∪ ，则关于 x ， y 的方程 ＋
＝1所表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在 y 轴上的双曲线
B. 焦点在 x 轴上的双曲线
C. 焦点在 y 轴上的椭圆
D. 焦点在 x 轴上的椭圆
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解析： 当θ∈ 时， sin θ＜0， cos θ＞0，此时方程表
示焦点在 y 轴上的双曲线，A正确.当θ∈ 时， sin θ＞0，
cos θ＜0，此时方程表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，B正确.
故选A、B.
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14. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2.
（1）若点 M 在双曲线上，且 · ＝0，求 M 点到 x 轴的
距离；
解： 如图所示，不妨设 M 在双曲线
的右支上， M 点到 x 轴的距离为 h ，
∵ · ＝0，∴ MF1⊥ MF2，
设｜ MF1｜＝ m ，｜ MF2｜＝ n ，
由双曲线定义，知 m － n ＝2 a ＝8， ①
又 m2＋ n2＝（2 c ）2＝80， ②
由①②得 m · n ＝8，∴ mn ＝4＝ ｜ F1 F2｜· h ，
∴ h ＝ .
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（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点（3 ，
2），求双曲线 C 的方程.
解： 设所求双曲线 C 的方程为 － ＝1（－4＜λ
＜16），由于双曲线 C 过点（3 ，2），
∴ － ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴所求双曲线 C 的方程为 － ＝1.
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15. 已知双曲线 C 的焦点为 F1（－2，0）， F2（2，0），点 A 在 C
上，且关于原点 O 的对称点为 B ，｜ AB ｜＝｜ F1 F2｜，四边形
AF1 BF2的面积为6，则双曲线 C 的标准方程为（ ）
C. x2－ y2＝2
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解析： 因为原点 O 分别为｜ AB ｜和｜ F1 F2｜的中点，所以四
边形 AF1 BF2为平行四边形.又｜ AB ｜＝｜ F1 F2｜，所以四边形
AF1 BF2为矩形.由四边形 AF1 BF2的面积为6，得｜ AF1｜｜ AF2｜＝
6，再结合｜ AF1｜2＋｜ AF2｜2＝｜ F1 F2｜2＝16及双曲线的定
义，得｜｜ AF1｜－｜ AF2｜｜＝2 a ，即4 a2＝｜ AF1｜2＋｜ AF2｜
2－2｜ AF1｜｜ AF2｜＝16－12＝4，即 a2＝1，所以 b2＝ c2－ a2＝
3，故双曲线 C 的标准方程为 x2－ ＝1.
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16. （2024·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4 x2＋9 y2
＝36有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
解： 椭圆方程可化为 ＋ ＝1，焦点在 x 轴上，且 c
＝ ＝ － ＝1（ a ＞0， b＞0），
则有
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2）若点 M 在双曲线上， F1， F2分别为左、右焦点，且｜ MF1｜
＋｜ MF2｜＝6 ，试判断△ MF1 F2的形状.
解： 不妨设 M 点在右支上，则有｜ MF1｜－｜ MF2｜
＝2 ，又｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝6 ，
故解得｜ MF1｜＝4 ，｜ MF2｜＝2 ，
又｜ F1 F2｜＝2 ，因此在△ MF1 F2中，边 MF1最长，
而 cos ∠ MF2 F1＝ ＜0，
所以∠ MF2 F1为钝角.故△ MF1 F2为钝角三角形.
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谢 谢 观 看！第2课时 双曲线及其标准方程（二）
1.设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.双曲线或线段或不存在
2.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3）
3.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A. B.－ C. D.－
4.已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A.x2－＝1（x＜－1） B.x2－＝1（x＞1）
C.x2＋＝1（x＞0） D.x2－＝1（x＞1）
5.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：（x－5）2＋y2＝1上，点R在曲线C3：（x＋5）2＋y2＝1上，则｜PQ｜－｜PR｜的最大值是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
6.（多选）（2024·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜－｜＝2的解为（ ）
A.x＝ B.x＝C.x＝－ D.x＝－
7.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝10，c－b＝6，若以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则顶点A运动的轨迹方程是 .
8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为 .
9.（2024·揭阳月考）已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为 .
10.设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）；
（2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1内切.
11.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（ ）
A.双曲线的一支 B.椭圆或圆
C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆
12.（多选）在平面直角坐标系中，已知圆C1：（x＋2）2＋y2＝和圆C2：（x－2）2＋y2＝，其中r1，r2为正常数，且满足r1＋r2＜4或｜r1－r2｜＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心P的轨迹可以是（ ）
A.椭圆 B.双曲线
C.一条直线 D.圆
13.（2024·青岛月考）已知P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆（x－4）2＋y2＝4上的动点，则P，Q两点间的最短距离为 .
14.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为（－，0），B是圆x2＋（y－）2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C'：－＝1（m＞0，n＞0）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为 .
16.（2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
第2课时 双曲线及其标准方程（二）
1.B 因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B.
2.D 由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）.
3.C 设P（8，y0）在第一象限，－＝1 y0＝3，｜PF2｜＝＝6，｜PF1｜＝6＋8＝14，｜F1F2｜＝10，cos∠F1PF2＝＝.
4.B ｜PM｜－｜PN｜＝｜BM｜－｜BN｜＝2＜6＝｜MN｜，所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支（除去点（1，0））.又2a＝2，a＝1，2c＝6，c＝3，b2＝c2－a2＝9－1＝8，所以P点的轨迹方程是x2－＝1（x＞1）.
5.B 在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点.记点F1（－5，0），F2（5，0），当｜PQ｜－｜PR｜取最大值时，点P在双曲线C1的左支上，所以｜PQ｜－｜PR｜≤｜PF2｜＋1－（｜PF1｜－1）＝｜PF2｜－｜PF1｜＋2＝2a＋2＝10.故选B.
6.AC 由｜－｜＝2得｜－｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则解得所以该双曲线的方程是x2－＝1.由解得x＝±.故选A、C.
7.－＝1（x＞3） 解析：由题意得，B（－5，0），C（5，0）.因为｜AB｜－｜AC｜＝c－b＝6＜10，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为－＝1（x＞3）.
8.x2－＝1（y≠0） 解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）.
9.4＋4 解析：设双曲线的左焦点为F'，则｜PF｜－｜PF'｜＝2a＝4，所以｜PF｜＝4＋｜PF'｜，所以△APF的周长为｜PF｜＋｜PA｜＋｜AF｜＝4＋｜PF'｜＋｜PA｜＋2≥4＋2＋｜AF'｜＝4＋4，当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以△APF周长的最小值为4＋4.
10.解：（1）连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴｜MC｜＝r－，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝，即动点M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数，且＜｜AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨迹方程是2x2－＝1（x≤－）.
（2）连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是－＝1（x≥2）.
11.D 两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D.
12.ABC 连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r，当｜r1－r2｜＞4时，不妨设r1－r2＞4，此时圆C1与C2内含.若动圆P与圆C1内切且与圆C2外切，则｜PC1｜＝r1－r，｜PC2｜＝r＋r2，即｜PC1｜＋｜PC2｜＝r1＋r2；若动圆P与两圆都内切，同理可得｜PC1｜＋｜PC2｜＝r1－r2.因此当｜r1－r2｜＞4时，动点P的轨迹是椭圆.当r1＋r2＜4时，两圆外离.若动圆P与两圆都外切或内切，则｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，所以动点P的轨迹是双曲线或一条直线；若动圆P与两圆一外切一内切，则｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1＋r2｜，所以动点P的轨迹是双曲线.故选A、B、C.
13.－2 解析：P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆（x－4）2＋y2＝4上的动点，设圆（x－4）2＋y2＝4的圆心为M（4，0），半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径.设P（x0，y0），可知－＝1，即＝－1，可得｜PM｜＝＝≥，当且仅当x0＝2时取等号，所以P，Q两点间的最短距离为－2.
14.解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD.由双曲线的定义，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2.
∴｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜.
又点B是圆x2＋（y－）2＝1上的点，圆的圆心为C（0，），半径长为1，
故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1，
从而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号.
故｜MA｜＋｜MB｜的最小值为＋1.
15.2k（a－m）
解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，所以光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a－m）.
16.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝.
所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）.
（2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0），
由题意知－＝1（x0≤－2），即＝4＋，又C（0，3），所以｜MC｜＝＝＝＝（y0∈R），
所以当y0＝时，｜MC｜min＝2，
即无人机飞行的最小距离是2.
2 / 2第2课时 双曲线及其标准方程（二）
题型一 与双曲线有关的轨迹问题
【例1】 如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4，O为线段AB的中点，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，试求顶点C的轨迹方程.
通性通法
与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
【跟踪训练】
如图所示，已知定圆F1：（x＋5）2＋y2＝1，定圆F2：（x－5）2＋y2＝16，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
题型二 与双曲线定义有关的最值问题
【例2】 （2024·济宁月考）已知定点A的坐标为（1，4），点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为 .
通性通法
设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.
（1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在；
（2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在.
【跟踪训练】
（2024·商丘月考）P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为 .
题型三 双曲线的实际应用
【例3】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
通性通法
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
【跟踪训练】
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
1.已知点F1（0，－13），F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y＝0 B.y＝0（｜x｜≥13）
C.x＝0（｜y｜≥13） D.以上都不对
2.（2024·淮安月考）相距4k m的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2 s，若声速为每秒k m，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（ ）
A.圆 B.双曲线
C.椭圆 D.直线
3.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，求点M的轨迹方程.
第2课时 双曲线及其标准方程（二）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意得A（－2，0），B（2，0）.由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC的外接圆半径）.
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2｜BC｜＋｜AB｜＝2｜AC｜，即｜AC｜－｜BC｜＝＝2＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为－＝1（x＞a），
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1（x＞）.
跟踪训练
解：圆F1：（x＋5）2＋y2＝1，
圆心F1（－5，0），半径r1＝1；
圆F2：（x－5）2＋y2＝16，圆心F2（5，0），半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有｜MF1｜＝R＋1，｜MF2｜＝R＋4，
∴｜MF2｜－｜MF1｜＝3＜10＝｜F1F2｜.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1（x≤－）.
【例2】 9 解析：由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1（4，0）.｜PF｜－｜PF1｜＝2a＝4，即｜PF｜＝｜PF1｜＋4，所以｜PF｜＋｜PA｜＝｜PF1｜＋｜PA｜＋4≥｜AF1｜＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时｜AF1｜＝＝＝5，所以｜PF｜＋｜PA｜≥｜AF1｜＋4＝9，即｜PF｜＋｜PA｜的最小值为9.
跟踪训练
5 解析：双曲线的两个焦点F1（－4，0），F2（4，0）分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知｜PM｜max＝｜PF1｜＋2，｜PN｜min＝｜PF2｜－1，故｜PM｜－｜PN｜的最大值为｜PF1｜＋2－（｜PF2｜－1）＝｜PF1｜－｜PF2｜＋3＝2＋3＝5.
【例3】 解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2）.
∵｜PB｜＝｜PC｜，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D（－4，），
∴直线PD的方程为y－＝（x＋4）， ①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5，
∴商船的轨迹方程为－＝1（x≥2）， ②
联立①②，得点P坐标为（8，5），
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
跟踪训练
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50，在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，故｜MA｜－｜MB｜＜｜AB｜.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
随堂检测
1.C ∵｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝｜F1F2｜，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线，∴点P的轨迹方程为x＝0（｜y｜≥13）.
2.B 由已知条件可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上.故选B.
3.解：设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－＝1（y≤－1）.
2 / 2(共54张PPT)
第2课时
双曲线及其标准方程（二）
目录
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与双曲线有关的轨迹问题
【例1】 如图，在△ ABC 中，已知｜ AB ｜＝4 ， O 为线段 AB 的
中点，且三内角 A ， B ， C 满足2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，试求顶点 C
的轨迹方程.
解：由题意得 A （－2 ，0）， B （2 ，0）.由正弦定理，得 sin A
＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ （ R 为△ ABC 的外接圆半
径）.
∵2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，∴2｜ BC ｜＋｜ AB ｜＝2｜ AC ｜，即｜
AC ｜－｜ BC ｜＝ ＝2 ＜｜ AB ｜.
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支（除去与 x 轴的交
点）.
由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ a ），
∵ a ＝ ， c ＝2 ，∴ b2＝ c2－ a2＝6.
即所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ ）.
通性通法
与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用
条件确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定
义确定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
【跟踪训练】
如图所示，已知定圆 F1：（ x ＋5）2＋ y2＝1，定圆 F2：（ x －5）2
＋ y2＝16，动圆 M 与定圆 F1， F2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.
解：圆 F1：（ x ＋5）2＋ y2＝1，
圆心 F1（－5，0），半径 r1＝1；
圆 F2：（ x －5）2＋ y2＝16，圆心 F2（5，0），半径 r2＝4.
设动圆 M 的半径为 R ，则有｜ MF1｜＝ R ＋1，｜ MF2｜＝ R ＋4，
∴｜ MF2｜－｜ MF1｜＝3＜10＝｜ F1 F2｜.
∴点 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点的双曲线的左支，且 a ＝ ， c ＝5，
于是 b2＝ c2－ a2＝ .
∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 － ＝1（ x ≤－ ）.
题型二 与双曲线定义有关的最值问题
【例2】 （2024·济宁月考）已知定点 A 的坐标为（1，4），点 F 是
双曲线 － ＝1的左焦点，点 P 是双曲线右支上的动点，则｜ PF ｜
＋｜ PA ｜的最小值为 .
9
解析：由双曲线的方程可知 a ＝2，设右焦点为 F1，则 F1（4，0）.｜
PF ｜－｜ PF1｜＝2 a ＝4，即｜ PF ｜＝｜ PF1｜＋4，所以｜ PF ｜
＋｜ PA ｜＝｜ PF1｜＋｜ PA ｜＋4≥｜ AF1｜＋4，当且仅当 A ， P ，
F1三点共线时取等号，此时｜ AF1｜＝ ＝ ＝5，
所以｜ PF ｜＋｜ PA ｜≥｜ AF1｜＋4＝9，即｜ PF ｜＋｜ PA ｜的最
小值为9.
通性通法
设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， F1， F2分别为双
曲线的左、右焦点， Q （ x0， y0）为平面上一定点， M 为双曲线右支
上任意一点.
（1）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的同
侧，则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF1｜－2 a ，最大
值不存在；
（2）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的异侧，
则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF2｜，最大值不存在.
【跟踪训练】
（2024·商丘月考） P 为双曲线 x2－ ＝1右支上一点， M ， N 分别
是圆（ x ＋4）2＋ y2＝4和（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜－｜
PN ｜的最大值为 .
解析：双曲线的两个焦点 F1（－4，0）， F2（4，0）分别为两圆的圆
心，且两圆的半径分别为 r1＝2， r2＝1，易知｜ PM ｜max＝｜ PF1｜＋
2，｜ PN ｜min＝｜ PF2｜－1，故｜ PM ｜－｜ PN ｜的最大值为｜
PF1｜＋2－（｜ PF2｜－1）＝｜ PF1｜－｜ PF2｜＋3＝2＋3＝5.
5
题型三 双曲线的实际应用
【例3】 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护
航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰
正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻
甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s
后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若
甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
解：设 A ， B ， C ， P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商
船.如图所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线
为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0）， B （－3，
0）， C （－5，2 ）.
∵｜ PB ｜＝｜ PC ｜，
∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上，
又易知 kBC ＝－ ，线段 BC 的中点 D （－4， ），
∴直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）， ①
又｜ PB ｜－｜ PA ｜＝4＜6＝｜ AB ｜，
∴点 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支上，且 a ＝2， c ＝3，∴ b2＝
c2－ a2＝5，
∴商船的轨迹方程为 － ＝1（ x ≥2）， ②
联立①②，得点 P 坐标为（8，5 ），
∴ kPA ＝ ＝ ，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
通性通法
利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
【跟踪训练】
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP ， BP 运到 P 处（如图），｜AP ｜＝100 m，｜ BP ｜＝150 m，∠ APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分
线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 M 是分界线上的点，
则｜ MA ｜＋｜ AP ｜＝｜ MB ｜＋｜ BP ｜，即｜ MA ｜
－｜ MB ｜＝｜ BP ｜－｜ AP ｜＝150－100＝50，在
△ APB 中，｜ AB ｜2＝｜ AP ｜2＋｜ BP ｜2－2｜
AP ｜·｜ BP ｜· cos 60°＝17 500，故｜ MA ｜－｜ MB ｜＜｜ AB ｜.这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右支，且 a ＝25.
而 c2＝ ＝4 375， b2＝3 750，
故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P
处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工.
1. 已知点 F1（0，－13）， F2（0，13），动点 P 到 F1与 F2的距离之差
的绝对值为26，则动点 P 的轨迹方程为（ ）
A. y ＝0 B. y ＝0（｜ x ｜≥13）
C. x ＝0（｜ y ｜≥13） D. 以上都不对
解析： ∵｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝｜ F1 F2｜，∴点 P 的轨迹是
分别以 F1， F2为端点的两条射线，∴点 P 的轨迹方程为 x ＝0（｜
y ｜≥13）.
2. （2024·淮安月考）相距4 k m的 A ， B 两地，听到炮弹爆炸的时间相
差2 s，若声速为每秒 k m，则炮弹爆炸点 P 的轨迹可能是（ ）
A. 圆 B. 双曲线
C. 椭圆 D. 直线
解析： 由已知条件可得｜｜ PA ｜－｜ PB ｜｜＝2 k ＜4 k ＝｜
AB ｜，根据双曲线的定义可知，点 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线上.
故选B.
3. 已知点 A （0，2）， B （0，－2）， C （3，2），若动点 M
（ x ， y ）满足｜ MA ｜＋｜ AC ｜＝｜ MB ｜＋｜ BC ｜，求点
M 的轨迹方程.
解：设 M （ x ， y ），因为｜ MA ｜＋｜ AC ｜＝｜ MB ｜＋｜
BC ｜，故｜ MA ｜＋3＝｜ MB ｜＋ ，即｜
MA ｜－｜ MB ｜＝2＜4.故点 M （ x ， y ）的轨迹是以 A （0，2），
B （0，－2）为焦点的双曲线的下支，且 a ＝1， c ＝2.故 b2＝ c2－ a2
＝3.故方程为 y2－ ＝1（ y ≤－1）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设定点 F1（0，－3）， F2（0，3），动点 P （ x ， y ）满足条件｜
PF1｜－｜ PF2｜＝4，则动点 P 的轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 不存在
D. 双曲线或线段或不存在
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解析： 因为定点 F1（0，－3）， F2（0，3），动点 P （ x ， y ）
满足条件｜ PF1｜－｜ PF2｜＝4＜｜ F1 F2｜，所以根据双曲线的定
义及｜ PF1｜＝4＋｜ PF2｜＞｜ PF2｜，可知动点 P 的轨迹是双曲
线的一支，故选B.
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2. 设动点 P 到 A （－5，0）的距离与它到 B （5，0）距离的差等于6，
则 P 点的轨迹方程是（ ）
解析： 由题意知， P 点的轨迹应为以 A （－5，0）， B （5，
0）为焦点的双曲线的右支.由 c ＝5， a ＝3，知 b2＝16，∴ P 点的轨
迹方程为 － ＝1（ x ≥3）.
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3. 双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反
射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知
双曲线 C ： － ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，从 F2发出的光
线射向 C 上的点 P （8， y0）后，被 C 反射出去，则入射光线与反射
光线夹角的余弦值是（ ）
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解析： 设 P （8， y0）在第一象限， － ＝1 y0＝3 ，｜
PF2｜＝ ＝6，｜ PF1｜＝6＋8＝14，｜ F1
F2｜＝10， cos ∠ F1 PF2＝ ＝ .
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4. 已知点 M （－3，0）， N （3，0）， B （1，0），动圆 C 与直线
MN 相切于点 B ，过 M ， N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P ，则 P 点
的轨迹方程为（ ）
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解析： ｜ PM ｜－｜ PN ｜＝｜ BM ｜－｜ BN ｜＝2＜6＝｜
MN ｜，所以 P 点的轨迹是以 M ， N 为焦点的双曲线的右支（除去
点（1，0））.又2 a ＝2， a ＝1，2 c ＝6， c ＝3， b2＝ c2－ a2＝9－1
＝8，所以 P 点的轨迹方程是 x2－ ＝1（ x ＞1）.
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5. 若点 P 在曲线 C1： － ＝1上，点 Q 在曲线 C2：（ x －5）2＋ y2＝
1上，点 R 在曲线 C3：（ x ＋5）2＋ y2＝1上，则｜ PQ ｜－｜ PR ｜
的最大值是（ ）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
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解析： 在双曲线 C1中， a ＝4， b ＝3， c ＝5，易知两圆圆心为
双曲线 C1的两个焦点.记点 F1（－5，0）， F2（5，0），当｜ PQ ｜
－｜ PR ｜取最大值时，点 P 在双曲线 C1的左支上，所以｜ PQ ｜
－｜ PR ｜≤｜ PF2｜＋1－（｜ PF1｜－1）＝｜ PF2｜－｜ PF1｜＋
2＝2 a ＋2＝10.故选B.
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6. （多选）（2024·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事
实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与
相关的代数问题，可以转化为点 A （ x ，
y ）与点 B （ a ， b ）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方
程｜ － ｜＝2的解为（ ）
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解析： 由｜ － ｜＝2得｜
－ ｜＝2.其几
何意义为平面内一点（ x ，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离
之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差
的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为 － ＝1
（ a ＞0， b ＞0），则所以该双曲线
的方程是 x2－ ＝1.由解得 x ＝± .故选A、C.
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7. 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边，且 a ＝10， c
－ b ＝6，若以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的中点为原点建立平面直角
坐标系，则顶点 A 运动的轨迹方程是 .
解析：由题意得， B （－5，0）， C （5，0）.因为｜ AB ｜－｜
AC ｜＝ c － b ＝6＜10，所以点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的双曲线
的右支，其轨迹方程为 － ＝1（ x ＞3）.
－ ＝1（ x ＞3）
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解析：设点 M 的坐标为（ x ， y ），当 x ＝－1时，直线 MA 的斜率
不存在；当 x ＝1时，直线 MB 的斜率不存在.于是 x ≠1且 x ≠－1.此
时，直线 MA 的斜率为 ，直线 MB 的斜率为 .由题意有
· ＝4，化简得 x2－ ＝1，因为 x ≠1且 x ≠－1，即 y ≠0，所
以轨迹 C 的方程为 x2－ ＝1（ y ≠0）.
8. 已知动点 M 与两定点 A （－1，0）， B （1，0）构成△ MAB ，且直
线 MA ， MB 的斜率之积为4.设动点 M 的轨迹为 C ，则轨迹 C 的方程
为 .
x2－ ＝1（ y ≠0）
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9. （2024·揭阳月考）已知双曲线 － ＝1的右焦点为 F ， P 为双曲
线左支上一点，点 A （0， ），则△ APF 周长的最小值为
.
解析：设双曲线的左焦点为F'，则｜ PF ｜－｜PF'｜＝2 a ＝4，所
以｜ PF ｜＝4＋｜PF'｜，所以△ APF 的周长为｜ PF ｜＋｜ PA ｜
＋｜ AF ｜＝4＋｜PF'｜＋｜ PA ｜＋2 ≥4＋2 ＋｜AF'｜＝4＋
4 ，当且仅当 P 在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以
△ APF 周长的最小值为4＋4 .
4＋4
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10. 设动圆 M 的半径为 r ，分别求满足下列条件的圆心 M 的轨迹方程：
（1）与圆 C ：（ x ＋2）2＋ y2＝2内切，且过点 A （2，0）；
解： 连接 MC ， MA （图略），∵圆 C 与圆 M 内切，点
A 在圆 C 外，∴｜ MC ｜＝ r － ，｜ MA ｜＝ r ，∴｜
MA ｜－｜ MC ｜＝ ，即动点 M 到两定点 A （2，0）， C
（－2，0）的距离之差为常数 ＜｜ AC ｜＝4，
∴点 M 的轨迹是以 C ， A 为焦点的双曲线的左支，∴点 M 的
轨迹方程是2 x2－ ＝1（ x ≤－ ）.
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（2）与圆 C1：（ x ＋3）2＋ y2＝9外切，且与圆 C2：（ x －3）2＋
y2＝1内切.
解： 连接 MC1， MC2（图略），∵圆 M 与圆 C1外切，
且圆 M 与圆 C2内切，∴｜ MC1｜＝ r ＋3，｜ MC2｜＝ r －
1，∴｜ MC1｜－｜ MC2｜＝4＜｜ C1 C2｜＝6，∴点 M 的轨
迹是以 C1（－3，0）， C2（3，0）为焦点的双曲线的右支，
∴点 M 的轨迹方程是 － ＝1（ x ≥2）.
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11. 半径不等的两定圆 O1， O2无公共点（ O1， O2是两个不同的点），
动圆 O 与圆 O1， O2都内切，则圆心 O 的轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支
B. 椭圆或圆
C. 双曲线的一支或椭圆或圆
D. 双曲线的一支或椭圆
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解析： 两定圆 O1， O2无公共点，则它们的位置关系是外离
或内含.设两定圆 O1， O2的半径分别为 r1， r2（ r1＞ r2），圆 O
的半径为 R . 又圆 O 与圆 O1， O2都内切，则当两圆 O1， O2外
离时，｜ OO1｜＝ R － r1，｜ OO2｜＝ R － r2，∴｜ OO2｜
－｜ OO1｜＝ r1－ r2＜｜ O1 O2｜，此时圆心 O 的轨迹是双曲线
的一支；当两圆 O1， O2内含时，｜ OO1｜＝ r1－ R ，｜ OO2｜
＝ R － r2，∴｜ OO2｜＋｜ OO1｜＝ r1－ r2＞｜ O1 O2｜，此时
圆心 O 的轨迹是椭圆.故选D.
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12. （多选）在平面直角坐标系中，已知圆 C1：（ x ＋2）2＋ y2＝ 和
圆 C2：（ x －2）2＋ y2＝ ，其中 r1， r2为正常数，且满足 r1＋ r2
＜4或｜ r1－ r2｜＞4，一个动圆 P 与两圆都相切，则动圆圆心 P 的
轨迹可以是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 一条直线 D. 圆
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解析： 连接 PC1， PC2（图略），设动圆 P 的半径为 r ，当｜ r1－ r2｜＞4时，不妨设 r1－ r2＞4，此时圆 C1与 C2内含.若动圆 P 与圆 C1内切且与圆 C2外切，则｜ PC1｜＝ r1－ r ，｜ PC2｜＝ r ＋ r2，即｜ PC1｜＋｜ PC2｜＝ r1＋ r2；若动圆 P 与两圆都内切，同理可得｜ PC1｜＋｜ PC2｜＝ r1－ r2.因此当｜ r1－ r2｜＞4时，动点 P 的轨迹是椭圆.当 r1＋ r2＜4时，两圆外离.若动圆 P 与两圆都外切或内切，则｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜＝｜ r1－ r2｜，所以动点 P 的轨迹是双曲线或一条直线；若动圆 P 与两圆一外切一内切，则｜｜ PC1｜－｜ PC2｜｜＝｜ r1＋ r2｜，所以动点 P 的轨迹是双曲线.故选A、B、C.
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－2
解析： P 是双曲线 x2－ y2＝1上的动点， Q 是圆（ x －4）2＋ y2＝4
上的动点，设圆（ x －4）2＋ y2＝4的圆心为 M （4，0），半径为
2， P ， Q 两点间的最短距离就是 P 到圆的圆心的距离的最小值减
去半径.设 P （ x0， y0），可知 － ＝1，即 ＝ －1，可
得｜ PM ｜＝ ＝ ≥ ，当
且仅当 x0＝2时取等号，所以 P ， Q 两点间的最短距离为 －2.
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14. 已知双曲线的方程为 x2－ ＝1，如图所示，点 A 的坐标为（－
，0）， B 是圆 x2＋（ y － ）2＝1上的点，点 C 为其圆心，点
M 在双曲线的右支上，求｜ MA ｜＋｜ MB ｜的最小值.
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解：设点 D 的坐标为（ ，0），则点 A ， D
是双曲线的焦点，如图所示，连接 MD ， BD .
由双曲线的定义，得｜ MA ｜－｜ MD ｜＝2 a
＝2.∴｜ MA ｜＋｜ MB ｜＝｜ MA ｜－｜ MD ｜
＋｜ MB ｜＋｜ MD ｜＝2＋｜ MB ｜＋｜ MD ｜
≥2＋｜ BD ｜.又点 B 是圆 x2＋（ y － ）2＝1上
的点，圆的圆心为 C （0， ），半径长为1，故｜ BD ｜≥｜CD ｜－1＝ －1，从而｜ MA ｜＋｜ MB ｜≥2＋｜ BD ｜≥ ＋1，
当且仅当点 M ， B 在线段 CD 上时取等号.
故｜ MA ｜＋｜ MB ｜的最小值为 ＋1.
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15. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的
切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被
椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双
曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线
等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
与双曲线C'： － ＝1（ m ＞0， n ＞0）有公共焦点，现一光线
从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2
k （ k ∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为
.
2 k （ a －
m ）
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解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到
另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双
曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个
焦点，如图，｜ BF2｜＝2 m ＋｜ BF1｜，｜BF1｜＋｜ BA ｜＋｜ AF1｜＝｜ BF2｜－2 m ＋｜ BA ｜＋｜ AF1｜＝｜ AF2｜＋｜ AF1｜－2 m ＝2 a －2 m ，所以光线经过2 k （ k ∈N*）次反射后回
到左焦点所经过的路径长为2 k （ a － m ）.
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16. （2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三
艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止
的点），如图中的点 A ， B ， C ，且 OA ＝ OB ＝
OC ＝3，假设敌舰艇在某处发出信号， A 点接收到
信号的时间比 B 点接收到信号的时间早 秒（注： v0为信号传播速
度）， C 处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹
方程；
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解： 如图，以 O 为原点， OB 所在直
线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴，建立平面
直角坐标系.设敌舰艇的位置为 P （ x ，
y ），由题意可知｜ PB ｜－｜ PA ｜＝ v0·
＝4＜｜ AB ｜＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以 A ， B 为焦点的双曲线的左支，且2 a ＝4， c ＝3，所以 b ＝ .
所以敌舰艇的轨迹方程为 － ＝1（ x ≤－2）.
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（2）在 A ， B 两处的舰艇对敌舰艇攻击后， C 处舰艇派出无
人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离
是多少？
解： 设方程 － ＝1（ x ≤－2）上一
点 M （ x0， y0），
由题意知 － ＝1（ x0≤－2），即 ＝4＋ ，又 C
（0，3），所以｜ MC ｜＝ ＝
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＝ ＝
（ y0∈R），
所以当 y0＝ 时，｜ MC ｜min＝2 ，
即无人机飞行的最小距离是2 .
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谢 谢 观 看！
