第1课时 双曲线的简单几何性质
1.双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为（ ）
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
2.已知双曲线－＝1（a＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
3.（2024·镇江月考）以椭圆＋＝1的焦点为顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的方程是（ ）
A.－y2＝1 B.y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝（ ）
A.4 B.－4
C.－ D.
5.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
6.（多选）关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（ ）
A.有相同的焦点 B.有相同的焦距
C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线
7.写出一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为 .
8.（2024·洛阳月考）已知双曲线－＝1（a＞0）的离心率为2，则a＝ .
9.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝ .
10.求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
11.某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.（多选）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
13.能说明“若mn≠0，则方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是 .
14.（2024·绍兴质检）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M（，－）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
15.已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2＋y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝ .
16.若点O（0，0）和点F（－2，0）分别为双曲线－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围.
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.B 由题意双曲线的标准方程为－＝1，则其焦点在y轴上，a＝，b＝2，则其渐近线方程为y＝±x＝±x.
2.C 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
3.B 椭圆＋＝1的焦点为F1（0，1），F2（0，－1），长轴的端点为A1（0，2），A2（0，－2），所以所求双曲线中，a＝1，c＝2，所以b2＝3，焦点在y轴上，故双曲线的方程为y2－＝1.
4.C 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选C.
5.D 设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝2×3＝6.
6.BD 两方程均化成标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，故C错误，故选B、D.
7.x2－y2＝1（答案不唯一）
解析：渐近线方程为y＝±x的双曲线，可知a＝b，不妨设a＝b＝1，所以一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为：x2－y2＝1.
8.1 解析：由题意得e＝＝2，∴＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1（负值舍去）.
9.2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
10.解：双曲线方程可化为：－x2＝1，则双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝1，所以c2＝＋1＝；所以a＝，b＝1，c＝，
所以顶点坐标为（0，±）；焦点坐标为（0，±）；实轴长为2a＝；虚轴长为2b＝2，离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.
11.C 以O为原点，AD所在的直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），不妨设｜AB｜＝｜BO｜＝｜OC｜＝｜CD｜＝1，则该双曲线过点（，），且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选C.
12.ACD 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确.由双曲线的方程可知｜F1F2｜＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误.设点P（x0，y0），由点P在圆x2＋y2＝2上，且在直线y＝x上，所以解得｜x0｜＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确.故选A、C、D.
13.（答案不唯一）
解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为－x2＝λ（λ＞0），即－＝1（λ＞0），所以（λ＞0），不妨令λ＝1，所以
14.解：（1）在双曲线－＝1中，a'＝2，b'＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，
∴＝，∴方程可化为－＝1.
又双曲线C经过点M（，－），
∴－＝1，解得a＝1，∴b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
（2）由（1）知双曲线C：x2－＝1，且a＝1，b＝，
∴c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率e＝＝.
∵双曲线C的一个焦点为（－，0），一条渐近线方程为y＝x，
∴d＝＝，
即双曲线C的焦点到渐近线的距离为.
15. 解析：如图，由题意可得｜OF1｜＝｜ON｜＝c，因为O为F1F2的中点，所以｜ON｜＝｜PF2｜，所以｜PF2｜＝2c，｜PF1｜＝2a＋2c，因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，所以c＝2a，故在△F1PF2中，｜PF1｜＝6a，｜PF2｜＝｜F1F2｜＝4a，sin∠F1PF2＝＝＝.
16.解：因为 F（－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P（x0，y0）（x0≥），则－＝1（x0≥），可得＝－1（x0≥），易知＝（x0＋2，y0），＝（x0，y0），所以·＝x0（x0＋2）＋＝x0（x0＋2）＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0＝－.因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞）.
2 / 23.2.2 双曲线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解双曲线的几何图形及简单几何性质 数学抽象、直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合思想，了解双曲线的简单应用 直观想象、数学运算
第1课时 双曲线的简单几何性质
如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线的性质，研究建造冷却水塔呢？
【问题】 （1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？
（2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图形
性质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝
范围 或 ，y∈ 或 ，x∈
对称性 对称轴： ；对称中心：
性质 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长：
离心率 e＝ ∈
渐近线 y＝ y＝
提醒 （1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线.
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴 的双曲线叫做 ，它的渐近线方程为 .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.（ ）
（2）双曲线－＝1与－＝1（a＞0，b＞0，a≠b）的渐近线方程相同.（ ）
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.（ ）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.（ ）
2.双曲线－y2＝1的顶点坐标是（ ）
A.（4，0），（0，1） B.（－4，0），（4，0）
C.（0，1），（0，－1） D.（－4，0），（0，－1）
3.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1或－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
4.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 .
题型一 由双曲线的标准方程研究几何性质
【例1】 求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
【跟踪训练】
1.双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是（ ）
A.2 B.2
C.4 D.4
2.（2024·滨州月考）设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±2x D.y＝±x
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
（2）求过点（2，－2）且与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线的标准方程.
通性通法
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧：
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2＜λ＜a2）；
②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）.
【跟踪训练】
求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（－3，2）；
（2）以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为（0，2）.
题型三 双曲线的离心率
【例3】 （1）如果椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为 ；
（2）（2024·东营月考）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 .
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b，可利用e＝求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程（不等式），借助于e＝，转化为关于e的方程（不等式）求解.
【跟踪训练】
1.已知双曲线－＝1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.或2 D.
2.如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 .
1.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
2.（2024·南通月考）已知双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，则m2＝（ ）
A.5 B.
C. D.25
3.（多选）已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A.实轴长为8 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
4.已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的标准方程.
等轴双曲线与共轭双曲线
一、等轴双曲线
等轴双曲线有如下性质：
（1）方程形式为x2－y2＝λ（λ≠0），当λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上，当不确定焦点所在坐标轴时，千万注意不要设成x2－y2＝a2；
（2）渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长相等，离心率e＝.
【例1】 已知双曲线的实轴长等于虚轴长，且经过点（5，3），则该双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
二、共轭双曲线
1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.
2.性质：（1）一对共轭双曲线有相同的渐近线；
（2）一对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线x＝±a及y＝±b的四个交点，以及两双曲线的四个焦点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为c（半焦距）；
（4）由于e1＝，e2＝，则＋＝＋＝1，可知共轭双曲线的离心率虽不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
【例2】 已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A（2，－3）.若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，求双曲线M的标准方程.
【迁移应用】
求离心率e＝，且过点M（－5，3）的双曲线的标准方程.
第1课时 双曲线的简单几何性质
【基础知识·重落实】
知识点一
2c x≤－a x≥a R y≤－a y≥a
R 坐标轴 原点 A1A2 2a B1B2 2b a b （1，＋∞） ±x ±x
知识点二
等长 等轴双曲线 y＝±x
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.B
3.B
4. 解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝，∴＝tan＝1，∴e＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1，
所以焦点在x轴上，a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.
由c＝＝，得焦点坐标为（，0），（－，0）.
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练
1.D 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝8，a＝2，故实轴长2a＝4.故选D.
2.B 由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.故选B.
【例2】 解：（1）由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（2）因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2），得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化成标准方程为－＝1.
跟踪训练
解：（1）设所求双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）.
因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝.
由题意得解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）因为一个焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上.因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ（λ＞0），即－＝1，故22＝λ＋，解得λ＝3，所以双曲线的标准方程为－x2＝1.
【例3】 （1） （2） 解析：（1）由椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴双曲线的离心率e＝＝＝＝.
（2）不妨设焦点F（c，0），虚轴的端点B（0，b），则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1（斜率为－的直线显然不符合），即b2＝ac.又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝（负值舍去）.
跟踪训练
1.A 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由已知得＝tan 或＝tan ，所以a＝或a＝（舍去）.又b＝，所以c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝.
2.（2，＋∞） 解析：如图，因为｜AO｜＝｜AF｜，F（c，0），所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以＞a，所以e＝＞2.
随堂检测
1.A 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
2.A 双曲线x2－＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±｜m｜x，由渐近线方程为y＝±x，可得｜m｜＝，可得m2＝5.故选A.
3.ABD 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
4.解：在椭圆中，a2＝13，b2＝3，所以c＝＝，焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），焦点在x轴上，
所以双曲线的焦点也在x轴上，且c1＝c＝.
由e＝，得＝，所以a1＝2，
所以＝8，＝－＝10－8＝2.
故该双曲线的标准方程为－＝1.
拓视野 等轴双曲线与共轭双曲线
【例1】 B 因为双曲线的实轴长等于虚轴长，所以该双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ（λ≠0）.又其经过点（5，3），所以λ＝52－32＝16，所以该双曲线的标准方程为－＝1.
【例2】 解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t（t≠0）.
∵点A（2，－3）在双曲线E上，
∴－＝t，解得t＝－.
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
∴双曲线M的标准方程为－＝1.
迁移应用
解：由离心率e＝，知所求的双曲线是等轴双曲线，
因此可设方程为x2－y2＝k（k≠0）.
把M（－5，3）代入上述方程，得k＝16.
因此所求的双曲线的标准方程为－＝1.
3 / 4(共68张PPT)
3.2.2
双曲线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解双曲线的几何图形及简单几何性质 数学抽象、
直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结
合思想，了解双曲线的简单应用 直观想象、
数学运算
第1课时
双曲线的简单几何性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，冷却水塔的外形是双曲线的一部分，那么如何利用双曲线
的性质，研究建造冷却水塔呢？
【问题】 （1）从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那
么是否与椭圆一样有范围限制？
（2）双曲线是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对
称图形？对称中心是哪个点？
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 － ＝1 （ a ＞0， b ＞0） － ＝1
（ a ＞0， b ＞0）
图形
性质 焦点 F1（－ c ，0）， F2
（ c ，0） F1（0，－ c ）， F2（0，
c ）
焦距 ｜ F1 F2｜＝
2 c
标准方程 － ＝1 （ a ＞0， b ＞0） － ＝1
（ a ＞0， b ＞0）
性质 范围 或
， y ∈ 或
，
x ∈
对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点 A1（－ a ，0）， A2
（ a ，0） A1（0，－ a ）， A2（0，
a ）
x ≤－ a
x
≥ a
R
y ≤－ a
y ≥
a
R
坐标轴
原点
标准方程 － ＝1 （ a ＞0， b ＞0） － ＝1
（ a ＞0， b ＞0）
性质 轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长：
离心率 e ＝ ∈
渐近线 y ＝ y ＝
A1 A2
2 a
B1 B2
2 b
a
b
（1，＋∞）
± x
± x
提醒 （1）椭圆与双曲线的离心率都是 e ，但其范围不一样，椭圆的
离心率0＜ e ＜1，而双曲线的离心率 e ＞1；（2）当双曲线的方程确
定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无
数条双曲线.
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴 的双曲线叫做 ，它的渐近线方程
为 .
等长
等轴双曲线
y ＝± x
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.
（ × ）
（2）双曲线 － ＝1与 － ＝1（ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）的渐
近线方程相同. （ × ）
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e ＝ . （ √ ）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔. （ √ ）
×
×
√
√
2. 双曲线 － y2＝1的顶点坐标是（ ）
A. （4，0），（0，1）
B. （－4，0），（4，0）
C. （0，1），（0，－1）
D. （－4，0），（0，－1）
3. 中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是
（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1或 － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1或 － ＝1
4. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的两条渐近线互相垂直，则该
双曲线的离心率为 .
解析：由题意知渐近线与 x 轴的夹角θ＝ ，∴ ＝tan ＝1，∴ e ＝
＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由双曲线的标准方程研究几何性质
【例1】 求双曲线25 y2－4 x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点
坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
解：双曲线的方程25 y2－4 x2＋100＝0可化为 － ＝1，
所以焦点在 x 轴上， a2＝25， b2＝4，因此实半轴长 a ＝5，虚半轴长 b
＝2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.
由 c ＝ ＝ ，0），（－ ，0）.
离心率 e ＝ ＝ ，渐近线方程为 y ＝± x .
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定 a ， b 的值；
（3）由 c2＝ a2＋ b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质.
【跟踪训练】
1. 双曲线2 x2－ y2＝－8的实轴长是（ ）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
解析： 双曲线方程可变形为 － ＝1，所以 a2＝8， a ＝2
，故实轴长2 a ＝4 .故选D.
2. （2024·滨州月考）设双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的虚轴长
为2，焦距为2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y ＝± x B. y ＝± x
C. y ＝±2 x D. y ＝± x
解析： 由已知可得2 b ＝2，2 c ＝2 ，∴ b ＝1， c ＝ ，∴ a
＝ ＝ ＝ ，∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ＝±
x ＝± x .故选B.
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
解： 由两顶点间的距离是6，得2 a ＝6，即 a ＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2 c ＝4 a ＝12，即 c
＝6，
于是有 b2＝ c2－ a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为
－ ＝1或 － ＝1.
（2）求过点（2，－2）且与双曲线 － y2＝1有共同渐近线的双曲线
的标准方程.
解： 因为所求双曲线与双曲线 － y2＝1有相同的渐近
线，所以可设所求双曲线的方程为 － y2＝λ（λ≠0），代入点
（2，－2），得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为 － y2＝－
2，化成标准方程为 － ＝1.
通性通法
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法
转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方
程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧：
①与双曲线 － ＝1共焦点的双曲线方程可设为 －
＝1（λ≠0，－ b2＜λ＜ a2）；
②与双曲线 － ＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为
－ ＝λ（λ≠0）；
③渐近线方程为 ax ± by ＝0的双曲线方程可设为 a2 x2－ b2 y2＝λ
（λ≠0）.
【跟踪训练】
求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经过点 M （－3，
2 ）；
解： 设所求双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.
因为 e ＝ ，所以 e2＝ ＝ ＝1＋ ＝ ＝ .
由题意得
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
（2）以直线 x ± y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为（0，2）.
解： 因为一个焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在
y 轴上.因为渐近线方程为 x ± y ＝0，所以可设双曲线方程为 y2
－3 x2＝λ（λ＞0），即 － ＝1，故22＝λ＋ ，解得λ＝3，所
以双曲线的标准方程为 － x2＝1.
题型三 双曲线的离心率
【例3】 （1）如果椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，那
么双曲线 － ＝1的离心率为 ；
解析： 由椭圆的离心率为 ＝ ，∴ a2＝4 b2.
∴双曲线的离心率 e ＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）（2024·东营月考）设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点
为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲
线的离心率为 .
解析： 不妨设焦点 F （ c ，0），虚轴的端点 B （0， b ），
则 kFB ＝－ .又渐近线的斜率为± ，所以由直线垂直得－ · ＝
－1 ，即 b2＝ ac .又 c2－ a2＝ b2，
故 c2－ a2＝ ac ，两边同除以 a2，得方程 e2－ e －1＝0，解得 e ＝
（负值舍去）.
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c ，可直接利用 e ＝ 求解；若已知 a ， b ，
可利用 e ＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出 a ， b ， c 的具体值，但根据条件可确定
a ， b ， c 之间的关系，可通过 b2＝ c2－ a2，将关系式转化为关
于 a ， c 的齐次方程（不等式），借助于 e ＝ ，转化为关于 e 的
方程（不等式）求解.
【跟踪训练】
1. 已知双曲线 － ＝1（ a ＞ ）的两条渐近线的夹角为 ，则双
曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C. 或2 D.
解析： 双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，由已知得 ＝tan
＝tan ，所以 a ＝ 或 a ＝ （舍去）.又 b ＝ ，所以 c ＝2
，所以双曲线的离心率 e ＝ ＝ .
2. 如果双曲线 － ＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离
相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是
.
解析：如图，因为｜ AO ｜＝｜ AF ｜， F （ c ，
0），所以 xA ＝ ，因为 A 在右支上且不在顶点
处，所以 ＞ a ，所以 e ＝ ＞2.
（2，＋
∞）
1. 中心在原点，焦点在 x 轴上，且一个焦点在直线3 x －4 y ＋12＝0上
的等轴双曲线的方程是（ ）
A. x2－ y2＝8 B. x2－ y2＝4
C. y2－ x2＝8 D. y2－ x2＝4
解析： 令 y ＝0，得 x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－
4，0），∴ c ＝4， a2＝ b2＝ c2＝ ×16＝8，故选A.
2. （2024·南通月考）已知双曲线 x2－ ＝1的渐近线方程为 y ＝±
x ，则 m2＝（ ）
A. 5 B.
C. D. 25
解析： 双曲线 x2－ ＝1的焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y ＝
±｜ m ｜ x ，由渐近线方程为 y ＝± x ，可得｜ m ｜＝ ，可得
m2＝5.故选A.
3. （多选）已知双曲线方程为 x2－8 y2＝32，则（ ）
A. 实轴长为8 B. 虚轴长为4
C. 焦距为6 D. 离心率为
解析： 双曲线方程 x2－8 y2＝32化为标准方程为 － ＝1，
可得 a ＝4 ， b ＝2， c ＝6，所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长
为4，焦距为12，离心率为 .
4. 已知双曲线的离心率 e ＝ ，且与椭圆 ＋ ＝1有共同的焦点，
求该双曲线的标准方程.
解：在椭圆中， a2＝13， b2＝3，所以 c ＝ ＝ ，焦点坐
标为 F1（－ ，0）， F2（ ，0），焦点在 x 轴上，
所以双曲线的焦点也在 x 轴上，且 c1＝ c ＝ .
由 e ＝ ＝ ，所以 a1＝2 ，
所以 ＝8， ＝ － ＝10－8＝2.
故该双曲线的标准方程为 － ＝1.
等轴双曲线与共轭双曲线
一、等轴双曲线
等轴双曲线有如下性质：
（1）方程形式为 x2－ y2＝λ（λ≠0），当λ＞0时焦点在 x 轴上，λ＜0时
焦点在 y 轴上，当不确定焦点所在坐标轴时，千万注意不要设成
x2－ y2＝ a2；
（2）渐近线方程为 y ＝± x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和
虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长相等，离心率 e ＝ .
【例1】 已知双曲线的实轴长等于虚轴长，且经过点（5，
3），则该双曲线的标准方程为（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析： 因为双曲线的实轴长等于虚轴长，所以该双曲线是等
轴双曲线，设其方程为 x2－ y2＝λ（λ≠0）.又其经过点（5，
3），所以λ＝52－32＝16，所以该双曲线的标准方程为 －
＝1.
二、共轭双曲线
1. 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双
曲线是一对共轭双曲线.
2. 性质：（1）一对共轭双曲线有相同的渐近线；
（2）一对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线 x ＝± a 及 y ＝± b 的四个交点，以
及两双曲线的四个焦点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径
为 c （半焦距）；
（4）由于 e1＝ ， e2＝ ，则 ＋ ＝ ＋ ＝1，可知共轭双曲
线的离心率虽不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
【例2】 已知双曲线 E 与双曲线 － ＝1共渐近线，且过
点 A （2 ，－3）.若双曲线 M 以双曲线 E 的实轴为虚轴，虚
轴为实轴，求双曲线 M 的标准方程.
解：由题意，设双曲线 E 的方程为 － ＝ t （ t ≠0）.
∵点 A （2 ，－3）在双曲线 E 上，
∴ － ＝ t ，解得 t ＝－ .
∴双曲线 E 的标准方程为 － ＝1.
又双曲线 M 与双曲线 E 互为共轭双曲线，
∴双曲线 M 的标准方程为 － ＝1.
【迁移应用】
求离心率 e ＝ ，且过点 M （－5，3）的双曲线的标准方程.
解：由离心率 e ＝ ，知所求的双曲线是等轴双曲线，
因此可设方程为 x2－ y2＝ k （ k ≠0）.
把 M （－5，3）代入上述方程，得 k ＝16.
因此所求的双曲线的标准方程为 － ＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 双曲线 x2－4 y2＝－8的渐近线方程为（ ）
A. y ＝±2 x B. y ＝± x
C. y ＝± x D. y ＝± x
解析： 由题意双曲线的标准方程为 － ＝1，则其焦点在 y 轴
上， a ＝ ， b ＝2 ，则其渐近线方程为 y ＝± x ＝± x .
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2. 已知双曲线 － ＝1（ a ＞0）的右焦点为（3，0），则双曲线的
离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知 a2＋5＝9，解得 a ＝2， e ＝ ＝ .
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3. （2024·镇江月考）以椭圆 ＋ ＝1的焦点为顶点，长轴的端点为
焦点的双曲线的方程是（ ）
A. － y2＝1 B. y2－ ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
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解析： 椭圆 ＋ ＝1的焦点为 F1（0，1）， F2（0，－1），
长轴的端点为 A1（0，2）， A2（0，－2），所以所求双曲线中， a
＝1， c ＝2，所以 b2＝3，焦点在 y 轴上，故双曲线的方程为 y2－
＝1.
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4. 双曲线 mx2＋ y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则 m ＝（ ）
A. 4 B. －4
C. － D.
解析： 由双曲线方程 mx2＋ y2＝1，知 m ＜0，则双曲线方程可化
为 y2－ ＝1，则 a2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴ b ＝
2，∴－ ＝ b2＝4，∴ m ＝－ ，故选C.
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5. 如图，双曲线 C ： － ＝1的左焦点为 F1，双曲线上的点 P1与 P2
关于 y 轴对称，则｜ P2 F1｜－｜ P1 F1｜＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 设 F2为右焦点，连接 P2 F2（图略），由双曲线的对称
性，知｜ P1 F1｜＝｜ P2 F2｜，所以｜ P2 F1｜－｜ P1 F1｜＝｜ P2
F1｜－｜ P2 F2｜＝2×3＝6.
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6. （多选）关于双曲线 C1：4 x2－9 y2＝－36与双曲线 C2：4 x2－9 y2＝
36的说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点 B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线
解析： 两方程均化成标准方程为 － ＝1和 － ＝1，这
里均有 c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在 y 轴上，
另一个在 x 轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为 y ＝
± x ，故D正确； C1的离心率 e1＝ ， C2的离心率 e2＝ ，故C
错误，故选B、D.
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7. 写出一个渐近线方程为 y ＝± x 的双曲线的标准方程为
.
解析：渐近线方程为 y ＝± x 的双曲线，可知 a ＝ b ，不妨设 a ＝ b ＝
1，所以一个渐近线方程为 y ＝± x 的双曲线的标准方程为： x2－ y2
＝1.
x2－ y2＝1
（答案不唯一）
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8. （2024·洛阳月考）已知双曲线 － ＝1（ a ＞0）的离心率为2，
则 a ＝ .
解析：由题意得 e ＝ ＝2，∴ ＝2 a ，∴ a2＋3＝4 a2，
∴ a2＝1，∴ a ＝1（负值舍去）.
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9. 双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线为正方形 OABC 的边
OA ， OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的
边长为2，则 a ＝ .
解析：设 B 为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边
形 OABC 为正方形且边长为2，∴ c ＝｜ OB ｜＝2
.又∠ AOB ＝ ，∴ ＝tan ＝1，即 a ＝ b .又
∵ a2＋ b2＝ c2＝8，∴ a ＝2.
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10. 求双曲线4 x2－9 y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴
长、离心率和渐近线方程.
解：双曲线方程可化为： － x2＝1，则双曲线焦点在 y 轴上， a2
＝ ， b2＝1，所以 c2＝ ＋1＝ ；所以 a ＝ ， b ＝1， c ＝ ，
所以顶点坐标为（0，± ）；焦点坐标为（0，± ）；实轴长为
2 a ＝ ；虚轴长为2 b ＝2，离心率 e ＝ ＝ ；渐近线方程为 y ＝
± x ＝± x .
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11. 某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图形，
如图②所示，篮球的外轮廓为圆 O ，将篮球表面的粘合线看成坐
标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八
等分， AB ＝ BC ＝ CD ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 以 O 为原点， AD 所在的直线为 x 轴建
立如图所示平面直角坐标系，设双曲线方程为
－ ＝1（ a ＞0， b ＞0），不妨设｜ AB ｜＝
｜ BO ｜＝｜ OC ｜＝｜ CD ｜＝1，则该双曲线过点（ ），且 a ＝1，所以 － ＝1，解得 b2＝2，所以 c2＝ a2＋ b2＝3，得 c ＝ ，所以双曲线的离心率为 e ＝ ＝ ，故选C.
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12. （多选）已知 F1， F2分别是双曲线 C ： y2－ x2＝1的上、下焦点，
点 P 是其一条渐近线上一点，且以线段 F1 F2为直径的圆经过点
P ，则（ ）
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝± x
B. 以 F1 F2为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝1
C. 点 P 的横坐标为±1
D. △ PF1 F2的面积为
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解析： 等轴双曲线 C ： y2－ x2＝1的渐近线方程为 y ＝± x ，
故A正确.由双曲线的方程可知｜ F1 F2｜＝2 ，所以以 F1 F2为直
径的圆的方程为 x2＋ y2＝2，故B错误.设点 P （ x0， y0），由点 P 在
圆 x2＋ y2＝2上，且在直线 y ＝ x 上，所以 解得
｜ x0｜＝1，则点 P 的横坐标为±1，故C正确.由上述分析可得△ PF1
F2的面积为 ×2 ×1＝ ，故D正确.故选A、C、D.
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13. 能说明“若 mn ≠0，则方程 ＋ ＝1表示的曲线为焦点在 y 轴上
且渐近线方程为 y ＝2 x 的双曲线”的一组 m ， n 的值
是 .
解析：设焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ＝2 x 的双曲线的方程为
－ x2＝λ（λ＞0），即 － ＝1（λ＞0），所以（λ＞
0），不妨令λ＝1，所以
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14. （2024·绍兴质检）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与
双曲线 － ＝1有相同的渐近线，且经过点 M （ ，－ ）.
（1）求双曲线 C 的方程；
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解： 在双曲线 － ＝1中，a'＝2，b'＝ ，渐
近线方程为 y ＝± x ＝± x .
∵双曲线 C ： － ＝1与双曲线 － ＝1有相同的渐
近线，
∴ ＝ ，∴方程可化为 － ＝1.
又双曲线 C 经过点 M （ ，－ ），
∴ － ＝1，解得 a ＝1，∴ b ＝ ，
∴双曲线 C 的方程为 x2－ ＝1.
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（2）求双曲线 C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
解： 由（1）知双曲线 C ： x2－ ＝1，且 a ＝1， b ＝
，
∴ c ＝ ，
∴实轴长2 a ＝2，离心率 e ＝ ＝ .
∵双曲线 C 的一个焦点为（－ ，0），一条渐近线方程为
y ＝ x ，
∴ d ＝ ＝ ，
即双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 .
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15. 已知 F1， F2分别为双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、
右焦点，双曲线的离心率为2，点 P 在双曲线 C 的右支上，且 PF1
的中点 N 在圆 O ： x2＋ y2＝ c2上，其中 c 为双曲线的半焦距，则 sin
∠ F1 PF2＝ .
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解析：如图，由题意可得｜ OF1｜＝｜ ON ｜＝
c ，因为 O 为 F1 F2的中点，所以｜ ON ｜＝ ｜
PF2｜，所以｜ PF2｜＝2 c ，｜ PF1｜＝2 a ＋2
c ，因为双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）
的离心率为2，所以 c ＝2 a ，故在△ F1 PF2
中，｜ PF1｜＝6 a ，｜ PF2｜＝｜ F1 F2｜＝4
a ， sin ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝ .
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16. 若点 O （0，0）和点 F （－2，0）分别为双曲线 － y2＝1（ a ＞
0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，求 ·
的取值范围.
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解：因为 F （－2，0）是已知双曲线的左焦点，所以 a2＋1＝4，
即 a2＝3，所以双曲线方程为 － y2＝1.设点 P （ x0， y0）（ x0≥
－ ＝1（ x0≥ ＝ －1（ x0≥
＝（ x0＋2， y0）， ＝（ x0， y0），所以 ·
＝ x0（ x0＋2）＋ ＝ x0（ x0＋2）＋ －1＝ ＋2 x0－1，此二
次函数对应的图象的对称轴方程为 x0＝－ .因为 x0≥ ，所以当
x0＝ · ×3＋2 －1＝3＋2
· 的取值范围是[3＋2 ，＋∞）.
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