3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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名称 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册
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文件大小 3.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-02 21:11:21

文档简介

第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·周口月考)直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是(  )
A.(1,2) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(2,1)
3.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(  )
A.     B.
C.     D.
4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的方程为(  )
A.x2-y2=6 B.x2-y2=9
C.x2-y2=16 D.x2-y2=25
5.(多选)双曲线的标准方程为x2-=1,则下列说法正确的是(  )
A.该曲线两顶点的距离为2
B.该曲线与双曲线y2-=1有相同的渐近线
C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D.该曲线与直线l:y=(x-2)有且仅有一个公共点
6.(多选)(2024·湖州月考)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有(  )
A.3y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
7.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则离心率e的取值范围是    .
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m=    .
9.设动点M到定点F(3,0)的距离与它到直线l:x=的距离之比为,则点M的轨迹方程为    .
10.双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,且经过点(3,-2).
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
11.(2024·扬州月考)若直线y=kx与双曲线x2-y2=1的两支各有一个交点,则实数k的取值范围是(  )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
12.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有(  )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
13.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为    .
14.(2024·漳州月考)已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线斜率的取值范围.
15.已知点A(3,1),双曲线x2-=1,F为双曲线的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则2|PA|+|PF|的最小值为    ,此时点P的坐标为    .
16.(2024·郑州月考)祖暅,祖冲之之子,是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上,离心率为,且过点(,2).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线x=0,x=1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
1.B 直线与双曲线有唯一公共点时,直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时);直线与双曲线相切时,直线与双曲线一定有唯一公共点.
2.C 将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,纵坐标为-1-1=-2,即中点坐标为(-1,-2).
3.D 由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以|PF|=3.又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.
4.B 设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),与y=x联立,得x2-a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=0,x1·x2=-,∴|AB|=×a=2,∴a=3,故选B.
5.CD 由已知双曲线中a=1,b=,则c=2,顶点为(1,0)和(-1,0),距离为2,A错误;该双曲线的渐近线方程是y=±x,而双曲线y2-=1的渐近线方程是y=±x,不相同,B错误;该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为c-a=1,C正确;直线l与该双曲线的一条渐近线平行,与双曲线有且仅有一个公共点,D正确.故选C、D.
6.AB 因为|PM|-|PN|=6<|MN|=10,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即点P的轨迹方程为-=1(x≥3).根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点,下面依次联立方程,消去y,判断所得方程有无正根即可.对于A,联立得消y得15x2-2x-145=0,因为Δ=(-2)2-4×15×(-145)>0,且x1x2<0,所以3y=x+1是“单曲型直线”.对于B,联立得消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.对于C,联立得整理得0=1,显然不成立,所以y=x不是“单曲型直线”.对于D,联立得消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.综上,是“单曲型直线”的有A、B.
7.(1,] 解析:由题意可得,≤2,所以e=≤.又e>1,所以离心率e的取值范围是(1,].
8.±1 解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.
9.-=1 解析:设点M的坐标为(x,y),点M到直线l的距离为d,由已知得=,即|MF|=d,∵点F(3,0),直线l的方程为x=,∴|MF|==,d=|x-|,∴=|x-|,整理得-=1,∴点M的轨迹方程是-=1.
10.解:(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得λ=6,
所以所求双曲线的方程为-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3),
联立消去y得x2-18x+33=0,因为Δ>0,
由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,
所以|AB|=·|x1-x2|=·=2=16,即弦长|AB|=16.
11.C 直线y=kx过原点,且与双曲线x2-y2=1的两支各有一个交点,可得直线y=kx一定在两渐近线之间,如图.因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以k∈(-1,1).
12.C 设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l的斜率不存在时,其方程为x=,由得y=±2,∴|AB|=|y1-y2|=4,满足题意.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-),由消去y,得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0.当2-k2≠0时,x1+x2=,x1x2=,则|AB|===·==4,解得k=±;当2-k2=0时,直线l分别与双曲线的一条渐近线平行,最多有一个交点,不满足题意,故这样的直线l有3条.
13.2+ 解析:如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得-=1,化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b=(2a-c),化简可得离心率e==2+.
14.解:(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-=1(a>0),
由实轴长为2,得2a=2,故a=1,
则双曲线的标准方程为x2-y2=1.
(2)因为过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,
所以该直线斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行,故设直线方程为y=kx+1,k≠±1,
联立消去y,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,
则满足<0,解得-1<k<1,
即该直线斜率的取值范围为(-1,1).
15.5 (,1) 解析:由已知得双曲线的离心率e==2,双曲线右准线方程为x==,那么点P到右准线的距离d=|PF|,从而2|PA|+|PF|=2(|PA|+|PF|)=2(|PA|+d).|PA|+d的最小值为点A到右准线的距离,即3-=,因而2|PA|+|PF|的最小值为5,将y=1代入双曲线方程,得此时点P坐标为(,1).
16.解:(1)∵双曲线C的离心率e==,∴c=a,
∴c2=a2+b2=a2,∴b2=a2,
∴双曲线的方程为-=1,过点(,2),即-=1,a2=3,b2=1,
∴双曲线方程为-x2=1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±x,
取直线x=m(0≤m≤1),代入-x2=1,得y=,
代入y=x,得y=m,
∴直线x=m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S=(3+3m2)π-3m2π=3π.
又高度为1,故根据祖暅原理,该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为,高为1的圆柱“幂势相同”,故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
2 / 2第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
题型一 直线与双曲线的位置关系
【例1】 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的交点,确定满足条件的实数k的取值范围.
通性通法
1.解决直线与双曲线的交点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个交点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
【跟踪训练】
1.直线y=mx+1与双曲线x2-y2=1有公共点,则m的取值范围是    .
2.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率k.
题型二 双曲线第二定义及应用
【例2】 (1)(2024·烟台质检)点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,则点M的轨迹方程为    ;
(2)点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,则点M的轨迹方程为    .
通性通法
  双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线x=-的距离的比或到右焦点的距离与到右准线x=的距离的比是该双曲线的离心率,显然当0<e<1时为椭圆,当e>1时为双曲线.
【跟踪训练】
 双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,则P到右准线的距离为(  )
A.   B.  
C.   D.
题型三 弦长公式及中点弦问题
【例3】 (1)已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为(  )
A.3 B.4
C.6 D.6
(2)(2024·金华月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB的中点为Q(12,15),则双曲线C的离心率为(  )
A.2 B.
C. D.
通性通法
  双曲线中有关弦长问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
 已知斜率为2的直线l截双曲线-=1所得弦长为,求直线l的方程.
1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是(  )
A.1 B.2
C.1或2 D.0
2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16有两个公共点,则实数k的取值范围为(  )
A.(-2,2) B.[-2,2)
C.(-2,2] D.[-2,2]
3.(2024·开封月考)经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(  )
A. B.
C. D.7
4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1上有一点M,点M的横坐标是3,则点M到双曲线右焦点的距离是    .
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得-<k<且k≠±1,
此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的交点.
跟踪训练
1.[-,] 解析:由得(1-m2)x2-2mx-2=0,当1-m2=0,即m=±1时,若m=1,解得x=-1,若m=-1,解得x=1,所以m=±1时满足条件.当1-m2≠0时,则Δ=4m2+8(1-m2)≥0,解得-≤m≤且m≠±1.综上所述,m的取值范围是-≤m≤.
2.解:①当直线l的斜率不存在时,l:x=1与双曲线相切,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1,
代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
当4-k2=0,即k=±2时,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个公共点;
当4-k2≠0时,令Δ=0,得k=.
综上,k=或k=±2或k不存在时,直线l与双曲线只有一个公共点.
【例2】 (1)-=1 (2)+=1 解析:(1)
d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M|=},由此得=.将上式两边平方,并化简,得9x2-16y2=144,即-=1.
(2)
设M(x,y),d是点M到直线l:x=8的距离,根据题意,点M的轨迹就是集合P=,由此得=,将上式两边平方,并化简,得3x2+4y2=48,即+=1.
跟踪训练
 C 由题意,可得a2=9,b2=4,即a=3,b=2,c==,可得双曲线的离心率为e==,因为双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,即|PF2|=3,可得点P到右准线的距离为d==.故选C.
【例3】 (1)D (2)B 解析:(1)双曲线C:-=1,则c2=4,∴右焦点为F(2,0),根据题意易得过F的直线斜率存在,设方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),联立化简得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,∴xA+xB=,xAxB=.∵线段AB中点的横坐标为4,∴xA+xB==8,解得k2=2,∴xAxB==10,则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24,则|AB|===6.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由线段AB的中点为Q(12,15),得x1+x2=24,y1+y2=30.由两式相减得=,则==.由直线l的斜率k==1,得=1,则=.则双曲线C的离心率e===.故选B.
跟踪训练
 解:设直线l的方程为y=2x+m,与-=1联立消去y得10x2+12mx+3m2+6=0.设直线l与双曲线-=1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=.
∴|AB|=·===,解得m=±.∴直线l的方程为y=2x±.
随堂检测
1.A 因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有一个交点,故选A.
2.A 易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2<k<2.
3.B 双曲线x2-y2=8的右焦点为(4,0),经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4),代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0,设交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=24,所以直线被双曲线截得的线段的长为×=.
4.4 解析:令d为点M到右准线x=1的距离,则=e==2,∵d=2,∴|MF|=4.
2 / 2(共56张PPT)
第2课时 
双曲线的标准方程及性质
的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与双曲线的位置关系
【例1】 已知双曲线 x2- y2=4,直线 l : y = k ( x -1),直线 l 与
双曲线有两个不同的交点,确定满足条件的实数 k 的取值范围.
解:联立消去 y ,得(1- k2) x2+2 k2 x - k2-4=0.(*)
当1- k2≠0,即 k ≠±1时,
Δ=(2 k2)2-4(1- k2)(- k2-4)=4(4-3 k2).
由得- < k < 且 k ≠±1,
此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线 l 与双曲线有两个不同的
交点.
通性通法
1. 解决直线与双曲线的交点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次
项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
2. 双曲线与直线只有一个交点的题目,应分两种情况讨论:直线与双
曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论.

解析:由得(1- m2) x2-2 mx -2=0,当1- m2=
0,即 m =±1时,若 m =1,解得 x =-1,若 m =-1,解得 x =1,
所以 m =±1时满足条件.当1- m2≠0时,则Δ=4 m2+8(1- m2)
≥0,解得- ≤ m ≤ 且 m ≠±1.综上所述, m 的取值范围是-
≤ m ≤ .
[- , ] 
2. 已知双曲线 x2- =1,过点 P (1,1)的直线 l 与双曲线只有一个
公共点,求直线 l 的斜率 k .
解:①当直线 l 的斜率不存在时, l : x =1与双曲线相切,符合
题意.
②当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y = k ( x -1)+1,
代入双曲线方程,得(4- k2) x2-(2 k -2 k2) x - k2+2 k -
5=0.
当4- k2=0,即 k =±2时, l 与双曲线的渐近线平行, l 与双曲
线只有一个公共点;
当4- k2≠0时,令Δ=0,得 k = .
综上, k = 或 k =±2或 k 不存在时,直线 l 与双曲线只有一个
公共点.
题型二 双曲线第二定义及应用
【例2】 (1)(2024·烟台质检)点 M ( x , y )到定点 F (5,0)
的距离和它到定直线 l : x = 的距离的比是常数 ,则点 M 的轨迹方
程为 ;
- =1 
解析: 设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据
题意,所求轨迹就是集合 P =
= .将上式两边平
方,并化简,得9 x2-16 y2=144,即 -
=1.
解析: 设 M ( x , y ), d 是点 M 到直线 l : x =8的距离,
根据题意,点 M 的轨迹就是集合 P = = ,将上式两边平方,并化简,
得3 x2+4 y2=48,即 + =1.
(2)点 M 与定点 F (2,0)的距离和它到定直线 x =8的距离的比是
1∶2,则点 M 的轨迹方程为 .
+ =1 
通性通法
  双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线 x =- 的距离的
比或到右焦点的距离与到右准线 x = 的距离的比是该双曲线的离心
率,显然当0< e <1时为椭圆,当 e >1时为双曲线.
【跟踪训练】
 双曲线 - =1上一点 P 到右焦点的距离为3,则 P 到右准线的距
离为(  )
解析:  由题意,可得 a2=9, b2=4,即 a =3, b =2, c =
= ,可得双曲线的离心率为 e = =
- =1上一点 P 到右焦点的距离为3,即| PF2|=3,可得点 P 到右
准线的距离为 d = = .故选C.
题型三 弦长公式及中点弦问题
【例3】 (1)已知双曲线 C : x2- y2=2,过右焦点的直线交双曲线
于 A , B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为4,则弦 AB 的长为
( D )
C. 6
D
解析: 双曲线 C : - =1,则 c2=4,∴右焦点为 F
(2,0),根据题意易得过 F 的直线斜率存在,设方程为 y = k
( x -2), A ( xA , yA ), B ( xB , yB ),联立
化简得(1- k2) x2+4 k2 x -4 k2-2=0,∴ xA +
xB = , xAxB = .∵线段 AB 中点的横坐标为4,∴ xA +
xB = =8,解得 k2=2,∴ xAxB = =10,则( xA -
xB )2=( xA + xB )2-4 xAxB =82-4×10=24,则| AB |=
= =6 .
(2)(2024·金华月考)已知双曲线 C : - =1( a >0, b >
0),过点 P (3,6)的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段
AB 的中点为 Q (12,15),则双曲线 C 的离心率为( B )
A. 2
B
解析:设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),由线段 AB 的中点为 Q
(12,15),得 x1+ x2=24, y1+ y2=30.由
= =
= .由直线 l 的斜率 k = =1,得 =1,则
= .则双曲线 C 的离心率 e = = = .故选B.
通性通法
  双曲线中有关弦长问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题
常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
 已知斜率为2的直线 l 截双曲线 - =1所得弦长为 ,求直线 l
的方程.
解:设直线 l 的方程为 y =2 x + m ,与 - =1联立消去 y 得10 x2+
12 mx +3 m2+6=0.设直线 l 与双曲线 - =1的交点分别为 A
( x1, y1), B ( x2, y2),
由一元二次方程根与系数的关系得 x1+ x2=- m , x1 x2= .
∴| AB |= · =
= = ,解得 m =± .∴直线 l 的方程为 y =2 x ± .
1. 直线 y = x +3与双曲线 - =1( a >0, b >0)的交点个数是
(  )
A. 1 B. 2
C. 1或2 D. 0
解析: 因为直线 y = x +3与双曲线的渐近线 y = x 平行,所以
它与双曲线只有一个交点,故选A.
2. 若直线 y = kx 与双曲线4 x2- y2=16有两个公共点,则实数 k 的取值
范围为(  )
A. (-2,2) B. [-2,2)
C. (-2,2] D. [-2,2]
解析:  易知 k ≠±2,将 y = kx 代入4 x2- y2=16得关于 x 的一元
二次方程(4- k2) x2-16=0,由Δ>0可得-2< k <2.
3. (2024·开封月考)经过双曲线 x2- y2=8的右焦点且斜率为2的直线
被双曲线截得的线段的长为(  )
解析:  双曲线 x2- y2=8的右焦点为(4,0),经过双曲线 x2-
y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为 y =2( x -4),代入 x2- y2
=8并整理得3 x2-32 x +72=0,设交点 A ( x1, y1), B ( x2,
y2),则 x1+ x2= , x1 x2=24,所以直线被双曲线截得的线段的
长为 × = .
4. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1上有一点 M ,点 M 的
横坐标是3,则点 M 到双曲线右焦点的距离是 .
解析:令 d 为点 M 到右准线 x =1的距离,则 = e = =2,
∵ d =2,∴| MF |=4.
4 
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. “直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的
(  )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析:  直线与双曲线有唯一公共点时,直线与双曲线不一定相
切(直线与双曲线的渐近线平行时);直线与双曲线相切时,直线
与双曲线一定有唯一公共点.
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2. (2024·周口月考)直线 y = x -1被双曲线2 x2- y2=3所截得的弦的
中点坐标是(  )
A. (1,2) B. (-2,-1)
C. (-1,-2) D. (2,1)
解析:  将 y = x -1代入2 x2- y2=3,得 x2+2 x -4=0,由此可
得弦的中点的横坐标为 = =-1,纵坐标为-1-1=-2,
即中点坐标为(-1,-2).
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3. 已知 F 是双曲线 C : x2- =1的右焦点, P 是 C 上一点,且 PF 与 x
轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△ APF 的面积为(  )
解析:  由 c2= a2+ b2=4得 c =2,所以 F (2,0),将 x =2代入
x2- =1,得 y =±3,所以| PF |=3.又 A 的坐标是(1,3),
故△ APF 的面积为 ×3×(2-1)= .
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4. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,与直线 y = x
交于 A , B 两点,若| AB |=2 ,则该双曲线的方程为(  )
A. x2- y2=6 B. x2- y2=9
C. x2- y2=16 D. x2- y2=25
解析:  设等轴双曲线的方程为 x2- y2= a2( a >0),与 y = x
联立,得 x2- a2=0.设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 x1+ x2=
0, x1· x2=- ,∴| AB |= × a =2 ,∴ a
=3,故选B.
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5. (多选)双曲线的标准方程为 x2- =1,则下列说法正确的是
(  )
C. 该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
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解析:  由已知双曲线中 a =1, b = ,则 c =2,顶点为
(1,0)和(-1,0),距离为2,A错误;该双曲线的渐近线方程
是 y =± x ,而双曲线 y2- =1的渐近线方程是 y =± x ,不相
同,B错误;该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为 c - a =
1,C正确;直线 l 与该双曲线的一条渐近线平行,与双曲线有且仅
有一个公共点,D正确.故选C、D.
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6. (多选)(2024·湖州月考)已知平面上两点 M (-5,0)和 N
(5,0),若直线上存在点 P 使| PM |-| PN |=6,则称该直
线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有(  )
A. 3 y = x +1 B. y =2
D. y =2 x +1
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解析:  因为| PM |-| PN |=6<| MN |=10,所以点 P
在以 M , N 为焦点的双曲线的右支上,即点 P 的轨迹方程为 -
=1( x ≥3).根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交
点,下面依次联立方程,消去 y ,判断所得方程有无正根即可.对于
A,联立得消 y 得15 x2-2 x -145=0,因为Δ=(-
2)2-4×15×(-145)>0,且 x1 x2<0,所以3 y = x +1是“单曲
型直线”.对于B,联立得消 y 得 x2= ,所以 y =2是
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“单曲型直线”.对于C,联立得整理得0=1,显然
不成立,所以 y = x 不是“单曲型直线”.对于D,联立得
消 y 得20 x2+36 x +153=0,因为Δ=362-4×20×153
<0,所以 y =2 x +1不是“单曲型直线”.综上,是“单曲型直线”
的有A、B.
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7. 若双曲线 - =1( a >0, b >0)与直线 y =2 x 无交点,则离心
率 e 的取值范围是 .
解析:由题意可得, ≤2,所以 e = ≤ .又 e >1,
所以离心率 e 的取值范围是(1, ].
(1, ] 
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8. 已知直线 l : x - y + m =0与双曲线 x2- =1交于不同的两点 A ,
B ,若线段 AB 的中点在圆 x2+ y2=5上,则实数 m = .
解析:由消去 y 得 x2-2 mx - m2-2=0.则Δ=4 m2
+4 m2+8=8 m2+8>0.设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 x1+ x2=
2 m , y1+ y2= x1+ x2+2 m =4 m ,所以线段 AB 的中点坐标为
( m ,2 m ).又点( m ,2 m )在 x2+ y2=5上,所以 m2+(2 m )2
=5,得 m =±1.
±1 
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9. 设动点 M 到定点 F (3,0)的距离与它到直线 l : x = 的距离之比
为 ,则点 M 的轨迹方程为   - =1 .
- =1 
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解析:设点 M 的坐标为( x , y ),点 M 到直线 l 的距离为 d ,由已
知得 = ,即| MF |= d ,∵点 F (3,0),直线 l 的方
程为 x = ,∴| MF |= =
, d =| x - |,∴ = | x -
|,整理得 - =1,∴点 M 的轨迹方程是 - =1.
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10. 双曲线的两条渐近线的方程为 y =± x ,且经过点(3,-2
).
(1)求双曲线的方程;
解: 因为双曲线的两条渐近线方程为 y =± x ,
所以可设双曲线的方程为2 x2- y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2 ),代入方程可得λ=6,
所以所求双曲线的方程为 - =1.
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(2)过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于 A , B
两点,求| AB |.
解: 设 A ( x1, y1), B ( x2, y2),
过 F 且倾斜角为60°的直线方程为 y = ( x -3),
联立消去 y 得 x2-18 x +33=0,因为Δ>0,
由根与系数的关系得 x1+ x2=18, x1 x2=33,
所以| AB |= ·| x1- x2|=
· =2 =16 ,即
弦长| AB |=16 .
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11. (2024·扬州月考)若直线 y = kx 与双曲线 x2- y2=1的两支各有一
个交点,则实数 k 的取值范围是(  )
A. (-1,0) B. (0,1)
C. (-1,1) D. (1,+∞)
解析:  直线 y = kx 过原点,且与双曲线 x2
- y2=1的两支各有一个交点,可得直线 y =
kx 一定在两渐近线之间,如图.因为双曲线的
渐近线方程为 y =± x ,所以 k ∈(-1,1).
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12. 过双曲线 x2- =1的右焦点 F 作直线 l ,交双曲线于 A , B 两点,
若| AB |=4,则这样的直线 l 有(  )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
解析: 设 A ( x1, y1), B ( x2, y2).当直线 l 的斜率不存在
时,其方程为 x =得 y =±2,∴| AB |
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=| y1- y2|=4,满足题意.当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y
= k ( x -消去 y ,得(2- k2) x2+2
k2 x -3 k2-2=0.当2- k2≠0时, x1+ x2= , x1 x2=
,则| AB |= =
= · =
=4,解得 k =± ;当2- k2=0时,直线 l 分别与双曲线的一条渐
近线平行,最多有一个交点,不满足题意,故这样的直线 l 有3条.
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13. 过双曲线 C : - =1( a >0, b >0)的右焦点作一条与其渐
近线平行的直线,交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为2 a ,则 C 的离心
率为 .
2+  
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解析:如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l
的斜率为 ,又直线 l 过右焦点 F ( c ,0),则
直线 l 的方程为 y = ( x - c ).因为点 P 的横坐
标为2 a ,代入双曲线方程得 - =1,化简
得 y =- b 或 y = b (点 P 在 x 轴下方,故舍去),故点 P 的坐标为(2 a ,- b ),代入直线方程得- b = (2 a - c ),化简可得离心率 e = =2+ .
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14. (2024·漳州月考)已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上,其渐近线方程
为 y =± x ,实轴长为2.
(1)求双曲线 C 的标准方程;
解: 由双曲线 C 的焦点在 x 轴上,其渐近线方程为 y =
± x ,可设双曲线方程为 - =1( a >0),
由实轴长为2,得2 a =2,故 a =1,
则双曲线的标准方程为 x2- y2=1.
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(2)过点 P (0,1)的直线与双曲线 C 的左、右两支各交于一
点,求该直线斜率的取值范围.
解: 因为过点 P (0,1)的直线与双曲线 C 的左、
右两支各交于一点,
所以该直线斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线
平行,故设直线方程为 y = kx +1, k ≠±1,
联立消去 y ,整理得(1- k2) x2-2 kx -
2=0,
则满足 <0,解得-1< k <1,
即该直线斜率的取值范围为(-1,1).
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15. 已知点 A (3,1),双曲线 x2- =1, F 为双曲线的右焦点, P
是双曲线右支上的动点,则2| PA |+| PF |的最小值
为 ,此时点 P 的坐标为 .
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( ,1) 
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解析:由已知得双曲线的离心率 e = =2,双曲线右准线方程为 x
= = ,那么点 P 到右准线的距离 d = | PF |,从而2| PA |
+| PF |=2(| PA |+ | PF |)=2(| PA |+ d ).| PA |
+ d 的最小值为点 A 到右准线的距离,即3- = ,因而2| PA |
+| PF |的最小值为5,将 y =1代入双曲线方程,得此时点 P 坐
标为( ,1).
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16. (2024·郑州月考)祖暅,祖冲之之子,是我国南宋时期的数学家.
他提出了体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容
异”.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面
积总相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 C 的焦点在 y
轴上,离心率为 ,且过点( ,2 ).
(1)求双曲线的标准方程;
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解: ∵双曲线 C 的离心率 e =
= ,∴ c = a ,
∴ c2= a2+ b2= a2,∴ b2= a2,
∴双曲线的方程为 - =1,过
点( ,2 - =1,
a2=3, b2=1,∴双曲线方程为 - x2=1.
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(2)若直线 x =0, x =1在第一象限内与 C 及其渐近线围成如图
阴影部分所示的图形,求阴影图形绕 x 轴旋转一周所得几何
体的体积.
解: 由(1)知双曲线的渐近
线方程为 y =± x ,
取直线 x = m (0≤ m ≤1),代入
- x2=1,得 y = ,
代入 y = x ,得 y = m ,
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∴直线 x = m 与阴影部分旋转一周所得圆环的面积 S =(3+
3 m2)π-3 m2π=3π.
又高度为1,故根据祖暅原理,该图形绕 x 轴旋转一周所得几
何体与底面半径为 ,高为1的圆柱“幂势相同”,故它绕
x 轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
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谢 谢 观 看!