3.3.1 抛物线及其标准方程(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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名称 3.3.1 抛物线及其标准方程(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.8MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-02 21:11:40

文档简介

3.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线y=-x2的准线方程为(  )
A.x=        B.x=1
C.y=1 D.y=2
2.在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线x+y-3=0的距离相等的点的轨迹是(  )
A.直线 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
3.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是(  )
A.y2=-2x B.y2=2x
C.x2=2y D.x2=-2y
4.(2024·温州月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(  )
A.5 B.
C.-1 D.+1
5.(多选)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(  )
A.y2=x B.x2=8y
C.x2=-8y D.y2=-8x
6.(多选)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线y2=10x的有(  )
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.开口向右,焦点坐标为(5,0)
D.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
7.已知双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则m=    .
8.在抛物线y2=-12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是      .
9.(2024·泰州月考)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2 的距离之和的最小值是    .
10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
11.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是(  )
A.x+4=0 B.x-4=0
C.y2=8x D.y2=16x
12.(多选)设抛物线y2=4x,F为其焦点,P为抛物线上一点,则下列结论正确的是(  )
A.抛物线的准线方程是x=-1
B.当PF⊥x轴时,|PF|取最小值
C.若A(2,3),则|PA|+|PF|的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
13.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,若∠MFO=120°(O为坐标原点),△MNF的周长为12,则|NF|=    .
14.(2024·青岛月考)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
15.(2024·泉州质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为M,点P在抛物线上,且|PM|=|PF|,则△PMF的面积为(  )
A.4 B.8
C.16 D.32
16.已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|BA|为半径,在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同两点M,N,点P为线段MN的中点.
(1)求|AM|+|AN|的值;
(2)是否存在这样的a,使2|AP|=|AM|+|AN|?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.C 抛物线的标准方程为x2=-4y,则准线方程为y=1.
2.A 因为点(1,2)在直线x+y-3=0上,所以所求点的轨迹是过点(1,2)且与直线x+y-3=0垂直的直线,故选A.
3.B 由题意可设抛物线的标准方程为y2=mx(m≠0),则(-)2=m,解得m=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x.
4.C 点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为,即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是-1.
5.AC 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=mx(m≠0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=4m,解得m=1,所以抛物线的标准方程为y2=x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=ny(n≠0),因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2n,解得n=-8,所以抛物线的标准方程为x2=-8y.故选A、C.
6.BD 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B满足,A不满足;易知抛物线开口向右,焦点坐标为(,0),C不满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,F为焦点,则|MF|=1+=1+=,所以D满足.
7.3 解析:由题意得m+1=22,解得m=3.
8.(-6,6)或(-6,-6)
解析:由方程y2=-12x,知焦点F(-3,0),准线l:x=3.设所求点为P(x,y),则由抛物线定义知|PF|=3-x.又|PF|=9,所以3-x=9,x=-6,代入y2=-12x,得y=±6.所以所求点的坐标为(-6,6)或(-6,-6).
9.2 解析:易知直线l2:x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为PF的长度,其中F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知,距离之和的最小值即F到直线l1的距离d==2.
10.解:(1)双曲线方程可化为-=1,左顶点为(-3,0),
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,
∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),
由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.
又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
11.D 依题意可知,点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,所以其方程为y2=16x.故选D.
12.ACD 对于A,抛物线的准线方程为x=-=-1,故A正确;对于B,设P(x0,y0),则x0≥0,=4x0,F(1,0),则|PF|==x0+1≥1,当x0=0时取得最小值,此时P(0,0)在原点,故B错误;对于C,A在抛物线外部,故当P,A,F三点共线时|PA|+|PF|取得最小值,为|AF|==,故C正确;
对于D,过点P作准线的垂线,垂足为Q,设P(m,n),线段PF的中点为B(x1,y1),可得x1=(1+m),由抛物线的定义,得|PF|=|PQ|=m+1,∴x1=|PF|,即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径,因此,以PF为直径的圆与y轴相切,故D正确.故选A、C、D.
13.4 解析:因为∠MFO=120°,所以∠FMN=60°.又M是抛物线C上一点,所以|FM|=|MN|,则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12,所以|NF|==4.
14.解:(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
于是4+=5,p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2).
又F(1,0),所以kAF=,
则FA的方程为y=(x-1).
因为MN⊥FA,所以kMN=-,
则MN的方程为y=-x+2.
解方程组
得所以N.
15.B 如图所示,易得F(2,0),过点P作PN⊥l,垂足为N.因为|PM|=|PF|,|PF|=|PN|,所以|PM|=|PN|,所以|MN|=|PN|.设P(,t),则|t|=+2,解得t=±4,所以△PMF的面积为·|t|·|MF|=×4×4=8.
16.解:(1)设M(xM,yM),N(xN,yN),由抛物线的定义,得|AM|+|AN|=xM+xN+2a.又圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16,将y2=4ax代入,得x2-2(4-a)x+a2+8a=0,∴xM+xN=2(4-a),∴|AM|+|AN|=8.
(2)不存在.假设存在这样的a,使得2|AP|=|AM|+|AN|.过点P作PP'垂直抛物线的准线,垂足为P'.
∵|AM|+|AN|=2|PP'|,∴|AP|=|PP'|.由抛物线的定义知点P必在抛物线上,这与点P是线段MN的中点矛盾,∴这样的a不存在.
2 / 23.3.1 抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象、数学运算
把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
【问题】 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗?
                      
                      
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的     的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的   ,直线l叫做抛物线的   .
提醒 定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
   (p>0) x= 
   (p>0) x= 
   (p>0) y= 
   (p>0) y= 
提醒 四个标准方程的区分方法:焦点在一次项变量对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数.(  )
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0).(  )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.(  )
(4)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.(  )
2.焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是(  )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=4x D.y2=8x
3.抛物线y2=x的准线方程为(  )
A.x= B.x=
C.x=- D.x=-
4.(2024·淄博月考)已知抛物线顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=   .
题型一 求抛物线的标准方程
角度1 直接法求抛物线的标准方程
【例1】 (1)焦点在y轴上,并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是(  )
A.x2=±3y      B.y2=±6x
C.x2=±12y D.x2=±6y
(2)准线方程为x=的抛物线的标准方程是    .
通性通法
  在抛物线方程的类型已确定的前提下,由于标准方程中只有一个参数p,所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2 待定系数法求抛物线的标准方程
【例2】 顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是(  )
A.y2=-4x
B.x2=4y
C.y2=-4x或x2=4y
D.y2=4x或x2=-4y
通性通法
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒 当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
【跟踪训练】
 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
题型二 抛物线定义的应用
角度1 焦半径公式及应用
【例3】 (1)(2024·常州月考)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(  )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则P点的坐标为    .
通性通法
  根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题.
角度2 与抛物线有关的轨迹问题
【例4】 已知圆C的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程.
通性通法
解与抛物线有关的轨迹问题的方法
  求解与抛物线有关的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.
角度3 最值问题
【例5】 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
【母题探究】
1.(变条件)若将本例中的点(0,2)改为点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值.
2.(变条件)若将本例中的点(0,2)换为直线l1:3x-4y+=0,求点P到直线3x-4y+=0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
(1)若点M在抛物线的内部,过点M作准线的垂线,该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小;
(2)若点M在抛物线的外部,连接MF,则MF与抛物线的交点P可使|PF|+|PM|的值最小.
【跟踪训练】
 平面上一动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是(  )
A.抛物线 B.线段
C.直线 D.射线
2.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为(  )
A.(1,0) B.
C. D.(0,1)
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F1,若点A(2,-4)在抛物线上,则点A到焦点的距离为    .
4.若焦点在y轴上,且抛物线上一点P(m,1)到焦点F的距离为6,求抛物线的标准方程.
3.3.1 抛物线及其标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
距离相等 焦点 准线
知识点二
y2=2px - y2=-2px  x2=2py - x2=-2py 
自我诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.A
3.D 抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,2p=1,∴=,∴抛物线y2=x的准线方程为x=-,故选D.
4.±4 解析:由已知,可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由抛物线定义有2+=4,∴p=4,∴x2=-8y.将(m,-2)代入上式,得m2=16.∴m=±4.
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)C (2)y2=-x
解析:(1)由已知得p=6且焦点在y轴上,所以抛物线的标准方程是x2=±12y.
(2)由题意知=,所以p=,所以抛物线的标准方程是y2=-x.
【例2】 C 设抛物线方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0),把(-4,4)代入得16=8p1或16=8p2,即p1=2或p2=2.故抛物线的标准方程为y2=-4x或x2=4y.故选C.
跟踪训练
 解:(1)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),
则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=;
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=.
故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
(2)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
【例3】 (1)A (2)(6,9)或(-6,9)
解析:(1)由题意,知抛物线的准线方程为x=-,因为|AF|=x0,根据抛物线的定义,得x0+=|AF|=x0,所以x0=1,故选A.
(2)设点P(x0,y0),由抛物线方程为x2=4y,知焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.由抛物线的定义,得|PF|=y0+1=10,所以y0=9,代入抛物线方程得x0=±6.所以P点坐标为(±6,9).
【例4】 解:设点P的坐标为(x,y),动圆的半径为R,
∵动圆P与y轴相切,∴R=|x|.
∵动圆与定圆C:(x-5)2+y2=25外切,
∴|PC|=R+5,
∴|PC|=|x|+5,
当点P在y轴右侧时,x>0,则|PC|=x+5,
∴点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,则圆心P的轨迹方程为y2=20x(x>0);
当点P在y轴左侧时,x<0,则|PC|=-x+5,此时点P的轨迹是x轴的负半轴,即方程为y=0(x<0).
∴点P的轨迹方程为y2=20x(x>0)或y=0(x<0).
【例5】 解:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知,
当点P,点(0,2)和抛物线的焦点F(,0)三点共线时距离之和最小,
所以最小距离d= =.
母题探究
1.解:将x=3代入y2=2x,
得y=±.
所以点A在抛物线内部.
设点P到准线x=-的距离为d,
则|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值是.
即|PA|+|PF|的最小值是.
2.解:如图,作PQ垂直于准线l于点Q,
|PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|≥.
|A1F|的最小值为点F到直线3x-4y+=0的距离,设点F到直线l1的距离为d,d==1.即所求最小值为1.
跟踪训练
 解:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合题意;
当x≥0时,题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,轨迹方程为y2=4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
随堂检测
1.A 动点P的条件满足抛物线的定义.故选A.
2.C 由抛物线y=2px2过点(1,4),可得p=2,∴抛物线的标准方程为x2=y,则焦点坐标为,故选C.
3.4 解析:把点(2,-4)代入抛物线y2=2px,得16=4p,即p=4,从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.
4.解:由题意,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,故1-(-)=6,解得p=10,所以抛物线的标准方程为x2=20y.
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3.3.1 
抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置,把一块三角尺的一条直
角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条
直角边的一点 A ,取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长(即点 A 到直线 l
的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F . 用铅笔尖扣
着绳子,使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着
直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
【问题】 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗?
                                              
                                             
 
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )的
的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 ,直线 l 叫做抛物
线的 .
提醒 定义中要注意强调定点 F 不在定直线 l 上.当直线 l 经过点 F 时,
点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线.
距离相等 
焦点 
准线 
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
( p >0) x =
( p >0) x =
y2=2 px  
-  
y2=-2 px  
 
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
( p >0) y =
( p >0) y =
x2=2 py  
-  
x2=-2 py  
 
提醒 四个标准方程的区分方法:焦点在一次项变量对应的坐标轴
上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴
的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. ( × )
(2)抛物线的焦点到准线的距离是 p ( p >0). ( √ )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛
物线. ( × )
(4)只有抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线
才具有标准形式. ( √ )
×

×

2. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是(  )
A. x2=8 y B. x2=4 y
C. y2=4 x D. y2=8 x
3. 抛物线 y2= x 的准线方程为(  )
解析:  抛物线 y2= x 的焦点在 x 轴上,且开口向右,2 p =1,
∴ = ,∴抛物线 y2= x 的准线方程为 x =- ,故选D.
4. (2024·淄博月考)已知抛物线顶点为坐标原点,焦点在 y 轴上,抛
物线上的点 M ( m ,-2)到焦点的距离为4,则 m = .
解析:由已知,可设抛物线方程为 x2=-2 py ( p >0).由抛物线定
义有2+ =4,∴ p =4,∴ x2=-8 y .将( m ,-2)代入上式,得
m2=16.∴ m =±4.
±4 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求抛物线的标准方程
角度1 直接法求抛物线的标准方程
【例1】 (1)焦点在 y 轴上,并且焦点到准线的距离等于6的抛物线
的标准方程是( C )
A. x2=±3 y B. y2=±6 x
C. x2=±12 y D. x2=±6 y
解析: 由已知得 p =6且焦点在 y 轴上,所以抛物线的标准
方程是 x2=±12 y .
C
(2)准线方程为 x = 的抛物线的标准方程是   y2=- x  .
解析: 由题意知 = ,所以 p = ,所以抛物线的标准方
程是 y2=- x .
y2=- x  
通性通法
  在抛物线方程的类型已确定的前提下,由于标准方程中只有一个
参数 p ,所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2 待定系数法求抛物线的标准方程
【例2】 顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是
(  )
A. y2=-4 x B. x2=4 y
C. y2=-4 x 或 x2=4 y D. y2=4 x 或 x2=-4 y
解析:  设抛物线方程为 y2=-2 p1 x ( p1>0)或 x2=2 p2 y ( p2>
0),把(-4,4)代入得16=8 p1或16=8 p2,即 p1=2或 p2=2.故抛
物线的标准方程为 y2=-4 x 或 x2=4 y .故选C.
通性通法
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒 当抛物线的类型没有确定时,可设方程为 y2= mx ( m ≠0)或
x2= ny ( n ≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
【跟踪训练】
 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-1);
解: 因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线
的标准方程为 y2=-2 px ( p >0)或 x2=-2 py ( p >0).
若抛物线的标准方程为 y2=-2 px ( p >0),
则由(-1)2=-2 p ×(-3),解得 p = ;
若抛物线的标准方程为 x2=-2 py ( p >0),则由(-3)2=-
2 p ×(-1),解得 p = .
故所求抛物线的标准方程为 y2=- x 或 x2=-9 y .
(2)焦点为直线3 x -4 y -12=0与坐标轴的交点.
解: 对于直线方程3 x -4 y -12=0,令 x =0,得 y =-3;
令 y =0,得 x =4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时, =3,所以 p =6,此时抛物线的标准
方程为 x2=-12 y ;
当焦点为(4,0)时, =4,所以 p =8,此时抛物线的标准方
程为 y2=16 x .
故所求抛物线的标准方程为 x2=-12 y 或 y2=16 x .
题型二 抛物线定义的应用
角度1 焦半径公式及应用
【例3】 (1)(2024·常州月考)已知抛物线 C : y2= x 的焦点为
F , A ( x0, y0)是 C 上一点,| AF |= x0,则 x0=( A )
A. 1 B. 2
解析: 由题意,知抛物线的准线方程为 x =- ,因为|
AF |= x0,根据抛物线的定义,得 x0+ =| AF |= x0,所
以 x0=1,故选A.
A
C. 4 D. 8
(2)抛物线 x2=4 y 上的点 P 到焦点的距离是10,则 P 点的坐标
为 .
解析: 设点 P ( x0, y0),由抛物线方程为 x2=4 y ,知焦
点坐标为(0,1),准线方程为 y =-1.由抛物线的定义,得|
PF |= y0+1=10,所以 y0=9,代入抛物线方程得 x0=±6.所以
P 点坐标为(±6,9).
(6,9)或(-6,9) 
通性通法
  根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准
线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互
转化,从而简化某些问题.
角度2 与抛物线有关的轨迹问题
【例4】 已知圆 C 的方程为 x2+ y2-10 x =0,求与 y 轴相切且与圆 C
外切的动圆圆心 P 的轨迹方程.
解:设点 P 的坐标为( x , y ),动圆的半径为 R ,
∵动圆 P 与 y 轴相切,∴ R =| x |.
∵动圆与定圆 C :( x -5)2+ y2=25外切,
∴| PC |= R +5,
∴| PC |=| x |+5,
当点 P 在 y 轴右侧时, x >0,则| PC |= x +5,
∴点 P 的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,则圆心 P 的轨迹方程为
y2=20 x ( x >0);
当点 P 在 y 轴左侧时, x <0,则| PC |=- x +5,此时点 P 的轨迹
是 x 轴的负半轴,即方程为 y =0( x <0).
∴点 P 的轨迹方程为 y2=20 x ( x >0)或 y =0( x <0).
通性通法
解与抛物线有关的轨迹问题的方法
  求解与抛物线有关的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可
以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.
角度3 最值问题
【例5】 已知点 P 是抛物线 y2=2 x 上的一个动点,求点 P 到点(0,
2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的
距离等于它到焦点的距离.由图可知,当点 P ,点
(0,2)和抛物线的焦点 F 三点共线时距离
之和最小,所以最小距离 d = = .
【母题探究】
1. (变条件)若将本例中的点(0,2)改为点 A (3,2),求| PA |
+| PF |的最小值.
解:将 x =3代入 y2=2 x ,
得 y =± .
所以点 A 在抛物线内部.
设点 P 到准线 x =- 的距离为 d ,则| PA |+| PF |=| PA |+ d .由图可知,当 PA ⊥ l 时,| PA |+ d 最小,最小值
是 .即| PA |+| PF |的最小值是 .
2. (变条件)若将本例中的点(0,2)换为直线 l1:3 x -4 y + =0,
求点 P 到直线3 x -4 y + =0的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离
之和的最小值.
解:如图,作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q ,
| PA1|+| PQ |=| PA1|+| PF |≥ .
| A1 F |的最小值为点 F 到直线3 x -4 y + =0的距
离,设点 F 到直线 l1的距离为 d , d = =
1.即所求最小值为1.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
(1)若点 M 在抛物线的内部,过点 M 作准线的垂线,该垂线与抛物
线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 M 的距离最小;
(2)若点 M 在抛物线的外部,连接 MF ,则 MF 与抛物线的交点 P 可
使| PF |+| PM |的值最小.
【跟踪训练】
 平面上一动点 P 到定点 F (1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大1,
求动点 P 的轨迹方程.
解:由题意,动点 P 到定点 F (1,0)的距离比到 y 轴的距离大1,由
于点 F (1,0)到 y 轴的距离为1,故当 x <0时,直线 y =0上的点符
合题意;
当 x ≥0时,题中条件等价于点 P 到点 F (1,0)与到直线 x =-1的距
离相等,故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,直线 x =-1为准线的抛物线,
轨迹方程为 y2=4 x .
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=4 x ( x ≥0)或 y =0( x <0).
1. 若动点 P 到定点 F (-4,0)的距离与到直线 x =4的距离相等,则
P 点的轨迹是(  )
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
解析:  动点 P 的条件满足抛物线的定义.故选A.
2. 已知抛物线 y =2 px2过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为
(  )
A. (1,0)
D. (0,1)
解析:  由抛物线 y =2 px2过点(1,4),可得 p =2,∴抛物线
的标准方程为 x2= y ,则焦点坐标为 ,故选C.
3. 已知抛物线 y2=2 px ( p >0)的焦点为 F1,若点 A (2,-4)在抛
物线上,则点 A 到焦点的距离为 .
解析:把点(2,-4)代入抛物线 y2=2 px ,得16=4 p ,即 p =4,
从而抛物线的焦点为(2,0).故点 A 到焦点的距离为4.
4. 若焦点在 y 轴上,且抛物线上一点 P ( m ,1)到焦点 F 的距离为
6,求抛物线的标准方程.
解:由题意,可设抛物线的标准方程为 x2=2 py ( p >0).点 P 到焦
点的距离等于点 P 到准线的距离,故1-(- )=6,解得 p =
10,所以抛物线的标准方程为 x2=20 y .
4 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 抛物线 y =- x2的准线方程为(  )
B. x =1
C. y =1 D. y =2
解析:  抛物线的标准方程为 x2=-4 y ,则准线方程为 y =1.
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2. 在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线 x + y -3=0的距离相
等的点的轨迹是(  )
A. 直线 B. 抛物线
C. 圆 D. 双曲线
解析:  因为点(1,2)在直线 x + y -3=0上,所以所求点的轨
迹是过点(1,2)且与直线 x + y -3=0垂直的直线,故选A.
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3. 准线与 x 轴垂直,且经过点(1,- )的抛物线的标准方程是
(  )
A. y2=-2 x B. y2=2 x
C. x2=2 y D. x2=-2 y
解析:  由题意可设抛物线的标准方程为 y2= mx ( m ≠0),则
(- )2= m ,解得 m =2,因此抛物线的标准方程为 y2=2 x .
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4. (2024·温州月考)已知 P 为抛物线 y2=4 x 上一个动点, Q 为圆 x2+
( y -4)2=1上一个动点,则点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的
准线的距离之和的最小值是(  )
A. 5
解析:  点 P 到抛物线的准线的距离等于点 P 到抛物线焦点 F
(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为
,即圆上的点 Q 到抛物线焦点的距离的最小值是 -1.
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5. (多选)经过点 P (4,-2)的抛物线的标准方程为(  )
A. y2= x B. x2=8 y
C. x2=-8 y D. y2=-8 x
解析:  若抛物线的焦点在 x 轴上,设抛物线的方程为 y2= mx
( m ≠0),因为抛物线经过点 P (4,-2),所以(-2)2=4
m ,解得 m =1,所以抛物线的标准方程为 y2= x .若抛物线的焦点在
y 轴上,设抛物线的方程为 x2= ny ( n ≠0),因为抛物线经过点 P
(4,-2),所以42=-2 n ,解得 n =-8,所以抛物线的标准方
程为 x2=-8 y .故选A、C.
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6. (多选)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线 y2=
10 x 的有(  )
A. 焦点在 y 轴上
B. 焦点在 x 轴上
C. 开口向右,焦点坐标为(5,0)
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解析:  抛物线 y2=10 x 的焦点在 x 轴上,B满足,A不满足;易
知抛物线开口向右,焦点坐标为( ,0),C不满足;设 M (1,
y0)是抛物线 y2=10 x 上一点, F 为焦点,则| MF |=1+ =1+
= ,所以D满足.
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7. 已知双曲线 - y2=1的右焦点恰好是抛物线 y2=8 x 的焦点,则 m
= .
解析:由题意得 m +1=22,解得 m =3.
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8. 在抛物线 y2=-12 x 上,与焦点的距离等于9的点的坐标是
.
解析:由方程 y2=-12 x ,知焦点 F (-3,0),准线 l : x =3.设
所求点为 P ( x , y ),则由抛物线定义知| PF |=3- x .又|
PF |=9,所以3- x =9, x =-6,代入 y2=-12 x ,得 y =±6 .
所以所求点的坐标为(-6,6 )或(-6,-6 ).
(-
6,6 )或(-6,-6 ) 
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9. (2024·泰州月考)已知直线 l1:4 x -3 y +6=0和直线 l2: x =-
1,抛物线 y2=4 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2 的距离之和的最小值
是 .
解析:易知直线 l2: x =-1恰为抛物线 y2=4 x 的准
线,如图所示,动点 P 到 l2: x =-1的距离可转化
为 PF 的长度,其中 F (1,0)为抛物线 y2=4 x 的
焦点.由图可知,距离之和的最小值即 F 到直线 l1的
距离 d = =2.
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10. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16 x2-9 y2=144的左顶点;
解: 双曲线方程可化为 - =1,左顶点为(-3,0),
由题意设抛物线方程为 y2=-2 px ( p >0)且 =-3,
∴ p =6,∴抛物线的方程为 y2=-12 x .
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(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y =-3与抛物线交于点
A ,| AF |=5.
解: 设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2=2 px
( p ≠0), A ( m ,-3),
由抛物线定义得5=| AF |=| m + |.
又(-3)2=2 pm ,∴ p =±1或 p =±9,
故所求抛物线方程为 y2=±2 x 或 y2=±18 x .
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11. 若动点 M ( x , y )到点 F (4,0)的距离比它到直线 x +5=0的
距离小1,则点 M 的轨迹方程是(  )
A. x +4=0 B. x -4=0
C. y2=8 x D. y2=16 x
解析:  依题意可知,点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x =-
4的距离,因此其轨迹是抛物线,且 p =8,顶点在原点,焦点在 x
轴正半轴上,所以其方程为 y2=16 x .故选D.
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12. (多选)设抛物线 y2=4 x , F 为其焦点, P 为抛物线上一点,则
下列结论正确的是(  )
A. 抛物线的准线方程是 x =-1
B. 当 PF ⊥ x 轴时,| PF |取最小值
D. 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切
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解析:  对于A,抛物线的准线方程为 x =- =-1,故A正
确;对于B,设 P ( x0, y0),则 x0≥0, =4 x0, F (1,0),
则| PF |= = x0+1≥1,当 x0=0时取得最小
值,此时 P (0,0)在原点,故B错误;对于C, A 在抛物线外
部,故当 P , A , F 三点共线时| PA |+| PF |取得最小值,
为| AF |= = ,故C正确;
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对于D,过点 P 作准线的垂线,垂足为 Q ,设 P ( m , n ),线段
PF 的中点为 B ( x1, y1),可得 x1= (1+ m ),由抛物线的定
义,得| PF |=| PQ |= m +1,∴ x1= | PF |,即点 B 到 y
轴的距离等于以 PF 为直径的圆的半径,因此,以 PF 为直径的圆
与 y 轴相切,故D正确.故选A、C、D.
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13. 已知 M 是抛物线 C : y2=2 px ( p >0)上一点, F 是抛物线 C 的焦
点,过 M 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 N ,若∠ MFO =120°
( O 为坐标原点),△ MNF 的周长为12,则| NF |= .
解析:因为∠ MFO =120°,所以∠ FMN =60°.又 M 是抛物线 C 上
一点,所以| FM |=| MN |,则△ FMN 是等边三角形.又△
FMN 的周长为12,所以| NF |= =4.
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14. (2024·青岛月考)如图所示,已知抛物线 y2=2 px ( p >0)的焦
点为 F , A 是抛物线上横坐标为4,且位于 x 轴上方的点,点 A 到抛
物线准线的距离等于5,过点 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为点 B ,
OB 的中点为 M .
(1)求抛物线的方程;
解: 抛物线 y2=2 px 的准线方程为 x =- ,
于是4+ =5, p =2,
所以抛物线的方程为 y2=4 x .
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(2)过点 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求点 N 的坐标.
解: 由题意得 A (4,4), B (0,
4), M (0,2).
又 F (1,0),所以 kAF = ,
则 FA 的方程为 y = ( x -1).
因为 MN ⊥ FA ,所以 kMN =- ,
则 MN 的方程为 y =- x +2.
解方程组得所以 N .
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15. (2024·泉州质检)已知抛物线 C : y2=8 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x
轴的交点为 M ,点 P 在抛物线上,且| PM |= | PF |,则△
PMF 的面积为(  )
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
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解析:  如图所示,易得 F (2,0),过点 P
作 PN ⊥ l ,垂足为 N . 因为| PM |= |
PF |,| PF |=| PN |,所以| PM |=
| PN |,所以| MN |=| PN |.设 P ( ,
t ),则| t |= +2,解得 t =±4,所以△ PMF的面积为 ·
| t |·| MF |= ×4×4=8.
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16. 已知抛物线 y2=4 ax ( a >0)的焦点为 A ,以 B ( a +4,0)为圆
心,| BA |为半径,在 x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不
同两点 M , N ,点 P 为线段 MN 的中点.
(1)求| AM |+| AN |的值;
解: 设 M ( xM , yM ), N ( xN , yN ),由抛物线的定
义,得| AM |+| AN |= xM + xN +2 a .又圆的方程为[ x
-( a +4)]2+ y2=16,将 y2=4 ax 代入,得 x2-2(4- a )
x + a2+8 a =0,∴ xM + xN =2(4- a ),∴| AM |+|
AN |=8.
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(2)是否存在这样的 a ,使2| AP |=| AM |+| AN |?若存
在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.
解: 不存在.假设存在这样的 a ,使得2| AP |=| AM |+
| AN |.过点 P 作PP'垂直抛物线的准线,垂足为P'.
∵| AM |+| AN |=2|PP'|,∴| AP |=|PP'|.由
抛物线的定义知点 P 必在抛物线上,这与点 P 是线段 MN 的
中点矛盾,∴这样的 a 不存在.
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