第1课时 抛物线的简单几何性质（一）
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024·台州月考）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（ ）
A.－ B.－
C.－4 D.－2
3.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
4.（2024·烟台月考）在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为（ ）
5.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是（ ）
A.（2，±2） B.（1，±2）
C.（1，2） D.（2，2）
6.（多选）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程可以为（ ）
A.y2＝3x B.y2＝6x
C.y2＝－3x D.y2＝－6x
7.已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是 .
8.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
9.已知P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若｜PF｜＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为 .
10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3，求此抛物线的标准方程.
11.（2024·许昌质检）已知圆x2＋y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点.若四边形ABCD是矩形，则r＝（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝4｜OF｜，△MFO的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A.y2＝6x B.y2＝8x
C.y2＝16x D.y2＝x
13.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝ .
14.已知抛物线y2＝8x.
（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
（2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
15.（2024·南通质检）在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是 （ ）
A.（2，＋∞） B.（1，＋∞）
C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）
16.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
（2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
第1课时 抛物线的简单几何性质（一）
1.A 易知线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
2.A 因为抛物线y＝ax2的方程可化为x2＝y，所以准线方程为y＝－，由题意可知－＝1，解得a＝－.故选A.
3.A 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P（3，±2），∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
4.D 将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D.
5.B 由题意知F（1，0），设A，则＝，＝.由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为（1，±2），故选B.
6.BD 由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为y2＝2px（p≠0）.因为通径长为6，所以｜2p｜＝6，所以p＝±3，所以所求抛物线的标准方程为y2＝±6x.
7.3 解析：因为点（x，y）在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
8.或
解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为或.
9.y2＝6x 解析：过P向x轴作垂线，设垂足为Q（图略），∵∠PFO＝，｜PF｜＝2，∴｜PQ｜＝，｜QF｜＝1，P（－1，±），将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故抛物线C的方程为y2＝6x.
10.解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
设A（x0，y0），由题意知M，∵｜AF｜＝3，
∴y0＋＝3，∵｜AM｜＝，∴＋＝17，
∴＝8，代入方程＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
11.C 由对称性可假设点A在第一象限，易得C（－，－），由四边形ABCD是矩形，可知A（，）.将点A的坐标代入y2＝2x得，r2－＝1，解得r＝，故选C.
12.B 设M（x1，y1），则由｜MF｜＝4｜OF｜得x1＋＝4×，即x1＝p，则＝3p2，则｜y1｜＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
13.6 解析：如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，易知｜OF｜＝2，∵M为FN的中点，∴｜MM'｜＝1，∴M到准线距离d＝｜MM'｜＋＝3，∴｜MF｜＝3，∴｜FN｜＝6.
14.解：（1）抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0.
（2）如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则｜OF｜＝｜OM｜.
因为F（2，0），所以｜OM｜＝｜OF｜＝3，
所以M（3，0），故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2，
所以A（3，2），B（3，－2），
所以｜OA｜＝｜OB｜＝，所以△OAB的周长为2＋4.
15.A 设圆心为P（0，a）（a＞0），半径为r，Q（x，y）是抛物线上任意一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2＋4a－4，若｜PQ｜2的最小值不在O（0，0）处取得，则圆P不过原点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝＝2＞2.因此当r＞2时，圆无法触及抛物线的顶点O.
16.解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）.
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小.
如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
2 / 23.3.2 抛物线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算、直观想象
第1课时 抛物线的简单几何性质（一）
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
【问题】 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
知识点 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
性 质 焦点 F F F F
准线 x＝ x＝ y＝ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 轴 轴
顶点 O
离心率 e＝
开口方向 向 向 向 向
提醒 影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴.（ ）
（2）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.（ ）
（3）抛物线是中心对称图形.（ ）
2.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与准线的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A.x2＝±6y
B.y2＝±6x
C.x2＝±12y
D.y2＝±12x
3.（2024·济宁月考）设抛物线的焦点到顶点的距离为6，求抛物线上的点到准线距离的最小值.
题型一 由抛物线的几何性质求标准方程
【例1】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
通性通法
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程.
【跟踪训练】
1.（2024·济源月考）边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（ ）
A.y2＝x
B.y2＝－x
C.y2＝±x
D.y2＝±x
2.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为 .
题型二 由抛物线标准方程研究几何性质
【例2】 抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .
通性通法
由抛物线标准方程研究几何性质的要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p（p＞0）.
【跟踪训练】
（2024·绍兴月考）已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为 .
题型三 抛物线的实际应用
【例3】
如图是一种加热水和食物的太阳灶.上面装有可旋转的抛物面形状的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深 2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.
通性通法
求抛物线实际应用问题的五个步骤
【跟踪训练】
如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜AB｜＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若｜CD｜＝9米，那么｜DE｜不超过多少米才能使货船通过拱桥？
1.关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下
B.焦点坐标为（－1，0）
C.准线方程为x＝1
D.对称轴为x轴
2.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A.－
B.－1
C.－
D.－
3.（2024·苏州月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲线是抛物线的一部分，如图①.两栋建筑之间有一条长60 m的连桥AB，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离｜CD｜＝30 m，如图②.则此抛物线顶点O到连桥AB的距离为（ ）
A.180 m B.200 m
C.220 m D.240 m
第1课时 抛物线的简单几何性质（一）
【基础知识·重落实】
知识点
－ － x y （0，0） 1 右 左 上 下
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.C 由题意设抛物线方程为x2＝±2py（p＞0），且＝3，所以p＝6，因此抛物线的标准方程为x2＝±12y.
3.解：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 由题意知抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）.因为M（m，－3）在抛物线上，且｜MF｜＝5，
所以解得
所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
法二 由题意可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－），准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
跟踪训练
1.C 设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（取点A在x轴上方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
2.y2＝3x或y2＝－3x 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点（1，）或（－1，），设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px（p＞0），则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
【例2】 6 解析：如图，在等边△ABF中，｜DF｜＝p，｜BD｜＝p，则B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.
跟踪训练
3 解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B（x0，－y0）.由｜AF｜＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的边长｜AB｜＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×（2）2×＝3.
【例3】 解：如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径.
由已知，得A点坐标是（2，6），
设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
则36＝2p×2，解得p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F（，0）.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长.
｜AF｜＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5 m.
跟踪训练
解：如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（9，－8）.
设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.
∵B点在抛物线上，
∴81＝－2p·（－8），∴p＝，
∴抛物线的方程为x2＝－y.
当x＝时，y＝－2，即｜DE｜＝8－2＝6.
∴｜DE｜不超过6米才能使货船通过拱桥.
随堂检测
1.D 易知抛物线y2＝－2x的开口向左，故A中说法错误；焦点坐标为（－，0），故B中说法错误；准线方程为x＝，故C中说法错误；对称轴为x轴，故D中说法正确.故选D.
2.C 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为（2，0），故直线AF的斜率k＝＝－.
3.B 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意设D（15，h），B（30，h－150），则解得所以此抛物线顶点O到连桥AB的距离为50＋150＝200 m.故选B.
4 / 4(共57张PPT)
3.3.2
抛物线的简单几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的
思想，了解抛物线的简单应用 数学运算、
直观想象
第1课时
抛物线的简单几何性质（一）
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在
手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什
么原因呢？
【问题】 上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
知识点 抛物线的简单几何性质
标准 方程 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
图形
标准 方程 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
性 质 焦
点
准
线 x ＝
x ＝ y ＝ y ＝
范
围 x ≥0， y
∈R x ≤0， y
∈R x ∈R， y ≥0 x ∈R， y ≤0
－
－
标准方程 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
性 质 对称
轴 轴 轴 顶点 O 离心
率 e ＝ 开口 方向 向 向 向 向
x
y
（0，0）
1
右
左
上
下
提醒 影响抛物线开口大小的量是参数 p ， p 值越大，抛物线的开口
越大，反之，开口越小.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）有一条对称轴为 y 轴. （ √ ）
（2）抛物线 y ＝－ x2的准线方程是 x ＝ . （ × ）
（3）抛物线是中心对称图形. （ × ）
√
×
×
2. 顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与准线的距离为3的抛物线的
标准方程为（ ）
A. x2＝±6 y B. y2＝±6 x
C. x2＝±12 y D. y2＝±12 x
解析： 由题意设抛物线方程为 x2＝±2 py （ p ＞0），且 ＝3，
所以 p ＝6，因此抛物线的标准方程为 x2＝±12 y .
3. （2024·济宁月考）设抛物线的焦点到顶点的距离为6，求抛物线上
的点到准线距离的最小值.
解：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴ ＝6，即 p ＝12.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为 ，
∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由抛物线的几何性质求标准方程
【例1】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M
（ m ，－3）到焦点的距离为5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程.
解：法一 由题意知抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为 x2＝－
2 py （ p ＞0），则焦点为 F （0，－ ）.因为 M （ m ，－3）在抛物线
上，且｜ MF ｜＝5，所以
所以 m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2.
法二 由题意可设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞
0），则焦点为 F （0，－ ），准线 l ： y ＝ ，如图所
示，作 MN ⊥ l ，垂足为 N ，则｜ MN ｜＝｜ MF ｜＝
5，而｜ MN ｜＝3＋ ，所以3＋ ＝5，即 p ＝4.又因为
点 M 在抛物线上，所以 m2＝24，所以 m ＝±2 .所以
m ＝±2 ，抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝
2.
通性通法
由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未
知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦
准距，从而得到抛物线的标准方程.
【跟踪训练】
1. （2024·济源月考）边长为1的等边三角形 AOB ， O 为坐标原点，
AB ⊥ x 轴，以 O 为顶点且过 A ， B 的抛物线方程是（ ）
解析： 设抛物线方程为 y2＝ ax （ a ≠0）.又 A （取点
A 在 x 轴上方），则有 ＝± a ，解得 a ＝± ，所以抛物线方程为
y2＝± x .故选C.
2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x2＋ y2＝4相交
的公共弦长等于2 ，则抛物线的方程为 .
解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为± ，交点横
坐标为±1，则抛物线过点（1， ）或（－1， ），设抛物线方
程为 y2＝2 px 或 y2＝－2 px （ p ＞0），则2 p ＝3，从而抛物线方程为
y2＝3 x 或 y2＝－3 x .
y2＝3 x 或 y2＝－3 x
题型二 由抛物线标准方程研究几何性质
【例2】 抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）的焦点为 F ，其准线与双曲线
－ ＝1相交于 A ， B 两点，若△ ABF 为等边三角形，则 p ＝ .
解析：如图，在等边△ ABF 中，｜ DF ｜＝ p ，｜
BD ｜＝ p ，则 B 点坐标为 .又点 B 在双曲
线上，故 － ＝1.解得 p ＝6.
6
通性通法
由抛物线标准方程研究几何性质的要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次
项是 x 还是 y ，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂
直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为 p ，过焦点垂直于对称轴的弦（又称
为通径）长为2 p （ p ＞0）.
【跟踪训练】
（2024·绍兴月考）已知等边三角形 AOB 的顶点 A ， B 在抛物线 y2＝
x 上， O 为坐标原点，顶点 A 到抛物线的焦点 F 的距离等于 ，则△
AOB 的面积为 .
3
解析：∵△ AOB 是等边三角形， A ， B 在抛物线 y2＝ x 上，∴顶点 A ，
B 关于抛物线的对称轴（ x 轴）对称，不妨设 A （ x0， y0）（ x0＞0，
y0＞0），则 B （ x0，－ y0）.由｜ AF ｜＝ x0＋ ＝ ，解得 x0＝3，
∴ y0＝ ，∴△ AOB 的边长｜ AB ｜＝2 y0＝2 ，∴△ AOB 的面积为
×（2 ）2× ＝3 .
题型三 抛物线的实际应用
【例3】 如图是一种加热水和食物的太阳灶.
上面装有可旋转的抛物面形状的反光镜，镜的
轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器
放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁
筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为
12 m，镜深 2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.
解：如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，
使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， x 轴
垂直于镜口圆的直径.
由已知，得 A 点坐标是（2，6），
设抛物线方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则36＝2 p ×2，解得 p ＝9.
所以所求抛物线的标准方程是 y2＝18 x ，
焦点坐标是 F （ ，0）.因为盛水和食物的容器在焦点
处，所以 A ， F 两点间的距离即为每根铁筋长.
｜ AF ｜＝ ＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5 m.
通性通法
求抛物线实际应用问题的五个步骤
【跟踪训练】
如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜ AB ｜＝18米，拱顶距离水面8米，
一货船在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF . 若｜ CD ｜＝9米，
那么｜ DE ｜不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点 O 为坐标原点，过点 O 且平行于
AB 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平
面直角坐标系，则 B （9，－8）.
设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0）.
∵ B 点在抛物线上，∴81＝－2 p ·（－8），∴ p ＝ ，
∴抛物线的方程为 x2＝－ y .
当 x ＝ 时， y ＝－2，即｜ DE ｜＝8－2＝6.
∴｜ DE ｜不超过6米才能使货船通过拱桥.
1. 关于抛物线 y2＝－2 x ，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 焦点坐标为（－1，0）
C. 准线方程为 x ＝1 D. 对称轴为 x 轴
解析： 易知抛物线 y2＝－2 x 的开口向左，故A中说法错误；焦
点坐标为（－ ，0），故B中说法错误；准线方程为 x ＝ ，故C中
说法错误；对称轴为 x 轴，故D中说法正确.故选D.
2. 已知点 A （－2，3）在抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的准线上，记
C 的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为（ ）
B. －1
解析： 因为抛物线 C ： y2＝2 px 的准线为 x ＝－ ，且点 A （－
2，3）在准线上，所以 ＝－2，解得 p ＝4，所以 y2＝8 x ，所以焦
点 F 的坐标为（2，0），故直线 AF 的斜率 k ＝ ＝－ .
3. （2024·苏州月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成
的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，
“门”的内侧曲线是抛物线的一部分，如图①.两栋建筑之间有一条
长60 m的连桥 AB ，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两
窗户的水平距离｜ CD ｜＝30 m，如图②.则此抛物线顶点 O 到连桥
AB 的距离为（ ）
A. 180 m B. 200 m
C. 220 m D. 240 m
解析： 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2 py
（ p ＞0），由题意设 D （15， h ）， B （30， h －150），
则所以此抛物
线顶点 O 到连桥 AB 的距离为50＋150＝200 m.故选B.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若抛物线 y2＝2 x 上有两点 A ， B ，且 AB 垂直于 x 轴，若｜ AB ｜＝2
，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为（ ）
解析： 易知线段 AB 所在的直线方程为 x ＝1，抛物线的焦点坐
标为 ，则焦点到直线 AB 的距离为1－ ＝ .
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2. （2024·台州月考）若抛物线 y ＝ ax2的准线方程为 y ＝1，则实数 a
＝（ ）
C. －4 D. －2
解析： 因为抛物线 y ＝ ax2的方程可化为 x2＝ y ，所以准线方程
为 y ＝－ ，由题意可知－ ＝1，解得 a ＝－ .故选A.
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3. 若抛物线 y2＝4 x 上一点 P 到 x 轴的距离为2 ，则点 P 到抛物线的
焦点 F 的距离为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 由题意，知抛物线 y2＝4 x 的准线方程为 x ＝－1，∵抛物
线 y2＝4 x 上一点 P 到 x 轴的距离为2 ，则 P （3，±2 ），∴点
P 到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点 P 到抛物线的焦点 F 的距
离为4.故选A.
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4. （2024·烟台月考）在同一平面直角坐标系中，方程9 x2＋4 y2＝1与3
x ＋2 y2＝0的曲线大致为（ ）
解析： 将方程9 x2＋4 y2＝1与3 x ＋2 y2＝0转化为 ＋ ＝1与 y2
＝－ x ，所以椭圆的焦点在 y 轴上，抛物线的焦点在 x 轴上，且开
口向左.故选D.
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5. 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y2＝4 x 的焦点， A 是抛物线上一点，
若 · ＝－4，则点 A 的坐标是（ ）
B. （1，±2）
C. （1，2）
解析： 由题意知 F （1，0），设 A ＝ ＝ .由 · ＝－4得 y0＝±2，∴点 A 的坐标
为（1，±2），故选B.
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6. （多选）顶点在原点，焦点在 x 轴上且通径长为6的抛物线的标准方
程可以为（ ）
A. y2＝3 x B. y2＝6 x
C. y2＝－3 x D. y2＝－6 x
解析： 由抛物线的焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝2 px （ p
≠0）.因为通径长为6，所以｜2 p ｜＝6，所以 p ＝±3，所以所求抛
物线的标准方程为 y2＝±6 x .
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7. 已知点（ x ， y ）在抛物线 y2＝4 x 上，则 z ＝ x2＋ y2＋3的最小值
是 .
解析：因为点（ x ， y ）在抛物线 y2＝4 x 上，所以 x ≥0，因为 z ＝ x2
＋ y2＋3＝ x2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋2，所以当 x ＝0时， z 最小，
最小值为3.
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解析：设抛物线上点的坐标为（ x ，± ），此点到准线的距离为
x ＋ ，由题意有 x ＋ ＝
，∴ x ＝ ，∴ y ＝± ，∴此点坐标为
.
或
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9. 已知 P 是抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）上的一点， F 是抛物线 C 的
焦点， O 为坐标原点，若｜ PF ｜＝2，∠ PFO ＝ ，则抛物线 C 的
方程为 .
解析：过 P 向 x 轴作垂线，设垂足为 Q （图略），∵∠ PFO ＝
，｜ PF ｜＝2，∴｜ PQ ｜＝ ，｜ QF ｜＝1， P （ －1，±
），将 P 点的坐标代入 y2＝2 px ，得 p ＝3，故抛物线 C 的方程为
y2＝6 x .
y2＝6 x
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解：设所求抛物线的标准方程为 x2＝2 py （ p ＞0），
设 A （ x0， y0），由题意知 M ，∵｜ AF ｜＝3，
∴ y0＋ ＝3，∵｜ AM ｜＝ ，∴ ＋ ＝17，
∴ ＝8，代入方程 ＝2 py0，得8＝2 p ，解得 p ＝2或 p
＝4.
∴所求抛物线的标准方程为 x2＝4 y 或 x2＝8 y .
10. 若抛物线的顶点在原点，开口向上， F 为焦点， M 为准线与 y 轴的
交点， A 为抛物线上一点，且｜ AM ｜＝ ，｜ AF ｜＝3，求此
抛物线的标准方程.
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11. （2024·许昌质检）已知圆 x2＋ y2＝ r2（ r ＞0）与抛物线 y2＝2 x 交
于 A ， B 两点，与抛物线的准线交于 C ， D 两点.若四边形 ABCD 是
矩形，则 r ＝（ ）
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解析： 由对称性可假设点 A 在第一象限，易得 C （－ ，－
），由四边形 ABCD 是矩形，可知 A （ ）.将点
A 的坐标代入 y2＝2 x 得， r2－ ＝1，解得 r ＝ ，故选C.
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12. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ， O 为坐标原点， M 为抛
物线上一点，且｜ MF ｜＝4｜ OF ｜，△ MFO 的面积为4 ，则
抛物线方程为（ ）
A. y2＝6 x B. y2＝8 x
C. y2＝16 x
解析： 设 M （ x1， y1），则由｜ MF ｜＝4｜ OF ｜得 x1＋ ＝
4× ，即 x1＝ p ，则 ＝3 p2，则｜ y1｜＝ p ，则 S△ OMF ＝ ×
× p ＝4 ，解得 p ＝4，即抛物线的方程为 y2＝8 x .
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13. 已知 F 是抛物线 C ： y2＝8 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线
交 y 轴于点 N . 若 M 是 FN 的中点，则｜ FN ｜＝ .
解析：如图，过点 M 作MM'⊥ y 轴，垂足为M'，易
知｜ OF ｜＝2，∵ M 为 FN 的中点，∴｜MM'｜＝1，
∴ M 到准线距离 d ＝｜MM'｜＋ ＝3，∴｜ MF ｜＝
3，∴｜ FN ｜＝6.
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14. 已知抛物线 y2＝8 x .
（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 x 的
范围；
解： 抛物线 y2＝8 x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量 x 的范围分别为（0，0），（2，0）， x ＝－2， x 轴， x ≥0.
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解： 如图所示，由｜ OA ｜＝｜ OB ｜可知 AB ⊥ x
轴，垂足为点 M ，
又焦点 F 是△ OAB 的重心，则｜ OF ｜＝ ｜ OM ｜.
因为 F （2，0），所以｜ OM ｜＝ ｜ OF ｜＝3，
所以 M （3，0），故设 A （3， m ），代入 y2＝8 x 得 m2＝
24，所以 m ＝2 或 m ＝－2 ，
所以 A （3，2 ）， B （3，－2 ），
所以｜ OA ｜＝｜ OB ｜＝ ，所以△ OAB 的周长为2
＋4 .
（2）以坐标原点 O 为顶点，作抛物线的内接等腰△ OAB ，｜ OA ｜＝｜ OB ｜，若焦点 F 是△ OAB 的重心，求△ OAB 的周长.
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15. （2024·南通质检）在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通
过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在 y 轴上，抛物线顶点在坐标
原点，已知抛物线方程是 x2＝4 y ，圆的半径为 r ，当圆的大小变化
时，圆上的点无法触及抛物线的顶点 O ，则圆的半径 r 的取值范围
是 （ ）
A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. [2，＋∞） D. [1，＋∞）
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解析： 设圆心为 P （0， a ）（ a ＞0），半径为 r ， Q （ x ，
y ）是抛物线上任意一点，｜ PQ ｜2＝ x2＋（ y － a ）2＝4 y ＋（ y
－ a ）2＝（ y － a ＋2）2＋4 a －4，若｜ PQ ｜2的最小值不在 O
（0，0）处取得，则圆 P 不过原点，所以 a －2＞0，即 a ＞2，此
时圆的半径为 r ＝ ＝2 ＞2.因此当 r ＞2时，圆无法
触及抛物线的顶点 O .
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16. 如图， A 地在 B 地东偏北45°方向，相距2 km处， B 地与东西走
向的高铁线（近似看成直线） l 相距4 km.已知曲线形公路 PQ 上任
意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，现要在公路旁建造一
个变电房 M （变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向 A
地、 B 地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路 PQ 所在曲线的
方程；
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解： 如图，以经过点 B 且垂直于 l
（垂足为 K ）的直线为 y 轴，线段 BK
的中点 O 为原点，建立直角坐标系
xOy ，则 B （0，2）， A （2，4）.
因为曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，所以 PQ 所在的曲线是以 B （0，2）为焦点， l 为准线的抛物线.
设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0），则 p ＝4，
故曲线形公路 PQ 所在曲线的方程为 x2＝8 y .
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（2）问变电房 M 建在相对 A 地的什么位置（方位和距离），才能
使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解： 要使架设电路所用电线长
度最短，即使｜ MA ｜＋｜ MB ｜的
值最小.
如图，过 M 作 MH ⊥ l ，垂足为 H ，
依题意得｜ MB ｜＝｜ MH ｜，
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所以｜ MA ｜＋｜ MB ｜＝｜ MA ｜＋｜ MH ｜，故当A ， M ， H 三点共线时，｜ MA ｜＋｜ MH ｜取得最小值，即｜ MA ｜＋｜ MB ｜取得最小值，此时 M （2， ）.
故变电房 M 建在 A 地正南方向且与 A 地相距 km时，所
用电线长度最短，最短长度为6 km.
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谢 谢 观 看！第2课时 抛物线的简单几何性质（二）
1.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（ ）
A. B.0
C.或0 D.8或0
2.（2024·金华月考）过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则｜AB｜＝（ ）
A.16 B.12
C.10 D.8
3.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（ ）
A.2x－y－3＝0 B.2x－y－5＝0
C.x－2y＝0 D.x－y－1＝0
4.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（－2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
5.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝，则p＝（ ）
A.2 B.3
C.6 D.12
6.（多选）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则（ ）
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为（0，4）
C.｜FN｜＝12
D.△ONF的面积为8（O为坐标原点）
7.（2024·莱芜月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x－2y＋6＝0相切，则p＝ .
8.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于点Q，若｜PF｜＝3，则｜PQ｜＝ .
9.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，｜AB｜＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为 .
10.设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中O点为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求实数k的值.
11.（2024·南京质检）抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（ ）
A. B.
C. D.3
12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
13.（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是2，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.C的准线方程为x＝－1
B.线段AB的长度的最小值为4
C.M的坐标可能是（4，2）
D.存在直线l，使得OA与OB垂直
14.（2024·洛阳质检）已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
（1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
15.如图，圆锥底面半径为，体积为π，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于 .
16.（2024·广州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线（不垂直于x轴）且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：＞2.
第2课时 抛物线的简单几何性质（二）
1.C 由可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点（4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝.综上可知k＝0或，故选C.
2.B 由题意得p＝6，∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12.
3.A 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝＝2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x－y－3＝0.故选A.
4.D 过点（－2，0）且斜率为的直线的方程为y＝（x＋2），由解得或不妨记M（1，2），N（4，4），因为抛物线的焦点为F（1，0），所以·＝（0，2）·（3，4）＝8.
5.A 由题意可知F（，0），则直线AB的方程为y＝x－，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得相减得，－＝2p（x1－x2） y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E（，），即E（，p），因为E在直线AB：y＝x－上，所以E（，p），又因为｜OE｜＝，所以p＝2.
6.AC 如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A，由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为（4，0），则｜AN｜＝4，｜FF'｜＝8，在直角梯形ANFF'中，中位线｜BM｜＝＝6.由抛物线的定义有｜MF｜＝｜MB｜＝6，结合题意，有｜MN｜＝｜MF｜＝6.故｜FN｜＝｜FM｜＋｜NM｜＝6＋6＝12，｜ON｜＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选A、C.
7.3 解析：联立方程组整理得y2－4py＋12p＝0.因为C与l相切，所以Δ＝16p2－48p＝0，解得p＝3或p＝0（舍去）.
8.2 解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，由于｜PF｜＝3，故xP＝2，代入抛物线方程得y2＝8，则yP＝±2，所以｜PQ｜＝2.
9.36 解析：不妨设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），依题意，l⊥x轴，且焦点F（，0），∵当x＝时，｜y｜＝p，∴｜AB｜＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，故S△ABP＝｜AB｜·p＝×12×6＝36.
10.解：（1）过点P作x轴的垂线且垂足为点N（图略），则｜PN｜＝y，
由题意知｜PM｜－｜PN｜＝，
∴＝y＋，
化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵｜AB｜＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
11.A 法一 设与抛物线相切且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝.
法二 设抛物线y＝－x2上一点为（m，－m2），该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.
12.A 根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
13.AB 由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1，0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B.
14.解：（1）由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝4x1，＝4x2，kPQ＝＝＝2，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
（2）依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k（x－1），
与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2.
由抛物线的定义可知，｜AB｜＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理可得｜CD｜＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝（4k2＋4）·（＋4）＝8（2＋k2＋）≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，
∴所求四边形ACBD面积的最小值为32.
15.1 解析：由V＝πr2h＝π×（）2×｜PO｜＝π，得｜PO｜＝，则｜PB｜＝2，｜OE｜＝1，｜OC｜＝｜OD｜＝，以E为坐标原点，OE为x轴，与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C（－1，），设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0），∴（）2＝－2p×（－1），解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
16.解：（1）因为过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，F（，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB（不垂直于x轴）的方程可设为y＝k（x－）（k≠0），
所以＝2px1，＝2px2，
因为直线OA与OB的斜率之积为－p，
所以＝－p，所以（）2＝p2，得x1x2＝4，
由得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0，
其中Δ＝（k2p＋2p）2－k4p2＞0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x.
（2）证明：设M（x0，y0），D（x3，y3），
因为M为线段AB的中点，
所以x0＝（x1＋x2）＝＝，
y0＝k（x0－2）＝，
所以直线OD的斜率kOD＝＝，
直线OD的方程为y＝kODx＝x，
代入抛物线C：y2＝8x的方程，
得x3＝，所以＝k2＋2，
因为k2＞0，所以＝＝k2＋2＞2.
2 / 2第2课时 抛物线的简单几何性质（二）
题型一 直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知点A（0，2）和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.
通性通法
直线与抛物线交点问题的解题思路
（1）判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；
（2）直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切.
【跟踪训练】
两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？
题型二 与弦长、中点有关的问题
角度1 弦长问题
【例2】 （1）过抛物线x2＝4y的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若｜AB｜＝10，则AB的中点到x轴的距离为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
（2）（2024·平顶山月考）过点（1，0）作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A.2 B.2
C.2 D.2
通性通法
抛物线中弦长的求法
（1）一般弦长：｜AB｜＝｜x1－x2｜或｜AB｜＝｜y1－y2｜；
（2）焦点弦长：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝x1＋x2＋p.
角度2 中点弦问题
【例3】 已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
通性通法
中点弦问题的解题策略
【跟踪训练】
已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
（1）若｜AB｜＝10，求实数m的值；
（2）若OA⊥OB，求实数m的值.
1.已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
2.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是（ ）
A.（2，1） B.（1，2）
C.（4，2） D.（2，4）
3.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝ .
4.（2024·扬州月考）设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点.已知弦AB的长为3，则b＝ .
第2课时 抛物线的简单几何性质（二）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A（0，2）可知，直线l就是y轴，其方程为x＝0.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
与抛物线C的方程联立得
消去x得，ky2－6y＋12＝0. ①
当k＝0时，得－6y＋12＝0，可知此时直线l与抛物线相交于点（，2），即直线l的方程为y＝2.
当k≠0时，关于y的一元二次方程①的判别式Δ＝36－48k.
由Δ＝0得k＝，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为y＝x＋2，即3x－4y＋8＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或3x－4y＋8＝0.
跟踪训练
解：因为两条直线y＝kx和y＝－kx分别与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于不同于原点的A，B两点，则A，B两点关于x轴对称，
根据题意，得（k≠0）解得A（，），
所以＝，解得k＝±2，
当k＝±2时，直线AB经过抛物线的焦点.
【例2】 （1）C （2）B 解析：（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），则由抛物线的焦点弦长公式可得yA＋yB＋p＝10，所以yA＋yB＝8，则AB的中点到x轴的距离为＝4.
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线AB的斜率为－2，且过点（1，0）得直线AB的方程为y＝－2（x－1），与抛物线方程y2＝8x联立得4（x－1）2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以｜AB｜＝×＝×＝2.
【例3】 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝.
易知
①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2），
所以2y·＝2，即2y·＝2，即＝x－（y≠0）.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上式，故所求轨迹方程为＝x－.
跟踪训练
解：由得x2＋（2m－8）x＋m2＝0.
由Δ＝（2m－8）2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m（x1＋x2）＋x1x2＋m2＝8m.
（1）因为｜AB｜＝·＝·＝10，
所以m＝，经检验符合题意.
（2）因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0（舍去）.
所以m＝－8，经检验符合题意.
随堂检测
1.D 当直线l与x轴平行或重合时，直线l与抛物线只有一个交点；当直线l与抛物线相切时，也只有一个交点，故选D.
2.C 由得x2－8x＋4＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为（4，2）.
3.2 解析：F（1，0），由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴｜BF｜＝｜AF｜＝2.
4.－4 解析：由消去y，得4x2＋4（b－1）x＋b2＝0，由Δ＞0，解得b＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.所以｜x1－x2｜＝＝，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝3.所以1－2b＝9，即b＝－4.
2 / 2(共46张PPT)
第2课时
抛物线的简单几何性质（二）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知点 A （0，2）和抛物线 C ： y2＝6 x ，求过点 A 且与抛物
线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程.
解：当直线 l 的斜率不存在时，由直线 l 过点 A （0，2）可知，直线 l
就是 y 轴，其方程为 x ＝0.
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋2.
与抛物线 C 的方程联立得
消去 x 得， ky2－6 y ＋12＝0. ①
当 k ＝0时，得－6 y ＋12＝0，可知此时直线 l 与抛物线相交于点（ ，
2），即直线 l 的方程为 y ＝2.
当 k ≠0时，关于 y 的一元二次方程①的判别式Δ＝36－48 k .
由Δ＝0得 k ＝ ，可知此时直线 l 与抛物线 C 有且仅有一个公共点，直
线 l 的方程为 y ＝ x ＋2，即3 x －4 y ＋8＝0.
综上，直线 l 的方程为 x ＝0或 y ＝2或3 x －4 y ＋8＝0.
通性通法
直线与抛物线交点问题的解题思路
（1）判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方
程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次
项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方
程解的个数；
（2）直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的
对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切.
【跟踪训练】
两条直线 y ＝ kx 和 y ＝－ kx 分别与抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）相交于不
同于原点的 A ， B 两点， k 为何值时，直线 AB 经过抛物线的焦点？
解：因为两条直线 y ＝ kx 和 y ＝－ kx 分别与抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）
相交于不同于原点的 A ， B 两点，则 A ， B 两点关于 x 轴对称，
根据题意，得（ k ≠0）解得 A （ ），
所以 ＝ ，解得 k ＝±2，
当 k ＝±2时，直线 AB 经过抛物线的焦点.
题型二 与弦长、中点有关的问题
角度1 弦长问题
【例2】 （1）过抛物线 x2＝4 y 的焦点的直线交抛物线于 A ， B 两
点，若｜ AB ｜＝10，则 AB 的中点到 x 轴的距离为（ C ）
A. 2 B. 3
C
解析： 设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），则由抛物线的焦
点弦长公式可得 yA ＋ yB ＋ p ＝10，所以 yA ＋ yB ＝8，则 AB 的中
点到 x 轴的距离为 ＝4.
C. 4 D. 8
（2）（2024·平顶山月考）过点（1，0）作斜率为－2的直线，与抛
物线 y2＝8 x 交于 A ， B 两点，则弦 AB 的长为（ B ）
B
解析：设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），由
直线 AB 的斜率为－2，且过点（1，0）得直线 AB 的方程为 y ＝
－2（ x －1），与抛物线方程 y2＝8 x 联立得4（ x －1）2＝8 x ，
整理得 x2－4 x ＋1＝0，则 x1＋ x2＝4， x1 x2＝1，所以｜ AB ｜＝
× ＝ × ＝2 .
通性通法
抛物线中弦长的求法
（1）一般弦长：｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜或｜ AB ｜＝
｜ y1－ y2｜；
（2）焦点弦长：设过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）焦点的弦的端点为 A
（ x1， y1）， B （ x2， y2），则｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p .
角度2 中点弦问题
【例3】 已知抛物线 y2＝2 x ，过点 Q （2，1）作一条直线交抛物线
于 A ， B 两点，试求弦 AB 的中点的轨迹方程.
解：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），弦 AB 的中点为 M （ x ， y ），则
y1＋ y2＝2 y ，当直线 AB 的斜率存在时， kAB ＝ ＝ .
易知
①－②，得（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝2（ x1－ x2），
所以2 y · ＝2，即2 y · ＝2，即 ＝ x － （ y ≠0）.
当直线 AB 的斜率不存在，即 AB ⊥ x 轴时， AB 的中点为（2，0），适
合上式，故所求轨迹方程为 ＝ x － .
通性通法
中点弦问题的解题策略
【跟踪训练】
已知 y ＝ x ＋ m 与抛物线 y2＝8 x 交于 A ， B 两点.
（1）若｜ AB ｜＝10，求实数 m 的值；
（1）因为｜ AB ｜＝ ＝
· ＝10，所以 m ＝ ，经检验符合题意.
解：由得 x2＋（2 m －8） x ＋ m2＝0.
由Δ＝（2 m －8）2－4 m2＝64－32 m ＞0，得 m ＜2.
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝8－2 m ， x1 x2＝
m2，
y1 y2＝ m （ x1＋ x2）＋ x1 x2＋ m2＝8 m .
（2）若 OA ⊥ OB ，求实数 m 的值.
解：因为 OA ⊥ OB ，所以 x1 x2＋ y1 y2＝ m2＋8 m ＝0，
解得 m ＝－8或 m ＝0（舍去）.
所以 m ＝－8，经检验符合题意.
1. 已知直线 l 与抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）只有一个交点，则直线 l 与抛
物线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交或相切
解析： 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，直线 l 与抛物线只有一个
交点；当直线 l 与抛物线相切时，也只有一个交点，故选D.
2. 若直线 x － y ＝2与抛物线 y2＝4 x 交于 A ， B 两点，则线段 AB 的中点
坐标是（ ）
A. （2，1） B. （1，2）
C. （4，2） D. （2，4）
解析： 由得 x2－8 x ＋4＝0，Δ＞0，设 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝8， y1＋ y2＝ x1＋ x2－4＝4，故线
段 AB 的中点坐标为（4，2）.
3. 已知过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，｜
AF ｜＝2，则｜ BF ｜＝ .
解析： F （1，0），由抛物线定义得 A 点横坐标为1.∴ AF ⊥ x 轴，
∴｜ BF ｜＝｜ AF ｜＝2.
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4. （2024·扬州月考）设直线 y ＝2 x ＋ b 与抛物线 y2＝4 x 交于 A ， B 两
点.已知弦 AB 的长为3 ，则 b ＝ .
解析：由消去 y ，得4 x2＋4（ b －1） x ＋ b2＝0，由Δ
＞0，解得 b ＜ ，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝1－
b ， x1 x2＝ .所以｜ x1－ x2｜＝ ＝
，所以｜ AB ｜＝ ·｜ x1－ x2｜＝ · ＝3
.所以1－2 b ＝9，即 b ＝－4.
－4
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线 y ＝ kx ＋2与抛物线 y2＝ x 只有一个公共点，则实数 k ＝（ ）
B. 0
D. 8或0
解析： 由可知若 k ＝0，直线与抛物线只有一个交
点（4，2）；若 k ≠0，则 ky2－ y ＋2＝0，Δ＝1－8 k ＝0，所以 k ＝
.综上可知 k ＝0或 ，故选C.
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2. （2024·金华月考）过抛物线 C ： y2＝12 x 的焦点作直线 l 交 C 于 A
（ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，若 x1＋ x2＝6，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 16 B. 12
C. 10 D. 8
解析：B 由题意得 p ＝6，∴｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝6＋6＝12.
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3. 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C ： y2＝4 x 交于 A ， B 两点，线段
AB 的中点为 M （2，1），则直线 l 的方程为（ ）
A. 2 x － y －3＝0 B. 2 x － y －5＝0
C. x －2 y ＝0 D. x － y －1＝0
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则
＝ ＝2，所以 k ＝2，因为直线过点 M （2，1），所以直线 l 的
方程为2 x － y －3＝0.故选A.
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4. 设抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，过点（－2，0）且斜率为 的直
线与 C 交于 M ， N 两点，则 · ＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 过点（－2，0）且斜率为 的直线的方程为 y ＝ （ x ＋
2），由不妨记 M （1，
2）， N （4，4），因为抛物线的焦点为 F （1，0），所以 ·
＝（0，2）·（3，4）＝8.
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5. 设抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，过 F 且斜率为1的直线与抛
物线相交于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点为 E ， O 为坐标原点，
且｜ OE ｜＝ ，则 p ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 12
解析： 由题意可知 F （ ，0），则直线 AB 的方程为 y ＝ x － ，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由题意得 － ＝2 p （ x1－ x2） y1＋ y2＝2 p ，因为 E 为线段 AB 的中点，所以 E （ ），即 E （ ， p ），因为 E 在直线 AB ： y ＝ x － 上，所以 E （ ， p ），又因为｜ OE ｜＝ ，所以 p ＝2.
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6. （多选）已知 F 是抛物线 C ： y2＝16 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM
的延长线交 y 轴于点 N ，若 M 为 FN 的中点，则（ ）
A. C 的准线方程为 x ＝－4
B. F 点的坐标为（0，4）
C. ｜ FN ｜＝12
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解析： 如图，不妨设点 M 位于第一象限，设
抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F '，作 MB ⊥ l 于点
B ， NA ⊥ l 于点 A ，由抛物线的解析式可得准线方
程为 x ＝－4， F 点的坐标为（4，0），则｜ AN ｜
＝4，｜ FF '｜＝8，在直角梯形 ANFF '中，中位
线｜ BM ｜＝ ＝6.由抛物线的定义有｜ MF ｜＝｜ MB ｜＝6，结合题意，有｜ MN ｜＝｜ MF ｜＝6.故｜ FN ｜＝｜ FM ｜＋｜ NM ｜＝6＋6＝12，｜ ON ｜＝ ＝8 ， S△ ONF ＝ ×8 ×4＝16 .故选A、C.
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7. （2024·莱芜月考）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）与直线 l ： x
－2 y ＋6＝0相切，则 p ＝ .
解析：联立方程组整理得 y2－4 py ＋12 p ＝0.因为
C 与 l 相切，所以Δ＝16 p2－48 p ＝0，解得 p ＝3或 p ＝0（舍去）.
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8. 设抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是抛物线上的一点，过 P
作 PQ ⊥ x 轴于点 Q ，若｜ PF ｜＝3，则｜ PQ ｜＝ .
解析：由题意知抛物线的准线方程为 x ＝－1，由于｜ PF ｜＝3，故
xP ＝2，代入抛物线方程得 y2＝8，则 yP ＝±2 ，所以｜ PQ ｜＝2
.
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9. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于
A ， B 两点，｜ AB ｜＝12， P 为 C 的准线上的一点，则△ ABP 的面
积为 .
解析：不妨设抛物线方程为 y2＝2 px （ p ＞0），依题意， l ⊥ x 轴，
且焦点 F （ ，0），∵当 x ＝ 时，｜ y ｜＝ p ，∴｜ AB ｜＝2 p ＝
12，∴ p ＝6，又点 P 到直线 AB 的距离为 ＋ ＝ p ＝6，故 S△ ABP ＝
｜ AB ｜· p ＝ ×12×6＝36.
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10. 设点 P （ x ， y ）（ y ≥0）为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点
（其中 O 点为坐标原点），点 P 到定点 M （0， ）的距离比点 P
到 x 轴的距离大 .
（1）求点 P 的轨迹方程；
解： 过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N （图略），则｜
PN ｜＝ y ，
由题意知｜ PM ｜－｜ PN ｜＝ ，
∴ ＝ y ＋ ，化简得 x2＝2 y .
故点 P 的轨迹方程为 x2＝2 y .
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（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋1与点 P 的轨迹相交于 A ， B 两点，且｜
AB ｜＝2 ，求实数 k 的值.
解： 由题意设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立
消去 y 化简得 x2－2 kx －2＝0，
∴ x1＋ x2＝2 k ， x1 x2＝－2.
∵｜ AB ｜＝ · ＝
· ＝2 ，
∴ k4＋3 k2－4＝0，又 k2≥0，
∴ k2＝1，∴ k ＝±1.
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11. （2024·南京质检）抛物线 y ＝－ x2上的点到直线4 x ＋3 y －8＝0的
距离的最小值是（ ）
D. 3
解析： 法一 设与抛物线相切且与直线4 x ＋3 y －8＝0平行的
直线方程为4 x ＋3 y ＋ m ＝0.与抛物线 y ＝－ x2联立，消去 y 可得3
x2－4 x － m ＝0，由题意知，Δ＝16＋12 m ＝0，∴ m ＝－ .∴最小
值为两平行线之间的距离 d ＝ ＝ .
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法二 设抛物线 y ＝－ x2上一点为（ m ，－ m2），该点到直线4 x ＋3 y
－8＝0的距离为 ，当 m ＝ .
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解析： 根据抛物线的定义得1＋ ＝5， p ＝8.不妨取 M （1，
4），则 AM 的斜率为2，由已知得－ ×2＝－1，故 a ＝ .
12. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）上一点 M （1， m ）到其焦点的距离
为5，双曲线 x2－ ＝1的左顶点为 A ，若双曲线的一条渐近线与
直线 AM 垂直，则实数 a ＝（ ）
C. 1 D. 2
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13. （多选）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 到准线的距离
是2，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中
点， O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. C 的准线方程为 x ＝－1
B. 线段 AB 的长度的最小值为4
C. M 的坐标可能是（4，2）
D. 存在直线 l ，使得 OA 与 OB 垂直
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解析： 由已知可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4 x ，则点
F （1，0），准线的方程为 x ＝－1，A正确；当 AB ⊥ x 轴时，｜
AB ｜有最小值，令 x ＝1，代入抛物线方程解得 y ＝±2，所以｜
AB ｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线 l 的方程为 x ＝ my
＋1，代入抛物线方程可得 y2－4 my －4＝0，则 yA ＋ yB ＝4 m ，所
以 xA ＋ xB ＝ m （ yA ＋ yB ）＋2＝4 m2＋2，当 m ＝1时，可得 M
（3，2），C错误；因为 yAyB ＝－4，所以 xAxB ＝1，所以 ·
＝ xAxB ＋ yAyB ＝1－4＝－3，D错误.故选A、B.
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14. （2024·洛阳质检）已知抛物线 y2＝4 x ，其焦点为 F .
（1）求以 M （1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
解： 由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），
则 ＝4 x1， ＝4 x2， kPQ ＝ ＝ ＝2，
∴所求直线方程为2 x － y －1＝0.
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解： 依题意知，直线 m ， n 的斜率存在且均不为0，设
直线 m 的方程为 y ＝ k （ x －1），
与抛物线方程联立，得消去 y ，整理得 k2 x2－
（2 k2＋4） x ＋ k2＝0，
设其两根为 x3， x4，则 x3＋ x4＝ ＋2.
（2）若互相垂直的直线 m ， n 都经过抛物线 y2＝4 x 的焦点 F ，且
与抛物线相交于 A ， B 两点和 C ， D 两点，求四边形 ACBD
面积的最小值.
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由抛物线的定义可知，｜ AB ｜＝2＋ x3＋ x4＝ ＋4，
同理可得｜ CD ｜＝4 k2＋4，
∴四边形 ACBD 的面积 S ＝ （4 k2＋4）·（ ＋4）＝8（2＋
k2＋ ）≥32，当且仅当 k ＝±1时等号成立，
∴所求四边形 ACBD 面积的最小值为32.
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15. 如图，圆锥底面半径为 ，体积为 π， AB ， CD 是底面圆 O 的
两条互相垂直的直径， E 是母线 PB 的中点，已知过 CD 与 E 的平
面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物
线的焦点到其准线的距离等于 .
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解析：由 V ＝ π r2 h ＝ π×（ ）2×｜ PO ｜＝
π，得｜ PO ｜＝ ，则｜ PB ｜＝2，｜ OE ｜＝
1，｜ OC ｜＝｜ OD ｜＝ ，以 E 为坐标原点，OE 为 x 轴，与 CD 平行的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 C （－1， ），设抛物线的方程为 y2＝－2 px （ p ＞0），∴（ ）2＝－2 p ×（－1），解得 p ＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
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16. （2024·广州质检）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0），焦点为
F ， O 为坐标原点，过点 F 的直线（不垂直于 x 轴）且与抛物线 C
交于 A ， B 两点，直线 OA 与 OB 的斜率之积为－ p .
（1）求抛物线 C 的方程；
解： 因为过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A ， B 两点， F
（ ，0），
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
直线 AB （不垂直于 x 轴）的方程可设为 y ＝ k （ x － ）（ k
≠0），
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所以 ＝2 px1， ＝2 px2，
因为直线 OA 与 OB 的斜率之积为－ p ，
所以 ＝－ p ，所以（ ）2＝ p2，得 x1 x2＝4，
由得 k2 x2－（ k2 p ＋2 p ） x ＋ ＝0，
其中Δ＝（ k2 p ＋2 p ）2－ k4 p2＞0，
所以 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，
所以 p ＝4，抛物线 C 的方程为 y2＝8 x .
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（2）若 M 为线段 AB 的中点，射线 OM 交抛物线 C 于点 D ，求证：
＞2.
解： 证明：设 M （ x0， y0）， D （ x3， y3），
因为 M 为线段 AB 的中点，所以 x0＝ （ x1＋ x2）＝ ＝ ，
y0＝ k （ x0－2）＝ ，所以直线 OD 的斜率 kOD ＝ ＝ ，
直线 OD 的方程为 y ＝ kODx ＝ x ，代入抛物线 C ： y2＝8 x 的方程，
得 x3＝ ＝ k2＋2，
因为 k2＞0，所以 ＝ ＝ k2＋2＞2.
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谢 谢 观 看！
